2
2
2
(a+b) =a +2ab+b knows best
EdSR-70
英語での数学利用例 70 話
Kaoru TOMURA, Ph.D. in Eng. (Osaka Univ.)
-0-
=1=
This publication has relevance to the writer’s own
books below and is deep-rooted in them.
本書は下記の自著（単著）の焼き直しです。
ISBN 978-4-901493-04-8, 4-901493-44-2, 4-901593-33-7 and ISBN
978-4-901493-62-8
(2003-2013)
English pronunciation is quite different from that of
１）
３）
英語の発音（の仕組み）
は全く違います。
Japanese language system. English language system
-1-
２）
日本語の発音の仕組みと
英語体系は
has stress accent. On the other hand Japanese
ストレスアクセントで
一方日本語
language system has pitch accent. In this book we
体系はピッチアクセンチです。
本書には
can find many underlined portions. These portions of
下線を付けた部分があります。
１）
この下線の部分は
underline are the primary accent portion of the word.
３）
第一アクセントの部分です。２）その単語の
A way to speak English fluently as if a native
３）
流暢に英語を発音するひとつの手です。
-2-
speaker of English speaks English is to pronounce
２）
英語が母国語の方のように発音するのも
stress accent distinctly.
１）
ストレスアクセントをはっきりと
-3-
=2=
Good day. This is the first time to meet you. I hope I
ごきげんよう。 初めてお目にかかります。
will leave a good impression on your mind. I hope
みなさんによい印象をもってもらいたいです。
２）
ください。
my class will interest you. No class is worth taking
１）
私の講義に興味をもって
５）
受講する値打ちはありません。
lectures if you have no curiosity, if you are not
２）
好奇心も
longing for the class.
３）
あこがれも
１）
この講義に
-4-
４）
なければ
You made an agreement with me for assessment
５）
４）
ご承知と思っています。
について
standard of academic achievement, evaluation
２）
成績評価基準
system of your achievement, as shown on the
３）
１）
点数のつけ方
シラバスに示してある
syllabus. The evaluation ratio of regular examination
２）
１）
点数比率は
定期試験の
is 30%. Conversations in writing on your papers
３）
３割です。５）書き込みでの対話は
４）
提出物への
which you hand in at the end of every class are
-5-
３）
提出する
２）
講義の終わりに
１）
毎回の
important for us. I will evaluate those papers. The
６）
大切です。
この提出物に点数をつけます。
evaluation ration is 70%. The passing mark is 60%.
この点数の比率は７割です。
合格点は６割です。
The regular examination is an open-book
定期試験は参照許可物ありです。
examination. You are allowed to consult references
参照許可物を見て解答してください。
to answer. The references are textbook, handouts you
参照許可物は テキスト
-6-
配布物と
have got and your conversation papers in writing.
毎回の提出物です。
You are requested to have them in your keeping.
３）
ください。
１）
２）
返却物などを
保管しておいて
You are able to see the handouts, pdf formatted files,
４）
読めます。
１）
配布物は
２）
（pdf 形式の電子ファイル）
with smartphones and with tablet computers.
３）
スマホやタブレット
パソコン で
-7-
=3=
=01=（アクセント）---1
=02=（とりきめ）---4
=03=（もくじ）---8
=04=（やりとり）---16
=05=（ことばと数学）---31
=06=（数学と漢字）---33
=07=（日本語 英語 数学）---39
=08=（ネイピア定数）---53
-8-
=09=（モデル）---60
=10=（同形異義語）---62
=11=（指数法則）---64
=12=（指数関数）---76
=13（ex 利用）---88
=14=（ex 定義）---91
=15=（級数）---103
=16=（対数関数）---108
=17=（半減期 時定数）---118
-9-
=18=（統計）---123
=19=（平均 心理学）---124
=20=（確率）---136
=21=（電子雲グラフ）---139
=22=（同時確率）---144
=23=（２項分布）---147
=24=（正規分布密度関数）---156
=25=（母平均推定）---159
=26=（コイン投げ DNA エントロピ）---170
- 10 -
=27=（モールス信号 エントロピ）---180
=28=（ダイアモンド やまとことば）---184
=29=（化学反応 平衡 エントロピ変化）---194
=30=（エントロピ定義）---209
=31=（算数 丸暗記）---220
=32=（２次式の根と係数の公式）---230
=33=（塩酸の pH）---234
=34=（弱酸強塩基）---244
=35=（中和滴定曲線 当量点の半分）---256
- 11 -
=36=（当量点近傍）---262
=37=（連立代数方程式）---268
=38=（行列計算）---274
=39=（電離度間接測定）---282
=40=（連立式の利用例）---284
=41=（オームの法則）---290
=42=（水のイオン積の推定）---294
=43=（線形結合 混成軌道）---299
=44=（連立方程式 pH 分配説）---310
- 12 -
=45=（=33=の別解法）---328
=46=（直線化表示 最小自乗法 有意確率）---332
=47=（ラプラス変換の利用 定常状態近似）---365
=48=（微積分差分計算）---367
=49=（入力出力関数）---371
=50=（コンパートメントモデル）---379
=51=（素反応 反応速度式 微分形式）---390
=52=（反応次数 半減期 ２次反応）---401
=53=（２次反応その２ 整合性）---412
- 13 -
=54=（物質収支式）---421
=55=（反応機構 定常状態近似）---432
=56=（生体内酵素反応の連立式）---450
=57=（ラプラス変換説明）---456
=58=（シュレディンガー式のラプラス変換での解法）---464
=59=（i,π,e の間がらなど）---471
=60=（反応機構の別解など）---478
=61=（点滴静注）---487
=62=（展開式のおかげ１）---490
- 14 -
=63=（展開式のおかげ２）---492
=64=（著者のこと）---494
=65=（数式の読み方）---497
=66=（=22=のつづき
=67=（=42=のつづき
2 項展開 e とのかかわり）---501
解の先取り）---509
=68=（つじつまたしかめ１）---518
=69=（つじつまたしかめ２）---520
=70=（=30=のつづき）---530, =71=（参考文献）---543
=72=（グラフ例）---544-583
- 15 -
=4=
This is to introduce you the noble summary of this
（著者が類をみない良い本と思っている）テキスト概要紹介です。
book. It is next to impossible to read through the
このテキストを簡単に読破するのは難しいでしょう。
book at sitting. The author, that is your instructor,
著者（講義担当者）は
wish to lead you the uniqueness of this book. This
この本のすばらしさにみなさんをいざなぎたいです。
book might change your outlook on academic life.
この本を 読むと 科学についての人生観が変わるかもです。
- 16 -
Japanese language system is excellent to deal
日本語は科学をあつかうのに有能です。
academic sciences. Some of you might think that
英語で書くことなんか要らないと思うかも知れません。
description in English is needless. You will find
３）
あります。
some English sentences on the handouts. You are
２）
英語記述があります。
１）
配布物にも
１）
どうか
requested not to dislike English. Reading this book
４）
ください。３）毛嫌いしないで２）英語を
make you happy.
- 17 -
１）
この本を読むと
２）
幸せになります。
（人生を豊かにします。
）
The English sentences are not necessarily the
書いた英文は
必ずしも（日本語）テキストの
translation for the book. Reading English sentences
訳ではありません。書いた英文を読むと（日本語テキストにはない）
make it possible to get additional information.
別の情報が得られます。
You have studied hard several subjects in a high
１）
みなさんは
３）
いろいろな科目を学びました。２）高校で
school where some instructors teach in line with the
１）
高校の教員は
３）
授業しました。２）教科書の文章に忠実に
- 18 -
textbook. The textbook is almost same in all high
１）
高校の教科書は
３）
ほとんど同じです。２）どの高校でも
school. On the other hand, at a university lecture
１）
ところが大学では
２）
講義内容は
contents vary in the people in charge. They are
４）
異なります。３）担当者によって
１）
講義内容は
announced by a syllabus.
３）
公開されています。２）シラバスで
It is important to find the outline of lecture contents
４）
大切です。
３）
把握しておくことが
１）
講義概要を
in advance. You need not memorize the details. You
- 19 -
２）
受講前に
３）
２）
不要です。
記憶は
１）
詳細の
need to find contents which really interest you. It is
３）
必要です。２）見つけることが
１）
真に興味のあることを
to make knowledge a part of ourselves, that is, to
知識を身に着けることです。
つまり
turn knowledge into thought.
知識を思想に変えることです。
We can make some experiment models that are
実験値のモデルを作れます。
そのモデルは
created on a computer spread sheet. The models
１）
表計算ソフトで扱えます。
- 20 -
そのモデル式で
enable us to simulate physical phenomena with
４）
２）
シミュレートできます。
自然現象を
computer graphics.
３）
グラフ作成により
Stop carrying around feelings that you do not like
４）
３）
やめましょう
思いこみ続けるのは
２）
嫌いだと
Mathematics.
１）
数学は
Conversations in writing make us happy. You are
２）
対話すると
１）
提出物で
３）
楽しくなります。
requested to write your comments or notes on a
- 21 -
４）
ください。
３）
コメントやメモを書いて
margin on a space between lines of your paper. You
２）
１）
余白や行間に
提出物の
are requested to write your name and ID number on
４）
ください。
３）
書いて
２）
名前と学籍番号を
the top of your paper. At the end of this class, hand
１）
２）
提出物の頭に
講義の最後に
３）
出してください。
in your paper. I will write something in response to
１）
提出作品を
３）
書き込みをします。
２）
に対して
what you wrote. Next class, I will return the paper
１）
書かれたこと
２）
次回に
３）
- 22 -
返却します。１）その提出物を
back. You will find the marks and the grade given
４）
見てください。
３）
しるしや評価点を
by this instructor on the paper. To have
２）
担当者がつけた
１）
２）
提出物に
議論すると
conversations with many persons may enrich our
１）
４）
多くの人と
豊かになります。
quality of scientific life. We will make many
３）
大学生活が
３）
いろいろ対話しましょう。
conversations in writing in my 15 lecture classes.
２）
提出物を通じて
１）
15回の講義の
You are requested to read it carefully.
- 23 -
４）
ください
３）
読んで
１）
返却物を
２）
じっくり
The marks ‘check✔’ denote okay. Also you may
✔がついているところは よし です。
have discovered several ideas peculiar to this
speaker.
担当者の書いたことを
変わっていると思うかも知れません。
Some of you may feel these thoughts to be fresh.
書いてあることは 初めてだと
思うかも知れません。
Some of you may feel these thoughts to be unique.
独特な考えだ
と思うかも知れません。
“To be unique” is very important for you.
- 24 -
独特であることは大切です。
It is a job of the title of the book to carry word of the
４）
３）
書名の役目です。
伝えることが
outline of the book to readers.
１）
テキストの概要を
２）
読者に
This book has a subtitle, that is, Scientific Models on
テキストには副題があります。それは scientific models on
Physical Chemistry with a CD-ROM.
Physical Chemistry with a CD-ROM です。
The author’s hope is not to cram the head of the
１）
私の願いは
４）
ことではなく
- 25 -
３）
詰め込む
readers with facts, but to inspire the readers to think
２）
知識を
８）
鼓舞することです。５）みなさんが
for themselves and to think deeply.
６）
７）
自分で
深く考えるように
No book is readable if you have neither curiosity nor
４）
読む値打ちはありません。３）もってくれなければ
１）
興味も
pleasure. Concrete examples on physical chemistry
２）
楽しみも
４）
３）
具体的な例で
物理化学分野の
can satisfy your curiosity with spread sheet programs
５）
２）
興味を満足できます。
recorded on the CD-ROM.
- 26 -
表計算ソフトを使って
１）
CD-ROM に入れておいた
A CD-ROM that comes with a textbook is a valuable.
テキスト付録のCD-ROMは重宝です。
That makes it possible to simulate particular
１）
これを使って
５）
できます。４）模擬実験が
２）
具体的な
phenomena. Spread sheet programs recorded on the
３）
３）
現象の
表計算ソフトの
２）
収録してある
CD-ROM have descriptions. Special marks are guide
１）
CDに
４）
説明文があります。３）印が
４）
ついています。
to the page where the descriptions are on.
２）
ページには
１）
この説明文（ことば書き）が書いてある
- 27 -
You can recognize that a model can explain several
４）
気がつきます。
２）
同じモデルで
３）
説明できることに
different phenomena. I hope you can enjoy the use of
１）
いくつかの異なる現象を
４）
ください。３）楽しんで
２）
で
computer and models. Noble figures on several
１）
パソコンとモデル式
２）
独特なグラフで
１）
本に載せた
pages help you to understand the story.
４）
解かりやすくなります。
３）
書いてあることが
English, Japanese and other natural languages are
英語
日本語
他の自然言語は
体系をなしています。
- 28 -
systems. Also Mathematical expression is a language
また 数学記述も
ひとつの
言語体系です。
system. PC programs and Mathematics are created
by mankind. パソコンのプログラムも数学も人工言語です。
Mathematical definitions are like a rule book of a
数学の定義は
ゲームのルールブックのようなものです。
game. It is agreeable to define them. You can find
数学の定義は
納得できます。
４）
書いてあります。
several words which have the same meaning as
３）
言い回しが
２）
- 29 -
同じ意味の
consistency or definitions.
１）
整合性（定義）と
- 30 -
=5=
Science is a study which includes many academic
学問には いろいろな分野が
fields.
あります。
A scientist is requested to have educated
１）
学問を志す方には
４）
両方の素養が要ります。
common sense both of the ‘science course’ and of
２）
いわゆる理系といわれる素養と
the ‘humanities course’. ‘Language’ may represent
３）
文系といわれる素養の
１）
言語は
３）
代表し
‘humanities course’, and ‘mathematics’ is a typical
２）
いわゆる文系を
４）
- 31 -
数学は
６）
典型的な例です。
example of ‘science course’. It is not instructive to
５）
３）
理系の
建設的ではありません。
find out the differences between both courses. To
２）
１）
考えることは
両コースの違いを
think about phenomena, events, which we can
３）
１）
考察するのは
現象（認識できるもの）を
observe, in mathematical ways is rooted in language
２）
５）
数学的に
根ざしています。
systems. Scientists must have considerable thoughts
４）
言語体系に
１）
３）
学者は
思考すべきです。
from mathematical points of view.
- 32 -
２）
数学的な目で
=6=
What we saw, what we heard, what we thought, we
見たこと
聞いたこと
考えたことを
record them, take notes by languages, pictures and
記録します。
言語 図
記号で書きとどめます。
characters. Observations, experimental data and
観察値
実験データ
phenomena are written in language including
現象は
言語で記録します。
mathematics. We sometimes use the words
数学も言語です。
いろいろな言い方をします。
- 33 -
‘observed values’, ‘experiments’, ‘measurements’,
観察した値
実験値
測定値
‘measured values’, ‘readings’ and so on. These
測った値
（測定機器の）読み
など。
words have like the same connotation.
これらは みな同じことです。
These
このような
description or mathematical equations make it
記録
記述 や数式で
possible to expect or foresee the events in the future,
これから先のことを予想できます。
what will happen, and to estimate what will be
- 34 -
何が起こるか
何が観察されるかを 予測できます。
observed. Any language has words and grammar.
どんな言語にも 単語と 文法が あります。
Mathematics is a language or a part of language.
数学は言語（言語の一部）です。
2,4,÷,= are words and the difference between 4÷2
２４÷＝は単語です。
４÷２ と ２÷４
の
(=2) and 2÷4 (=1/2) is a grammar.
違いは 文法です。
Some mathematical notations, which are systems of
数学表記 表記とは何かを示すために
- 35 -
written symbols to represent something, are like
書く記号ですが
English, some notations are like Chinese character.
英語に似ています。
数学表記は漢字に似ています。
41
For example [∑k=1 k ] (summation of k where k
例えば
ｋを１から41まで加算する表記は
runs from 1 to 41) is like [昭]. The part or word
漢字（例えば昭）のようです。
located left side
刀 is
日 is
この漢字中の日は
located upper right side 口 is
昭の左側に位置して
刀は右の上に 口は
located lower right side. Each part has a meaning and
- 36 -
右の下に位置します。
それぞれの部分には意味があり
these three parts are united to form the word 昭
この３つの部分が組み合わさって 昭という言葉になります。
which has another meaning. Also ∑, k=1, 4, k are
この昭には別の意味があります。同様に∑ｋ＝１４ｋは部分で
parts, k=1 is located under 41, 4 is located left side
ｋ＝１は 41 の下側に
４は１の左側に
of 1, k locates right hand side.4 and 1 are four and
ｋは右に位置します。
４と１はそれぞれ よっつ
one respectively, but expression 41 is neither ‘4 and
と
ひとつ
です。でも表記41は４足す１でも14でもありません。
- 37 -
1’ nor 14. Without mathematics, it is impossible to
１）
５）
数学が無ければ
できません
express the significant fact behind the experiments.
４）
示すことが
３）
意味のあることを
２）
実験値の裏にある
Sciences need mathematical language or expressions,
１）
科学では
４）
大切です。
２）
数学言語つまり数式
especially exponential functions.
３）
とりわけ指数関数が
- 38 -
=7=
This is to introduce some examples of ‘Japanese
１）
４）
これから
例示します
notation system’ as compared to that of English.
２）
３）
日本語の表記の仕方を
英語と比較して
Almost all calculators adopt the ‘English notation
１）
ほとんどの電卓では
３）
採用しています
２）
英語方式を
system’. For example, to evaluate (31×4) /(5+6) by a
１）
例えば
４）
求めるのに
２）
(31×4)/(5+6)を
popular calculator, we type in 31, we press ×, we
３）
普通の電卓で
５）
31とタイプして
- 39 -
６）
×を押して
type in 4, we press ÷, we press (, we type in 5 + 6 ),
７）
４を押して
８）
÷を押して
９）
(を押して
10）
5+６と押して
we press =, then the answer appears. Some readers
11）
=を押す
12）
と答えが出ます。
５）
おられるかも知れません。
may think that the author should write ‘with a
４）
と考える方が
２）
普通の電卓を使って
３）
と書くべきだ
popular calculator’ instead of ‘by’. That’s reasonable
１）
（普通の電卓）によっての代わりに
２）
至極当然です。
to think so. The word ‘by’ makes it clear, that a
１）
そう考えるのは
１）
by を使うと
３）
がはっきりします。
calculator made the answer. Then ‘we type in’ and
- 40 -
２）
電卓が答えを出したこと
ですから
we type inと
‘we press’ are repeated several times. These are
we pressを
１）
何度も繰り返しました。
この繰り返しは
conversations with a calculator. These phrases make
３）
やりとりです。２）電卓との
１）
この繰り返しで
us realize that mathematical notation is a language.
３）
と理解していただけます。２）数学表記は言語であると
On the other hand, by special calculators which
１）
これに対して
３）
特別な電卓では
adopt ‘Japanese notation system’ we type in 31, we
２）
４）
日本語方式を採用している
- 41 -
31とタイプして
press ↑, we type in 4 and press ×, we type in 5↑6 + ÷,
５）
↑を押して
６）
７）
４×と押して
５↑６+÷とタイプする
then we can get the answer. The notation
８）
と
９）
１）
答えが出てきます。
次の数式は
(31×4) /(5 + 6) corresponds to 31↑4×5↑6 + ÷. This
３）
対応しています。
２）
31↑4×5↑6に
１）
この語順は
notation is the same as the Japanese language “31↑に
４）
と同じです。
２）
日本語の
4 を×かけて 5↑に 6 を+たしたもので÷割る”. Let us have an
３）
31に4を掛けて5に6を足したものでわる。
another example.(7+8)×9+25 corresponds to 7↑に 8
- 42 -
別の例です。
を
１）
３）
(7+8)×9+25は
となります。
+たして 9 を×かけて 25+たす.
２）
７に８を足して９をかけて25を足す
A calculator has ‘memories’. Let us have an
３）
電卓にはメモリがあります。
としましょう。
assumption that this calculator has 3 memories
１）
ある電卓には３つの記憶できるメモリがあり
named x, y, z. The value, the number, in x is
２）
その名前は x,y,z である
x に格納されている数値は
displayed. The number we type is memorized in x. In
表示されます。
打ち込んだ数値はｘに格納されます。ここで
- 43 -
case we press ↑,then the number memorized in x
↑を押すと
ｘに入っていた数値は
moves into memory y. For example, we type 12↑3,
ｙに移動します。
例えば 12↑3 と押す
then x ←3, y ←12, continuously we press +, then the
とｘに３が y に 12 が入ります。
これに続けて+を押すと
value memorized in y and the value memorized in x
ｙ中の数値と
ｘ中の数値が
are added and the result moves into memory x, ‘15’
加算されて
その合計値は
ｘに移動します。
15 が
is memorized in x. The answer for 12+3 is visible, 15
- 44 -
メモリ x に格納されます。
12+3 の答えは表示されて
15 は
is in sight, again continuously we type in 2.5↑2×÷,
読み取れます。
１）
さらに続けて 2.5↑2×÷とタイプすると
then we can see the result of (12+3) /(2.5×2) i.e. 3.
５）
でます。３）計算結果
２）
(12+3)/(2.5×2)の
４）
つまり３が
The memorized values in y varies in operation,
２）
４）
y 中の値は
変わります。１）この操作で
12→15→2.5, The values in x are 12→3→15
３）
12,15,2.5 と
→3.
ｘ中の値は 12,3,15,…,3 です。
The author wishes to inform the reader that Japanese
５）
と申し上げたい。
１）
- 45 -
みなさまに
language system’ is suitable for mathematical
２）
日本語体系は
４）
適している
operations.
３）
数学演算に
There may be laws in the ancient Japanese counting
４）
あるかも知れません
３）
法則が
１）
古代日本語の
language system. 1(hi)→2(hu), 3(mi)→6(mu),
２）
数の数え方には
ひ
ふ
み
む
4(you)→8(yau), 5(i)→10(tou) we can find vowel ‘i’
よ
や
い
とう では
- 46 -
偶数は
in odd numbers ‘u’ in even numbers. Two times 1 is
いの段で
奇数は
うの段
だと気が付きます。１の倍は２で
2, ‘hi’ and ‘hu’ have the same consonant ‘h’. Two
ひ と ふ
は同じ
は行です。３の倍は６
times 3 is 6, ‘mi’ and ‘mu’ have the same consonant
で
み と む は同じ む行です。
‘m’. Two times 4 is 8, ‘you’ and ‘yau’ heve the same
４の倍は８で
よ と
consonant ‘y’.
や行です。
- 47 -
や
は同じ
English, Japanese and other natural languages are
英語
日本語
も他の自然言語も
みな
“systems”. Also mathematical expression is a
システムです。１）もちろん
２）
数学表記も
４）
ひとつです。
language system. Language systems have words and
３）
言語体系の
１）
言語体系には
３）
あります。
grammars. We can recognize the difference between
２）
単語と文法が
次のふたつの違いは理解できます。
“Kuruma no Ushiro” and “Ushiro no Kuruma”.
車の後ろ と
後ろの車 の違いです。
These three words can make two sequences. 1, one,
- 48 -
この例では３つの単語でふたつの並べ方ができます。１ひとつ
and 3, three, are words respectively. These two
と３みっつは
それぞれ単語です。
このふたつの
words can make two sequences. We can recognize
単語で ふたつの並べ方ができます。
２）
解ります。
the difference between 13, thirteen, and 31, thirty
one. １）１３と３１は異なることは
I would like to inform you that mathematical
３）
１）
吹聴したいです。
数学言語は
language is very important for us. The Japanese
２）
ありがたいものだと
- 49 -
１）
日本語は
language does not resemble the mathematical
４）
２）
似ていない
数学言語と
language in appearance but resembles in character.
３）
見かけは
５）
が
７）
似ている。
６）
性質は
English resembles mathematics in appearance but
１）
英語は
４）
似ている
２）
数学と
３）
見かけは
５）
が
not in character. Several academic fields are rooted
７）
似ていない。６）性質は
１）
科学は
３）
根ざしている。
in mathematics. I have published these books to
２）
数学に
２）
出版しました。
make these academic fields the subject.
- 50 -
１）
この科学分野についての本を
Mathematical system is reasonably defined. We will
数学体系は
つじつまがあうように 定義されている。
see some rationality of several mathematical
３）
触れます。２）整合性に
１）
いくつかの数学定義間の
definitions. These definitions are like the rule book
１）
とりあげる定義は
４）
のようです。３）ルール本
of a game. Several times I said that mathematical
２）
ゲームの
１）
これまでに何度か
６）
と言ってきました。
language system is very useful to describe the
- 51 -
２）
数学言語体系は
５）
使えると
３）
現象を記述して
phenomena and to expect what will happen in the
４）
未来に何がおこるかを予測するのに
future.
- 52 -
=8=
Today this fellow will give you an idea that
１）
これより私めは
５）
ことをお知らせします。
one special number makes us easy to recognize or to
２）
ある特別な数値を知れば
４）
たやすく理解できる
understand mathematical language. The symbol of
３）
２）
数学言語を
印は
the special number is “e”. The number “e” is called
１）
この特別数値の
３）
eです。
１）
この数値eは
３）
と言います。
Napier’s constant. The number “e” is an irrational
２）
ネイピアの定数と
この数値eは無理数です。
- 53 -
number. “無理数” is the Japanese for “irrational
１）
無理数は
３）
和訳です。２）irrational numberの
number”. “ir” of irrational corresponds to a denial.
irrationalのirは 非ず です。
The number “e” is not a rational number. Ratio is
数値eは rational number（有理数）ではありません。
比は
much the same as fraction or ‘分数’. No one can
３）
分数と同じことです。
できません。
express “e” as one fraction. Let us have an example.
２）
表示
１）
eをひとつの分数で
The number of boys is 3, and that of girls is 5. "3 to
- 54 -
少年の人数は３で少女の人数は５です。
３対５は
5" is expressing the ratio in words. There are two
この比をことばで表したものです。
３）
ふたつあります。
other notations for this "3 to 5" ratio. “3 : 5”, three to
２）
他の表示の仕方が
１）
比は３対５の
３：５は
five, is called ‘odds notation’. “3/5”, three over five,
オッズ表記で
５分の３は
is called ‘fractional notation’. These two notations,
分数表記です。
表記法
このふたつの表記は
, have almost the same meaning. The circular
ほとんど同じことです。
- 55 -
円周率πも
constant π is also an irrational number. “π” is the
１）
無理数です。
πは
ratio of the circumference of a circle to its diameter.
４）
比です。
３）
２）
円周の
直径に対する
This special number “π” and the important number
この特別な値πと
重要な数値eは
iπ
“e” are not independent each other. e = -1. ‘e to the
互いに独立ではありません。
１）
eのiπ乗はマイナス１
power of iπ equals minus one’ where ‘i’ stands for
２）
でのiは
４）
示します。
the imaginary unit. ‘i’ by ‘i’ is minus one. The
- 56 -
３）
虚数単位を
i×i は-1です。
square of ‘i’ is minus one.
iの平方は-1です。
We will discuss the definitions of Napier’s constant e
４）
について考えましょう。３）定義
１）
ネイピア定数と
x
and of exponential function e , e to x. Also we will
２）
４）
指数関数の
しましょう。
recognize the logical necessity of the definitions. It is
３）
理解
２）
１）
論理的必然性も
これらの定義の
reasonable that the definite integral of function 1/x
３）
うなずけます。
１）
- 57 -
ｘ分の１の定積分で
leads us to the value e.
２）
e の値が得られることは
‘Half life time’ is rooted in the number 2.
１）
半減期は
３）
根ざしています。
２）
数値２に
‘Time constant’ is rooted in the number e.
１）
時定数は
３）
根ざしています。
２）
We can convert the number 2 to e,
３）
変換できます。
２）
２をeに
x
with the inverse function of e .
１）
指数関数の逆関数で
This function is marked as log2 e.
- 58 -
数値eに
この関数の印は log2e です。
‘log to the base 2 of e’ is a reading for this function.
２）
eの底を２とする対数と読みます。
- 59 -
１）
この関数は
=9=
The model bellow is expressed with mathematical
１）
以後のモデルは
language.
３）
書いてあります。
２）
数学語で
‘Periodic table’ and ‘Quantum theory’
１）
周期表 量子化学で
make it possible to explain the stability of some
４）
３）
説明できます。
安定性を
２）
いくつかの分子の
molecules. We cannot watch clearly molecules.
分子は
はっきりとは
見えません。
Some models make us feel that it is possible to show
１）
モデルで
３）
見えるように感じます。
- 60 -
invisible phenomena. I said that mathematical
２）
見えない現象が
数学の定義は
definitions are like a rule of a game. If we find some
ゲームのルールのようだと言いました。
３）
あれば
phenomena which any models cannot explain, then
２）
現象が
１）
どんなモデルででも説明できない
we create new models, we revise the model to meet
４）
別のモデルを作ります。
６）
モデルを改良します。
the observed phenomena.
５）
観測現象とつじつまがあうように
- 61 -
=10=
Solution is a homograph. Solution in chemistry is
化学では溶液のことで
Solutionは同形異義語です。
液
溶
in Japanese. Solution in mathematics is
解
in
数学では解のことです。
Japanese. Homographs are spelled the same way but
同形異義語は同じスペルで
have different meanings. I will show you some
別のことを意味します。
同形異義語の
examples using homographs.
This is the product of
１）
使用例です。
これは
- 62 -
４）
濃度積です。
concentrations for products in a chemical reaction.
３）
生成物濃度の
２）
ある化学反応での
He lettered a letter the first letter of his name.
彼は
自分の名前の最初の文字を 手紙に書いた。
This is the solution of the mass balance equation for
１）
これは
４）
３）
解です。
dilute solutions.
２）
希薄溶液に対する
- 63 -
物質収支式の
=11=
Now let us have a review for arithmetic in English.
英語で算数の復習をしてみましょう。
The number 16 is the same as 2×2×2×2, and is able
数値 16 は 2×2×2×2 と同じです。 これを短く
4
4
to shorten as 2 . When written as 2 , the 2 is called
24 と書けます。
この 24 で 2 は
4
the base and the 4 is called the index or power. 2 is
底で
4 は指数とか冪乗と言います。
24 は
read as ‘two (raised) to the power of four’. Similarly,
２の４乗と読みます。
- 64 -
同様に
5
3 is read as ‘three to the power of 5’, When the
２）
35 は３の５乗です。
場合は
indices, indexes, are 2 and 3 they are given special
１）
５）
指数(indexes も)が２と３の
あります。３）特別な
names; i.e. 2 is called ‘squared’ and 3 is called
４）
６）
読み方が
つまり２は平方
３は立方です。
2
3
‘cubed’. 4 is called ‘four squared’, 5 is called ‘five
１） 2
２） 3
4 は４平方で、
5 は
４）
５立方です。
cubed’ rather than ‘5 to the power of 3’. When no
３）
５の３乗よりむしろ
指数が書いて
1
index is shown, the power is 1. 2 means 2 .
- 65 -
なければ
１です。
2 は 21 のことです。
There are six laws of indices. An example described
２）
指数には６つの法則があります。
示した例は
below is the first law of indices, which demonstrates
１）
次に
３）
指数の第１法則です。
１）
例では
８）
示しています。
that when multiplying two or more numbers having
５）
複数の数値を掛けると
３）
同じ
the same base 4, the indices 2 and 3 are added to
２）
底が
４）
４である
６）
指数は２と３を足した
make 5. ７）５になることを
2
3
2+3
5
4 ×4 = 4 = 4
- 66 -
The second law of indices demonstrated by the
３）
２）
指数の第２法則では
示した
equation below is that when dividing two numbers
１）
５）
下式で
２つの数値の割り算では
having the same base 7, the index in the
４）
７）
底が同じ７である
指数
denominator 3 is subtracted from the index in the
６）
分母の数値の
８）
３を 13）引いて 12）から 10）指数
numerator 5 to make 2.
９）
分子の数値の 11）５
5
3
7 /7 = 7
5-3
14）
２になります。
=7
2
- 67 -
A mark of 9 out of 14 may be written as 9/14. This is
14 のうちの 9 を示す記号を 9/14 と書けます。
これは
an example of a fraction. The number above the line,
分数の一例です。
線の上の数値
i.e. 9, is called numerator. The number below the
つまり９は
分子と言います。
線の下の数値
line, i.e. 14, is called the denominator.
つまり 14 は
分母と言います。
The third law of indices demonstrated by the
２）
３）
指数の第３法則を
示します。
equation below is that when a number 5 which is
- 68 -
１）
４）
次の式で
この例では
６）
５は
2
raised to a power 2, (5 ), is raised to a further
５）
９）
２乗された
されて
７）
さらに
power 3, the indices are multiplied to make six.
８）
３乗
10）
2 3
指数（２と３）は掛けて６です。
2×3
(5 ) = 5
6
=5
The fourth law of indices states that when a number
１）
６）
言っています。４）場合は
指数の第４法則は
２）
指数が
has an index of 0, its value is defined to be 1. This
３）
０の
５）
その値は１と定義すると
１）
この
definition is consistent with the second law. For
- 69 -
定義は
３）
つじつまが合っています。２）第２法則と
3
3
3-3
0
0
example 4 /4 =4 =4 , 4 =1, as a result.
例えば
43/43=40 で
結果として１です。
Some time we can see an explanatory note for
‘index’
２）
６）
についての説明文のひとつに
あります。
saying that an index is the number of times a certain
５）
と言うのが
１）
指数
４）
回数だ
number is to be multiplied by itself. This
３）
１）
ある数に同じ数をかけた
0
0
この
explanation is not useful in 4 , 3.8 and so on. 4
- 70 -
0
２）
説明は
４）
役にたちません。
３） 0
4 3.80 などで
3
must be 1 to hold the shorten form 2 for 2×2×2
40 を１としなければ 23 は 2×2×2 であることが
good.
成立しません。
Example below is the fifth law of indices, which
１）
２）
次は指数第５法則の例です。
この例は
demonstrates that a number raised to a negative
７）
ことを示しています。３）ある数のマイナス４乗とは
power -4 is the reciprocal of that number raised to a
６）
４）
逆数である
- 71 -
その数の
positive power 4.
５）
プラス４乗の
-4
3 = 1/3
4
Some time we can see an explanatory note for
２）
次のような説明を見ることがあります。１）逆数について
‘reciprocal’ saying that the quantity obtained by
３）
それによると６）その数の逆数である。
５）
ものが
dividing the number one by a given quantity.
４）
１をその数で割った
Mathematical expression so related to another that
数式でもとの数とその逆数の関係を書けば
- 72 -
their product is one.
両者の積は１です。
2×1/2 = 1
The first law, the fourth law and the fifth law for
指数の第１、第４と第５法則から
4
-4
4-4
indices lead us 3 ×3 = 3
0
= 3 = 1. This result
34×3-4 = 34-4 = 30 = 1 となります。
１）
この結果は
does not contradict with the explanation for
４）
矛盾しません。
３）
‘reciprocal’.
２）
逆数の
- 73 -
説明と
The sixth law of indices states that a number is
１）
指数の第６法則の例では
８）
示しています。２）ある数の
raised to a fractional power the denominator ‘3’
３）
５）
分数乗で
分母の３は
of the fraction ‘2/3’ is the root of the number and
４）
６）
分数２/３の
立方根であり
the numerator ‘2’ is the power.
７）
分子２は冪乗（平方）であることを
8
2/3
3
2
2
= √8 = 2 = 4
In this case the explanation that an index is the
１）
この場合
６）
と言う説明は
- 74 -
２）
指数とは
number of times a certain number is to be
５）
３）
回数である
ある数同士を
2/3
multiplied by itself is not useful. 8
４）
７）
掛けた
must be 4 in
役に立たない。２）82/3 は４でければならない。
order to keep the calculation below good.
１）
次の計算が成立するように
4×4×4 = 64
2/3
2/3
2/3
(2/3)×3
2
8 ×8 ×8 = 8
= 8 = 64
- 75 -
=12=
Exponential Functions
指数関数
In our earlier studies we have become acquainted
１）
３）
小学校以来
習ってきました。
2
with 2cm×3cm = 6cm and with powers such as
２）
2cm×3cm = 6cm2 や 23, π4 などにある指数を
3
4
2 ,π,
and the like. We have also met
6-1=1/6, π0=1 も習いました。
- 76 -
-1
0
6 =1/6, π =1.
[power] is the number of times a certain number is to
１）
５）
（指数）とは
回数です。
２）
ある数に
be multiplied by itself: 2 to the power of 3 equals 8.
４）
かけた
３）
その数を
２の３乗は８です。
2×2×2 = 8
n
The general expression for symbols like these is a ,
これを示す一般数学記号は an です。
where a is any real number and n is an integer. An
式中の a は
いろいろな実数で
- 77 -
n はある整数です。
integer is a whole number that is not a fraction. -1, 0,
整数は
分数ではありません。
1 are examples of integers and 1/2, 0.25 are
-1,0,1 は 整数の例で
1/2,0.25 は
examples of fractions.
分数の例です。
And we know that every positive real number a has
２）
正の実数であれば
１）
４）
aが
があります。
1/n
a unique real nth root which we write a
３）
ひとつｎ乗根
５）
where n is
これを a1/n と書きます。６）式中の n は
a positive integer. For example square root of 4 are
- 78 -
７）
正の整数です。
例えば
４の平方根は
±2. The “unique” written above reject -2. Also, we
±2 です。
ひとつと書いたので-2 は捨てます。
recall that a
p/q
また
is defined to be
a p/q は次のように取り決めてあることを思いだします。
a
(1/q)p
p 1/q
= (a ) .
In the equation above, p and q are integers, a is a
上記の式で
p と q は整数です。 a は
positive number. For this reason, we know the
正の数です。
１）
このことから
６）
わかります。
meaning of the function y defined by
- 79 -
５）
４）
意味が
x
y=a
２）
３）
関数ｙの
a; positive,
と定義された
x; rational.
ｙ＝ax a は正 ｘは有理数
A rational number is expressible as a ratio of whole
１）
どんな有理数でも
４）
３）
表せます。
比として
numbers or integers.
２）
整数同士の
Now there is a particular number a>1 (if a=1 then
２）
2
があります。１）特別な数値 a
3.4
a =a =…=a
-6.5
４）
３）
a は１より大きいです。
x
=1. a does not vary in x) of great
１は何乗しても１で指数とともに変わりません。６）とても
- 80 -
importance in mathematics; it is an irrational
７）
重要です。
５）
８）
数学で
この数は無理
number and approximately equal to 2.71828. This
９）
10）
約 2.71828 です。11）この
数で
value has the name e ; then we can denote as
12）
数値の名前は e です。
13）
なので次のように書けます。
follows ;
e≒2.71828
It is possible to explain why the number e, named
７）
１）
説明できます。
数値 e
- 81 -
Napier’s constant, and the associated exponential
２）
（ネイピア定数）
３）
とこれと関わりのある
function y defined by
５）
指数関数
４）
次式で定義された
x
y=e
are of such importance. Sometimes this function y is
６）
は大切であることを
３）
こともあります。１）この関数 y を
written as follows;
２）
次式で書く
y = exp x.
- 82 -
This is an expression in Mathematics. We sometimes
４）
数学ではこのように書きます。
ます。
write it exp(x) as a word for a computer language. In
３）
書き
２）
１）
exp(x)と
パソコン語としては
this expression, no base appears at all; the base is
この書き方では底は全くありません。
その底は
assumed to be e.
当然 e です。
A derived function f ’(x) of function f (x) may be
２）
１）
導関数 f’(x)は
関数 f(x)の
obtained by the operation called differentiation
- 83 -
５）
求められます。４）演算をすれば
３）
微分という
process. The derivative f ’(x) is therefore a new
２）
５）
です。１）なので
求めた導関数 f’(x)は
３）
元の関数とは
function.
４）
別の関数
d/dx {f(x)} = f ’(x),
f ’(x) denotes the slope of a curve y = f(x) at a point
１）
f’(x)は
４）
です。
３）
傾き
２）
曲線 y=f(x)の点ｘでの
x, d/dx is a symbol of differentiation. In this case
の
１）
d/dx は
３）
印(演算子)です。２）微分の
この例では
f(x) is an operand. In another case π + 32, + is a
- 84 -
f(x)は被演算数です。
別の例π+32 で
+は
operator and π and 32 are operands. The notation
演算子で
１）
πと 32 は被演算数です。
表記
df/dx is often used instead of d/dx {f(x)}. These
２）
df/dx は
４）
良く使われます。３）d/dx {f(x)}の代わりに
notations stand for the derivative of f with respect
１）
どちらの表記も
５）
示します。４）導関数を
２）
fの
to x,
３）
ｘについての
x
x
d/dx( e ) = e .
x
In this case function e does not change by the
- 85 -
１）
上記の例では
３）
関数 ex は変わりません。
differentiation operator. The graph of dy/dx against
２）
２）
微分演算しても
グラフは
１）
dy/dx 対 x の
x
x is identical to the original graph of y = e . The
４）
全く同じです。
３）
もとの y=ex のグラフと
shape of graph dy /dx vs. x is the same as the graph y
２）
形は
１）
dy/dx 対ｘのグラフの
４）
と同じです。
vs. x. It follows that
のグラフ このことから
x
x
if y = e then dy/dx = e .
It may also be shown that
- 86 -
です。
３）
ｙ対ｘ
このことは次のようにも書けます。
ax
ax
if y = e
then dy/dx = a e .
Generally speaking derivatives are different from
１）
一般的に言えば
２）
４）
導関数は
異なります。
the operand functions, for example
３）
５）
もとの関数とは
2
例えば
2
d/dx (x ) = 2x ≠x . ６）です。
x
This special function f(x) = e is often used in
１）
３）
この特別な関数 f(x)=ex は
よく使われる
x
description of Sciences and e is very popular for us.
２）
４）
科学の記述で
- 87 -
なじみ深いものです。
=13=
x
We make good use of function e in descriptions of
関数 ex は次の分野の記述によく登場します。
(1)Chemical Reaction Rates
化学反応速度論
ex.
d/dt C = - k C, C(t)/C(0) = e
例
(2)Chemical Equilibrium
化学平衡論
ex.
○
Ka = exp( -ΔG /RT )
- 88 -
–kt
(3)Entropy
エントロピ論
ex.
○
○
K = exp( -ΔH /RT + ΔS /R )
(4)Quantum mechanics
量子化学
ex. Ψ= (1/π)
1/2
3/2
(1/ao)
e
-r/ao
,
-10
ao = 0.53×10 m
(5)Compartment models for TDM
血中薬物濃度管理でのコンパートメントモデル
ex. C(t) ∝ (e
–at
–e
–bt
)/(b-a)
- 89 -
(6)Viscoelasticity
粘弾性体（流体力学）
ex. Vout = 1- exp( -t/Eμ)
(7)Stokes’s law
Eq. of Noyes-Whitney
拡散法則（ノイエスホイットニーの式）
ex.
dC/dt = SD(Cs-C)/Vδ
- 90 -
=14=
Now let us consider the great important number e
６）
１）
考えてみましょう。
大変重要な数値 e
x
and the function e , with the accepted wisdom or
２）
４）
と関数 ex を
広く受け入れられていて権威のある
knowledge in our early studies.
５）
知識を使って
３）
小学校以来学んで
Kindly remember the important number e. This value
３）
ください。２）思い出して
１）
重要な数値 e を
この e は
e is an irrational number and is called Napier’s
無理数であり
名前はネイピア定数です。
- 91 -
constant. As we know the definition of e is as
follows; ご存じのように e の定義は次式です。
n
1) e = lim (1+1/n)
n→∞
The reading of this equation is
この式の読み方は
‘limit as n goes to infinite
of one plus one over n in parentheses
to the power of n
tends to e’ です。
- 92 -
Let n be 2 then e is 2.25.
ｎを２とすると e は 2.25 です。
Let n be 2.5 then e is 2.3191…
ｎを 2.5 とすると e は 2.3191 です。
Let n be 543.21 then e is 2.71578…
ｎを 543.21 とすると e は 2.71578 です。
As n increases the value of e increases to 2.71828…
ｎが増加するにつれて e の値は 2.71828…に近づきます。
We can accept that
次の式を受け入れられます。
（理解できます）
- 93 -
x
2) e = lim (1+1/n)
nx
n→∞
x
This is the definition of function e where x is a
関数 ex の定義で
これは
式中の x は
certain constant number. Let us rewrite nx as N.
ある具体的な数値です。
nx を N と置き換えましょう。
Then n=N/x and 1/n=x/N. We can get another
すると n=N/x で 1/n=x/N です。 別の定義式になります。
definition.
x
3) e = lim (1+x/N)
N
N→∞
- 94 -
‘limit as large N goes to infinite
of one plus x over large N in parentheses
to the power of large N
tends to e to the power of x’
N
N
N-r
r
4) (1+x/N) =∑r=0 NCr 1 (x/N)
N
r
=∑r=0 N!/((N-r)!r!) 1 (x/N)
2
3
r
N
=1+x+x /2!+x /3!+… +x /r!…+x /N!
‘one plus x over large N in parentheses
to large N equals
- 95 -
summation of combination of r objects
out of large N
times
x over large N in parentheses
to r where r runs from one to N.
As N goes to infinite, r goes to infinite. Then we can
N が無限大になると
ｒもなります。
get the result that
結果として次式を得ます。
x
2
3
4
5) e =1+x+x /2!+x /3!+x /4!+…
- 96 -
なので
This is an infinite series. This series should answer
これは無限級数です。
この級数で次式が成立せねばなりません。
0
6) e =1
where 0 is not the number of times a certain number
１）
式中の０は
３）
回数ではありません。
e is to be multiplied by itself. Let x be 0 then
２）
e に e を（e 同士を）掛けた
0
2
ｘを０とすると
3
e =1+0+0 /2!+0 /3!+…=1
です。
This series should answer
この級数によれば次式とならねばなりません。
- 97 -
1
7) e =2.71828…
Let x be 1 then
ｘを１にすると
1
2
3
e =1+1+1 /2!+1 /3!+…=2.5+0.166+0.0416+0.006…
=2.7136+… です。
As we know
ご存じの次式は
n
n-1
8) d/dx(x )=n x
Then we can recognize that
- 98 -
以下のことで納得できます。
2
2
n
n 0
2
9) (a+b) =a +2ab+b ,
(n-1) 1
(a+b) =a b +na b +…
n
n 0
(n-1) 1
(a+0) =a 0 +na 0 +…
n
n
(n-1)
(n-1)
lim {(a+b) -(a+0) }/b =na +…=na
b→0
lead us
これで次式となります。
10)
x
2
3
4
(e )’=(1+x+x /2!+x /3!+x /4!+…)’
- 99 -
2
= 0+1+x+x /2!+x3/3!+…=e
x
x
11) d/dx(e )=e
Remember the definition
x
次の定義を思い出してください。
12)
ix
e =cos x + i sin x.
And we can accept that
これにより次式が理解できます。
13)
ix
ix
d/dx(e )=i e
=i cos x + ii sin x=i (cos x + i sin x)
The strange definition above keeps the integrity with
- 100 -
上記(12)式の定義は妙でしたがこれで次式との整合性が保てます。
14) d sin x/ dx=cos x
The definitions lead us
上記の(２つの)定義により次式となります。
ix
-ix
(e -e )/(2i)=sin x,
ix
-ix
(e +e )/2=cos x.
15)
16)
ix
-ix
ix
-ix
d/dx(e -e )/(2i)={ie -(-i)e }/(2i)
ix
-ix
=(ie +ie )/(2i)
ix
-ix
=(e +e )/2
This is the same as
- 101 -
このことは次式と同じことです。
17) d sin x/dx = cos x
The definitions lead us
上記の定義により次式を得ます。
18)
ix
-ix 2
2
ix
-ix 2
(e -e ) /(2i) =-(e -e ) /4=sin x,
ix
-ix 2 2
ix
-ix 2
2
(e +e ) /2 =(e +e ) /4=cos x.
2ix
-2ix
2ix
-2ix
-(e +e -2)/4+(e +e
This is the same as
これは次の式と同じことです。
2
2
2
sin x + cos x = 1
- 102 -
+2)/4=1
=15=
x
Definition of e is as follows ;
ex の定義は次式です。
n
x
lim (1+x/n) → e .
n→∞
2
2
The distributive law : (a+b) = a + 2ab + b
2
分配法則
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 で
Let a be 1, b be p, and n=2, then
a を１ｂをｐそしてｎを２とすると
n
2
(1+p) = 1 + 2・1・p + p
- 103 -
2
となり
n=3, then 順次
n
3
2
2
3
(1+p) = 1 + 3・1 ・p + 3・1・p + p
・・・. となります。
In the binomial expansion
２項分布展開は
n
n
n-r
r
n
r
(1+p) =∑r=0 nCr 1 ・p =∑r=0 p n!/((n-r)!r!)
2
n
= 1+np+n(n-1)p /2!+・・・+p , です。
putting p = x/n, we obtain
ｐ＝ｘ/ｎを入れると次式になります。
x
2
3
4
e = 1 + x + x /2! + x /3! + x /4! + ‥
- 104 -
n
+ x /n! +‥.
This is an infinite series.
これは無限級数です。
[n factorial] n! =1×2×・・・×n
ｎの階乗 n! は
1×2×・・・×n です。
for n a positive integer, and 0! is defined to be 1.
式中のｎは正の整数で
0! は 1 と定義されています。
This definitions make it possible to rewrite 1 = 1/0!,
１）
５）
これにより
と書き換えられます。
∞ n
x
x = x/1! and e =∑n=0 x /n!
３）
x = x/1! で
４） x
e =∑n=0∞xn/n!
- 105 -
２）
1 = 1/0!
As we know
次の式は知るところです。
n
n-1
d/dx (x ) = n x
n ; positive integer
2
1’ = 0, x’ = 1, (x /2!)’= x,
3
2
2
(x /3!)’= 3x /3! = x /2!, ・・・
n
n-1
n-1
(x /n!)’= n x /n! = x /n-1!, ・・・.
The infinite series and the equation above lead us
前記の無限級数と上記の式から次式を得ます。
x
x
d/dx (e ) = e .
x
The function e or value of e are reasonably
- 106 -
関数 ex つまり e の値は都合よく
x
designed or defied. That is a reason why e does not
定義で取り決めてあります。１）これが
４）
理由です。２）ex は
change by the differentiation operation.
３）
微分しても変わらない
- 107 -
=16=
Logarithmic Functions
対数関数
x
Since y = a is a monotone function, for a≠1, each
３）
なので
２）
y=ax は単調(一価の)関数
１）
a≠1 であれば
value of y is obtained from a single x.
５）
In case of
ひとつのｙの値が得られます。４）ひとつのｘに対して
a=1, not a single x but every x corresponds to y=1.
a=1 であればひとつのｘではなくすべてのｘに対して y=1 です。
2
5
7
For example 1 =1 =1 =1, then y is not a monotone
例えば
12=15=17=1 なので
ｙは単調関数ではありません。
- 108 -
x
function. Therefore the inverse function of y = a
１）
なので
３）
逆関数が
２）
y=ax の
exists, and this is called the logarithmic function.
４）
存在して
５）
これを対数関数と言います。
y = loga x , where x > 0
We reject x = 0. In case x = 0, y → -∞.
ｘ=0 を除きます。ｘが０だとｙはマイナス無限大です。
Let us have another example.
別の例を見てみましょう。
A function y = sin x,
ｙ=sin x と言う関数では
- 109 -
-1
The inverse function x = sin y where π≧x > 0.
その
逆関数は
x = sin-1 y
ただしπ≧x > 0 です。
Without the limitation π≧x > 0, sin x is not a
２）
がなければ
１）
３）
制限π≧x > 0
sin x は５）なくなります。
monotone function.
４）
単調関数では
This notation is called the logarithm of x to the base
この記号は底を a とするｘの対数と読みます。
a. It is very convenience for us to regard that
４）
便利です。
３）
- 110 -
と考えると
definition of logarithmic function is as follows:
１）
a
２）
対数の定義は
log a x
次式である。
=x.
In this definition, let a be e and x be 2 then
この定義で a を e にｘを２とすると
e
ln2
= 2, where ln 2 ≒0.693
4
As we know, 16 = 2 or x = a
log a x
16 = 24 で x = a log a x です。
です。
. Let a be 2, and x
a を２にｘを
be 16, then log a x = 4. The number 4 is called the
16 にすると log a x = 4 です。
この数値４が
- 111 -
4
power. In the expression 2 , the number 2 is called
式 24 中の
指数です。
数値２は
the base. An alternative, yet equivalent, way of
２）
底です。
取り替えて（もとと同じで）
writing this expression is
３）
書くと
１）
この式を
log2 16 = 4 . ４）です。
This is stated as ‘log to the base 2 of 16 equals 4’.
これの読み方は 底を２とする 16 の対数は４に等しい です。
We see that the logarithm is the same as the power
５）
と理解できます。１）対数は
４）
- 112 -
同じだ
３）
指数と
in the original expression. It is the base in the
２）
２）
もとの式の
底が
original expression that becomes the base of the
１）
もとの式の
４）
底になる。
logarithm. For example
３）
対数の
例えば
a =2, x =√2, then, log2 √2 = 0.5
+
pH = - log10 [H ] ,
pKa = - log10Ka
+
p stands for operator - log10, and [H ], Ka
[H+], Ka は
ｐは演算子- log10 を示します。
- 113 -
should be dimension less.
無次元でなければならない。
Index or power must be dimension less. Definition of
指数（冪乗）は無次元でなければならない。１）pH の定義は
+
pH must be pH = - log10{[H ]/1} where the unit of
２）
pH = - log10{[H+]/1}でなければならぬ。３）式中の
+
[H ] and 1 is [mol/L].
４）
[H+] と 1 の
z
６）
[mol/L]です。
z
d/dz (e ) = e ,
- 114 -
５）
単位は
putting z = ln x ≡ loge x
ln x
ln x
d(e ) /d ln x = e
then
ln x
d(e ) /d x = d(x) /dx = 1
ln x
= (e )×d ln x/ dx = dx/ dx = 1
= x×d ln x/ dx = 1
∴ d /dx (ln x) = 1/x
d /dx (loge x)=1/x
e
e
∫1 (1/x)dx=[ loge x ]1 =logee-loge1 =1-0 =1.
- 115 -
Integration 1/x with respect to x from 1 to e should
３）
定積分は
１）
1/x の
be 1 as a result.
４）
１にしなければ
２)
x について１から e までの
５）
ならない
The number e, Napier’s constant,
１）
e の数値（ネイピア定数）は
could be estimated by a definite integral. The graph
３）
求めることもできる。
２）
２）
定積分で
グラフは
of dy/dx against x is the graph of dy/dx = 1/x. It
１）
dy/dx 対ｘの
５）
です。４）グラフ
３）
follows that
If y = ln x,
then
dy/dx = 1/x .
- 116 -
dy/dx 対 1/x の
It also may be shown that
If y = ln ax, then dy/dx = 1/x .
∵dy/dx = dy/d(ax)・d(ax)/dx =a・1/(ax) = 1/x .
- 117 -
=17=
3
The amount of reactant x, in mol/dm , found in a
２）
４）
始原系の量ｘ（mol/dm3）が
であれば
chemical reaction starting with a [mol/L], at t =0,
１）
３）
ある化学反応で
開始時に a mol/L(at t=0, x=a)で
x =a, of reactant is given by
５）
その量は次式で書けます。
x = a (1–e
- kt
),
where t is the time, let the unit be in minutes, to form
１）
式中の t は
４）
所要時間で単位を分としよう。
- 118 -
３）
できる
product x, and k stands for kinetic constant, in
２）
生成系がｘ
５）
ｋは速度定数で単位は分の逆数です。
-1
minute . Kindly remember that ‘power kt’ must be
５）
ください。４）思い出して
１）
指数 kt は
３）
だと
-1
dimension less. The unit of kt is miutes ×minutes=1.
２）
無次元
kt の単位は 1/分×分＝１です。
We can make sure that the unit in this case is
４）
と確認できる。
２）
その単位は
１）
この例での
dimension less. Calculate the time t, when x = a/2.
３）
無次元である
ｘが半分になる所要時間を求めよ。
This time is called ‘half life time’ of the reaction and
- 119 -
１）
この所要時間を
４）
と言い
３）
半減期
２）
その反応の
sometimes this value is marked t1/2.
５）
その値を t1/2 と記すことが多い。
Transposing 1/2= 1 – e
–kt
gives
1/2= 1 – e –kt を移行して次式を得ます。
e
– kt
= 0.5 .
Taking Natural logarithms, ln = loge, of both sides
gives
両辺の自然対数を取って次式を得ます。
- kt = ln 0.5 = - ln2 .
- 120 -
Therefore,
従って
t1/2 = ln2/k ≒ 0.693/k ,
at t = 1/k, x = a ( 1- 1/e ) ≒ a×2/3. です。
The value 1/k is called ‘time constant’ or life time.
1/k の値を時定数と言います。
As time t increase, the final value of x is a. At t
時間が経つにつれてｘの値は a になります。ｔが時定数で
=‘time constant’ x is about 63.2% of the final value,
ｘの値は最終値の約 63.2%です。
- 121 -
about 2/3 of the final value. At t = t1/2, x is just half
最終値の約 2/3 です。
１）
ｔが半減期の時
２）
ｘは
４）
半分です。
of the final value, just 50% of the final value. We can
１）
最終値の
５）
最終値のちょうど 50％です。
see that ‘half life time t1/2’ is less than ‘time constant
１）
半減期 t1/2 は
３）
小さく
２）
時定数 1/k より
1/k’ and is about 69.3% of the ‘time constant’.
４）
半減期は時定数の約 69.3%です。
- 122 -
=18=
Among several measurements, we find out the law
１）
３）
いくつか測定を得ると
法則をさがします。
behind them. Statistical analysis make it clear to
２）
測定値のうらにある
１）
統計解析で
３）
確かになります。
recognize the phenomena. It is thought that
２）
４）
現象の把握が
とされています。
scientists are under the obligation never to forget
１）
科学者には
３）
義務がある２）総計解析問題を忘れてならぬ
statistical analysis issues.
- 123 -
=19=
Statistical Analysis of Experimental Data
実験値の統計解析
When a set of readings for an instrument is taken,
４）
場合
２）
１セットの測定が
１）
ある装置で
３）
できた
experimental data are obtained, the individual
５）
７）
（実験値が得られた場合）
ひとつひとつは
readings, will vary somewhat from each other, and
６）
実験値の
８）
お互いに少し異なります。
the experimenter is usually concerned with the mean
１）
測定した人はたいがい
３）
- 124 -
平均値に気を取られます。
of all the readings. If each reading is denoted by xi
２）
全測定値の
それぞれの測定の読みを xi と書いて
and there are n readings, the arithmetic mean, or the
ｎ個の測定値があるとすると
算術平均
average of readings is given by
（測定値平均）は
次式です。
n
xm =(1/n)∑i=1 xi .
The deviation di for each reading is defined by
それぞれの読みの偏差は次式で定義されます。
di = xi – xm .
- 125 -
We may note that the average or mean of the
５）
３）
留意しましょう。
平均は
deviation of all the readings is zero since
２）
偏差の
１）
全測定値の
４）
ゼロであることに
n
di average = (1/n)∑i=1 di
n
= (1/n)∑i=1 (xi –xm) = xm –(n xm)/n= 0 .
The average of the absolute value of the deviation is
３）
平均は
２）
絶対値の
given by
４）
次のようになります。
- 126 -
１）
偏差の
n
|di average |= (1/n)∑i=1 |
n
= (1/n)∑i=1 | xi – xm |
di |
≧ 0.
Let us note that this quantity is not necessarily zero.
２）
留意しましょう。１）この量は必ずしもゼロではないことに
Instead of this quantity we shall be interested in the
１）
この量の代わりとして
３）
興味を持ちましょう。
determination of the standard deviation or variance.
２）
標準偏差または分散を求めることに
The standard deviation is defined by
標準偏差の定義は次式です。
- 127 -
n
2 1/2
σ= {(1/(n-1))∑i=1 (xi – xm) }
2
and the square of the standard deviation σ is called
１）
３）
標準偏差を２乗した値を
言います。
the variance. Root mean square, rms, of deviation is
２）
分散と
２）
平方平均根 rms の定義は
１）
偏差の
defined by
３）
次式です。
n
2 1/2
rms = {(1/n)∑i=1 (xi – xm) }
.
As n increase, there will be no difference between
１）
ｎが増大するにつれて
３）
差は少なくなります。
- 128 -
rms and standard deviation. There are other kinds of
２）
３）
rms と標準偏差の
あります。１）何種類かの
mean values. For example, the geometric mean is
２）
平均値が
例えば
幾何平均の
defined by
定義は
n
1/n
1/n
xg = {Πi=1 xi } = {x1・x2・‥・xn} . です。
For example, geometric mean of (2,8) is 4, and,
例えば
２と８の幾何平均は４で
arithmetic mean of the same data is 5.
同じものの算術平均は５です。
- 129 -
2, 4, 8 is a
２４８は
geometric (equal ratio) progression. 2, 5, 8 is an
幾何（等比）数列です。
２５８は
arithmetic (equal difference) progression. Our
算術（等差）数列です。
sensitivity (psychology) is rooted in a geometric
ヒトの感覚（心理学）は
幾何数列に根ざしています。
progression. The value of pH is also a geometric
pH の値も
幾何数列です。
progression. The magnitude scale of earthquake is
地震のマグニチュードスケールも
also a geometric progression.
- 130 -
The value of dB,
幾何数列です。
２）
デシベルの値も
decibel, for noise pollution is also a geometric
１）
騒音問題で出てくる
３）
幾何数列です。
progression. Where ‘d’ stands for 1/10. Examples are
dB のｄは 10 分の１を示します。
例として
3
dL and dm . ‘c’ stands for 1/100 as cm=0.01m.
dL dm3 があります。ｃは 100 分の１です。
The weighted mean is another example, which is
重みつき平均は別の例です。
defined as follows
定義は次式です。
- 131 -
これの
n
n
2
∑i=1 xi×yi, ∑i=1 yi = 1,
Let y1 be -0.6, the weighted mean for (2,8) is
y1 を-0.6 とすると２と８の重みつき平均は 5.2 です。
2×-0.6+8×0.8=5.2, and for (5,5) is
5×-0.6+5×0.8=1.0 . １です。
5 と５では
The arithmetic means of (2,8) and (5,5) are 5.0. The
２）
算術平均は
１）
２と８も ５と５も
３）
５です。
geometric mean of (2,8) and (5,5) are 4.0 and 5.0. In
これの幾何平均は４と５です。
these cases, the difference of the weighted means is
- 132 -
この例では２つの平均の差は重みつき平均が
the greatest and the difference of the arithmetic mans
最大で
算術平均での差が
is the smallest. To detect the difference between the
最小です。
５）
検出するには
４）
差を
two or more averages, in this case, the weighted
３）
２つかそれ以上の平均間の
６）
この例では
７）
重みつき
mean is most sensitive in the three
８）
平均が最も感度がよいです。１）この３つの
average-definitions. The Principal Component
２）
平均の定義のなかでは
１）
- 133 -
主成分
Analysis (PCA) method can give us the most
２）
５）
分析法では
最もよいです。
sensitive detection, with eigenvector. This method is
４）
検出感度が
３）
固有ベクトルを使って
１）
この手法は
a kind of applied ‘weighted mean’.
３）
応用のひとつです。２）重みつき平均の
In case yi =1/n, weighted mean is the same as
１）
yi=1/n の場合は
２）
重みつき平均は
４）
同じです。
arithmetic mean, where n stands for the number of
３）
算術平均と
data.
５）
ｎでデータの数を示しています。
A rms of deviations from an average, for the
- 134 -
平均からの偏差の rms は
0.5
data (1,3,3,3,5), is (4/5) , on the other hand,
データが 13335 では(4/5)0.5 です。
一方
standard deviation for the same data is (4/4)
同じデータでの標準偏差は(4/4)0.5 です。
- 135 -
0.5
.
=20=
Probabilities are expressed in numerical values less
１）
確率は
４）
３）
示します。
数値で
than 1 and positive, and a probability of unity
２）
５）
１以下で正の
また確率が１とは
corresponds to certainty. In other words, if the
７）
対応します。
６）
必ずに
１）
言い換えると
probabilities for all possible events are added, the
３）
確率を
２）
すべての可能な事象の
４）
加算すると
result must be unity or 1. If we know the probability
５）
合計は１でなければならない。３）既知であれば
- 136 -
２）
確率が
that separate events will occur, the probability that
１）
５）
個々の事象が起きる
確率は
one of the events will occur is the sum of the
４）
８）
そのうちのひとつが起きる
合計です。
individual probabilities for the events. Suppose a
７）
６）
個々の確率の
既知の事象の
４）
としましょう。
coin is flipped (turned over) a large number of times.
１）
コイン落としを
３）
２）
した
多数回
The frequency of occurrence is the same for both
頻
４）
頻度は
度
３）
出る
５）
どちらも同じです。
heads (obverse) and tails (back, reverse) for a very
- 137 -
２）
表も裏も
number of tosses. The probability that either a head
１）
多数回投げれば
４）
確率は
２）
どちらかが
or a tail will occur is 1/2 + 1/2 or unity. We ignore
１）
表か裏の
３）
出る
５）
1/2 と 1/2 の合計で１です。
the possibility that the coin will stand on edge.
コインが立つことはないとします。
- 138 -
=21=
Let Ψ be a wave function that satisfied a Schrodinger
１）
Ψを
４）
波動関数としましょう。３）満足している
wave equation. We can calculate the probability of
２）
シュレディンガ方程式を
５）
計算できます。３）確率を
finding an electron in a ‘volume element’ or ‘box’,
２）
１）
存在
ある電子のある体積中の
by a definite integral,
４）
定積分で
b d f
∫a ∫c ∫e
2
Ψ dx dy dz = p , where the volume of the
三重定積分＝確率
この体積は
- 139 -
‘box’ is (f-e)×(d-c)×(b-a).
In case, a = c = e = -∞,
３）
(f-e)(d-c)(b-a)です。
の場合は１）a = c = e = -∞
b = d = f = ∞, p must be 1 or unity, because the
２）
b = d = f =∞
４）
確率は１でなければならぬ。１）理由は
electron exists certainly in the universe. Ψ should be
２）
その電子は４）必ず存在するから。３）宇宙のどこかに
normalized.
Ψは規格化されてなければならぬ。
A molecule CH4 is stable, and the shape is regular
分子 CH4 は安定で
形状は
tetrahedron. Why CH3 is unstable or active, why the
- 140 -
正四面体型です。 何故 CH3 は不安定で反応性に富み
何故
standard shape of CH4 is not planer, the location or
CH4 の形状は平面型でなないのか。
４）
位置
position of electrons is important to answer the
５）
(場所)は
３）
６）
電子の
大切です。２）答えるのに
questions above. Quantum theory cannot answer the
１）
３）
この何故に
量子化学では答えられない
exact position of an electron. But no one can ask
２）
正確な位置を
１）
ある電子の
５）
誰も質問できない。
experimentally, ‘what is the exact position of an
４）
実験で確認した上で
３）
どこかと
- 141 -
２）
正確な位置は
electron?’. No experimental data make sure that the
１）
５）
ある電子の
実験データはない。４）確かめられる
answer which someone answered is exact or not.
２）
答えが
１）
３）
誰かが答えた
正しいとどうかを
Quantum theory (Ψ) can answer the probability of
１）
５）
量子化学Ψは
答えらえる。
４）
確率を
existence in a certain volume, and is able to display
３）
存在する
２）
８）
ある体積中に
表示できる。
the answer as an “electron distribution cloud”.
６）
その答えを
７）
電子雲グラフとして
Octet theory with the periodic table of the
- 142 -
１）
３）
八隅子説と
周期表で
elements can explain ‘why CH4 is stable’ but this
２）
元素の
５）
説明できる
４）
何故 CH4 は安定かを
６）
がこの
theory cannot explain ‘why NO, nitric oxide, is
７）
説で
９）
説明できない。８）何故一酸化窒素 NO が安定かを
stable’. Quantum theory can explain the stability of
量子化学ではこの説明ができる。
it.
- 143 -
=22=
If several independent events occur at the same
１）
いくつかの独立な事象
３）
が同時に起きると
time such that each event has a probability pi , the
２）
(それぞれの事象の確率は pi )
probability that all events will occur is given as the
５）
確率は
４）
全部の事象が起きる
８）
示せます。
product of the probabilities of the individual events.
７）
積として
６）
個々の事象の確率の
Thus, p =Πpi where the Πsign designates a product.
つまり p =Πpi です。式中のΠ印は積を表します。
- 144 -
This rule could be applied to the problem of
３）
２）
この法則を応用できます。
問題に
determining the probability below.
１）
下記の確率を決める
In a whole city, 25% of the residents contact a
ある市全体で 25%の住人が罹患しています。
disease. The city is large. The number “25%” is
大きな市です。
25％と言う数字は
unknown. Four citizens have had checkups for the
知られていません。１）４人の住人が３）罹患の検査を受けました。
- 145 -
disease in “A Hospital”. What is the probability of
２）
４）
Ａ病院で
確率はいくらか。
two quarters, half, of the four citizens are infected.
２）
１）
ふたりが（半分）
４人のうち
３）
罹患している
Announcement of the incidence by A Hospital is
３）
発表は
２）
罹患率の
more than quarter or not?
２）
４分の１以上か否か。
To be continued =66=
=66=につづく
- 146 -
１）
Ａ病院の出す
=23=
Binomial expansion, distribution, above might lead
２）
2 項展開
１）
分布
=15=で出てきた
３）
を使えば
us to the answer.
４）
答えに至ります。
In the above discussion we have seen that the
１）
７）
これまでの議論で
と分かってきました。
probability is related to the number of ways a certain
２）
確率は
６）
関連している
５）
数に
４）
起こり方の
event may occur. In a sense we are assuming that all
３）
ある事象の
１）
ともいうべき４）仮定してる２）どの事象も
- 147 -
events are equally likely, and hence the probability
３）
５）
同じように起こりうると
７）
なので
確率は
that an event will occur is the number of ways the
６）
ある事象の起きる
15）
です。
９）
数を
event may occur divided by the number of possible
８）
その事象の起こり方の 14）割ったもの 13）数で
10）
可能な
events. We recognize the link between probability
12）
事象の
４）
を理解できる
３）
間の繋がり
１）
確率と
and the mathematics dealing with permutations,
２）
数学の順列
組み合わせとの
combinations. We need to discuss the meaning and
- 148 -
４）
考える必要があります。３）その意味を
use of probability distributions. A particular
２）
活用と
１）
確率分布の
特別な
probability distribution is the binomial distribution.
確率分布は
２項分布です。
This distribution gives the number of successes n out
１）
この分布を使えば
６）
数値が分かります。５）ｎ回成功する
of N possible independent events when each event
４）
２）
N 回の独立試行のうち
それぞれの事象の
has a probability of success p. The probability that n
３）
成功する確率は p で
ｎ回成功する確率は
- 149 -
events will succeed is
次式です。
n
p(n) = N C n×p (1– p)
N–n
,
C n = N!/(N-n)!/n! .
It will be noted that the quantity (1–p) is the
N
４）
１）
特記します。
1-p と言う値は
probability of failure of each independent event.
３）
２）
確率だと
それぞれの独立試行で失敗する
Now suppose that the number of possible
１）
ここで
８）
としましょう。４）数 N は
- 150 -
２）
可能な独立
independent events N is very large and the
３）
５）
試行の
非常に大きく
probability of occurrence of each p is very small.
６）
７）
確率 p は
非常に小さい
The calculation of the probability of n successes out
４）
３）
確率計算は
n 回成功する
of the N possible events using equation above would
２）
N 回中
１）
上述の式を使う
be most difficult and troublesome because of the size
６）
５）
最もやりにくくなります。
of the numbers.
- 151 -
回数の大きさの理由で
The values of ‘m!’ increase rapidly as m increases.
ｍの階乗の値はｍが増加するにつれて急激に大きくなります。
Kindly get the values of ‘30!’ and of ‘40!’ with a
４）
ください。３）求めて
１）
30!と 40!の値を
scientific calculator. The answers are about
２）
電卓で
１）
その答えは
32
３）
約
47
2.653×10 and 8.159×10 respectively. The
４）
2.653×1032 と 8.159×1047 です。
２）
それぞれ
significant figures of a calculator may be about 16.
２）
有効桁数は
１）
３）
電卓の
16
The values above are more than 10 .
- 152 -
約 16 桁です。
（電卓で）求めた値はどちらも 1016 以上です。
The limit of the binomial distribution as N→∞ and
２）
１）
極限は
２項分布の N→∞ と p→0 での
p→0, such that
次式を使って
Np = a = const. ,
is called the Poisson distribution and is given by
ポアソン分布と言われる次式です。
n
po(n) = a e
–a
/n! .
- 153 -
Let Np=a where a is a constant, then
a を定数として p を書き直すと
n
n
n
p =(Np/N) =(a/N) and
上式になり
また
n
n
n
N!/(N-n)!p =N!/(N-n)!(a/N) reaches to a as N
N が増大するにつれて an になります。
2
2
increases. In case N=10, n=2, then 10!/8!×a /10
N が 10 で n が 2 の場合から
2
2
=10×9×a /(10×10)≒a . This case lead us the result.
このことが解ります。
Also (1-p)
N-n
=(1-a/N)
N-n
N
-a
≒(1-a/N) reaches to e .
- 154 -
e-a についても同様です。
We can verify the Poisson distribution.
ポアソン分布を確認できました。
n
p(n) = N!/(N-n)!/n!×p (1– p)
上式の２項分布は
reaches to
下記の式に近似されます。
n
po(n) = a e
–a
/n!
- 155 -
N–n
,
=24=
The Gaussian or normal distribution is written as
正規（ガウシアン）分布は次式です。
2
2
P(x)=(1/(σ√2π)) exp( -( x -μ) /(2σ )) .
In this expression, measurement is designated by x, μ
この式で
ｘは測定値で
μは
is the mean and σ is the standard deviation. This
平均で
σは
標準偏差です。
distribution gives the probability that the
分布式を使えば
４）
確率が求められます。
- 156 -
１）
この
measurement will lie, be in, between x and x+dx.
２）
３）
測定値が
ｘとｘ+ｄｘの間にある
This distribution P(x) does not give the probability
P(x)は
ｘでの確率ではありません。
at x. The probability P(a≦x≦b) can be obtained by
１）
ｘがaとbの間にある確率は
４）
求められます。
integration P(x) with respect to x from a to b. P(x) is
３）
定積分すると
２）
p(x)をｘについてaからbまで
P(x)は
a probability density function. The most probable
１）
確率密度関数です。
確率最大の
reading is μ, the standard distribution is a measure of
- 157 -
２）
値はμで
４）
標準偏差は
尺度です。
the width of the distribution curve. P(x) is
３）
分布曲線の幅の
P(x)は
normalized so that the total area under the curve
規格化されているので
曲線下面積(AUC)は
(AUC) is unity. Thus,
1です。
よって次式が成立します。
∫-∞+∞ P(x) dx = 1.
- 158 -
=25=
It is supposed that there exists a “universe” of data
２）
とされています。
１）
データの宇宙（母集団）がある
made up of an infinite number of individual
３）
それは６）できています。４）無限個の別々の
measurements. A finite number of measurements are
５）
測定値で
１）
有限個の測定値は
considered to be samples drawn in a random fashion
５）
とされています。４）取ってきたもの(標本)
３）
from a hypothetical infinite population.
２）
１）
仮想的な無限大の母集団から
- 159 -
無作為に
The
その母集団についての
Quantities μ and σ, called the population parameters,
３）
２）
数値μとσで
母数と呼ばれている
specify the distribution. The distribution function
５）
明示します。４）分布を
１）
分布関数は
may be normalized by setting the Area Under the
７）
規格化されていて
６）
なるように
４）
面積が
３）
下
Curve equal to unity, representing a total probability
2)
分布曲線
５）
１に
11）
だと示しています。９）合計確率
of one for the whole population. The area under the
10）
が１
８）
２）
全母集団の
曲線化面積も
curve between any two values of (x-μ) gives the
- 160 -
１）
２つの 平均からの差で挟まれた
７）
示します。
fraction of the total population having magnitudes
６）
割合を
５）
合計の個数の
４）
（差）数値が
between these two values. It may be shown that
３）
この２つの値の間である
about two-thirds, actually 68.26%, of all values in an
２）
約３分の２（正確には 68.26%）の測定値（差）は
infinite population fall within the limits μ±σ,
１）
無限母集団中の
４）
の間にある。３）μ-σからμ+σ
while μ±2σ includes about 95% and μ±3σ practically
またμ±2σ の間には約 95%の、μ±3σ では事実上全部
- 161 -
all, 99.74%, of the values. In practice, of course, we
（99.75%）の測定値（差）があります。
１）
もちろん実際は
can never find σ for an infinite population, but the
３）
２）
測れません。
無限母集団のσを
４）
が
standard deviation, SD, of a finite number of
７）
標準偏差（ＳＤ）を
６）
有限個に対する
observations may be taken as an estimate of σ.
５）
測れた
９）
８）
扱えます。
In
σの推定値として
practical work, we deal with finite numbers of
１）
実用上は
４）
あつかいます。２）いくつかの
observations, and we know, not μ and σ, but rather
- 162 -
３）
測定できた値を
７）
承知しています。５）μとσではなく
xm and SD, which are only estimates of μ and σ. An
６）
むしろ xm と SD（μとσの推定値）だと
English chemist, W. S. Gosset, writing under the pen
１）
３）
ひとりの英国化学者 WSG が
ペンネームで
name of Student, studied the problem of making
２）
Student という
10）
研究して
９）
問題を
８）
する
predictions based upon a finite sample drawn from
７）
予測
６）
５）
いくつかの標本から
取り出した
an unknown population and published a solution
４）
12）
未知の母集団から
成果を出版しました。
- 163 -
in 1908. We may accept the theory of Student’s work
11）
1908 年に
２）
１）
受け入れて
Student の研究理論を
and see how it may be used in Sciences. The quantity
５）
見てみます。４）どのように使うのかを３）科学で
１）
値
t, often called Student’s t, is defined by the
２）
t（Student の t と言います）は
４）
定義されます。
expression that
３）
次式で
±t = (xm –μ)√n / SD .
By rearranging the equation above which defines t,
２）
変形して
１）
このｔの定義式を
- 164 -
we obtain the so-called confidence interval of the
７）
得ます。３）いわゆる
５）
信頼区間
mean, or confidence limits :
４）
平均値の
６）
または信頼限界を
μ = xm ± t×SD /√n .
We might use this to estimate the probability that the
10）
これを使って推定します。
９）
確率を
population mean, μ, lies within a certain region
１）
母（集団）平均μが
８）
７）
あることの
ある区間内に
centered at xm, the experimental mean of our
６）
を中心とした
５）
xm [４）実験平均
- 165 -
２）
実際に
measurements. We may see that t values increase as
３）
１）
測定した ]
t の値は
５）
増大します。３）ｎの
n, the number of observations, decrease. This is
２）
測定値の個数
４）
減少につれて
これは
reasonable, since the smaller n becomes, the less
理に適っています。８）からです。１）ｎが小さくなると７）減る
information is available for estimating the population
６）
情報は
５）
使える
４）
推定するために
２）
母集団
parameters. Increases in t exactly compensate for
３）
パラメタを
１）
ｔを大きくして
３）
補います。
the lessening information. The values of t relating
- 166 -
２）
４）
足らずの情報を
ｔの値は
２）
関連していて
to probability levels and for varying degrees of
１）
確率レベルに
３）
自由度により変わる
freedom may be found in t-distribution family
６）
書いてあります。
５）
ｔ分布ファミリ関数に
function. For example, n = 4, degrees of freedom is
例えば
ｎが４（自由度は３）
3, probability level 95%, then t = 3.182. The value of
確率レベルは 95%で
ｔは 3.182 です。
２）
ｔの値
t, for n = 31, probability level 99%, is 2.75. As n
１）
ｎが 31 で確率レベルが 99％の
- 167 -
３）
は 2.75 です。
increasing, the value of t for 95% significance level
ｎが増大するにつれて
95%レベルの
ｔの値は
approaches to 1.96, the value of t approaches 1 for
1.96 に近づきます。
２）
ｔの値は１に近づきます。
about two-thirds, actually 68.26%, significance
１）
約３分の２（正確には 68.26%）の信頼レベルでは
level.
So, if the number of observation is very large, the
なので
測定回数が
非常に大きいときは
68% confidential interval of population mean μ is
- 168 -
母平均の 68%信頼区間は次式です。
xm ± SE, SE = SD /√n ,
SE stands for standard error.
SE は標準誤差です。
The probability of finding μ in the region above is
68.26%.
μが上記の式の区間内にある確率は 68.26%です。
- 169 -
=26=
Let’s consider a “system” in which n “events” exist.
事象がｎ個あるシステムについて考えてみましょう。
We will discuss the entropy for the system. For
そのシステム（系）のエントロピを議論します。
example, coin flipping twice is a system. head-head”
例えばコインの２回投げは一つの系です。
表－表は
is the event-1, “head-tail” is the event-2, “tail-head”
事象１
表-裏は
事象２
裏-表は
is the event-3, “tail-tail” is the event-4, then, in this
事象３
裏-裏は
事象４です。
- 170 -
この
system, n = 4. The probability of an event happening
系ではｎは４です。
ある事象の起こる確率は
lies between 0 and 1, where 0 represents an absolute
０と１の間です。
１）
この０は
４）
２）
示し
絶対
impossibility and 1 represents an absolute certainty.
３）
不可能を
５）
１は
７）
示します。
６）
絶対確かを
Let the probability of event-1 be p1, and also of
４）
としましょう。１）事象１の確率を p1
２）
同様に
event-i be pi, where i = 1,2,3,4. One of these events
３）
事象 i のを pi
５）
ここで i は 1,2,3,4 です。
どの事象も
is an independent event, in which the probability of
- 171 -
１）
独立事象です。
（独立であれば）
３）
確率は
an event happening does not affect the probability of
２）
６）
ある事象が起こる
影響しません。
５）
確率に
another event happening. The addition law of
４）
２）
他の事象が起こる
加算法則を
probability is expressed as follows: the probability of
１）
３）
確率の
２）
次に書きます。
確率は
event-1 or event-2 happening is given by p1+p2.
１）
事象１か事象２が起こる
３）
p1+p2 です。
Similarly, the probability of event -1, or -2 or -3 or -4
１）
同様に
４）
確率は
２）
事象１か事象２か事象３か事象４
- 172 -
happening is given by
３）
５）
が起こる
次式です。
4
∑1 p i = p1 + p2 + p3 + p4 = 1 .
4
Suppose an “honest –no trick-” coin is flipped a
４）
としたら
１）
仕掛けのない（正直な）コインを
３）
投げる
large number of times, head (obverse) will be
２）
５）
多数回
表が
observed about the same number of times as tail
８）
７）
出ます。
ほぼ同じ回数
６）
裏と
(reverse). The frequency of occurrence is the same
頻
度
２）
出現頻度は
- 173 -
３）
同じです。
for head or tail. The addition law is recognized by
１）
１）
表と裏の
４）
加算法則は
理解します。３）で
the word “or”. The multiplication law of probability
２）
１）
ことばの’か’
確率の積の法則は
is recognized by the word “and”. The probability of
４）
理解します。３）で
２）
２）
ことばの’かつ’
確率
(head-head) is given by (1/2)×(1/2). Thus p1=1/4.
１）
表－表の
３）
は 1/2×1/2 です。
つまり p1=1/4 です。
Similarly, p2 = p3 = p4 = 0.25. In the system
同様に p2 = p3 = p4 = 0.25 です。
２）
この系では
discussed above, the value called entropy is
- 174 -
１）
採りあげた
３）
それのエントロピと言う値は
-∑1 p i×log2 p i = 4×(1/4)×log2 4 = 2 . ４）です。
Suppose the coin is not ‘honest’, head observation
５）
としましょう。１）そのコインに仕掛けがあり表の出現
frequency is three times larger than that of tail. Then
２）
頻度は
４）
３倍大きい
３）
裏の
p1=(3/4)(3/4), p2=(3/4)(1/4), p3=(1/4)(3/4),
p4=(1/4)(1/4). です。
In this case the value of entropy H is
この場合エンロピ H の値は
- 175 -
H = -∑1 p i×log2 p i
= (9/16)log2 (16/9)+(3/16)log2 (16/3)
+(3/16)log2(16/3)+(1/16)log216≒1.623 .
4
です。
We can see that entropy of ‘dishonest coin’ is less
４）
と分かります。１）しかけのあるコインのエントロピは
than that of ‘honest coin’.
３）
より小さい２）仕掛けのないコイン
1.623 < 2.00
Restricted systems have smaller value of entropy
１）
制限された系の
５）
小さいです。２）エントロピの値は
- 176 -
than those of unrestricted systems. To restrict is to
４）
よりも
３）
１）
制限されていない系
制限とは
keep the system under the control of freedom of
６）
おくことです。２）系を
５）
制御下に
３）
自由な
movement or action.
４）
動き 活動の
Estimate the entropy for human
４）
見積もれ。３）エントロピを
１）
ヒトの
DNA base sequence. The sequence of DNA consists
２）
DNA塩基配列の
１）
DNAのならびは
- 177 -
３）
です。
9
of 3×10 sets of bases. Suppose the number of G, A,
２）
３）
塩基30億対
仮定
１）
G A T Cの数は
T, C are the same. This assumption gives the
２）
みな同じだと
４）
６）
すると
求められる。
maximum entropy value. We can consider the DNA
５）
３）
最大のエントロピ値が
みなせる
sequence system as a quaternary system of
１）
DNA配列は
２）
４進数表記だと
notation.
The entropy for a figure or a base is 2, then the total
塩基対のエントロピは２です。
- 178 -
なので合計の
9
9
entropy is about 6×10 bits, or 0.75×10 bites. Since,
エントロピは約 6×109 ビットつまり 0.75×109 バイトです。
the numbers of four bases are different from each
４種類の塩基の数は
それぞれ異なるので
other the (frequency) entropy for human DNA is less
ヒトの DNA 頻度エントロピは
than 0.75GB.
0.75 ギガバイト以下です。
- 179 -
=27=
Let us consider ‘Morse code’ which is a ternary
２）
とりあげよう。１）モールス信号を
３）
これは３進数であり
notation and has three types of signals.
４）
３種類のシグナルがあります。
The three signals are ・(dot, short sound),
その３つとは
トン（短い）
- (dash, long sound) and pause.
ツー（長い）
と休止です。
‘ﾄﾑﾗｶｵﾙ’ in Morse code is
トムラカオルはモールス信号で
- 180 -
11211020111012110121110212210 where 1 stands
11211020111012110121110212210 です。
これの１は
for ･, 2 for -, 0 for a space between ﾄ and ﾑ and so
トンで ２はツーで ０はトとムなどの区切りです。
on. The appearance frequency of ‘0’ is 6, of ‘1’ is 16,
２）
３）
0 の出現頻度は６で
１では 16 で
of ‘2’ is 7 in this case. Then the frequency entropy H
４）
is
２では 7 です。１）この例では
２）
頻度エントロピ H は
- 0.2×log2 0.2 - 0.553×log2 0.553
- 0.243×log2 0.243 = 1.438
- 181 -
３）
です。
in this sequence.
１）
The maximum
２）
この並びの
最大
entropy for a ternary notation system is log23=1.585.
３）
エントロピ
１）
４）
３進数系での
は 1.585 です。
The sequence of a ternary system above is restricted
２）
３進数系の並びは
１）
上述の
４）
制限されています。
to denote Japanese language. The entropy is
３）
１）
カナを示すように
そのエントロピは
reduced to 1.438 from 1.585. The number of possible
３）
減少しています。２）1.585 から 1.438 に
２）
可能な数は
location of six ‘signal 0’ is 29×28×27×26×25×24 =
- 182 -
１）
６つの信号０の配置の
３）
３億 4201 万 4400 です。
342014400. To punctuate six characters, the
１）
６つのカナを区切るには
number of locations for six ‘signal 0’ is restricted to
２）
６つの信号０の配置の数は
４）
制限されます。
6×5×4×3×2×1=720. The entropy of six ‘0’ decreases
３）
720 に
２）
６つの０のエントロピは減少します。
in the case above.
１）
例示の場合には
- 183 -
=28=
The value of standard entropy of diamond
ダイアモンドの標準エントロピ S○(diamond)は
○
S (diamond) is smaller than that of graphite
グラファイト S○(graphite)より小さい。
○
S (graphite). The carbon atoms are very restricted
２）
炭素原子はつよく制限されています。
in the crystal structure of diamond. Then the
１）
ダイアモンド結晶構造中の
なので
entropy of diamond is small. Decrease of
ダイアモンドのエントロピは小さい。２）下がると
- 184 -
temperature cause decrease of entropy. Any
１）
温度が
４）
引き起こす
３）
エントロピ減少を
substance has zero entropy at 0 [Kelvin] because
どんな物質でも絶対温度０でエントロピ０です。３）からです。
only one structure exists, atoms are most restricted at
２）
ひとつの構造しかなく 原子は最も制限されている
0K. We can image that at 0K any atom cannot move
１）
0 ケルビンで
４）
想像できます。１）０K でどんな原子でも
at all, cannot vibrate at all, only 1 state is possible.
２）
全く動けず振動できなくて
３）
１つの状態のみ可能だと
The entropy at 0K is proportional to log1=0.
- 185 -
0K でのエントロピは log1=0 に比例しています。
○
Generally speaking, at 25℃ and 1 atm, S (gas) >
一般に 25℃で１気圧では 標準エントロピの値は
○
気体＞
○
S (liquid) > S (solid). For a given substance the
１）
液体＞固体です。
ある具体的な物質で
solid state is the state of lowest entropy or most
固体状態はエントロピが最も低い状態
つまり最も
ordered or restricted, the gaseous state is the state of
秩序のある制限された状態で
気体状態は最も
highest entropy or most random or most free from
エントロピが高く
最も乱雑で自由な状態で
- 186 -
controls, and the liquid state is intermediate between
２）
４）
液体状態は
中間の状態です。
the other two.
３）
固体と気体の
The theme is entropy for a system. Let the
ある系のエントロピをとりあげます。
２）
としましょう。
system be ‘Yamato-kotoba’. Let us have an example
１）
系は
２）
やまとことば
考えてみましょう。
of Yamato-kotoba. Sokono sotono otoko dokono
１）
次のやまとことばを
mono 塞の外の男何処の者.
- 187 -
そこのそとのおとこどこのもの
The system has 5 vowels. The system has 14
この系には母音が５つあります。
この系には子音が
consonants. The frequency of ‘o’ is 14 in this
14 あります。
３）
出現頻度は
２）
お段の
４）
14 です。
example. The total number of vowels in the sentence
１）
この例では
３）
合計回数は２）母音出現の
１）
この文章では
is 14. The appearance probability for ‘o’, p(o)=1.
４）
14 です。
２）
１）
出現確率は
お段の
３）
p(O)=1 です。
And p(a)=p(i)=p(u)=p(e)=0. The vowel entropy of
また p(a)=p(i)=p(u)=p(e)=0 です。
- 188 -
２）
母音頻度エントロピは
this sentence is
１）
この文章での
E=-(1×log21 + 4×0×log20)=0
３）
です。
E= minus open parentheses
1 times log2 of 1 plus 4 times 0 times log2 of 0
close parentheses=0
The maximum vowel entropy is
最大の母音頻度エントロピは
Emax=-5×1/5×log2(1/5)=log25=2.312 です。
minus
- 189 -
5 times 1 over 5 times
log2 of 1 over 5=log2 of 5=2.312
This distribution is uniform. The entropy take the
この場合の頻度分布は一様です。
分布一様で
maximum value. The number of consonants is 13.
エントロピ最大です。
子音の種類は 13 です。
The frequency of ‘s’ is 2 in this example. The
この例文では さ行 の頻度は２です。
frequency of ‘t’ is 2. The frequency of ‘n’ is 4.The
た行の頻度は２です。
な行の頻度は４です。
- 190 -
frequency of ‘k’ is 3. The frequency of ‘d’ is 1.The
か行の頻度は３です。
だ行の頻度は１です。
frequency of ‘m’ is 1. Then p(s)=2/13, p(t)=2/13,
ま行の頻度は１です。
よって p(s)=2/13, p(t)=2/13
p(n)=4/13,p(k)=3/13, p(d)=1/13, p(m)=1/13.
p(n)=4/13,p(k)=3/13,p(d)=1/13,p(m)=1/13,
p(others)=0/13. We can display the consonant
p(その他)=0/13 です。
子音についての出現頻度分布を
frequency distribution. The consonant entropy of this
示せます。
２）
子音出現頻度エントロピは
sentence is
- 191 -
１）
この例文での
6
6
E=-∑1 pi×log2pi=2.4116, ∑1 pi=1.
The maximum consonant entropy is
３）
です。
最大の子音頻度エントロピは
Emax=-14×(1/14)×log2(1/14)=3.8074. です。
We can get no information from vowel in this
５）
ありません。３）得られる４）情報は
２）
母音から
sentence. Since the entropy is 0. We can express
１）
この例文では エントロピ０だからです。４）示せます。
more information with consonant in this sentence,
３）
より多くの情報を
２）
子音で
- 192 -
１）
この例文では
because the ratio 2.4116 over 3.8074 is greater than 0.
３）
からです。
１）
２）
比 2.4116/3.8074 は
０より大きい
In this sentence, vowel is restricted to use only ‘o’.
１）
この例では２）母音は４）制限されています。３）お段だけに
On the other hand, the restriction for consonants
１）
これに対して
３）
制限は
is more small.
４）
より少ないです。
- 193 -
２）
子音についての
=29=
In a discussion for chemical reaction rate, entropy
化学反応を考える上でエントロピ
change takes an important part of explanation. As
変化による説明は大切です。
an example, let us discuss the following scheme for
１）
例として
４）
考えましょう。
３）
次の機構を
a chemical reaction.
２）
ある反応に対する
‡
A + B → AB
: 速度定数 k1
: rate constant k1
- 194 -
‡
AB → A + B : rate constant k-1
‡
AB → products : rate constant k2
where A and B each presents some collection of
１）
機構式中の A と B は
５）
示し
３）
集まり
‡
atoms, or a molecule, and AB stands for an
２）
原子の
４）
つまり分子を
６）
AB‡は
８）
示します。
activated complex, or intermediate. The rates for
７）
２）
活性錯体つまり中間活性体を
each elementary reaction are
１）
それぞれの素反応の
３）
は
- 195 -
反応速度
r1 = k1[A][B]
‡
r-1 = k-1[AB ]
‡
r2 = k2[AB ].
４）
です。
We can write the overall rate for the reaction as
３）
書けます。１）全体としての反応速度を
‡
２）
次式で
d[product] /dt = k2[AB ].
Under the steady state assumption, r1 = r-1,
定常状態近似のもと つまり r1=r-1 では
‡
k1[A][B] = k-1[AB ]
‡
‡
K = [AB ] /[A][B]
- 196 -
‡
[AB ] = (k1/k-1)[A][B].
Thus we get
です。
これにより次式を得ます。
d[product] /dt = k2(k1/k-1)[A][B].
We can recognize k1/k-1 as the equilibrium constant
４）
と見なせます。１）k1/k-1 を
３）
平衡定数
for activated complex. We identify the equilibrium
２）
活性錯体の
７）
書けます。１）この平衡
‡
constant K with a Gibbs free energy through the
２）
定数 K‡を
６）
ギッブス自由エネルギで
- 197 -
５）
により
relationship that
４）
関係式
３）
次の
‡
‡
-RT ln K =ΔG ,
‡
at which ΔG is the change in Gibbs free energy in
８）
式中のΔG‡は
10）
ギブス自由エネルギ変化です。
going from the reactants to the activated complex.
９）
始原系 A+B が活性錯体 AB‡に変わるのに伴う
The free energy change can be written in terms of
１）
自由エネルギ変化は
７）
書けます。
６）
の項で
enthalpy and entropy change between the reactants
５）
４）
エンタルピとエントロピ変化
- 198 -
間の
２）
始原系と
and the activated complex:
３）
活性錯体の
‡
‡
ΔG =ΔH - TΔS
‡
Substitution and rearranging give
代入と整理により
次式を得ます。
d[product] /dt = k2(e
-ΔH‡/RT+ TΔS‡/RT
-ΔH‡/RT
)[A][B]
TΔS‡/R
= k2 e
e
[A][B].
Remember the Arrhenius expression that
３）
思い出してください。２）アレニウスの式を１）次の
k=Ae
–Ea/RT
- 199 -
where Ea is the activated energy in going from
４）
７）
式中の Ea は
６）
活性エネルギで
なる
reactants to activated complexes and can be
５）
始原系が活性錯体に
‡
identified as the activated energyΔE . When
９）
８）
置き換えられる
活性化エネルギΔE‡に
compared to k we obtain
１）
２）
k と比較して
k2 e
-ΔH‡/RT
次式を得る。
ΔS‡/R
e
=Ae
–Ea/RT
Finally we find
結局
次式を得る。
- 200 -
.
ΔS‡/R
A∝ k2 e
‡
ΔS‡/R –Ea/RT
K =e
e
-ΔH‡/RT
–Ea/RT
e
∝e
The entropy of activation, the entropy change in
２）
活性化エントロピ
（４）エントロピ変化
going from reactants to the activated complex, for a
３）
始原系が活性錯体になる変化による）
bimolecular reaction, is always a negative quantity,
１）
２分子反応では
５）
は常にマイナスです。
since two reactants must come together into one
- 201 -
11）
ので。６）２つの始原系が
10）
なる
８）
一つの
structure called activated complex. Two reactants, A
９）
構造に
７）
活性錯体と言う
２つの始原系分子
and B are restricted to form one AB‡, structure.
A と B はひとつの AB‡構造を形成するように制限される。
Going from reactants to intermediate causes
始原系複数分子がひとつの中間活性体になると
decrease of entropy of this system.
この反応系のエントロピの減少を引き起こす。
In the system above, we can accept the idea or the
１）
上述の反応系で
４）
受け入れられる。３）権威ある考えを
- 202 -
received wisdom that
２）
次式の
‡
K = k1/k-1.
The reason is that the reaction mechanism consists
１）
その理由は
２）
４）
この反応機構は
含むからです。
of elementary reactions. But reversible reactions
３）
素反応（だけ）を
１）
しかし
３）
which are not elementary reactions
２）
素反応ではない
n X + m Y → Z ：k
- 203 -
可逆反応
Z → n X + m Y ：k- ４）では
n
m
K = [Z]eq /[X]eq [Y]eq ≠ k/k- . ５）です。
The author wishes to emphasize that K is not equal
平衡定数 K は k/k-と同じでないことを強調します。
to k/k-. The received wisdom that the rate from
７）
というまことしやかな説は
２）
速度 r+は
left hand side to right hand side r+ is the same as the
１）
６）
左から右への
同じだ
rate from right hand side to left hand side r- “at
４）
速度 r-と
３）
右から左への
- 204 -
equilibrium state,” is not necessarily true. What
５）
８）
平衡状態では
必ずしも正しくない。
has been said is not true. Concentrations of X, Y, Z
言われていることは正しくない。（上記の）X,Y,Z の濃度は
vary in time. [X](t), [Y](t) and [Z](t) are function of
の
時間とともに変わる。
[X](t), [Y](t)と[Z](t)は時間の関数です。
time. ‘eq’ denotes ‘at equilibrium’ or t is large
eq で平衡状態を示します。
つまりｔが充分に
enough. Since contents of this reaction system or
大きいことを。５）ので
２）
組成１）この反応系の
３）
つまり
([X], [Y], [Z]) are fluctuating as time increase, the
- 205 -
４）
([X], [Y], [Z])は時間が経つと変動しています
total Gibbs free energy G of this reaction system
７）
６）
合計の自由エネルギ G は
この反応系の
varies in contents. At equilibrium state the value of
８）
組成とともに変わります。１）平衡状態で
３）
値は
G is the minimum, and the change in Gibbs free
２）
Gの
４）
最小で
７）
変化
５）
ギブス自由
energyΔG/Δcontent is zero. These considerations
６）
エネルギ
８）
ΔG/Δcontent はゼロです。１）こう考えて
make it possible to understand the equation that
４）
できます。
３）
理解
- 206 -
２）
次の式を
†
-RT ln K =ΔG .
†
whereΔG is the difference between the total Gibbs
１）
式中のΔG†は
７）
です。
６）
との差
５）
合計自由エネルギ
free energy of one mole Z and that of n mole X and
２）
３）
１モルのＺの自由エネルギと
ｎモルのＸと
m mole Y. Considering the relationship that
４）
ｍモルのＹの
†
３）
考えると
†
２）
†
関係式を
ΔG /RT =ΔH /RT -ΔS /R,
we can recognize that
５）
理解できます。４）以下のことを
- 207 -
１）
次の
†
in case ΔH < 0, K decrease, ７）発熱ではＫ減少
†
in case ΔH > 0, K increase, ８）吸熱ではＫ増大
as temperature T increase. ６）温度Ｔ上昇とともに
平
平
- 208 -
=30=
The thermodynamic function entropy S may be
１）
熱力学関数エントロピ S は
explained the meaning, as a measure of the
５）
４）
と説明されて
尺度
randomness, disorder, or restriction of a system, and
３）
乱雑さ無秩序または制限の
２）
その系の
may be regarded as a probability function. An
６）
確率関数である。
unrestricted condition is more probable than a
１）
制限されない状態は
３）
よりも起こりやすい。
- 209 -
restricted one. Every spontaneous change is
２）
２）
制限されたもの
どんな自発的変化も
accompanied by an increase in entropy for closed
４）
３）
伴う
エントロピの増大を
system.
１）
閉じた系では
An example of a spontaneous change is the mixing
３）
２）
自発的変化の例です。
混合は
of two ideal gases. This change represents an
１）
２種理想気体の
１）
この変化では
- 210 -
４）
します。
increase in entropy. The final state is more
３）
２）
減少
エントロピは
１）
変化後の状態は３）より
unrestricted and more probable than the initial state.
４）
２）
制限がなく起こりやすいです。
変化前よりも
The possible ways number of particles locations in
３）
２）
可能な数は
粒子の並び方の
final state is greater than that of initial state. Suppose
１）
変化後の
５）
より大きいです。４）変化前の状態
“container or vessel A” has five seats, and “container
12）
しているとしましょう。
１）
箱Ａには５席あり
B” has five seats. Volume of “vessel A” equals that
- 211 -
２）
３）
箱Ｂには５席あり
箱Ａの体積はＢと等しく
of B. Initial state: these two vessels are separated by
４）
５）
変化前は
２つの箱は
７）
区切られていて
a stopcock, and five red particles, molecule R, are
６）
８）
栓で
５つの赤玉（分子Ｒ）は
seated in “A”, and five white particles, molecule W,
９）
10）
箱Ａに着席し
５つの白玉（分子Ｗ）は
are seated in “B”. The number of ways of seating for
R の着席の仕方の数は
11）箱Ｂに着席
“R” is 5! =
5
Π1
n = 120. Final state: the stopcock is
５の階乗で 120 です。
変化後は
- 212 -
栓が
opened and two types of particles spontaneously mix.
開いて
２種類の粒子は自発的に混合します。
The number of ways of seating for “R” is 10C5×5! .
この
Ｒの着席の仕方の数は 10C5×5! です。
Let the number of ways for initial state be W1, for
３）
１）
としましょう。
変化前の数をＷ1
final state be W2. The values of entropy S1 and S2 are
２）
変化後を W2
２）
S1 = (R/NA) ln W1 ,
値は
１）
エントロピ S1 と S2 の
S2 = (R/NA) ln W2
３）
where R stands for Gas constant, NA stands for
式中の Ｒは気体定数で
NA は
- 213 -
です。
Avogadro’s number.
The entropy change ΔS is
アボガドロ数です。
エントロピ変化Δは
ΔS = S2 – S1 = (R/NA) ln (W2 /W1) .
です。
The ratio W2 /W1 is greater than 1. We can see that
３）
比 W2/W1 は１より大きいです。
と分かります。
the entropy change for mixing is positive or that the
１）
混合のエントロピ変化は正でつまり
entropy increases in this case. Let us consider
２）
この例ではエントロピは増大すると
２）
考えてみましょう。
23
another situation. 6×10 particles are in vessel A and
１）
別の具体例で
２）
6×1023 個の粒子が箱Ａにあり
- 214 -
no particle exists in vessel B at the initial state. At
３）
１）
箱Ｂには粒子ありません。
最初
23
the final state, 6×10 particles occupy both vessels.
最後には 6×1023 個の粒子は両方の箱を占拠しています。
The volume increases, and the pressure decreases.
このとき体積は増加して圧力は減少します。
Temperature is same at both states. Let the volume
温度は最初も最後も同じです。６）しましょう。
２）
体積を V
be V the pressure be P at initial state, 2V and P/2 at
３）
圧力をＰ
１）
最初の
５）
２ＶとＰ/２と
final state. T denotes temperature. The gas law says
- 215 -
４）
最後は
PV =1RT. One particle is able to select 2 ways, “in A”
ひとつの粒子はＡ中かＢ中かの２つを選択できます。
or “in B”. The system of one mole gas has 2
NA
ways
１モルの気体の系では 2NA 通りの選択があります。
NA
of selection. In this case, W2/W1 = 2 . Then the
この例では W2/W1 = 2NA です。
なので
entropy change ΔS is
エントロピ変化ΔS は 次式です。
NA
ΔS = S2 – S1 = (R/NA) ln 2 = R ln 2 .
This result can be got with the energy calculation,
- 216 -
これと同じ結果がエネルギ計算で得られます。
P = RT/V,δQ = ∫P dV, ΔS = (1/T) ∫P dV
2V
(RT/T) ∫v (1/V) dV = R ln(2V/V) = R ln 2 .
2
3
P dV : [N/m ]×[m ] = [N m] = [J]
R : [J/K/mol]
Entropy S has the same unit or dimension with that
エントロピＳの単位（次元）は
of gas constant R.
気体定数Ｒと同じです。
Definition of entropy H discussed above is
- 217 -
上記のエントロピＨの定義は
4
H = -∑1 p i×log2 p i ,
Substitution of
３）
代入して
次式です。
4
∑1 p i = 1.
１）
下式を
p1 = p2 =・・・= pn = 1/n ,
into H gives
２）
Ｈに
４）
次式を得ます。
H = log2 n∝S = (R/NA) ln W , W = n
We can see that the H definition is not essentially
５）
と理解できます。１）Ｈの定義は
- 218 -
４）
ない
３）
本質的に
different from that of S.
４）
異なら
２）
Ｓの定義と
S = (R/NA) ln W
ΔS =δQ / T,
at T = 0, S = 0
To be continued =70 =
- 219 -
=31=
The concentrations, in a chemical reaction, vary in
２）
化合物の濃度は
１）
ある化学反応での
４）
変化します。
time. They are the functions of time. Relations
３）
時間とともに これらの濃度は時間の関数です。２）関係は
between them are described by differential
１）
４）
関数同士の
記述します。
３）
微分方程式で
equations. On the other hand, at equilibrium state
１）
２）
一方
平衡状態では
they are regarded as constants. A set of constant
３）
関数は５）扱いできます。４）定数
- 220 -
１）
一組の定数
concentrations is unknown. Let the concentrations
２）
５）
濃度は未知です。
しましょう。３）濃度を
in an aqueous solution at equilibrium be
２）
１）
水溶液中
平衡時の
unknowns, we can describe the state with
４）
未知数と
３）
記述できます。１）この状態を
simultaneous algebraic equations.
２）
連立代数方程式で
In place of a review for arithmetic, find a mistake in
３）
代えて２）復習に
the determining of
１）
算数の
７）
3 ) 609
.
- 221 -
してください。６）探しを
５）
間違い
４）
609÷3 の
3 into 6 goes 2 exactly. Place 2 above the 6 of 609.
3 は６にきっちり２回入る。
この２を 609 の 6 の上に書く。
2×3 = 6.
Place the 6 below the 6 of 609.
この６を 609 の 6 の下に書く。
6 – 6 = 0.
Bring down the 9 of 609.
609 の９をおろす。
3 into 9 goes 3 exactly. Place 3 above the 9 of 609.
３は９にちょうど３回入る。
この３を 609 の 9 の上に書く。
- 222 -
3×3 = 9.
Place 9 below the 9. ９の下に９を書く。
9 - 9 =0. あまりなし。
We, mistakenly, get 609÷3 = 23, 609 is nearly 6
609÷３は 23 と間違えた。
609 は
ほぼ６
“hundreds”. 6 divided by 3 is 2. The answer we must
百です。
６を３で割ると２です。
１）
答えは
３）
のはずです。
get is about 2”hundreds”. 609÷3 must be greater than
２）
ほぼ２百
１）
609÷３は
４）
はずです。３）以上の
200. “23” is not greater than 200. Kindly pay
- 223 -
２）
２百
23 は 200 より大きくありません。
attention to ‘not’.
「ではない」ことに留意してください。
Calculation techniques or solving by formula are
２）
１）
計算の仕方は
公式で解く
convenient and important. But mistakenly use of the
３）
便利で重要です。
１）
でも
３）
間違って使うと
techniques or formula is fatal error. The meaning of
２）
暗記した公式を
４）
命とりです。
‘fatal’ is causing death. Common sense is more
致命的とは死にいたることです。 （暗記より）常識
- 224 -
important for scientist. Dose of 23mg and dose of
が大切です。
23mg の投与と
200mg, there is a large difference between them.
200mg では
大きな違いがあります。
This mistake may be fatal for a patient. Scientist
この違いは患者にとって致命的かもしません。
１）
科学者は
should reject fatal errors by his or her educated
３）
避けるべきです。
２）
致命的な間違いを教養常識で
guess. Learning formulas by heart, sometime
１）
公式の丸暗記は
４）
こともあります。
causes fatal errors. We accumulate formulas by heart,
- 225 -
３）
引き起こす
２）
致命的な間違いを
２）
公式を覚えています。
such as
１）
次のような
2
2
(a+b)(a-b) = a -b ,
(1/a)-(1/b) = (b-a)/ab.
These might lead us to mistaken belief that,
暗記した公式から間違えて次式を信じるかも知れません。
(1/a) + (1/b) =1 /(a+b).
Educated common sense rejects the fatal error
１）
常識があれば
４）
気が付きます。３）間違いだと
above. Consider the case, a = 2, b = 2, left hand side
２）
この式は
１）
a が２でｂが２の場合を考えて御覧なさい。
- 226 -
of the equation equals 1/2 + 1/2 = 1, but the right
２）
この式の左辺は 1/2 と 1/2 で１です。３）でも
hand side is a quarter (1/4). It is very clear that
４）
１）
右辺は４分の１です。
明らかに
３）
です。
1≠0.25. Dividing into two equal parts makes half.
２）
ひとしくふたつに分けると２分の１です。
1≠0.25
Adding of these two half makes unity. This
この２分の１を２つ合わせると１です。
１）
この
description by language is equal to the expression by
３）
記述は
２）
ことばによる
５）
同じことです。
the left hand side of the equation.
- 227 -
1/2 + 1/2 >1/2,
４）
式の左辺と
1/2+1/2 大なり 1/2
1/4 < 1/2. 2+2 > 2. This description by language is
1/4 小なり 1/2 2+2 大なり 2
この言葉による記述は
equal to the expression by the right hand side of the
式の右辺を同じことです。
equation. Now we can recognize that mathematics is
１）
これで
４）
解ります。
２）
数学は
a language. Our early study, on language, is
３）
言語だと
小学校以来の言語教育は大切です。
important. Scientist should give considerable
１）
３）
科学者は
- 228 -
充分な思考をめぐらして
thought to his or her operations, and should avoid a
２）
自分の行うことに
５）
やめるべきです。
blind getting of knowledge by heart.
４）
知識の丸暗記を
- 229 -
=32=
Solution of quadratic equations by formula
２次方程式の根の公式
Let the general form of a quadratic equation be given
４）
ましょう。
１）
２次方程式の一般形を
３）
書き
2
by ax +bx+c =0, where a,b and c are given onstants,
２）
ax2+bx+c =0 で
５）
式中の a,b,c は具体的な定数で
x is an unknown whom we want to know.
６）
ｘは未知数で
７）
これを求めます。
2
Dividing ax +bx+c = 0 by a gives
３）
割ると１）ax2+bx+c = 0 を
２）
aで
- 230 -
５）
なります。
2
x + (b/a)x + (c/a) = 0 .
４） 2
x + (b/a)x + (c/a) = 0 に
Rearranging gives
書き直すと次式です。
2
x + (b/a)x = - (c/a) .
Adding to each side of the equation the square of
４）
３）
両辺に加えて
平方を
half the coefficient of the term in x to make the
２）
係数の半分の
１）
ｘの項の
７）
すると
LHS, left hand side, a perfect square gives
５）
左辺を
６）
完全平方に
- 231 -
８）
次式です。
2
2
2
x + (b/a)x + (b/2a) = (b/2a) - (c/a) .
Rearranging gives
書き直すと
次式です。
2
2
2
(x + b/2a) = (b – 4ac)/( 4a ) .
Taking the square root of both sides gives
２）
１）
平方根を取って
両辺の
３）
次式を得ます。
2
x + (b/2a) = ±√(b + 4ac )/2a .
Therefore we get,
つまり次式を得ます。
2
x = - (b/2a)±√(b + 4 ac)/2a .
- 232 -
The quadratic formula is
２次式の公式は
2
x = { -b ±√(b -4ac )}/2a .
です。
- 233 -
=33=
Let us consider the problem in which pH value is
５）
考えましょう。４）問題を
３）
である
１）
pH の値が
one of unknowns.
２）
未知数のひとつ
Solve the simultaneous equations and evaluate the
１）
３）
次の連立方程式を解いて
+
concentration value of [H ].
２）
+
求めなさい。
-
-
[H ], [OH ] and [Cl ]
[H+], [OH-] と [Cl-]は
水素イオン濃度の値を
are unknown constants, are not functions of time. We
未知数であって
時間の関数ではありません。
- 234 -
consider an equilibrium state.
平衡状態を考えます。
+
-
[H ][OH ] = 10
-
-14
・ ・・(1)
-8
[Cl ] = 10 ・・・・・・(2)
+
[H ] = [OH ] + [Cl ]・・・(3) .
-8
Calculate the concentrations of species in a 10 M
４）
３）
濃度を計算しなさい。
化学種の
１）
10-8 M の
solution of HCl. This strong acid is completely
２）
塩酸中の
この強酸は完全電離しています。
ionized, i.e., [HCl] = 0. There are three species
- 235 -
つまり[HCl] = 0 です。
３種類の化学種が
+
-
which will be present in aqueous solution. H , OH ,
H+, OH-
溶液中に存在します。
-
and Cl are ions. Thus we need three equations in
と Cl-はイオンです。１）なので
５）
要ります
４）
式が３つ
order to determine the concentrations of three-ions.
３）
求めるには
２）
３つのイオン濃度を
The ion product of water, Kw constant of water, is
１）
水のイオン積（定数 Kw）は
+
-
used to express the relation between [H ] and [OH ]:
３）
示します。
２）
[H+] と [OH-]の間柄を
- 236 -
eq.(1). Secondly, it is always required that there be
１）
式(1)
次に
５）
常に必要です。
an equal number of positive and negative charges in
４）
等しいことが
３）
正の電荷の数を負の電荷の数が
any solution. If this were not the case, some
２）
どんな溶液でも
もしそうでなければ
strange phenomena we can observe. We may write
妙な現象が起こります。
４）
と言います。
the third equation as an equation of electron
１）
３つ目の式を
３）
式
neutrality condition: Since HCl is completely
- 237 -
２）
電気的中性条件の
３）
１）
なので
塩酸は完全
ionized, and we obtain the second equation which is
２）
４）
電離
２つ目の式を得ます。
５）
これは
named a mass balance equation on chloride.
７）
６）
物質収支式です。
塩素についての
Substituting (2) into (3), we obtain
２式を３式に代入して
+
-
次式を得ます。
-8
[H ] = [OH ] + 10 .
-8
If we neglect [OH ] as compared with [Cl ] = 10 ,
１）
もし４）無視小とすると２）[OH-]を
then we obtain
- 238 -
３）
[Cl-] = 10-8 と比べて
次式を得ます。
+
-8
[H ] ≒10 .
That is, we would have added HCl to neutral water
これは
HCl を
中性の pH7 の水に 加えて
of pH 7 and made it alkaline (pH 8)! Our educated
アルカリ（pH8）にすることです。
１）
常識は
common sense reject the incorrect answer pH=8. We
３）
はじきます。
２）
pH8 という間違った答えを
must give considerable thought to the problem of
２）
１）
よく考えねばなりません。
pH の問題を
pH. A correct solution in this situation would be
- 239 -
２）
正しい解答は
１）
この問題の
developed as follows.
３）
次のように扱えます。
+
-
-14
Dividing [H ][OH ]=10
３）
割って１）[H+][OH-]=10-14 を
-
-14
+
by [H ] gives
２）
[H+]で
４）
次式を得ます。
+
[OH ] = 10 /[H ] .
By substitution, we get
代入により
+
次式を得ます。
-14
+
-8
[H ] = 10 /[H ] + 10 .
Rearranging gives a quadratic equation.
整理すると
２次方程式になります。
- 240 -
2
-14
-8
x = 10 + 10 x , ・・・(4)
+
x stands for [H ] .
ｘは水素イオン濃度を示します。
Using the quadratic formula, we get the value of x or
２次式の公式を使って
+
-7
[H ] ≒ 10 ,
次の値を得ます。
pH ≒ 7 .
-7
Assuming that the solution is alkaline (x<10 ), RHS
もし溶液はアルカリだとしたら(x<10-7)
-14
-14
of eq.(4) is greater than 10 , LHS is less than 10 .
４式の右辺は 10-14 以上で
左辺は 10-14 以下です。
- 241 -
-9
As an example let x be 10 , then we get
１）
例示として
-18
-14
10 ≠10
３）
２）
ｘを 10-9 とすると
４）
となります。
-17
+ 10 , right hand side is more than
10-18≠10-14 + 10-17
５）
右辺は
８）
以上大きいです。
10000 times greater than left hand side. Both sides of
７）
６）
１万倍
１）
左辺よりも
４式の両辺は
eq.(4), in this case, is not equal. The above
２）
この例では
３）
等しくない。
１）
前述の
-
assumption that [OH ] is negligible as compared with
５）
仮定は
２）
[OH-]は
４）
無視できると言う
-
３）
[Cl-]に比べて
[Cl ] does not satisfy eq.(3). The assumption is
- 242 -
６）
３式を満足しない。
この仮定は
wrong, the solution is not alkaline. Our giving
間違いです。溶液はアルカリではありません。
１）
ちょっと
considerations, makes it possible to get the correct
２）
考えれば
５）
求められます。
value of pH.
４）
pH の値が
- 243 -
３）
正しい
=34=
Let us consider the titration of a V1 L sample of C1
３）
中和滴定を考えましょう。
１）
濃度C1体積V1の塩酸を
mol/L HCl with a C2 mol/L NaOH solution. V1 L
２）
濃度C2の水酸化ナトリウム溶液で中和する
sample of strong acid HCl is in the titration flask.
１）
体積V1の強酸である塩酸は中和滴定用のフラスコ中です。
After the addition of V L of C2 mole/L NaOH from
２）
濃度C2の水酸化ナトリウムを体積V滴下すると
the burette, the total volume of the solution in the
１）
ビュレットから
４）
溶液合計体積は
- 244 -
３）
フラスコ中の
flask is (V1+V) L. We can regard 4 concentrations of
５）
V1+Vです。
４）
みなします。
２）
４化学種の濃度を
species, which will be present in aqueous solution, as
１）
水溶液中に存在する
+
-
+
4 unknowns. The unknowns are [H ], [OH ], [Na ],
３）
４つの未知数と
１）
４未知数は [H+] [OH-] [Na+] [Cl-] です。
-
[Cl ]. We consider an equilibrium state. The
１）
平衡状態としてあつかいます。
relationships between these 4 unknowns are
２）
からみあい
１）
この４つの未知数同士の
３）
は
described with 4 algebraic equations. The
- 245 -
５）
書いてあります。４）４つの代数式で
equilibrium equation is
１）
２）
平衡の式は
+
１式です。
-
Kw=[H ][OH ] …(1).
The mass balance equations are
１）
物質収支式は
２）
２式と３式です。
+
[Na ]=C2V/(V1+V) …(2)
[Cl ]=C1V1/(V1+V) …(3)
The equation of electron neutrality condition is
１）
２）
電気的中性の式は
- 246 -
４式です。
+
+
-
-
[H ]+[Na ]=[OH ]+[Cl ] …(4).
We call these 4 equations the simultaneous equation.
１）
この４つの式は連立方程式です。
Now let us solve the simultaneous equations to make
３）
解いてみましょう。１）この連立方程式を
２）
[H+]について
+
[H ] the subject. There are many ways of solving.
２）
いくつもあります。１）解き方は
One method is shown below.
１）
以下に解き方のひとつを示します。
+
Dividing both sides of eq.(1) by [H ] gives
３）
割ると
１）
１式の両辺を
２）
- 247 -
[H+]で
４）
５式になります。
-
+
[OH ]=Kw/[H ]…(5).
Substituting eq.(5),(2) and (3) into eq.(4), we get
３）
１）
代入すると
5, 2,3式を
２）
４式に
４）
６式です
2
x +{(C1V1-C2V)/(V1+V)}x - Kw=0…(6)
+
where x stands for [H ]. At equivalence point
５）
１）
式中のｘは[H+]です。
当量（中和）点では
C1V1=C2V. Let V be C1V1/C2 then eq.(6) becomes
C1V1=C2Vです。
１）
VをC1V1/C2とする と
2
6式はx2-Kw=0となる。
x - Kw=0
(1/2)
We can verify that x=Kw
satisfies the equation
- 248 -
４）
確かめた。３）ことを１）x=10-7は
３）
答えである
２）
上記の式の
above. The value of pH at equivalence point for
３）
２）
pHの値は
当量点での
strong acid titration is
１）
強酸中和滴定の
４）
25度では７である。
pH=7 at 25℃
Around the equivalence point the titration curve rises
２）
当量点付近で
１）
この滴定曲線は３）急激に上昇する。
sharply. The sharp increase in the pH corresponds to
１）
このpHの急激な増加は
５）
対応している。
the sharp increase in dx/dV at V=C1V1/C2. Eq.(6) is
- 249 -
４）
急激な増加に
３）
dx/dVの
２）
１）
V=C1V1/C2での
６式は
a quadratic equation respect to x. Using the quadratic
３）
２次方程式です。
２）
１）
x についての
公式を使って
formula, we get x=f(V),
２）
次式を得る
2
1/2
x=(1/2){-β+(β - 4Kw) }
whereβ=(C1V1-C2V)/(V1+V).
３）
式中のβは
である。
To get dx/dV is troublesome. Let us have numerical
１）
dx/dVを求めるのは難儀です。
２）
数値解を求めましょう。
calculations with K81.xls. Setting the condition
- 250 -
１）
１）
K81を使って
計算条件を
C1=C2=0.1, V1=100, gives
２）
C1=C2=0.1, V1=100にすると
３）
次のようになります。
pH=7.00 at V=100,
pH=4.30 at V=99.9, ΔpH/ΔV=27
pH=3.60 at V=99.5, ΔpH/ΔV=1.75
pH=3.30 at V=99.0, ΔpH/ΔV=0.6
We can recognize the sharp increase in the pH
４）
理解できました。
３）
急激に増加することを
around the equivalence point.
- 251 -
１）
pHの値が
２）
当量点付近で
Let us consider the titration of a V1 L sample of C1
３）
１）
中和滴定を考えましょう。
濃度C1体積V1のAHを
M AH with a C2 M NaOH solution. V1 L sample of
２）
濃度C2の水酸化ナトリウム溶液で中和する
１）
体積V1の
weak acid AH is in the titration flask. After the
弱酸であるAHは中和滴定用のフラスコ中です。２）濃度C2の
addition of V L of C2 mole/L from the burette, the
水酸化ナトリウムを体積V滴下すると
１）
ビュレットから
total volume of the solution in the flask is (V1+V) L.
- 252 -
４）
３）
溶液合計体積は
フラスコ中の
５）
V1+Vです。
We can regard 5 concentrations of species, which
４）
みなします。
２）
５化学種の濃度を
will be present in aqueous solution, as 5 unknowns.
１）
３）
水溶液中に存在する
+
-
+
５つの未知数と
-
The unknowns are [H ], [OH ], [Na ], [A ], [AH].
１）
５未知数は [H+] [OH-] [Na+] [A-] [AH] です。
We consider an equilibrium state. The relationships
１）
２）
平衡状態としてあつかいます。
からみあいは
between these 5 unknowns are described with 5
１）
この５つの未知数同士の
４）
- 253 -
書いてあります。
algebraic equations. The equilibrium equations are
３）
１）
５つの代数式で
+
２）
平衡の式は
１,２式です。
-
Kw=[H ][OH ] …(1)
-
+
Ka=[A ][H ]/[AH] …(2).
The mass balance equations are
１）
物質収支式は
２）
３式と４式です。
+
[Na ]=C2V/(V1+V) …(3)
[AH]+[A ]=C1V1/(V1+V) …(4)
The equation of electron neutrality condition is
１）
２）
電気的中性の式は
- 254 -
５式です。
+
+
-
-
[H ]+[Na ]=[OH ]+[A ] …(5).
We call these 5 equations the simultaneous equations.
１）
この５つの式は連立方程式です。
- 255 -
=35=
Now let us solve the simultaneous equations to make
３）
解いてみましょう。１）この連立方程式を
２）
[H+]について
+
[H ] the subject. There are many ways of solving.
２）
いくつもあります。１）解き方は
One method is shown below.
１）
以下に解き方のひとつを示します。
Dividing both sides of eq.(2) by ([H+]/[AH]) gives
３）
１）
割ると
２式の両辺を
-
-
２）
[H+]/[AH]で
+
[A ]=Ka[OH ]/[H ]…(6).
- 256 -
４）
６式を得ます。
+
Dividing eq.(1) by [H ] gives
３）
割ると
１）
１式の両辺を
-
２）
[H+]で
４）
７式になります。
+
[OH ]=Kw/[H ]…(7).
Substituting eq.(7) into eq.(6) gives
３）
代入すると１）７式を２）６式に
-
４）
８式を得ます。
+ 2
[A ]=KaKw/[H ] …(8).
Substituting eq.(3),(7) and (8) into eq.(5), we get
３）
代入すると
１）
２）
3,7,8式を
3
2
５式に
４）
９式です
x +{Ka+C2V/(V1+V)}x
+{(C2V-C1V1)Ka/(V1+V)-Kw}x-KwKa=0…(9)
- 257 -
+
where x stands for [H ].
５）
式中のｘは[H+]です
Let C2 be C1 and let V1 be 2V where V stands for
C2をC1にV1を2Vにしましょう。
ここでのVは
half neutralization point. Then eq.(9) becomes
当量点の半分です。
3
これにより９式は次式となる。
2
x +{Ka+C1/3)}x -{C1Ka/3 –Kw} x –KwKa=0
The initial object is to verify that the pH value at half
２）
確かめることが目的です。１）当量点の半分の点でのpHは
neutralization point is pKa. Let us neglect the first
３）
２）
pKaと等しいことを
- 258 -
無視しましょう。１）第１項
3
term, x , Ka in the second term, Kw in the third term
３）
第２項のKa
第３項のKw と
and fourth term. Then we get
４）
第４項を
これにより次式を得ます。
2
x +C1 x/3≒C1Ka/3.
2
It is popular to think that x<<C1 or x <<C1 x. Finally
ｘはC1より大変小さい
we get
つまり第１項が無視できるとして
次式を得ます。
C1 x/3≒C1Ka/3
That is pH value at half neutralization point is
- 259 -
３）
ということです。
１）
当量点の半分でのpHの値は
approximately equals to pKa. At the point where
２）
[AH]=[A-]の点では
pKaと同じだと近似できる
-
[AH]=[A ], pH=pKa. This is true. But at the point
pH=pKa です。
このことは間違いありません。しかし
-
where [AH]=[A ], V=C1V1/C2 is an approximation.
[AH]=[A-]でV=C1V1/C2だと言うのは近似です。
K81,K81a.xls tell us that the conditions are
K81, K81a によれば
計算条件が
C1=C2=0.1, V1=100, pKa=4, then at V=50, pH=4.003
C1=C2=0.1, V1=100, pKa=4の時は
V=50でpH=4.003であり
- 260 -
and that C1=C2=0.001,V1=100,pKa=4,then at V=50,
（条件が）C1=C2=0.001,V1=100,pKa=4の時はV=50でpH=4.176です。
pH=4.176
- 261 -
=36=
Around the equivalence point the titration curve rises
当量点付近で滴定曲線は急激に上昇します。
sharply. The sharp increase in the pH corresponds to
１）
このpHの急激な増加は
４）
対応しています。
the sharp increase in dx/dV at V=C1V1/C2. Let V be
３）
dx/dVの急激な増加に
２）
V=C1V1/C2での
Vを
C1V1/C2 then eq.(9) becomes
C1V1/C2とすれば
９式は次式になります。
3
2
x +{Ka+1/((1/C1)+(1/C2))}x -Kw x-KwKa=0
- 262 -
Dividing both side by Ka gives
３）
割ると
１）
両辺を
２）
Kaで
４）
次式になります。
3
2
x /Ka+{1+1/(Ka(1/C1+1/C2))}x -(Kw/Ka)x-Kw=0
If AH is a strong acid, AH is completely ionized,
AHを強酸とすれば
AHは完全電離して
then [AH]=0 in eq.(2). This leads us that we can
２式中の[AH]はゼロです。
１）
これにより
３）
みなせます。
regard Ka→∞. In this case the equation above
２）
Kaを無限大であると
becomes
この場合上記の式は
次のようになります。
- 263 -
3
2
0x +{1+0}x -0x-Kw=0
(1/2)
We can verify that x=Kw
satisfies the equation
４）
と確認できる。１）ｘ=10-7は
３）
満足する
２）
上記の式を
above. The value of pH at equivalence point for
当量点でのpHの値は
strong acid titration is
強酸の滴定の場合
pH=7 at 25℃
です。
It is very troublesome to get the analysis solution of
４）
とても煩わしい
３）
- 264 -
解析解を得るのは
pH at equivalence point for weak acid titration. Let
２）
１）
当量点でのpHの値の
弱酸滴定での
us have an assumption that C1=C2=2. Then we can
C1=C2=2と仮定しましょう。
get
この場合
次の式が成立します。
3
2
x +{Ka+1}x -Kw x-KwKa=0
To make sure that the value of pH at equivalence
４）
確かめるために
１）
当量点でのpHの値は
point for weak acid titration is greater than 7, let us
２）
３）
弱酸滴定の場合
- 265 -
７以上であることを
3
neglect the first term, x , third term, Kw x, and Ka in
６）
無視しましょう。５）第１項 第３項と
the second term. Then we get
第２項のKaを
このとき次式を得ます。
2
x ≒KwKa
The value of Ka for weak acid is less than 1. We
弱酸のKaの値は１以下なので
-7
recognize that x<10 or pH>7. We can get the
pHの値は７より大きいと解ります。
３）
得ることができます。
numerical solution by the use of K81,K81a.xls. For
２）
数値解を
１）
K81, K81aを使って
- 266 -
-4
example, in case Ka=10 , pH=9.000. In case
例です。
Ka=10-4で pH=9.000
-4
C1=C2=0.1, Ka=10 , the value is pH=8.349.
C1=C2=0.1, Ka=10-4 で pH=8.349
- 267 -
=37=
Solve the simultaneous equations below.
次の連立方程式を解きなさい。
x+y+z = 4…(1)
2x-3y+4z = 33…(2)
3x-2y-2z = 2…(3).
There are a number of ways of solving these
３）
いろいろあります。
２）
解き方は
１）
この式の
equations above. One method is shown below. The
解き方の一例を次に示します。
- 268 -
initial object is to produce two equations with two
１）
まずすることは
４）
作ることです。
３）
２つの式を
unknowns. For example, multiplying equation (1) by
２）
未知数２つの
１）
２）
例えば
１式を４倍して
4 and then subtracting this new equation from
５）
引くと
３）
これを
４）
２式から
equation (2) will produce an equation with only x
７）
式になります。
６）
ｘとｙだけの
and y involved. Multiplying equation (1) by 4 gives
１式に４を掛けると
4x+4y+4z = 16…(4).
- 269 -
次式になります。
Equation (2) – equation (4) gives
２式から４式を引くと
次式になります。
-2x-7y = 17…(5).
Similarly, multiplying equation (3) by 2 and then
１）
２）
同様に
３式に２をかけて
adding this new equation to equation (2) will
５）
加えると
３）
これを
４）
２式に
produce another equation with only x and y involved.
７）
６）
別の式になります。
ｘとｙだけを含む
Multiplying equation (3) by 2 gives
３式に２をかけて
次式を得ます。
- 270 -
6x-4y-4z = 4…(6).
Equation (2) + equation (6) gives
２式と６式を足すと
次式になります。
8x-7y = 37…(7).
Now we can use the method for solving
１）
これにより
４）
解法を使えます。
simultaneous equations in two unknowns.
３）
連立方程式の
２）
未知数２つの
Equation (7) – equation (5) gives
７式から５式を引くと
次式になります。
- 271 -
10x = 20
from which
この式より
x = 2. です。
Substituting x = 2 into equation (5) gives
５式のｘに２を代入すると
次式を得ます。
-4-7y = 17
from which
この式より
-7y = 17+4 =21 and
- 272 -
y = -3.
です。
Substituting x = 2 and y = -3 into equation (1) gives
１式でｘに２をｙに-3を代入すると
次式です。
2-3+z = 4
from which, z = 5.
この式よりｚは５です。
As a logical inference from these facts, the solution
２）
論理的結論として
１）
例示したことから
of the simultaneous equation is
３）
この連立方程式の
x = 2, y = -3 and z = 5.
５）
- 273 -
です。
４）
答えは
=38=
If we have three unknowns then we need three
１）
４）
未知数が３つあれば
３つ必要です。
algebraic equations to solve the values. These
３）
代数方程式が
２）
値を解くには
この３つの
equations are called simultaneous algebraic
方程式を
連立代数方程式と言います。
equations. The meaning of the word ‘simultaneous’
simultaneousと言う単語の意味は
is ‘at the same time’. Simultaneous interpreter is
同時に です。
Simultaneous interpreter は
- 274 -
同時
同時通訳です。
通訳
in Japanese. Simultaneous equations is
連立方程式
Simultaneous equations は連立方程式です。
in Japanese.
We can get the solution using a matrix and the
２）
解が得られます。
１）
行列とその逆行列を使えば
inverse matrix.
We showed one way of solving these equations.
上記は解法のひとつです。
The simultaneous equations
次の連立方程式は
- 275 -
2 x + 4 y =18,
x + y =5,
where x and y are unknowns,
（式中のｘとｙは未知数ですが、
）
is the same as the matrix-matrix calculation.
次の行列と行列の計算と同じです。
24
11
x
18
=
y
5 .
（緑色は数式の英語での読み方です）
The two by two matrix 2,4,1,1 times
- 276 -
the two by one matrix x,y equals
the two by one matrix 18,5.
2 4 0.5 -2
10
=
1 1 0.5 -1
01
The two by two matrix 2,4,1,1 times
the two by two matrix minus
0.5, 2, 0.5, minus 1 is
the two by two matrix 1,0,0,1.
We call this matrix identity matrix,
- 277 -
この行列を単位行列と言います。
where all the diagonal elements are 1.
この行列ではすべての対角要素は１です。
-
AA = E
Matrix A times the inverse matrix A minus =E.
We call E identity matrix.
Ｅを単位行列と言います。
Then we can recognize that
これまでの説明で次式を理解できます。
- 278 -
0.5 -2 2 4 x
10 x
x
=
=
0.5 -1 1 1 y
01 y
y
the two by two matrix
minus 0.5, 2, 0.5, minus 1 times
the two by two matrix 2,4,1,1 times
the two by one matrix x,y equals
1x+0y=x
0 x + 1 y = y.
- 279 -
0.5 -2
0.5 -1
18
1
=
5
4
The two by two matrix
minus 0.5, 2, 0.5, minus 1 times
the two by one matrix 18,5 equals
-0.5×18 + 2×5 = 1,
-0.5×18 – 1×5 = 4.
We can verify that x=1 and y=4 satisfy the
- 280 -
１）
ｘ＝１とｙ＝４は
４）
確認できる。３）満足していることを
simultaneous equations
２）
次の連立方程式を
2 x + 4 y =18
and x + y =5.
- 281 -
=39=
To know the dissociation constant of a week acid, we
弱酸の解離定数を知るには
need the ionization degree of the weak acid. We
その弱酸の電離度が必要です。
cannot measure this degree directly. We make
電離度は直接測定できません。
indirect measurements of electric resistances for
いろいろな電解質の水溶液の電気抵抗を間接的に測ります。
several aqueous solutions. These measurements
１）
- 282 -
この測定値を使えば
make it possible to estimate the dissociation constant
４）
３）
推定できます。
of the weak acid.
２）
弱酸の
- 283 -
解離定数を
=40=
The measured value of equivalent conductance for
４）
３）
測定値を
当量電導度
aqueous solution of substance A is marked as Λ(A),
２）
水溶液の
１）
物質 A の
６）
印ます。５）Λ(A)と
if A dissociates completely, the valueΛ(A) increases
７）
Ａが完全電離しておれば
８）
Λ(A)の値は
10）
増大します。
to ‘limiting equivalent conductance’ and Λo(A) is
９）
これの印です
Λ０(A)は
+
Suppose A dissociates into α
the symbol of it.
12）
11）
極限当量電導度まで
４）
しましょう。１）A はα+と３）電離すると
- 284 -
-
and β . Λo(A) is regarded as the sum of ‘equivalent
２）
β-に
１）
Λ0(A)は
４）
合計であるとみなされます。
+
-
ionic conductance’ of α and of β
３）
イオン当量電導度の
２）
+
α+と β-の
-
Λo(A) = λo(α ) + λo(β ) ,
λo stands for equivalent ionic conductance.
５）
λo は７）示します。
６）
イオン当量電導度を
Solve the simultaneous equations to
３）
解きなさい。１）次の連立方程式を
- 285 -
make Λo(NH4OH) the subject.
２）
Λo(NH4OH)について
Λ(NH4Cl) =Λo(NH4Cl)
+
-
=λo(NH4 ) +λo(Cl ) = 149.7
Λ(NaOH) =Λo(NaOH)
+
-
(i)
=λo(Na ) +λo(OH ) = 247.8 (ii)
Λ(NaCl) =Λo(NaCl)
+
=λo(Na ) +λo(Cl ) = 126.5 (iii)
+
-
Λo(NH4OH) =λo(NH4 )+λo(OH ) (iv) .
- 286 -
NH3 aq. does not dissociate completely, so we
１）
アンモニア水溶液は完全電離しません。２）なので
cannot measure the value of Λo(NH4OH).
５）
測定できません。４）値を
３）
Λo(NH4OH)の
Equation (i) + equation (ii) – equation (iii) gives
式 i 足す式 ii 引く式 iii により
+
-
次式を得ます。
+
-
+
λo(NH4 )+λo(Cl )+λo(Na )+λo(OH ) -λo(Na )
-λo(Cl )
= 149.7 + 247.8 – 126.5,
from which,
- 287 -
これにより
+
-
λo(NH4 ) +λo(OH ) = 271.0 .
The estimated value of Λo(NH3 aq.) is 271.0 .
２）
１）
推定値は
Λo(NH3 aq.)の
３）
271 です。
To explain the molecular structure, hybrid orbital
２）
１）
説明するのに
分子の構造を
３）
混成軌道の
models are convenient. These hybrid orbital models
４）
考えは
５）
１）
便利です。
- 288 -
混成軌道は
can be described using matrix. A hybrid orbital
３）
記述できます。２）行列を使って
１）
混成軌道は
model is a weighted mean of atomic orbital.
３）
重みつき平均です。２）原子軌道の
- 289 -
=41=
Ohm’s Law
１）
オームの法則は
I=E/R
where I stands for the current (amperes), E stands for
（式中のIは電流を示し
Eは電圧を示し
elective force (volts), and the proportionality
比例定数
constant R stands for resistance (ohms), is good for
３）
Rは抵抗を示します。）
- 290 -
成立します。
metallic conductors. R depends on the dimensions of
２）
金属の導電体で
１）
Rは
依存します。３）大きさに
the conductor. Let L be the length of a conductor
２）
導電体の
Lを導電体の長さ
and let S be the cross-sectional area of it. We can
Sを導電体の断面積
としましょう。
regard the volume of a conductor as L by S. The
導電体の体積はＬ×Ｓと見なせます。
proportionality constantκis called conductivity
比例定数κは導電率です。
-1
-1
(ohm cm ). We can rewrite R as
- 291 -
Rは次のように書き換えられます。
R=(1/κ)L/S.
Series resistance Rs12 for a conductor, (L1,S) and
(L2,S), is
サイズ(L1,S)と(L2.S)の導電体の直列抵抗Rs12は
（直列抵抗の式）
Rs12=(1/κ)(L1+L2)/S
=R1+R2. です。
Parallel resistance for a conductor, (L,S1) and (L,S2),
サイズ(L,S1)と(L.S2)の導電体の直列抵抗Rp12は
is
Rp12=(L/κ)/{(1/S1)+(1/S2)}.
- 292 -
です。
This is the same as
並列抵抗の式です。
1/Rp12=1/R1 + 1/R2.
- 293 -
=42=
The conductivity of solutions is measured with
１）
４）
溶液の導電率は
測定します。
alternative current to avoid electrolysis. The
３）
交流で
２）
電気分解が起きないように
equivalent conductivityΛis defined as
当量電導度の定義は
Λ=1000κ/C
です。
where C has a unit of equivalents per liter.
式中のＣの単位は 当量/Ｌ です。
- 294 -
We can directly get the values ofΛo for strong
強電解質のΛ０の値は直接測定できます。
electrolysis. But it is impossible to get directly the
しかし、弱電解質のΛ０の値は直接得ることはできません。
values ofΛ0 for weak electrolytes. We have made a
２）
モデルがあります。
model to estimateΛ0 for weak electrolytes. The
１）
弱電解質のΛ０の値を推定するための
+
model has the equivalent ionic conductivities λ0
このモデルではイオン当量電導度λ０+とλ０-を考えます。
-
andλ0 . We determined these ionic values
- 295 -
５）
決めます。
１）
これらのイオンでの値を
acceptably by using measured values for strong
４）
３）
合理的に
測定値を使って
acid or strong base or salt.
２）
強酸 強塩基 塩の
Kw is the dissociation constant of water. This
Kwは水の解離定数です。
value can be obtained from the measurements on the
１）
この値は
５）
求めます。
４）
測定値を使って
conductivityΛof pure water. The degree of
３）
電導度Λの
２）
１）
純水の
電離度
- 296 -
dissociationαis the ratioΛ/Λ0 whereΛ0 is the sum
２）
αは
比Λ/Λ０
１）
です。
式中のΛ０は
３）
合計です。
+
of the equivalent ionic conductanceλ0 of H and
２）
H+とOH-のイオン当量電導度λ０の
-
OH . We can consult with some tables where the
３）
２）
利用できます。
表を
values of equivalent ionic conductance are listed. We
１）
イオン電導度が記載されている
2
can regard Kw=(Cα) where C stands for the
Kw=(Cα)2 と見なせます。
１）
Ｃは
４）
示します。
number of moles of liquid water in one liter.
- 297 -
３）
２）
モル数を
水１リットル中の
This fellow, that is I, feels like that ‘approximation’
１）
この野郎
２）
つまり私は
８）
と感じている。３）近似は
is a receiving the solution from the God in advance.
７）
受け取り
４）
答えの
５）
To be continued =67=
=67=につづく
- 298 -
神様からの
６）
先んじての
=43=
A molecular orbital, M.O., is expected to be
１）
分子軌道 MO は
６）
しなければならない。
satisfied Schrodinger equation for a molecule that
５）
満足
４）
シュレディンガー方程式を
３）
分子の
contains more than two atoms. But it is next to
２）
１）
２原子以上を含む
しかし
impossible to solve mathematically. The molecular
３）
至難のわざです。２）数学的に解くのは
１）
分子
orbital encompass the whole molecule. For many
２）
軌道は４）対するものです。３）分子全体に
- 299 -
１）
いろいろな
purposes, however, it is convenient to utilize atomic
２）
５）
ことで
使うと便利です。
orbital, A.O., and hybrid orbital as an
４）
原子軌道 AO と混成軌道を
approximation of molecular orbital. For example,
３）
１）
分子軌道の近似として
例えば
each C atom in ethane, C2H6, may be considered to
３）
２つの炭素原子は
２）
メタン中の
８）
と考えます。
3
use sp hybrid orbital in the formation of σ bonds
４）
sp3 混成軌道を使って
７）
形成している
６）
σ結合を
with the other C atom and the three H atoms. All
- 300 -
５）
もう一つの炭素と３つの水素原子との
bond angles are 109°28’, the tetrahedral angle. The
どの結合角度も 109 度 28 分です。
（正四面体の角度）
ethylene, C2H4, molecule is planar and the σ bonds
１）
エチエン分子は平面型で
３）
σ結合は
around each C atoms are arranged in a triangular
２）
両炭素原子周りの
６）
配置されています。４）平面を三等分
planar manner. The H-C-H bond angles are 118°and
５）
する形で
H-C-H の結合角はどちらも 118 度で
the H-C-C bond angels are 121°these values are
H-C-C-C の結合角はどちらも 121 度で、これらの値は
- 301 -
close to the triangular planar angle of 120°. We can
平面三等分角の 120 度に近い。
account for the geometry of this molecule by
３）
説明できる。１）この分子の立体形状を
２）
次のように
2
assuming that each C atom uses sp hybrid orbital to
１）
３）
両方のＣ原子は
使って
２）
sp2 混成軌道を
form the σ bonding. One of the three 2p orbital of
４）
σ結合を作る。
３）
ひとつは
２）
３つの 2ｐ軌道のうちの
each carbon is not involved in the formation of the
１）
両方の炭素の
６）
使われていない。５）の形成で
2
sp hybrid orbital. These 2p orbital are directed at
- 302 -
４）
１）
sp2 混成軌道
この２つの 2p 軌道は
３）
直交していて
right angles to the plane of the molecule and overlap
２）
４）
分子平面に対して
重なって
to form a π bonding orbital. The electron density of
５）
２）
π結合を形成している。
電子密度は
the π bond is high above and below the plane of the
１）
５）
π結合の
４）
高い
上と下で
３）
分子平面の
molecule. Free rotation about the C-C linkage is
２）
自由回転は
１）
炭素炭素結合軸まわりの
impossible without breaking this π bond. A set of sp
４）
できない。
３）
このπ結合を壊さないと
- 303 -
２）
一対の sp
hybrid orbital, derived from one s orbital and one p
１）
混成軌道
（ｓ軌道ひとつとｐ軌道ひとつからできた）
orbital of the central atom, may be used to describe
３）
を使って
７）
記述できます。
the bonding of linear molecules in which the central
６）
４）
直線型分子の結合を
分子中の中心原子には
atom has two bonding pairs of electrons. Notice the
５）
２対の結合電子がある８）ことに注意してください。
number of hybrid orbital of a given type equals the
２）
混成軌道の数は
１）
あるタイプの
７）
等しい
number of simple atomic orbital used in the
- 304 -
６）
５）
（もとの）原子軌道の数と
使われた
mathematical combination that yields that type.
４）
線形結合式中で
３）
そのタイプの混成軌道を作る
Let one s orbital be Ψs, and one p orbital be Ψp.
２）
しましょう。１）一つの s 軌道をΨs 一つのｐ軌道をΨp と
These two orbital yield two sp hybrid orbital. The
１）
この２つの軌道から３）できます。２）２つの sp 混成軌道が
symbols of these two orbital are Ψsp-1 and Ψsp-2. We
２）
印は
１）
できた２つの軌道の
get the equations below.
次式を得ます。
- 305 -
３）
Ψsp-1 と Ψsp-2 です。
Ψsp-1 = a1×Ψs + b1×Ψp
Ψsp-2 = a2×Ψs + b2×Ψp ,
where a1, a2, b1 and b2 are determined to make the
１）
式中の a1,a2,b1,b2 は
４）
決めます。３）となるように
reasonable shape of electron density cloud. Atomic
２）
説明に都合のより電子雲形状
原子
orbitalΨs and Ψp are normalized and orthogonalized,
軌道Ψs とΨp は規格
直交化しています。
2
2
then definite integration of (Ψs) and (Ψp) respect
１）
なので
５）
定積分は
２）
(Ψs)2 と (Ψp)2 の
- 306 -
to rectangular coordinate system (x,y,z) from
３）
直交座標系についての
(-∞,-∞,-∞) to (∞,∞,∞) must be 1 as a result, and
４）
-∞から+∞の
６）
１にしななければならない。
definite integration of Ψs×Ψp for all space must be 0.
Ψs×Ψp の全空間にわたる定積分は０でなければならない。
Hybrid orbital Ψsp-1 and Ψsp-2 also must be
１）
３）
混成軌道Ψsp-1 と Ψsp-2 も
いなければならない。
normalized and orthogonalized. Thus we can get the
２）
規格直交化して
このことにより
following simultaneous equations.
- 307 -
次の連立方程式を得ます。
2
2
a1 ×1+2a1b1×0+b1 ×1
2
2
a2 ×1+2a2b2×0+b2 ×1
=1
=1
a1a2×1+a1b2×0+b1a2×0+b1b2×1 = 0
The number of equations is three, and the number of
方程式の数は３で
unknowns (a1, a2, b1, b2) is four. To solve the four
未知数の数は４です。
３）
解くために１）４つの
unknowns, additional equation below is adopted.
２）
未知数を
４）
次の追加の式を
- 308 -
５）
加えます。
This equation enables electron distribution clouds
１）
追加式で
５）
３）
できます。
電子雲を
for sp hybrid orbital is plane symmetry.
２）
sp 混成の
４）
面対称形に
a1 = a2
Hence, the solution is
以上より 未知数は以下です。
a1 = 1/√2, b1 = 1/√2, a2 = 1/√2, b2 = -1/√2
- 309 -
=44=
Q : Transpose the simultaneous equations below
３）
書き換えよ。
１）
次の連立方程式を
to make R the subject. The values of pH-s, pH-b and
２）
２）
R について
値は
１）
pH-s,pH-b と pKa の
pKa are known. Estimate the value R.
３）
既知数です。
Ｒの値を推定せよ。
“pH partition hypothesis”
pH 分配説
We have discussed about issues of English, Japanese
５）
のことを考えてきました。
- 310 -
１）
英語 日本語
language systems, word for word translation, free
２）
言語体系
直訳（逐語訳）
translation, and unknown functions, given values,
３）
意訳
未知関数
既知数
probabilities and so on.
４）
確率など
Now let us study the model called pH partition
１）
ここで
４）
モデルを考えましょう。３）と言う
hypothesis. In this model, we discuss the
２）
pH 分配説
１）
このモデルで
４）
考えます。
relationships between values. Relationships between
- 311 -
３）
からみあいを
２）
数値同士の
１）
数値間の関係は
values are algebraic expressions. On the other hand,
２）
１）
代数式で書きます。
これに対して
differential equations describe the relationships
２）
微分方程式で
５）
書きます。
４）
からみあいを
between functions. Concentration of chemical
３）
関数間の
化合物の濃度は
compounds varies in time. Concentration of reactants
１）
時間とともに変わります。
始原系の濃度は
decreases as time passes. Concentration of products
３）
減少します。２）時間が経つと
- 312 -
１）
始原系の濃度は
increases as time passes. The time course of
３）
増加します。２）時間とともに
２）
経時変化は
concentration is a function of time. On the other
１）
３）
濃度の
時間の関数です。
１）
一方
hand, at equilibrium state, we can regard the
２）
平衡状態では
４）
見なせます。
concentrations as constants. We have discussed
３）
２）
濃度を定数と
を見てきました。
several models. We make many models to explain
１）
いくつかモデル
５）
作ります。４）モデルを
３）
説明に
the phenomena, observations, experimental data,
- 313 -
１）
現象
観察値
実験値
readings and so on. Models are different from the
２）
計器の読みなどの
１）
モデルは
３）
一致しません。
reality. Models do not resemble the real system in
２）
形態学的に１）モデルは４）似ていません。２）現実のものと
shape. Some time, mathematical expressions
３）
形は
３）
こともあります。１）数式が
correspond to a model. ‘Simultaneous equations’ is a
２）
モデルに対応する
連立方程式は
model. Now go back to the study of pH partition
モデルです。
pH 分配説の話にもどりましょう。
- 314 -
hypothesis. Suppose we have information about an
２）
情報があるとしましょう。
oral medication and about the patient who takes
１）
飲み薬と
それを飲む患者の方の
medicine, then the model makes it possible for us to
１）
このモデルで
８）
できます。
know the position, to know the body region, where
７）
６）
知ることが
位置（体の部位）を
the oral medication move into blood vessel, into
２）
飲んだ薬が
５）
移動する
blood phase.
- 315 -
３）
血管に
４）
血液循環系に
Let us have an assumption that someone said to a
10）
１）
としましょう。
誰かが
９）
と言った
medical doctor “I have a headache”, “I have a pain in
２）
３）
医者に
５）
頭が痛い
痛みがある
my stomach”, “I do not feel well”, “My ears are
４）
胃に
６）
７）
気分がすぐれない
耳鳴りがする
ringing”, “I cannot sleep at all”. Then the doctor will
８）
１）
眠れない
すると医者は
give her or him an oral medication. Why an oral
４）
処方します。２）その方に
３）
のみ薬を
- 316 -
何故のみ
medication is good for headaches, why an oral
薬が頭痛に効くのか
何故のみ
medication works well for eye diseases, why an oral
薬が眼病に効くのか
何故のみ
medication works well for badly wounded hands, the
薬が手のひどいけがに効くのか
reason of the questions above is that medicine taken
２）
答えは
１）
このような質問の
３）
飲んだ薬は
orally can move into blood phase from digestive
６）
移動できるからです。５）血液循環へ
４）
消火器系から
phase. The system we discuss is a human body. Let
- 317 -
人体と言う系を考えています。
us regard the human body as a mountain with a
５）
みなしましょう。１）人体を
４）
３）
山と
付きの
tunnel. The beginning of the tunnel corresponds to
２）
トンネル
このトンネルの入り口は口です。
mouth. The end of the tunnel corresponds to anus.
出口は肛門です。
Mouth, gullet, stomach, small intestine, anus, we call
１）
口
食堂
胃
小腸を
３）
と言います。
these a digestive track. The partition between
２）
消化管
２）
区切り（堺）を
- 318 -
digestive phase and blood phase, we call it the
１）
４）
消火器系と血液系の
と言います。
membranes.
３）
脂質膜
A : We shall follow the practice of representing
１）
４）
慣例に従って
示します。
+
the concentration of hydronium ion, [H3O ], by the
２）
ヒドロニウムイオン濃度[H3O+]を
+
+
symbol [H ], the ion H3O , consisting of a
３）
[H+]で
５）
H3O+イオンは
７）
できています。
protonated water molecule. The expression for the
- 319 -
６）
２）
プロトン化した水分子
表記は
equilibrium constant Ka, corresponds to the chemical
１）
４）
平衡定数 Ka の
-
に対応しています。
+
equation AH → A + H . By convention, the ions
３）
１）
化学式 AH→A-+H+
取り決めで
２）
イオンは
are written on the right of the chemical equation for
６）
書きます。
５）
４）
右辺に
化学式の
a reversible ionization, and, as a result, the terms for
３）
７）
可逆電離反応の
９）
その結果
項は
the concentrations of ions appear in the numerator
８）
イオン濃度の
13）
あります。
- 320 -
12）
分子に
of the expression for Ka, in equations ③ and ④.
11）
10）
Ka の式の
式③と式④中の
The function pH is defined as a negative logarithm:
１）
関数 pH はと
３）
定義されています。２）対数のマイナスと
+
pH = -log10[H ]. Equations ①, ② and ⑤ could
式①、②、⑤は
be the definition of logarithmic function. It is often
対数関数の定義としてよいでしょう。
３）
便利です。
convenient to define other p-functions analogous to
２）
定義すると
１）
他の p 関数も pH と同様に
pH, for example, pOH, pKa,
- 321 -
pAg.
Since
４）
例えば pOH, pKa, pAg
+
-
[H ][OH ] = Kw
then
であるので
次式で書けます。
pH + pOH = pKw .
Equation ⑥ denotes AH can transport the
１）
式⑥は７）ことを示しています。２）AH は６）移動できる
membrane between digestive phase s and blood
５）
脂質膜を
４）
間の
３）
消火器相 s と血液相 b の
-
phase b, but A cannot.
８）
しかし A-は移動できない。
- 322 -
+
-pH-s
[H ]s = 10
①
+
-pH-b
[H ]b = 10
②
+
Ka = [A ]s[H ]s / [AH]s ③
-
+
Ka = [A ]b[H ]b / [AH]b
-pKa
Ka = 10
⑤
④
[AH]s = [AH]b ⑥
R ={[AH]b+[A ]b}/{[AH]s+[A ]s} ⑦
Rewriting equation ③ gives
式③を書き直して
次式を得ます。
- 323 -
-
+
[A ]s = Ka[AH]s / [H ]s .
Substituting equations ① and ⑤ into the equation
３）
１）
代入して
式①と式⑤を
above gives
４）
次式を得ます。
-
-pKa
[A ]s = 10
-pH-s
[AH]s /10
.
By the third law of indices we get
指数の第３法則により
-
次式を得ます。
-pKa + pH-s
[A ]s = [AH]s 10
Thus,
- 324 -
.
２）
上記の式に
これにより次式を得ます。
-
-pKa + pH-s
[AH]s+[A ]s =[AH]s{1+10
Rewriting equation ④ gives
式④を書き直して
} ⑧ .
次式となります。
-
+
[A ]b = Ka[AH]b / [H ]b .
Substituting equations ② and ⑤ into the equation
３）
１）
代入して
式②と式⑤を
above gives
４）
次の式を得ます。
-
-pKa
[A ]b = 10
-pH-b
[AH]b /10
- 325 -
.
２）
上記の式に
By the third law of indices we get
指数の第３法則により
-
次のように書き換えられます。
-pKa + pH-b
[A ]b = [AH]b 10
.
Thus,
これにより次式を得ます。
-
-pKa+pH-b
[AH]b+[A ]b=[AH]b{1+10
}
⑨ .
Substituting equations ⑧ and ⑨ into equation ⑦
３）
代入して
１）
gives
４）
次の式を得ます。
- 326 -
式⑧と式⑨を
２）
式⑦に
-pKa+pH-b
R = ([AH]b/[AH]s){1+10
}
-pKa + pH-s
/{1+10
}⑩ .
Substituting equation ⑥ into ⑩, we finally get the
３）
代入して
１）
式⑥を
２）
４）
式⑩に
result below.
５）
次の結論を得ます。
R ={1+10
-pKa + pH-b
} /{1+10
- 327 -
-pKa + pH-s
}.
ついに
=45=
-10
Consider the concentration of species in a 10 M
４）
３）
考えましょう。
１）
化学種濃度を
10-10 M の
solution of HCl. This strong acid is completely
２）
この強酸は完全電離しています。
HCl水溶液の
-
-10
+
-
ionized, i.e., [Cl ]=10 . [H ] and [OH ] are
つまり[Cl-]=10-10です。
[H+]と[OH-]は
+
unknowns. Complete ionization of HCl yields H .
未知数です。
HClの完全電離でH+が生じます。
-10
+
The concentration is 10 . Also H2O yields H . Let
これの濃度は10-10です。
同様にH2OもH+を出します。
- 328 -
the concentration be x. The concentration of OH
-
この濃度をｘとしましょう。H2Oが出すOH-の濃度もｘです。
from H2O is x. The ion product of water, Kw
水のイオン積Kwにより
constant of water, tells us that
次式を得ます。
-10
-14
(10 + x )×x = 10 at 25℃.
Using the quadratic formula, we get the value of x.
２次式の公式を使って
-10
ｘの値が求められます。
-20
-14 1/2
x = (1/2){-10 ±(10 +4×1×10 ) }
- 329 -
-7
≒1.0005×10 .
The two unknowns are
です。
（このやり方での）２つの未知数は
+
-10
[H ]=10 + x, i.e. pH≒6.9935 と
[OH ]= x, i.e. pOH≒7.0065. です。
We can verify that the electron neutrality condition,
４）
確認できます。
１）
電気的中性条件
there be an equal number of positive and negative
２）
（どんな溶液でも正の電荷の数と負の電荷の数は等しい）
charges in any solution, is satisfied.
- 330 -
３）
+
-
を満足していることを
-
[H ] = [Cl ] + [OH ], or
-10
-10
10 + x = 10 + x.
Model parameters, whose values have been
１）
モデル中のパラメタは
３）
決めてありますが
determined to fit the data, must make it possible to
２）
５）
データに合うように
explain the phenomena.
４）
現象を説明
- 331 -
できなければなりません。
=46=
Let us try to find the best parameters to fit the
３）
求めてみましょう。２）最もよく一致するパラメタの値を
experimental data. Quadratic functions have more
１）
実験値に
１）
４）
２次関数には
ある。
parameters than that of linear functions. A quadratic
３）
より多いパラメタが
２）
１）
１次関数よりも
３次関数には
function has three parameters and a linear function
２）
３）
３つパラメタがあり
１次関数（直線）には
has two parameters. A straight line can be identified
４）
２つパラメタがある。
１）
直線は
- 332 -
３）
示すことができる。
with the slope and the intercept.
２）
傾きと切片で
It is very important to plot many curves of
８）
大切です。３）プロットして
２）
曲線を
experimental data and to extract all sort of
１）
実験値の
７）
引き出すことは
５）
あらゆる
significant facts from these curves. Scientists
６）
意味のある法則を
４）
その曲線から
１）
科学者には
should have the ability to do so, to understand the
２）
４）
その能力があるべきです。
- 333 -
見つけられるべきです。
law behind the data. Every scientist is requested to
３）
１）
データの裏の法則を
どんな科学者も６）求められています。
understand the physical phenomena involved in a
５）
理解するように
４）
３）
物理的現象を
潜んでいる
certain experiment. Any scientist is able to extract a
２）
１）
具体的な実測値に
科学者なら誰でも
５）
引き出せます。
wide variety of information from graphical displays
４）
３）
いろいろな情報を
グラフ表示して
of observations. We emphasize that the person who
２）
調べたことを
９）
と強調したい
３）
人は
is usually most successful in analyzing data is the
- 334 -
２）
１）
成果を上げる
データ解析で
one who understands the physical processes behind
８）
７）
人です
６）
わかる
現象の機構が
５）
裏にある
the data. Blind curve-plotting and cross-plotting
４）
データの
１）
むやみな
３）
プロットをすると
２）
無駄な
usually generate an excess of displays, which are
５）
できて
４）
過剰のグラフが
７）
混乱のもとです。
confusing to the experimenter. The sociologists and
６）
１）
実験した本人の
社会科学者も
scientists should give considerable thought to the
２）
自然科学者も
５）
するべきです。
- 335 -
４）
充分な考察を
kind of information. Assuming that the scientist
３）
この種の情報に
６）
４）
ならば
科学者が
knows what is to be examined with graphical
５）
解っている
３）
何を確かめるかが
１）
グラフを
presentation, the plots may be carefully prepared and
２）
書いて
７）
プロットは注意深く準備されて
checked against suitable models. Frequently a
９）
検証します。８）しかるべきモデルを
１）
しばしば
correlation of the experimental data is desired,
４）
相関が
３）
データの
５）
待望され
strongly wanted, in the experiment. When the data
- 336 -
６）
(強く求められ)ます。２）その実験の
４）
ならば１）データが
may be approximated by a straight line, the
３）
近似できる
２）
直線で
analytical relation is easy to obtain; but when almost
５）
解析的相関は得やすい。
１）
しかし４）ならば２）ほとんどの
any other functional variation is present, difficulties
３）
それ以外の関数関係がある
６）
困難を
are usually encountered. This fact is easy to
５）
たいがい
７）
１）
伴います。
このことは容易く
understand since a straight line is easily
２）
解ります。９）これが理由です。３）直線は５）容易く
- 337 -
recognizable on graph paper whereas the functional
６）
認識できます。４）グラフで
７）
これに対して関数の
form of a curve is rather doubtful. We feel uncertain
８）
曲線はわかりにくいです。
２）
はっきりしません。
about the functional form. The curve could be a
１）
１）
（関数の）曲線は４）かも知れません。
関数の形状は
polynomial, exponential, or complicated logarithmic
２）
多項式
指数関数
複雑な対数
function and still present roughly the same
３）
関数
５）
だいたい同じです。
appearance to the eye. It is most convenient, then, to
- 338 -
４）
13）
見た目には
最も便利です。６）なので
try to plot the data in such a form that a straight line
12）
11）
プロットをするのが
９）
形式で
直線
will be obtained for certain types of functional
10）
７）
となる
ある具体的な関数
relationships. If the experimenter has a good idea of
８）
１）
関係が
実験者に
５）
あれば
４）
よい考えが
the type of function or model that will represent the
３）
２）
関数かモデルの
データを表す
data, then the type of plot that gives a straight line is
８）
プロットの仕方を
７）
- 339 -
となる
６）
直線と
easily selected. The graphical measurements are
９）
１）
容易く選べます。
グラフの表現（軸の定義）は
made to determine the various constants or
７）
作ります。６）決定するように
３）
各種定数
４）
つまり
parameters of the model. It may be remarked that
５）
パラメタを
２）
７）
モデルの
ことを特記します。
the method of least squares may be applied to all
１）
６）
最小自乗法は
使える
these relations to obtain the best straight line, the
２）
すべての関係式で
５）
得るために
３）
最適直線を
best parameters, to fit the experimental data.
- 340 -
４）
実験値に最もよく一致するパラメタを
To discuss the method of least squares, let us assume
１）
最小自乗法を考えるために
４）
としましょう。
that we have got three sets of data, (0,1), (1,3), (2,8)
３）
得た
２）
３セットの測定値 (0,1) (1,3) (2,8) を
and these values (xi, yi) are believed to be related by
５）
この測定値(xi,yi)は
８）
と見込みます。７）関連づけられる
the law y = a x + b . We would like to get the best
６）
３）
式 y=ax+b で
求めましょう。
parameters (a, b), or the best straight line. Two
１）
最適パラメタ値 a, b
２）
つまり 最適直線を
- 341 -
points determine a straight line. Both (0,1) and (1,3)
点ふたつで直線ひとつが決まります。
(0,1)と(1,3)の両点は
are just on y = 2x + 1, these points give the best
y=2x+1 上にあります。
この２点による最適の
value of a to be 2. (1,3) and (2,8) give a = 5, (0,1)
a の値は２です。
(1,3)と(2,8)では a の値は 5 です。
and (2,8) give a = 3.5 . The best value of a derived
(0,1)と(2,8)では a の値は 3.5 です。１）最適 a 値を
３）
求めると
with these three experimental points is a = 3.5,
２）
３つの実験点で
４）
a=3.5 です。
which is equal to the average (2+5+3.5)/3. The way
- 342 -
この値は前述の３つの値の平均に等しいです。４）方法は
of finding the best a and b with the least square
３）
求める
１）
method is as follows.
xi
yi
01
11
a
b
a
b
５）
Multiplying by
transposed matrix
012
8
111
=
19
12
or
最小自乗法で
以下の如くです。
1
= 3
21
53
33
２）
最適の a と b を
転置行列
gives
5a + 3b = 19
3a + 3b = 12,
- 343 -
which is a concrete example of the simultaneous
１）
６）
これは
３）
具体例です。
連立方程式で
equation below to determine best fit straight line.
２）
次の
５）
n
a∑i=1
n
a∑i=1
４）
決める
2
xi
最適直線を
n
b∑i=1
+
xi + b n
n
xi =∑i=1 xiyi
n
=∑i=1 yi, n=3
Multiplying by inverse matrix gives
逆行列をかけて
10
01
a
b
次式を得ます。
= 0.5
-0.5 19 = 3.5
-0.5 0.83 12
0.5
- 344 -
Finally, we find that the best fit line for this concrete
１）
ついに
４）
求めました。３）最適直線を
２）
この具体例での
example is
５）
それは次式です。
y = 3.5x + 0.5 .
The best a value by the method of least squares is the
２）
１）
最適な a の値は
最小自乗法で求めた
same as the average (2+5+3.5)/3. We can regard the
４）
同じです。
３）
前術の平均と
standard error, SE, of a value is
１）
a の標準誤差は
２）
次式であると
- 345 -
３）
見なせます。
2
2
2
0.5
[{(2-3.5) +(5-3.5) +(3.5-3.5) }/2/3] ≒0.866
Substitution,
３）
代入して
１）
次の値を
SE=0.866, t (0.05, 2) =4.30,
into the student-t definition,
２）
aave=3.5,
ｔの定義式に
μ= aave ± t (0.05, 2)×SE,
gives that the 95% confidence interval of the
６）
得ます。
５）
95%信頼区間を
population mean a for this case is
- 346 -
４）
この例での母集団平均 a の
3.5 ± 3.73
0 lies within the 95% confidential interval, between
１）
0は
５）
入っています。３）95%信頼区間
-0.13 and 7.23, for this case. Then the probability
４）
(-0.13 から 7.23)に
２）
この例での
１）
よって３）確率は
that the obtained straight line is wrong may be
２）
得られた直線が間違っている
greater than 5%.
４）
5%以上です。
t (0.14,2)=2.38, with which we
ｔの値が 2.38 では
find that 0 does not lie within the 86% confidential
- 347 -
0 は 86%信頼区間に入っていません。
interval and that the significant probability may be
この時の有意確率は
less than 14%.
14%以下です。
In this special case, the deviation from the best
この特別な例では最適線からの偏差は
2
Line ∑(Yi – yi) is 1.5 because the Yi and yi values are
∑(Yi–yi)2 で 1.5 です。 Yi と yi の値は以下の如くです。
- 348 -
Yi
a xi
b
0.5 = 3.5×0 + 0.5,
4 = 3.5×1 + 0.5,
yi
1
3
7.5 = 3.5×2 + 0.5,
8
And the deviation from the average of yi is
yi の平均値からの偏差は
2
2
2
(1-4) + (3-4) + (8-4) = 26
26 です。
The best line reduces the deviation 26 to 1.5. Let the
最適直線により偏差を 26 から 1.5 に減りました。
- 349 -
law of the three sets of data be y = 0×x + 4, then the
３対のデータの法則を y=4（平均値）とすると
deviation from the law is 26. (a = 0, b = 4) Let the
これと実測値の偏差は 26 です。
law be y = 3.5x + 0.5, (best parameters a, b) then the
法則を y=3.5ｘ+0.5（最適線）とすると
deviation is only 1.5. The ratio (26-1.5)/26 is called
これとの偏差はたった 1.5 です。(26-1.5)/26 の比の値を
2
2
coefficient of determination (r ). In this case, r ≒
決定係数 r2 と言います。この例では r2 は
0.94. About 94% of the fluctuation from the average
- 350 -
約 0.94 です。平均からのずれの約 94％は
is explained by the best fit line. ‘r’ is named
最適線で説明できました。
ｒを
correlation coefficient. Statistically analysis is
１）
相関係数と言います。
統計解析は
rooted in the basis of random sampling. The
３）
根ざしています。
２）
無作為抽出に
significant probability of the issue discussed above
２）
１）
有意確率の問題は
これまでに述べた
can be verified from the numerical experiment.
４）
確かめられます。
３）
- 351 -
数値実験で
Three sets of random data (xi, yi), pseudorandom
１）
２）
（４）疑似乱数
３対の乱数データ(xi,yi)
numbers made by a computer, gives a best fit straight
３）
パソコンで作った）
５）
で
８）
得られます。
2
６）
最適直線と
2
line and it’s r value. The values of r vary in
７）
１） 2
その r2 の値を
r の値は
３）
変わります。
numerical trials. The frequency of occurrence that
２）
２）
数値実験の度に
出現頻度は
2
r >0.94 was 359, the number of trials was 2324.
１） 2
r >0.94 の
３）
359 回で
４）
試行実験回数は 2324 でした。
The ratio, 359/2324, is about 15%. Then we can
- 352 -
比 359/2324 は約 15%です。
よって
accept the idea that the significant probability of
５）
受け入れられます。４）と言う考えを
２）
有意確率は
the issue is about 15%, that a law, y=ax+b obtained
１）
この問題の
３）
３）
約 15%
２）
法則 y=ax+b
得られた
with three sets of data and the coefficient of
１）
４）
３つのデータで
とその決定係数
2
determination r =0.94 is not reliable. The obtained
５） 2
r =0.94 は信用できない。
１）
得られた
2
value of r is very close to 1, but the result is not
２） 2
r の値は大変１に近いが
- 353 -
３）
結果は
reliable under the evaluation criteria of 5%
５）
信用できない。
significant level. Another numerical trial of 5 sets of
４）
２）
5%有意水準で
別の数値実験で
１）
５対データの
2
data gave that the probability, r >0.94, was about
６）
でした。
４）
確率は
３） 2
５）
r >0.94 となる
約 0.9％
2
0.9%. The result, r >0.94 with 5 data, is reliable
１）
この結果（5 データで r2>0.94）は
under 1% significant level.
２）
１％以下の有意水準で
Q.1: Consider the reduction of
- 354 -
３）
信用できます。
次の式を直線表示する変形を考えなさい。
2
y=ax +b
to linear form.
2
A.1:Plot y vertically against x horizontally to
縦軸にｙ対して横軸に x2 をプロットして
produce a straight line graph of gradient a and y-axis
傾きが a で t 軸切片が b の直線に変える。
2
intercept b. Method of plot is y versus x on linear
y 対 x2 を正方眼にプロットする手法
paper.
A.2: In case of the value of b is known, or we can
- 355 -
ｂの値が既知か推定できる場合は
guess it, plotting (y-b)/x vertically against x
縦軸に(y-b)/x 対横軸に x をプロットすると
horizontally, gives a straight line. The gradient of the
直線になる。これの傾きは a で
line is a, and intercept must be zero. If the intercept
切片はゼロになるはずです。
もし切片が
is not zero, our estimation of b is not good. With
ゼロでなければ
b の推定がよくない。
another suitable value of b, a straight line graph of
１）
３）
別の適切なｂの値を使えば
- 356 -
直線グラフに
2
intercept zero results, the law y = a x + b is verified.
２）
切片がゼロの
４）
なり
５）
式 y=ax2+b を確認できる。
Q.2: Experimental values of x and y are believed to
１）
４）
実測値 x とｙは
見込まれます。
be related by the law
３）
関係づけられると２）次の式で
2
y = a x +b x, y = 0 at x = 0.
By plotting suitable graph, verify this law and
６）
書いて５）しかるべきグラフを
７）
この関係式を確認して
determine the values of a and b.
８）
a と b の値を求めなさい。
- 357 -
A: Dividing both sides by x gives
両辺をｘで割って
次式を得ます。
y/x = a x + b.
It is obvious that y/x is plotted vertically against x
７）
明白でしす。３）プロットして
１）
y/x を縦軸に対してｘ
horizontally to produce a straight line graph of
２）
軸に
６）
なることは
５）
直線グラフに
gradient a, and y/x axis intercept b.
４）
傾きが a で y/x 軸切片が b の
Q.3: Experimental values of x and y are believed to
１）
測定値 x とｙは
- 358 -
３）
見込まれる。
be related by the law
２）
次の式の関係にあると
bx
y=ae .
By plotting suitable graph, verify this law and
５）
書いて４）しかるべきグラフを
６）
この式を確認して
determine the values of a and b.
７）
a と b の値を決めなさい。
A.1: Taking logarithms to the base e of both sides
gives
両辺の底を e とする対数を取ると
- 359 -
次式となります。
bx
ln y =ln(a e )
bx
i.e. ln y = ln a + ln e
i.e. n y = ln a + bx ln e
i.e. ln y = bx + ln a
since ln e = 1
which shows that ln y is plotted vertically against x
７）
示されています。３）プロットして１）ln y を縦軸に対してｘ
horizontally to produce a straight line graph of
２）
を横軸に
６）
なることが
５）
直線に
gradient b and ln y-axis intercept ln a.
４）
傾きが b で ln y 軸切片が ln a の
- 360 -
A.2: Taking logarithms to the base not e but 10 of
底が e ではなく 10 の対数を両辺にほどこすと
both sides gives
次式になります。
bx
log10 y = log10(a e )
bx
i.e. log10 y = log10 a + log10 e
i.e.
i.e.
log10 y = log10 a + bx log10 e
log10 y = b log10 e×x + log10 a
The gradient of the line is not b, but b log10 e
≒0.434 b この直線の傾きは b ではなく 0.434 b です。
- 361 -
The method of plot is log10 y versus x on semi-log
プロットの手法が 片対数用紙に log10 y 対 x では
paper. We do not need to calculate the value log10 y
log10 y の値を計算する必要はありません。
to plot on a semi-log graph paper.
Q.: Experimental values of x and y are believed to be
１）
４）
実験値x,yは
related by the law
３）
関係
２）
次式の
0.5
y-1=ax+bx
- 362 -
.
と見込まれる
By plotting suitable graph, verify this law and
３）
適したグラフを書いて
２）
確かめるのに
１）
この関係式を
determine the values of a and b.
４）
（式中の）aとbの値を決めなさい。
0.5
A.: Dividing both sides by x
３）
gives
割ると１）両辺を２）xの平方根で４）次式になる。
0.5
0.5
(y-1)/x = a x + b.
0.5
0.5
Let Y be (y-1)/x and let X be x , then we get
３）
する１）Yを(y-1)/x0.5
２）
Xをx0.5と
Y=aX+b
- 363 -
４）
と
５）
次式になる。
which shows that Y is plotted vertically against X
６）
つまり９）プロットすると７）Yを縦軸
８）
対してXを横軸に
horizontally to produce a straight line graph of
11）
になる
10）直線グラフに
gradient a and Y-axis intercept b.
９）
傾きが a で Y 切片が b の
- 364 -
=47=
Mathematical expressions are very useful to explain
１）
数学表現は４）使い勝手があります。３）説明に
phenomena. Differential equations make it easy to
２）
１）
現象の
微分方程式で
４）
容易くできます。
model the obtained data. For example, a reaction
３）
モデル化が
２）
１）
得たデータの
例えば
４）
反応
mechanism to explain the observation is a
５）
メカニズムは３）説明する
２）
観測結果を
sequence of elementary reactions or is a set of
７）
並びです。
６）
素反応の
- 365 -
８）
また
９）
ひとセットの
simultaneous differential equations. It is well
10）
連立微分方程式です。１）ご存じのように
known that solving of the simultaneous differential
３）
解くのは
２）
連立微分方程式を
equations is difficult. To avoid the difficulties, we
４）
難しいです。
２）
さけるために
１）
この難しさを
discuss the use of the Laplace transform and
５）
考えます。
３）
ラプラス変換の利用と
“steady state approximation”.
４）
定常状態近似を
- 366 -
=48=
Explanations for K111.xls
K111のことば書き
We can practice numerical computations with this
３）
試せます。
１）
いろいろな数値計算を
spread sheet. A derived function d/dx f(x) of
２）
２）
この表計算で
導関数 df/dxは
function f(x) can be mapped by the operation called
１）
関数f(x)の
４）
写像です。
differentiation process. Also f(x) can be mapped into
３）
微分演算による
１）
同様にf(x)を
- 367 -
３）
写像できます。
integral function. Let y be f(x)=x then dy/dx=1 and
２）
１）
積分関数に
ｙをf(x)=xとすると
２）
導関数は１で
2
∫y dx=(1/2) x . K111.xls is programed to display
３）
積分関数は x2/2です。
１）
K111で
４）
表示できます。
derived function and integral function for f(x), which
３）
導関数と積分関数を
２）
関数f(x)の
can be given by us, by the use of finite different
５）
このf(x)は利用者が決めます。６）差分計算を利用しています。
calculation. The displayed functions are the almost
１）
この表計算で求めた関数は
same as the analysis solutions. Sequence of points
- 368 -
３）
ほとんど同じです。２）解析解と
１）
次の点の並び
(0, 0), (0.1, 0.1), (0.2, 0.2), (0.3, 0.3),…are on y=x.
２）
３）
(0,0) (0.1,0.1) (0.2,0.2) (0.3,0.3)は
y=x上にあります。
Finite different calculation for the points gives (0, 1),
２）
差分計算すると
１）
この点列に対して
４）
得ます。
(0.1, 1), (0.2, 1), (0.3, 1),…. This sequence of points
３）
１）
(0,1) (0.1,1) (0.2,1) (0.3,1)を
得られた点列は
are on y=1.
２）
ｙ=1上にあります。
2
y=x and y=2x are general expressions. K111.xls can
y=x2 や y=2x は一般（抽象）表現です。
- 369 -
１）
K111では
display not general solution but concrete sequence
４）
扱います。２）一般解ではなく
of points.
- 370 -
３）
具体的な数値例の列を
=49=
A set of differential equations is called simultaneous
１）
ひと組の微分方程式を
４）
と言います。
２）
連立
differential equations. Simultaneous differential
３）
微分方程式
１）
連立微分
equations are the same as the model to explain the
２）
方程式は
６）
同じことです。５）モデルと
４）
説明する
phenomena.
３）
現象を
Compartment models are popular for us. In the
コンパートメントモデルは よく知られています。１）この
- 371 -
models two or three functions are exist in the model
２）
モデルでは
３）
２個か３個の関数が
５）
組み込まれています。
equations. Two functions of three functions are
４）
モデル方程式に
１）
三つのうちの二つの関数は
３）
です。
‘input function’ and ‘output function’. The
２）
入力関数と出力関数
simultaneous equations denote the relations between
１）
連立方程式で
４）
記述します。３）関係を
２）
関数間の
them. These equations are material balance equations.
３つの方程式は
物質収支式です。
The quantity of accumulation is the difference
- 372 -
１）
３）
蓄積量は
差です。
between the quantity of inflow and that of outflow.
２）
流入量と流出量の
The models make it possible to estimate the relations
１）
このモデルで
７）
できます。６）推定
５）
関係を
between the way of dosage and the blood drag
２）
concentration.
４）
濃度の
３）
投与方法と
血中薬物
‘dosage’ corresponds to an input
１）
投与は入力
function, and ‘blood drag concentration’ corresponds
２）
関数で
３）
血中薬物濃度は
- 373 -
to an output function.
４）
If we change the way of
２）
出力関数です。
方法を変えると
taking medicine, then the effect of medicine changes.
１）
４）
薬の摂取
３）
効果は
薬の
５）
変わります。
Scientists must know the most suitable dosage
１）
３）
科学者は
解かるべきです。
２）
最適の投薬計画を
schedule. The best schedule depends on who takes
１）
最適の方法は
５）
に依ります。２）誰が４）摂取するか
the medicine. The best schedule depends on what
３）
その薬を
１）
最適な方法は
medicine the patient takes.
- 374 -
４）
に依ります。２）どんな
３）
薬を摂取するかに
Simultaneous differential equations are very useful
１）
３）
連立微分方程式は
大変有効です。
to build models. But as we know to solve the
２）
モデルを作るのに
１）
だがご存じのように
４）
解くのは
simultaneous differential is next to impossible to get
２）
５）
連立微分方程式を
至難の業です。
the analysis solutions.
３）
解析解で
I will show you special functions C1 that indicate
４）
紹介します。
３）
特別な関数C1 を
- 375 -
２）
示す
dose administration. ‘dose administration’ is the
１）
１）
投薬方法を
投薬管理と
same as ‘medication’, and as ‘the way of dose’
４）
同じことです。
２）
投薬と
Oral administration → C3
３）
投与の方法は
経口投与の出力
Drip infusion → C2 点滴投与の出力
Injection into blood vessel → C2
- 376 -
静脈注射の出力
Look at the figures above. Horizontal line (axis)
上記の図で
横（水平）軸は
stands for time. The line denotes when someone
時間です。
２）
この軸で示します。１）いつ服薬したかを
takes medicine. Vertical line (axis) stands for dose.
- 377 -
縦（垂直）軸は 投与量です。
The line denotes how many tablets someone takes.
１）
この軸で
３）
示します。
２）
何錠服薬したかを
The line denotes how much volume of injection
１）
この軸で
３）
示します。
２）
someone takes.
- 378 -
注射した量を
=50=
The equation of mass balance for a ‘box’ (1), whose
３）
物質収支式は
２）
ある箱（１）についての
3
volume is V1 [m ], is as follows;
１）
４）
体積がV1の
次式です。
dC2 /dt ×V1 = F×C1 – F×C2 .
3
F [m /s] denotes the flow rate into and also out of
１）
Fは
３）
への流入速度であり
４）
箱からの流出速度です。
the box (compartment). C is the concentration of a
２）
その箱（コンパトメント）１）Ｃは
- 379 -
４）
濃度です。
substance involved in the flow. The unit of the
３）
２）
薬物の
４）
ながれる溶液中の
単位は
quantity dC in left hand side of the equation is
３）
量 dC の
２）
１）
左辺にある
方程式の
3
3
[mol /m ], dt has an unit [s], V has [m ], these units
５）
mol/m3で
６）
dtは s で Vは m3 であり
このことから
lead us that the unit of the left hand side of the
11）
わかります。９）単位は
８）
左辺の
７）
この方程式の
equation is [mol /s]. The unit of the right hand side is
10）
3
mol/sであると
２）
単位は
3
１）
右辺の
[m /s]×[mol /m ] = [mol /s]. Of course, as for the
- 380 -
３）
m3/s×mol/m3でmol/sです。
１）
もちろん
３）
関して
unit or dimension, the right hand side equals the left
２）
４）
単位または次元に
６）
右辺と
等しい
hand side. The meaning of the left hand side of the
５）
左辺は
３）
意味は
２）
１）
左辺の
方程式の
equation is ‘the rate of accumulation’. The first term
４）
２）
蓄積速度です。
第１項で
of right hand side stands for ‘the rate of inflow’, the
１）
右辺の
４）
３）
示し
流出速度を
second term stands for ‘the rate of vanish’.
５）
第２項で
７）
示します。６）消失速度を
- 381 -
Concentration C varies in time. The concentration is
濃度Ｃは時間とともに変わります。
濃度は
a function of time, i.e. C(t). The concentration in the
時間の関数
つまりC(t)です。
２）
濃度は
compartment (vessel) is the same everywhere. Flow
１）
コンパートメント中の
４）
同じです。３）いたるところで
is well mixed in the vessel. C is a function of only
箱中で充分に撹拌されています。 Ｃは時間だけの関数です。
time. C is not a function of position in the vessel.
Ｃは箱中の場所の関数ではありません。
The concentration flow out the vessel is also the
- 382 -
２）
１）
濃度は
４）
箱から流失する
同じです。
same as the concentration in the vessel. The
３）
箱の中の濃度と
concentration in the vessel and flow out the vessel
２）
濃度と
１）
３）
箱中の
箱からの濃度は
are expressed as C2. C1 is the mark of the
４）
どちらも
５）
C2と書いています。
３）
C1で示します。
concentration into the compartment. The flow out of
２）
濃度を
１）
コンパートメントへの
２）
流れ出て
the ‘box’ (1) flows into the second ‘box’ (2), whose
１）
箱(１)から
４）
流れこみます。
- 383 -
３）
箱(２)へ
５）
この箱の
3
volume is V2 [m /s]. Also flow is well mixed in the
２）
体積はV2です。
でも
３）
流れは充分に撹拌されています。
vessel below. The material balance equation for
１）
２）
箱(２)
物質収支式は
compartment (2) is as follows;
１）
コンパーｔ－メント(２)についての
３）
次式です。
dC3 /dt ×V2 = F×C2 – F×C3 .
C3 stands for the concentration in the second
３）
Ｃ3で示します。
１）
２番目の箱中の濃度と
compartment and flow out the second compartment.
２）
２番目からの濃度を
- 384 -
Now we obtained the simultaneous equations;
以上のことから次の連立微分方程式を得ます。
dC2 /dt = k1 {C1 – C2 }, k1 = F /V1
dC3 /dt = k2 {C2 – C3 }, k2 = F /V2 .
In this mathematical model, we consider C1(t) as an
１）
２）
このモデルでは
C1(t)は
input function, and C3(t) as an output function of
４）
５）
入力関数で
C3(t)は
６）
系の出力関数です。
the system. Consider the system is human body. We
３）
系の
３）
としましょう。１）系は
- 385 -
２）
人体であると
recognize the link between F and CL, the parameter
１）
２）
FとCLにつながりがあります。
パラメタCLは
which is named ‘clearance’ of pharmacokinetics
４）
クリアランスです。
３）
薬物動態モデルでの
models, also between F and δ, the parameter
５）
またFとδも同様です。６）パラメタδは
‘boundary layer virtual thickness’ which we can find
９）
８）
仮想境界層厚みです。
で登場する
in the Noyes-Whitney model.
７）
Noyes-Whitney（拡散）モデル
Let C1 corresponds to drug administration, and
- 386 -
３）
１）
としましょう。
C1は薬物投与方法で
C2,C3 to blood drug concentrations. There are
２）
C2とC3は血中薬物濃度
２）
あります。
several ways of drug administration. As far as single
１）
いくつかの投与方法が
２）
に限れば
dose oral injection has been made, C3(t) is as
１）
単回経口投与
３）
（そのときの）血中薬物濃度変化は
follows; ４）次式です。
–k1t
–k2t
C3(t)∝k1k2 {e
– e }/(k2 – k1)
= k2k1 {e
–k2 t
–e
–k1 t
}/(k1 – k2),
- 387 -
k1 and k2 are model parameters whose values must
k1とk2はモデルパラメタであり
その値は
be estimated by measurements. k2 is called
実測値にあうように決めます。
k2は
elimination rate constant, k1 is called absorption rate
消失速度定数で
k1は
吸収速度定数です。
constant.
V1 dC2/dt = FC1- FC2.
V2 dC3/dt = FC2- FC3
C1(t) is a given function. C2(t) and C3(t) are unknown
- 388 -
C1(t)は既知関数で
C2(t)とC3(t)は未知関数です。
functions. The parameters V1, V2, F must be
１）
式中のパラメタ
V1,V2,Fは
determined to fit the data.
３）
都合よく決めます。２）測定値にあうように
- 389 -
=51=
We are requested to pay attention to an important
６）
ください。
５）
４）
注意して
大切さに
distinction between an overall reaction and an
３）
１）
違いの
全体としての反応と
elementary reaction. The overall order of a
２）
素反応との
２）
反応次数は
reaction for an overall reaction cannot be obtained
１）
４）
全体としての反応の
解りません。
simply by looking at the overall reaction. Kindly
３）
反応式を見るだけでは
- 390 -
３）
ください。
give attention to ‘cannot’. For example, one might
２）
留意して
１）
１）
ないに
例えば
５）
思うかも知れません。
think, mistakenly, that the reaction
２）
３）
間違えて
次の反応は
H2 + Br2 → 2 HBr
should be second order simply because the reaction
４）
10）
２次反応のはずだと
からとの理由で。
６）
この反応では
consumes, uses up, one molecule of H2 and one
９）
消費される
７）
１モルの水素と
molecule of Br2. One and one make two. Then the
８）
１モルの臭素が
１足す１は２です。
- 391 -
なので
reaction order must be second order. In fact, the rate
反応次数は
１）
２次のはずだ。
実際は
３）
速度式は
law for this reaction is quite different:
２）
この反応の
４）
全く（２次とは）違います。
1/2
(1/2) d[HBr] /dt = k [H2][Br2]
Above equation is approximation of the equation
１）
上記の速度式は
３）
近似です。
below
２）
下記の速度式の
(1/2) d[HBr]/dt = -d[H2] /dt
- 392 -
0.5
-d[H2] /dt = k [H2][Br2]
/ (k2 + ([HBr] /[Br2])).
Thus the order of a reaction is not necessarily related
１）
６）
このように反応次数は
いません４）必ずしも５）関連して
to the stoichiometry of the overall reaction; it can
３）
化学量論比と
２）
７）
全体の反応式の
反応次数は
be determined only by experiments. The meaning of
９）
決まります。８）実測値によってのみ
２）
とは
‘stoichiometry’ is the relationship between the
１）
化学量論比
８）
関係です。
７）
あいだの
relative quantities of substances taking part in a
- 393 -
６）
相対的な量同士の
５）
化合物の
４）
（ための）材料となる
reaction or forming a compound, typically a ratio of
３）
９）
反応して生成物を作る
ふつうは
11）
比です。
whole integers. If we were to keep [Br2] fixed while
10）
１）
自然数同士の
臭素の量を一定にしておいて
monitoring how the initial rate of [HBr] production
６）
調べると
４）
どのように
２）
生成物 HBr の初期速度が
depend on the H2 starting concentration, [H2]0, we
５）
３）
依存するか
水素の初期濃度に
would find, for example, that if we doubled [H2]0,
12）
解ります。
７）
例えば
８）
もし水素の初期濃度が倍であれば
- 394 -
the rate of HBr production would increase by a
９）
11）
HBr の生成速度は
増加すると
factor of 2. By contrast, if we were to fix the
10）
２倍に
１）
３）
これに反して
一定にして
starting concentration of H2 and monitor how the
２）
８）
水素の初期濃度を
調べると
６）
どのように
initial rate of HBr appearance rate depended on the
４）
７）
HBr の初期生成速度は
依存するかを
Br2 starting concentration, [Br2]0, we would find that
５）
12）
臭素の初期濃度に
解ります。
if we doubled [Br2]0, the HBr production rate would
- 395 -
９）
もし臭素の初期濃度を２倍にすると HBr の生成速度は
increase not by a factor of 2, but by a factor of √2.
で
11）
10）
増加すると
２倍ではなく平方根２倍に
Experiments such as these would thus show the
２）
実験で
１）
８）
このような
だと判明します。
reaction to the first order with respect to H2 and
３）
反応は
５）
１次で
４）
水素については
half order with respect to Br2.
７）
６）
1/2 次
臭素については
On the other hand, an elementary reaction
１）
一方
２）
次の素反応は
- 396 -
aA+bB→ product
has (a+b) order of differential form of reaction rate.
４）
３）
a+b 次です。
a
微分形式の速度式で
b
r = k[A] [B]
Let a be 1, and b be 2, in the elementary reaction,
２）
１）
a を１に b を２にすると
この素反応で
it is supposed that 1 particle of A collides with 2
８）
とされます。
３）
１粒の A が
５）
衝突して
particles of B to make product at once. In this case
４）
２粒の B と
７）
生成物になる
- 397 -
６）
いっきに
１）
この場合
collisions of 3 (=1+2) particles make product at
3
３）
衝突で
２）
６）
３粒の
できます。４）生成物が
once. We might call this the definition for
５）
いっきに４）言えます１）これが
３）
定義だと
elementary reaction. The rate law in its differential
２）
素反応の
２）
速度式は
１）
微分形の
form describes how the rate of the reaction depends
７）
述べています。５）どのように３）反応速度が６）依存するか
on the concentrations, it will often be useful to
４）
各種濃度に
14）
使えます
determine how the concentration themselves vary in
- 398 -
13）
知るのに
10）
どのように８）それぞれの濃度は
11）
変わるか
time, or change as time increase. Of course, if we
９）
時間とともに 12）時間が経つと変化するかを
know d[C] /dt, in principle we can find [C] as a
１）
dC/dt が分かっておれば
２）
原則的に
４）
Ｃを求められます。
function of time by integration. In practice, the
３）
１）
時間の関数として積分で
実際は
２）
速度式は
equation are sometimes complicated, but it is useful
３）
７）
時として複雑ですが
役立ちます。
to consider the differential and integrated rate laws
６）
見てみることは
５）
微分形と積分形の速度式を
- 399 -
for some of the simpler and more common reaction
４）
いくつかの簡単でありふれた反応次数の
orders.
- 400 -
=52=
For a reaction (A), experimental data were obtained.
反応Ａについて実験を行って測定値を得た。
A set of measured values is written with brackets and
一組の測定値をかっこ中にカンマで区切って書いた。
a comma in between two numbers.( ti, C(ti) ) for i = 1
( ti, C(ti) )で（測定番号）i は１からｎまでです。
to n, are the data. We will plot ti (time) on the
５）
プロットします。１）測定時刻 ti を
horizontal axis x and C(ti) (concentration) on the
２）
横軸ｘに
３）
その時刻での濃度を
- 401 -
vertical axis y. The obtained graphical presentation is
４）
縦軸ｙに
出来上がったグラフは
not a straight line. Concentration is plotted against
直線ではありません。
１）
濃度を４）プロットすると３）対して
time, a curve results. This curve could be an
２）
時間に５）曲線になります。１）この曲線は
３）
知れません。
bt
exponential. This may be expressed as y/y0 = e . If ln
２）
指数関数かも この曲線は y/y0 = ebt かも知れません。
y is plotted vertically against t horizontally, a
だとすると ln y を縦軸に対して t を横軸にプロットして
straight line graph could be obtained. This plotting
- 402 -
１）
直線グラフを得ます。
このプロット方法では
produce a straight line graph of gradient b and ln
５）
なります。４）直線グラフに
２）
傾き b で
y-axis intercept ln y/y0. We will plot ti on horizontal
２）
ln y 軸切片 ln y/y0 の
３）
プロットします。１）ｔi を横軸に
axis, and ln C(ti) on vertical axis. Then straight line
２）
ln C(t i)を縦軸に
すると直線が
is presented. The slope or gradient is –k. k is called
現れます。
その傾きは-k です。
K を反応
rate constant of the reaction. This straight line is
速度定数と言います。
この直線は
- 403 -
expressed as a function C(t)
関数Ｃ(t)で表せます。
C(t) = C(0) e
–kt
or C(t)/C(0) = exp( -kt) .
This function is a solution of differential equation
１）
この関数は
３）
解です。
２）
次の微分方程式の
-dC(t) /dt = k C(t) .
The concentration falls to 1/e of its initial value
１）
その濃度は
５）
なります。４）e 分の１に
３）
初期値の
after a time τ= 1/k, often called life time of the
２）
時間τ= 1/k が経つと
５）
これを８）言います７）時定数と
- 404 -
reaction. A related quantity is the time it takes for the
６）
反応の
３）
関係のある量です。
２）
所要時間と
concentration to fall to half of its value.
１）
濃度が半分になる
(- ln2)
C(t=τ1/2)/C(0) =1/2= exp( -kτ1/2) = e
τ1/2 = ln 2 /k
C(to+(1/k)) /C(to) = 1/e
C(to+τ1/2) /C(to) = 1/2
The quantity τ1/2 is known as the half life time of
１）
この量 τ1/2 は
４）
として知られています。３）半減期
- 405 -
the reactant. The straight line above showed us that
２）
１）
反応の
４）
上述の直線は
ことを示しています。
the reaction (A) is a first-order reaction. The order
２）
３）
反応Ａが
２）
一次反応である
反応次数は
of reaction (A) is determined by the experiments and
１）
反応Ａの
５）
３）
決まります。
実験値と
its mathematical treatment. Let us start by
４）
２）
それの数学処理で
ことから始めましょう。
considering first-order reactions.
１）
一次反応を考える
A→ products,
- 406 -
for which the differential form of the rate law is
３）
これの微分形の反応速度式は
次式です。
-d C /dt = k C , C≡[A] .
Rearranging of this equation yields
これを書き換えて次式を得ます。
dC /C = -k dt .
Let C(0) be the initial concentration of A and C(t) be
C(0)はＡの初期濃度で
C(t)は
the concentration at time t, Then integration yields
時刻 t での濃度です。
積分して次式を得ます。
- 407 -
t
t
∫0 dC/C = -∫0 k dt ,
ln {C(t)/C(0)} = -k t .
Exponentiation both sides yields,
両辺を指数化して次式を得ます。
C(t) = C(0) exp( -k t ) .
Second-order reactions are of two types, those that
３）
２次反応には２種類あります。
もの
are second order in a simple reactant and those that
２）
２次の１）一つしかない始原系について４）と
- 408 -
７）
ものです。
are first order in each of two reactants. Consider
６）
一次の
５）
２つの始原系それぞれについて２）考えましょう。
first the former case, for which an example of a
１）
３）
前者から
これの例の
simple overall reaction is
４）
簡単な全体としての反応は
A → products, ５）です。
with the differential rate law
６）
これの微分型速度式は次式です。
2
-d[A] /dt = k[A] .
- 409 -
Of course, a simple method for obtaining the
１）
４）
もちろん
簡単な方法は
３）
得る
integrated rate law would be to rearrange the
２）
６）
積分形の速度式を
書き換えての
differential law as
５）
微分形を
次のように
2
-d[A] /[A] = k dt
and to integrate from t = 0 when [A] = [A]0 to the
９）
積分です。
７）
ｔが０（[A]0）から
time when [A] = [A](t) .
８）
ｔ([A](t))までの
- 410 -
We would obtain
これで
次式を得ます。
1/ [A](t) – 1/[A]0 = k t .
Equation above suggest that a plot of 1/[A](t) as a
１）
上式は
10）
示唆します。４）プロットすると２）1/[A](t)を
function of time should yield a straight line whose
３）
６）
時間の関数として
なり
５）
直線に
７）
その直線の
intercept is 1/[A]0 and whose slope is the rate
８）
切片は 1/[A]0 で
９）
傾きは速度定数 k であることを
constant k.
- 411 -
=53=
For a reaction (B)
次の反応Ｂの
B→products,
experimental data were got. A set of measurements is
実験をした。
一対の測定値を
written with brackets and a comma in between two
かっことカンマを使って書いた。
numbers. (ti, C(ti)) for i = 1 to 5, are the data. The
(ti, C(ti))で i は１から５がその測定値です。
- 412 -
data, in a co-ordinates form, observed are as follows;
（座標形式での）測定結果は
以下です。
(0, 100), (0.01, 50), (0.02, 33.3), (0.03, 25),
(0.04, 20) .
We will plot ti (time) on the horizontal axis x and
５）
プロットします。
１）
時間 ti を横軸ｘに
1/C(ti), an inverse number of a concentration, or
２）
３）
1/C(ti)（濃度分の１）
つまり
reciprocal of C, on the vertical axis y. The obtained
４）
１）
Ｃの逆数を縦軸ｙに
これで
- 413 -
３）
得られました。
graphical presentation is a straight line. This
２）
１）
直線のグラフが
この
plotting produce a straight line graph of gradient 1
２）
書式で
６）
３）
直線になります。
傾き１
and y-axis intercept 0.01. The slope or gradient k =1
４）
で
５）
y 軸切片 0.01 の
傾き k=1 は
is called rate constant of the reaction (B).
This
反応Ｂの速度定数と言います。
straight line is expressed as a function.
この直線を関数で表すと
1 /C(t) = k t + 1/C(0) ,
次式です。
１/C(0) =1 /100
- 414 -
This function is a solution of differential equation
この関数は次の微分方程式の解です。
2
-dC /dt = k C .
We get the reaction rate law in differential form.
微分形の速度式が得られました。
Then we can make decision that the reaction (B) is
１）
これで
４）
２）
断言できます。
反応Ｂは
a second-order reaction.
３）
２次反応であると
We now turn to reactions that are second order
- 415 -
１）
次に５）見ましょう。４）反応を
２）
全体では２次であるが
overall but first order in each reactants. An example
３）
それぞれの始原系物質については１次である
of reaction of this form is
この種の例を次に示します。
A + B → products .
In this reaction initial concentration of A and B is not
この反応でＡと B の初期値は等しくありません。
Equal, with the differential rate law
これの微分形の速度式です。
-d[A] /dt = k[A][B].
- 416 -
A solution of the differential equation above is
上記の微分方程式の解は
次式です。
ln{ [B][A]0 /[A][B]0} = { [B]0 – [A]0 }k t .
A plot of the left-hand side of equation above versus
２）
プロットすると
１）
この式の左辺対ｔを
t should thus give a straight line of slope
６）
になります。５）直線に
３）
傾きが
{[B]0 –[A]0}k. We obtain two types of second order
４）
{[B]0 –[A]0}k の
４）
得ました。２）２種類の型の２次
- 417 -
reaction rate law in mathematical forms. Now we
３）
反応速度式を
１）
１）
数式で書くと
ここで
make it clear that the obtained one type is a special
６）
はっきりさせましょう。２）得られたうちの一つは
４）
特別な
case of the other type. To do it, let us assume that
５）
３）
場合だと
もう一つの
１）
このために
３）
としましょう。
initial values of A and B is equal, i.e. [A]0=[B]0. In
２）
ＡとＢの初期値は同じ
this case, the concentration of A is always equal to
１）
こうすると
２）
Ａの濃度は
４）
常に等しいです。
the concentration of B, i.e. [A](t)=[B](t), for all t or
- 418 -
３）
Ｂの濃度と
[A] = [B]. Then the differential rate law is
５）
すべてのｔに対して[A]=[B]です。
速度式は次式になります。
2
-d[A] /dt = k[A] .
The solution of this differential equation is
これの解は
次式です。
1/ [A](t) – 1/[A]0 = k t .
Substituting [B] into [A] and [B]0 into [A]0 give
（前述の解で）[B] を [A] に [B]0 を [A]0 に代入すると
- 419 -
ln{ [A][A]0 /[A][A]0} = {[A]0 – [A]0}k t
exp({[A]0 – [A]0}k t ) = [A][A]0 /[A][A]0
0
i.e. e = 1, for all t .
となります。つまりすべてのｔに対して e0＝１となります。
We get a reasonable result.
つじつまの合った整合性のある結果を得ました。
（ひとつの型の２次式は他方の特別な場合だと考えて矛盾しない）
- 420 -
=54=
The equation of mass balance for a ‘box’ (1),
３）
２）
物質収支式は
箱１についての
3
whose volume is V1 [m ], is as follows;
１）
４）
体積 V1 立米の
次式です。
dCout /dt ×V1 = F×Cin – F×Cout .
3
F [m /s] denotes the flow rate into and also out of
１）
F 立米毎秒は
４）
流量です。
３）
へと からの
the box (compartment). C is the concentration of a
２）
箱（コンパートメント）
１）
Cは
- 421 -
４）
濃度です。
substance involved in the flow. The unit of the
３）
物質の
２）
４）
流れ中に含まれる
単位は
quantity dC in left hand side of the equation is
３）
２）
量 dC の
１）
左辺の
3
前式
3
[mol /m ], dt has unit [s], V has [m ], these units lead
５）
モル毎立米で
６）
dt は秒で
７）
V は立米です。８）これにより
us that the unit of the left hand side of the
11）
導けます。
９）
この式の左辺の単位は
equation is [mol /s]. The unit of the right hand side is
10）
モル毎秒であると
3
右辺の単位は
3
[m /s]×[mol /m ] = [mol /s]. Of course, as for the
- 422 -
立米毎秒×モル毎立米でモル毎秒です。１）もちろん３）関しては
unit or dimension, the right hand side equals the
２）
４）
単位と次元に
右辺は
６）
等しいです。
left hand side. The meaning of the left hand side of
５）
３）
左辺に
意味するところは
２）
左辺の
the equation is ‘the rate of accumulation’. The first
１）
４）
この方程式の
２）
蓄積速度です。
第１項は
term of right hand side stands for ‘the rate of
１）
右辺の
４）
示し
３）
流入速度を
inflow’, the second term stands for ‘the rate of
５）
第２項は
７）
示します。
- 423 -
６）
消失速度を
vanish’. Concentration C varies in time. The
濃度Ｃは時間とともに変わります。
concentration is a function of time, i.e. C(t). The
濃度は時間の関数です。つまり C(t)です。
concentration in the compartment (vessel) is the
２）
濃度は
１）
コンパートメント中の
４）
同じです。
same everywhere. Flow is well mixed in the vessel.
３）
場所によらず
流れは箱中で充分に撹拌されています。
C is a function of only time. C is not a function of
Ｃは時間だけの関数です。１）Ｃは
３）
関数ではありません。
position in the vessel. The concentration flow out
- 424 -
２）
１）
血管（箱）の場所の
箱からの濃度は
the vessel is also the same as the concentration in the
３）
２）
とも同じです。
箱中の濃度
vessel. The concentration in the vessel and flow out
箱中の濃度と箱からの濃度は
the vessel are expressed as Cout. Cin is the mark of
Cout と表記します。
１）
Cin は
３）
記号です。
the concentration into the compartment. The flow
２）
２）
コンパートメントに入る濃度の
流れは
out of the ‘box’ (1) flows into the second ‘box’ (2)
１）
箱１からの
５）
流れこみます。
- 425 -
４）
箱２へ
3
whose volume is V2 [m ]. Also flow is well mixed
３）
２）
体積が V2 立米である
流れは充分撹拌されています。
in the vessel below. The material balance equation
１）
２）
下側の箱中でも
物質収支式は
for compartment (2) is as follows;
１）
３）
コンパートメント２での
次式です。
dCout2 /dt ×V2 = F×Cout – F×Cout2 .
Cout2 stands for the concentration in the second
１）
Cout2 は
６）
濃度です。４）中と
２）
２番目の
compartment and flow out the second compartment.
３）
コンパートメント
５）
２番目の箱からの
- 426 -
Now we obtained the simultaneous equations;
１）
これで３）そろいました。
２）
次の連立方程式が
dCout /dt = k1 {Cin – Cout }, k1 = F /V1
dCout2 /dt = k2 {Cout – Cout2 }, k2 = F /V2 .
In this mathematical model, we consider Cin(t) as an
１）
このモデルで
７）
と考えます。２）Cin(t)は
input function, and Cout2(t) as an output function
４）
入力関数で
５）
Cout2(t)は
６）
出力関数
of the system. Consider the system is human body.
３）
系の
人体が系であるとしましょう。
- 427 -
We recognize the link between F and CL, the
FとCLに関連があることが分かります。CLは薬物動態モデルでの
parameter which is named ‘clearance’ of
クリアランスです。
pharmacokinetics models, also between F and δ, the
またFとδにも関連があります。
parameter ‘boundary layer virtual thickness’ which
δは境界層仮想厚みという名前の
we can find in the Noyes-Whitney model.
Noyes-Whitney モデルのパラメタです。
- 428 -
Let Cin corresponds to drug administration, and
６）
としましょう。１）Cin は
５）
対応する
２）
薬物投与に
Cout2 to blood drug concentration. There are
３）
４）
Cout2 は
２）
血中薬物濃度に
あります。
several ways of drug administration. As far as single
１）
２）
いくつかの薬物投与方法が
限ると
dose oral injection has been made, Cout2(t) is as
１）
３）
単回経口投与がなされた場合に
Cout2(t)は
follows;
４）
次式です。
Cout2(t)∝k1k2 {e
–k1t
–e
- 429 -
–k2t
}/(k2 – k1)
–k2 t
–k1 t
= k2k1 {e
–e
}/(k1 – k2) --- (A)
k1 and k2 are model parameters whose values must
k1 と k2 はモデルパラメタで その値は
be estimated by measurements. k2 is called
１）
実測して決めます。
k2 を
３）
と言い
elimination rate constant, k1 is called absorption
２）
消失速度定数
４）
k1 を
rate constant.
５）
吸収速度定数
- 430 -
６）
と言います。
=55=
Let us consider a reaction mechanism
次の反応機構を考えましょう。
A → B,
rate constant of the elementally reaction is k1,
この素反応の速度定数は k1 です。
B → C,
rate constant of the elementary reaction is k2,
この素反応の速度定数は k2 です。
for which the differential equations are
- 431 -
この機構に対する微分方程式は
d[A] /dt = -k1[A],
d[B] /dt = k1[A] – k2[B],
d[C] /dt = k2[B] . です。
We assume that the initial concentration of A is
３）
しましょう。
１）
A の初期濃度を
[A]0 and that [B]0 = [C]0 = 0. Integration of the first
２）
３）
[A]0 とし [B]0 = [C]0 = 0 と
積分すると
２）
一つ目を
these three differential equations then gives the time
１）
３つの微分方程式の
- 432 -
５）
得ます。
dependent concentration of A:
４）
Ａ濃度の経時変化を
[A](t) = [A]0 e
–k1 t
.
Substitution of this solution into the second these
４）
代入すると
１）
２）
この解を
３つのうちの二つ目の
three differential equations yields the differential
３）
微分方程式に
６）
なります。
equation
５）
次の微分方程式に
d [B] /dt = k1[A]0 e
–k1 t
– k2[B].
- 433 -
Then solution of this equation is
これの解は次式です。
–k1 t
[B](t)={k1/(k2 -k1)}[A]0(e
–k2 t
–e
) -- (B) .
Equations (A) and (B) are proportional to
式(A)と(B)は次式に比例しています。
(e
–k1t
–e
–k2t
) /(k2 - k1) .
Finally, since by mass balance
最終的に 次の物質収支式により
[A]0 = [A] + [B] + [C],
[C] = [A]0 – [B] –[A]
- 434 -
–k1 t
–k2 t
–k1 t
= [A]0 { 1 – k1/(k2 – k1)[ e
–e
]–e
}.
While the mathematical complexity of this solution
４）
２）
が
１）
数学的に複雑で
この解は
may at first seem daunting, this exact solution will
３）
５）
みるからにむつかしそうです
この解析解により
enable us to see how to make some very useful and
８）
解ります。
７）
作り方が
simplified approximations. We first consider the
６）
１）
便利で簡単な近似の
まず
３）
考えましょう。
case when k1 is much larger than k2. We can see that
２）
k1 が k2 より非常に大きい場合を と分かります。
- 435 -
in this limit the reaction A→B occurs rapidly and
１）
３）
この場合反応 A→B は
素早く起こり
goes nearly to completion, the process of finishing,
４）
完結します。
（仕上げ過程）
before the reaction B→C take place. Thus, we expect
２）
反応 B→C が起こる前に
３）
予想できます。
that nearly all the A is converted to the intermediate
２）
ほとんどすべての A は中間活性体 B に変わると
B before any appreciable conversion of B to C
１）
B が C に変わる反応を認識する前に
occurs. Indeed, in the limit of k1 >> k2, (k2 – k1)
- 436 -
１）
事実
２）
この条件では k2 を無視して k2-k1 は
reduces to – k1, then we obtain
３）
５）
- k1 になり
次式になります。
–k1 t
–k2 t
[B](t) = [A]0 ( e
–e
)
instead of equation (B). Because k1 >> k2, the second
４）
B 式は
１）
k2 は無視小なので
３）
第２項は
term in the parentheses rapidly approaches zero
２）
かっこの中の
４）
急激にゼロに近づきます。
while the first term is still near unity, as a result, the
５）
また第１項はほとんど１のままです。６）その結果
concentration of the intermediate B rapidly reaches a
- 437 -
７）
中間活性体 B の濃度は急激に
９）
近づきます。
value nearly equal to [A]0, and then during most of
８）
10）
[A]0 とほとんど同じ値に
ほとんどの反応期間中
the reaction B decays slowly according to
11）
Ｂはゆっくりと次式に従い減少します。
[B] = [A]0 exp(-k2 t) .
A more instructive, useful and informative, limit for
もっと役に立ち便利で有益なのは
the consecutive reactions is when k2 >> k1. In the
この一連の反応で k1 が無視小の場合です。
limit when k2 >> k1, the solution for [B] reduces to
- 438 -
k1 が無視小の場合は B の解は
–k1 t
次式になります。
–k2 t
[B](t) = (k1/k2)[A]0 (e
–e
).
Since k2 >> k1, the second term in the parentheses
k1 は無視小なので
かっこ中の第２項は
rapidly approaches zero, while the first term is still
急激にゼロに近づきます。
また第１項は
close to unity. Consequently, the concentration of B
１に近いままです。
よって
Ｂの濃度は
rapidly approaches (k1/k2)[A]0 and then decays more
急激に k1/k2[A]0 に近づき
slowly according to
- 439 -
次式に従いゆっくりと無くなります。
[B] = (k1/k2) [A]0 exp(-k1 t) .
Because k1/k2 is very small, the maximum
k1/k2 は大変小さいので
concentration of B is much less than [A]0. It would
B の最大濃度は[A]0 よりはるかに小さいです。
be extremely tedious, dull or lacking excitement, if
３）
ひどく退屈でさえなくわくわくしません。
we had to integrate the differential equations
２）
微分方程式を積分しなければならないのは
whenever we encountered a set of consecutive
- 440 -
１）
どんな連立微分方程式（反応機構）に出くわしても
reactions. Fortunately, in most situations here is an
１）
幸いにも
２）
大概の場合
４）
あります。
easier method. Consider the case k2 >> k1, after an
３）
たやすい方法が k1 が無視小の場合を考えてください。
initial transient rise, called the induction period, the
初期の短時間の立ち上がり（誘導期間）の後
concentration of this last expression yields
さきほどの濃度式から次式が得られます。
k2[B]≒k1[A],
or, after inserting this approximation into
- 441 -
この近似式を次の式に入れると
d[B]/dt = k1[A] – k2[B],
we find that
次式を得ます。
d[B]/dt ≒0 .
Recall that B is in the “intermediate” in the
５）
ことを思いだしてください。２）Ｂは中間活性体で
consecutive reaction, and that, because k1/k2 is small,
１）
３）
反応機構中で
k1/k2 は小さいので
its concentration is always much less than [A]0. The
４）
B の濃度は常に[A]0 より小さい
- 442 -
steady-state approximation can then be summarized
１）
３）
定常状態近似法は
まとめられます。
as follows:
２）
次のように
After an initial induction period, the concentration of
１）
４）
初期の立ち上がり期間の後は
濃度は
any intermediate species in a consecutive reaction
３）
２）
すべての中間活性体の
反応機構中の
can be calculated by setting its time derivative equal
13）
計算できます。
５）
時間微分がゼロとして
to zero, provided that the concentration of the
- 443 -
12）
10）
と言う条件で
濃度は
intermediate is always small compared to the starting
９）
11）
中間活性体の
小さい
８）
比べて
６）
（他の）初期
concentrations.
７）
濃度と
Again let us consider a consecutive reaction
６）
再度考えましょう。
４）
ある反応
mechanism to see how easily the solution could have
５）
機構を
３）
知るために
２）
いかに簡単に解けるかを
been obtained using the steady-state approximation.
１）
定常状態近似を使えば
- 444 -
A → B, elementary reaction 1, rate const. k1
B → C, elementary reaction 2, rate const. k2
The overall order of a reaction cannot be obtained
１）
３）
反応全体の反応次数は
得られません。
simply by looking at the overall reaction. But the
２）
全体としての反応式をみるだけでは
１）
が
order of an elementary reaction can be obtained by
２）
４）
素反応の反応次数は
得られます。
looking at the elementary reaction. The rate r of
３）
２）
素反応式を見るだけで
- 445 -
反応速度 r は
elementary reaction
１）
aA + bB → product is
素反応 aA + bB → product の
assumed to be
３）
次式であるとされています。
a
b
r = k[A] [B] .
Then the rates for elementary reactions above are
よって 上記の素反応速度は
r1 = k1[A]
for elementary reaction 1
r2 = k2[B] for elementary reaction 2,
the differential equations are obtained by mass
- 446 -
で
物質収支式によって得られた微分方程式は
balance.
次式です。
d[A] /dt = -r1 = -k1[A],
d[B] /dt = r1 – r2 = k1[A] – k2[B],
d[C] /dt = r2 = k2[B] .
We assume that the initial concentration of A is [A]0
３）
仮定します。
１）
and that [B]0 = [C]0 = 0.
２）
B と C の初期濃度はゼロであると
- 447 -
A の初期濃度は[A]0 で
If we had set d [intermediate] /dt = 0,
d [intermediate] /dt = 0 を採用すると
(Steady state approximation)
（定常状態近似）
d[B]/dt = r1 – r2 = 0,
then we would have found immediately that
ただちに次式を得ます。
[B] = (k1/k2)[A],
or
r1 = r2 .
The differential equation for over all reaction
１）
全体としての反応式に対する微分方程式は
- 448 -
A→C
is easily expressed as follows by steady states
４）
次式で簡単に表せます。
２）
定常状態近似
approximation.
３）
によって
d[C]/dt = k[A],
or
–d[A]/dt = k[A] .
- 449 -
=56=
Let us consider the following reaction sequence
次の反応機構について考えましょう。
S + E → F : k1
elementary reaction 2: F → E + S : k2
elementary reaction 1:
F → E + P : k3
In this mechanism, the enzyme E can reversibly bind
elementary reaction 3:
１）
この機構では酵素 E は
３）
（可逆的に）脱着して
to a substrate S to yield the intermediate F. Once
２）
基質 S に
４）
中間活性体 F が生じます。
- 450 -
１）
一旦
bound, the enzyme can also convert the substrate to
２）
結合すると酵素は
５）
変えることもできます。
３）
基質を
products P. The enzyme is thus available to convert
４）
生成物 P に
１）
酵素はこのように
３）
変換できます。
more substrate. We analyze the sequence using the
２）
次々と基質を
６）
この反応機構を解析します。５）使って
steady-state approximation for the intermediate
４）
定常状態近似法を
３）
についての
１）
中間
complex F. The rates for elementary reactions above
２）
活性体 F
１）
素反応速度（上記の３つの）は
are
- 451 -
２）
次式です。
r1 = k1 [S] [E]
r2 = k2 [F]
r3 = k3 [F]
the differential equations are obtained by mass
３）
次の微分方程式が
６）
求められます。４）物質収支
balance.
５）
式により
d[S]/dt = -r1 + r2
d[P]/dt = r3
- 452 -
d[E]/dt = -r1 + r2 + r3
d[F]/dt = r1 – r2 – r3 .
If we had set d [intermediate] /dt = 0,
定常状態近似法を採用すると
次式を得ます。
(Steady state approximation)
r1 – r2 – r3 = 0, or r3 = r1- r2 .
Thus we get
これにより次式を得ます。
-d[S]/dt = k3 [F] .
Let the initial or original value of concentration be
- 453 -
初期（投入）濃度を [E]0 とすると
[E]0. Then by mass balance
物質収支式により
[E]0 = [E] + [F] ,
k1[S] [E] = (k2 + k3) [F] . となります。
The approximation r1 = r2 + r3 lead us the equation
２）
近似式 r1=r2+r3 により求められました。
１）
この式は
above. Solving the simultaneous equations above to
３）
解くと
１）
この連立式を
make [F] the subject, we get
２）
[F]について
４）
次式を得ます。
- 454 -
[F] =k1[S] [E]0 /( k2 + k3 + k1 [S] ) .
We introduce new symbols Vmax and Km
新しい記号 Vmax と Km を導入します。
Vmax = k3[E]0
Km = (k2/k1) + (k3/k1),
Finally, we get
これで 次式となります。
d[S]/dt = Vmax [S] /( Km + [S] ) .
- 455 -
=57=
The Laplace transform provides a convenient
１）
ラプラス変換は
５）
４）
してくれます。
易く
method for solution of differential equations. Let the
３）
解き
２）
３）
微分方程式を
とします。
Laplace transform of f(t) be L[ f ] and f(t) be the
１）
f(t)をラプラス変換したものを L[f]に
inverse Laplace transform of L [ f ] where t is a real
２）
L]f]を逆ラプラス変換したものを f(t)
４）
ｔは７）です。５）実
variable (time). L[ f ] is a function of p, where
６）
変数（時間）
L[f]は p の関数です。
- 456 -
この
product pt is dimension-less, and p is a complex
積 pt は無次元です。
number. Integration
４）
定積分すると
またｐは複素数です。
f(t)×e
１）
–pt
with respect to t
f(t)×e –pt を
２）
ｔについて
from 0 to ∞ gives L[ f ]. The usefulness of the
３）
0 から∞まで
５）
L[f]になります。
３）
便利さは
Laplace transform for differential equations comes
２）
ラプラス変換の
１）
微分方程式での
９）
由来しています。
from the fact that the Laplace transformation of
８）
ことに
５）
ラプラス変換すると
derivatives like df(t)/dt converts them to simple
- 457 -
４）
df/dt などの導関数を
７）
変わる
algebraic expressions of p.
６）
簡単なｐの代数式に
We can accept the theorem
次の公式を理解できます。
d/dx {f(x) g(x)} = f ‘(x) g(x) + f(x) g‘(x)
For example
例えば
2
2
{x・x }’ = 3x
2
2
2
2
2
{x}’x + x {x }’= x + 2x = 3x .
- 458 -
です。
Let g(x) be e
–px
, then g‘(x) = -p e
–px
g(x)を e –px とすると g‘(x) = -p e –px で
we obtain
次式になります。
–px
–px
–px
{e f(x)}’ = f ‘(x) e – p f(x) e .
Integration with respect to x from 0 to ∞
３）
積分すると
[e
–px
–px
１）
ｘについて
∞
f(x)]0
２）
0 から∞まで
= L[ d/dx (f(x))] – p L[f(x)]
∞
[e f(x)]0 = 0 - f(0) . ４）です。
This leads us to the Laplace transformation of
- 459 -
１）
これにより
３）
ラプラス変換は
derivative d/dx f(x)
２）
導関数 df/dx の
L[d/dx (f(x))] = p×L[f(x)] - f(0) .
–ax
Let f(x) be e , then
４）
になります。
f(x)を e –ax とすると
–ax
∞
L[e ] = ∫0 exp(-ax-px) dx
–(p+a)x
∞
= [ -e
/(p+a) ]0 = 1/(p+a),
we find that
次の式を得ます。
- 460 -
です。
L[ d/dx (f(x))] = p×L[f(x)] - f(0),
x
L[e ] = 1/(p-1),
x
x
L[(e )’]=p/(p-1)-1=1/(p-1)= L[e ]
as shown in Laplace transform tables.
これはラプラス変換表に載っています。
Q: Find y(t) which satisfy the differential equation
３）
y(t)を求めよ。
１）
下記の微分方程式を満足する
below, with Laplace transform table.
２）
ラプラス変換表を使って
dy /dt = -ky , k and y(0) = y0 are given
- 461 -
dy /dt = -ky , k と y(0) = y0 は与えられている。
A: By taking the Laplace transform of both sides of
４）
取ると
３）
ラプラス変換を
２）
両辺の
equation above, we get
１）
５）
この式の
次式を得ます。
p×L[y] - y0 = -k L[y].
Transposing the algebraic expressions of p above
４）
書き直すと
２）
ｐについての代数式を
formula to make L[y] the subject,
１）
上記の
３）
L[y]について
L[y] = y0 /(p+k) .
５）
です。
- 462 -
Laplace transform of unknown function y(t) is
２）
ラプラス変換したものが
１）
未知関数 y(t)を
obtained. We now take the inverse Laplace
３）
得られました。１）ここで５）取ります。４）逆ラプラス変換を
transform of both sides of the last equation above,
３）
２）
両辺の
we finally obtain
６）
ついに答えを得ます。
y(t) = y0 e
–k t
.
- 463 -
得られた式の
=58=
Q : Solve the equation
次式を解け。
2
2
2
d Ψ/ dx + k Ψ= 0, Ψ(0) = 0
Ψ(x) is a wave function for a free electron in a
１）
Ψ(x)は４）波動（軌道）関数です。３）自由電子の
steal-wire. An electron’s position can be expressed
２）
針金中
１）
３）
電子の位置は
表示できます。
by using one variable x. Ψ satisfy the one
２）
変数ｘひとつで
１）
Ψは
- 464 -
３）
満足します。
dimensional Schrodinger wave equation, whose
２）
一次元のシュレディンガー方程式を
４）
方程式中の
potential function is V(x) = 0, for all x.
５）
ポテンシャル関数 V(x)は
７）
ゼロです。６）すべてのｘで
A : By taking the Laplace transform of both sides we
１）
obtain ３）取ると ２）ラプラス変換を
両辺の
４）
次式を得ます。
2
p×L[dΨ/dx] –Ψ’(0) + k ×L[Ψ]= 0 ,
substitution of
３）
代入して
１）
次式を
- 465 -
L[dΨ/dx] = p×L[Ψ]
into the equation above, we get
２）
４）
前記の式に
2
次式となります。
2
p ×L[Ψ] + k ×L[Ψ] = Ψ’(0) .
Transposing the algebraic expressions of p above
４）
書き直すと
２）
ｐの代数式を
１）
formula to make L[Ψ] the subject,
３）
L[Ψ]について
2
2
L[Ψ] =Ψ’(0) /(p + k ) . ５）です。
2
2
Factorizing of (p + k ) is (p + i k)(p – i k)
- 466 -
この
(p2 + k2) を因数分解すると (p + i k)(p – i k) です。
i stands for imaginary number √-1.
i は虚数単体を示します。
L[Ψ] can be expressed as
L[Ψ]を次のように書けます。
L[Ψ] = (Ψ’(0) /2ik){(1/(p-ik))-(1/(p+ik))}.
We take the inverse Laplace transform of both sides
４）
取って
３）
２）
逆ラプラス変換を
両辺の
of the last equation above, we finally obtain
１）
５）
書き直した式の
Ψ(x) = (-iΨ’(0) /2k) {e
- 467 -
ikx
–e
次式を得ます。
-ikx
},
ix
where e is rationally defined as
式中の eix は次のようにつじつまが合うように定義されています。
ix
e = cos x + i sin x
–ix
e = cos x - i sin x .
Therefore a solution of Schrodinger wave equation
１）
よって
４）
解は
３）
シュレディンガー方程式の
above is
２）
この
５）
次式です。
Ψ(x) = (Ψ’(0) /k) sin kx
As the matter of fact, we can find the formula
- 468 -
１）
４）
実は
次の公式が載っています。
2
2
L[ sin a t ] = a /(p +a )
in Laplace transform tables available. This formula
３）
ラプラス変換表に
２）
公表されている
１）
この公式を
makes it easy to find the same solution above, and
２）
使うと
４）
簡単に見つかります。３）さきほどと同じ答えが
ix
also makes it clear that the definition e , which
５）
また
９）
はっきりします。
７） ix
e の定義が
includes an imaginary number, is reasonable.
６）
８）
虚数を含む
2
2
L[Ψ] =Ψ’(0) /(p + k ),
- 469 -
合理的であることが
2
2
L[ sin a t ] = a /(p +a ) and k = a
lead us to the solution Ψ(x) = (Ψ’(0) /k) sin kx
（これらから）解が得られます。
- 470 -
=59=
It is emphasized that the strange number e takes an
奇妙な数値 e には重要な役目があると強調しました。
important role. Imaginary number i and π and e are
虚数 i とπと e は
not independent each other.
お互いに独立ではありません。
ix
e = cos x + i sin x
Let x be π, we obtain
ｘをπとすると次式になります。
- 471 -
iπ
e = -1
π and e are irrational number. And e and π are
πと e は無理数です。
また e とπは
expressed with binomial expansions which are
２項展開式で表せます。
この式は
algebraic equations. Algebraic calculations are
１）
代数式です。
代数計算は
very popular for us since early studies.
３）
なじみ深いです
。２）小学校以来
It is possible to use tables of Laplace transforms of
３）
利用できます。
２）
ラプラス変換表を
- 472 -
particular functions. These tables enable us to solve
１）
１）
いくつかの関数の
４）
この表で
解けます
differential equations easily, as if the differential
２）
微分方程式を
３）
簡単に
５）
まるで
６）
微分方程式が
equations are simple algebraic equations. As an
７）
簡単な代数式であるように。
１）
例として
example, let us consider simultaneous differential
４）
考えてみましょう。
equations below
２）
次の
dC2/dt = k1(Cin – C2)
- 473 -
３）
連立微分方程式を
dCout/dt = k2(C2 – Cout ).
The solution can be obtained by taking the Laplace
９）
２）
解が得られます。
ラプラス変換を取って
transforms of both sides, solving the resulting
１）
５）
両辺の
解いて
３）
得られた
algebraic equation, and then taking the inverse
４）
代数式を
６）
それの
８）
取ると
７）
逆ラプラス変換を
Laplace transform. By taking the Laplace transform
（連立微分方程式の）ラプラス変換をとると
we can get
次式を得ます。
- 474 -
L[C2] /L[Cin] = k1 /(p + k1)
L[Cout] /L[C2] = k2 /(p + k2)
thus
これらより次式を得ます。
L[Cout] = L[Cin] k1k2 /{(p + k1)(p + k2)} .
An oral injection dose corresponds to L[Cin] =a 1
単回経口投与は L[Cin] =a 1 に対応しています。
then
これにより次式となります。
L[Cout] =a k1k2 /{ (p + k1)(p + k2) }.
- 475 -
We now take the inverse Laplace transform of both
１）
ここで
３）
逆ラプラス変換をとり
sides of the last equation above, k1≠k2, we obtain
２）
４）
この式（k1≠k2）の両辺の
–k1 t
次式を得ます。
–k2 t
Cout(t) =a k1k2 { e
–e
} /(k2 – k1) .
The time course of blood drug concentration for
３）
２）
経時変化は
血中薬物濃度の
single oral injection is proportional to
１）
単回経口投与の時の
{e
–k1 t
–e
４）
–k2 t
次式に比例しています。
}/( k2 – k1) .
- 476 -
This solution is good either k2 > k1 or k1 > k2, and
得られた解は k2 > k1 でも k1 > k2 でも正しいです。
we must take note that the value for k1=d, k2=b is
k1 と k2 の値を取り替えても
the same as the value for k1 = b, k2 = d .
解は同じであることに注意してください。
In case of k1=k2, we obtain
k1 と k2 が等しい場合には次式を得ます。
2
Cout(t) = ak1 t e
–k1 t
.
- 477 -
=60=
Analogously, let us consider the simultaneous
（ラプラス変換利用で）５）考えましょう。３）連立
differential equations for the reaction mechanism
４）
２）
微分方程式を
反応機構に対する
discussed before.
１）
以前にとりあげた
A → B,
B → product
d[A] /dt = -k1[A], at t = 0, [A] = [A]0
d[B] /dt = k1[A] – k2[B], at t = 0, [B] = 0
- 478 -
A table of Laplace transforms tells us
ラプラス変換表によると
L[df/dt] = p×L[ f ] – f(0) .
です。
This leads us the Laplace transforms of the
１）
これにより
４）
ラプラス変換は
simultaneous differential equations above.
３）
２）
連立微分方程式の
この
pL[[A]] = -k1L[[A]] – [A]0
pL[[B]] = k1L[[A]] – k2L[[B]] . ５）です。
Transposing the first algebraic simultaneous
- 479 -
３）
書き直すと
１）
ひとつめの連立代数式を
equations above to make L[[A]] the subject, we get
２）
L[[A]]につて
４）
次式になります。
L[[A]] = [A]0 /(p + k1) .
Transposing the second algebraic simultaneous
３）
書き直すと
１）
ふたつめの連立代数式を
equations above to make L[[B]] the subject, we
２）
L[[B]]について
obtain
４）
次式になります
L[[B]] = k1L[[A]] /(p + k2) .
- 480 -
Substituting L[[A]] = [A]0 /(p + k1) into the above
３）
２）
代入して
１）
これに
L[[A]] = [A]0 /(p + k1)を
equation, we get
４）
次式を得ます。
L[[B]] = k1[A]0 /{( p + k2 ) ( p + k1 )} .
We now take the inverse Laplace transform of both
１）
ここで
５）
取ると
４）
ラプラス変換を
side of the last equation above, finally we obtain
３）
両辺の
[B] = k1[A]0 { e
２）
これの
–k1 t
–e
- 481 -
６）
–k2 t
ついに次式を得ます。
}/( k2 – k1 ) .
cf. eq. (B)
前述の B 式を比べてください。
The time course of concentration of substance B is
２）
１）
経時変化も
物質Ｂの濃度の
also proportional to
３）
次式に比例しています。
–k1 t
–k2 t
{e
–e
} /(k2 – k1) .
These two examples are the utilizations of
この２例では
L[ (e
–at
次式を使用しています。
–e
–bt
)/( b – a ) ] = 1/( p + a)( p + b)
- 482 -
which is common in Laplace transform tables.
この式は大概のラプラス変換表に出ています。
Also we can find that
３）
出ています。
１）
次式も
–at
2
L[t e ] = 1/(p + a) ,
in Laplace transform tables.
２）
ラプラス変換表に
Let us have another example where we make good
３）
２）
別の例をとりあげます。
活用できる
use of Laplace transform. The equation below is
- 483 -
１）
１）
ラプラス変換が
次の式は
called Noyes-Whitney model.
２）
Noyes-Whitneyモデルです。
dC/dt = SD(Cs-C)/V/δ
3
Function C has a unit [mol/m ], variable t ; [s],
関数Cの単位は mol/m3で
2
constants S ; [m ],
変数 t では s で
2
D ; [m /s],
Cs ; [mol/m ],
S, D, Cs, V, δでは順に m2, m2/s, mol/m3, m3, m です。
3
V ; [m ],
δ; [m].
By taking Laplace transform, we can get
- 484 -
3
ラプラス変換すると次式になります。
L[C] = {α Cs}{1/p/(p+α)}
where α=SD/V/δ
式中のαはSD/V/δです。
2
2
-3
-1
The unit of α is [m ×m /s×m ×m ] = [1/s]. This is
αの単位は
m2 m2/s m-3 m-1 で1/sです。
この単位は
the same as that of p.
pの単位と同じです。
1/{p(p+α)}={(1/p)-(1/(p+α))}×(1/α)
The equation above leads us
上記の式から次式を得ます。
- 485 -
L[C] = Cs×{(1/p)-(1/(p+α))}
Taking inverse Laplace transform of both sides we
両辺を逆ラプラス変換して
can obtain
次式になります。
-α t
C(t) = Cs (1- e
).
As time t increase, C reaches to Cs where Cs stands
時間tが増加すると
CはCsに近づきます。
for a saturated concentration.
飽和濃度です。
- 486 -
このCsは
=61=
Let the value V2 be 0 in =50=, then we can get a new
１）
=50=での V2 を 0 としましょう。２）これは
５）
新しいモデルです。
model which is good for a simulation for blood
４）
シミュレーションに有効な
injection of medicine. The model can be
３）
点滴投与の
このモデルは
dCout /dt = k{Cin – Cout }
or
つまり
L[Cout] /L[Cin] = k /(p + k ). です。
An intravenous drip injection corresponds to
- 487 -
点滴投与は次式に対応します。
Cin=a×1, for t ≧0, Cin=0, for t ≦0
or L[Cin] = a/p .
And we can get
これにより次式を得ます。
L[Cout] =ak/{p ( p + k )}= a [(1/p) – {1/(p+k)}]
Taking inverse Laplace transform we get the time
２）
取って
１）
逆ラプラス変換を
６）
得ます。
course of blood drug concentration as follows
５）
経時変化を
４）
血中薬物濃度の
- 488 -
３）
次式の
Cout (t) = a (1 – e
–k t
)
These two examples are the utilizations of
このふたつの例は 次式を使用したものです。
L[ (1 – e
–a t
)/a ] = 1/{ p (p + a)}
which is common in Laplace transform tables.
この式は大概のラプラス変換表に載っています。
- 489 -
=62=
x
The function e is rooted in the distributive law. The
関数 ex は展開法則に根ざしています。
2
2
2
law, (a+b) =a +2ab+b , knows best. This formula
次の公式で
なんでも説明できます。
この公式
assists us in understanding mathematics.
のおかげで数学が分かりやすくなります。
2
Differentiation of y=x is y’=2x.
ｙ=x2 を微分するとｙ’=2x です。
Let a be x, and b
a をｘ
ｂを
be h, and h is very small compared with x.
ｈとします。このｈはｘと比べて非常に小さいとします。
- 490 -
2
2
Dividing (x+h) -x by h we obtain 2x+h. The
(x+h)2-x2 をｈで割ると 2x+h です。この割り算の
quotient becomes 2x as h→0. This quotient is the
商はｈが０に近づくにつれて 2x になります。 この商は
2
same as dx /dx. This formula leads us to get the
２）
dx2/dx と同じです。
この公式で
４）
たどり着きます。
x
value of e and function e as discussed before. This
３）
e の値と関数 ex に
１）
説明しましたように
function and the inverse function log can describe
１）
この関数とその逆関数 log で
many phenomena.
２）
いろいろな現象を
- 491 -
３）
記述できます。
=63=
Reasonable definition
次の定義は合理的にできており
ix
e = cos x + i sin x
will develop the equation below.
下記の式につながります。
d sin x /dx = cos x .
Also binomial distribution is based on this simple
formula.
2 項分布もこの（展開）公式に基づいています。
- 492 -
This distributive law makes it possible to
１）
４）
この展開式を使って
できます。
estimate some immeasurable values of population.
３）
推定
２）
測定できない母集団のいくつかの値を
The Laplace transform is rooted in the distributive
１）
ラプラス変換も
３）
根ざしています。２）この展開式に
Law.
- 493 -
=64=
The author wishes to inform the readers, that it is
１）
本著を通じて
３）
申し上げたい。
２）
みなさまに
important to learn sciences from a view point of
６）
４）
学ぶことの大切さを。
学問を
５）
数学的観点で
mathematics. The readers are requested not to
４）
ください。
３）
しないで
hesitate or avoid mathematical language. It is not
２）
嫌ったり避けたり
１）
数学と言う言語を
３）
ありません。
hard to understand mathematical language. We have
２）
解りにくく
１）
数学語は
- 494 -
had a good enough well informed knowledge of
４）
充分に吹き込まれてきました。
３）
知識を
mathematics in early studies.
２）
数学の
１）
小学校のころから
The author had classes on これまでの大学での担当科目
“Medical Technology”, 医用工学
“Environmental Science”,
“Introduction to Physics”,
“Information processing”,
“Statics” 統計学
環境科学
物理学概論
情報処理論
- 495 -
“Chemistry” 化学
“English for pharmaceutical sciences“
and
薬学英語
“Lectures on applied mathematics in English”
英語での数学活用例
洞が峠にて 2014 12 12
- 496 -
=65=
x
e :
e to (the power) x
d[S]/dt=Vmax/(Km+[S]):
d s d t equals V max over K m plus S
2
2
2
(a+b) =a +2ab+b :
a plus b squared equals a squared plus two a b plus b
squared
41
∑k=1 k :
- 497 -
summation (k runs) from 1 to 41 k
summation of k where k runs from one to forty one
1/2
9 :
nine to one over two
f’(x) :
f prime of x
d /dx f(x) :
d d x of f at x
x
lim n→∞☆→e :
- 498 -
limit as n goes to infinite of ☆ tends to e to x
nCr :
combination of r objects out of n
log a x :
log (to the base) a of x
-1
sin y :
sin inverse y
n
Πi=1 xi :
product i runs from one to n x i
- 499 -
∫-∞∞ P(x) dx :
integral of P from minus infinity to infinity
2 2
(a+b)(a-b)=a -b :
a plus b in parenthesis times a minus b in parenthesis
equals a squared minus b squared
2
2
d Ψ/ dx :
second derivative of Ψ
- 500 -
=66= Continued
We can rewrite the equation as
次のように式を変形できます。
0 2
1 1
1 1
2 0
(a+b)(a+b) = a b + a b + a b + a b
2 2-2
1 2-1
0 2-0
= 2C2 a b + 2C1 a b + 2C0 a b
0
0
where a and b are defined as 1
式中の a0 と b0 は１であると定義されています。
to keep the integrity as has been discussed before.
１）
これは３）整合性を保つための定義です。２）前述しましたように
The index, power, 0 is not the number of times
- 501 -
１）
指数（冪数）
２）
４）
０は
回数ではありません。
a certain number, that is a or b, is to be multiplied by
３）
ある数（a か b ですが）同士をかけた
itself.
Also we can accept the equation bellow.
また
次式も納得できます。
4
4
(4-4)
3
(4-3)
2
(a+b) = 1 a b + 4 a b
+6a b
1 (4-1)
0 (4-0)
+4a b
+1a b
(4-2)
Let a be p, and let b be (1-p),
a をｐ
b を(1-p) と置きましょう。
- 502 -
where p stands for the probability of infection.
このｐは罹患している確率です。
In =22= we assumed p=1/4, 25%.
22 章では 確率 25％としました。
The first term of the right side of this equation
３）
２）
第１項は
右辺
4C4
4
１）
さきほどの式の
(4-4)
p (1-p)
is the probability of four of the four citizens are
５）
確率です。
４）
４人のうち４人とも罹患している
infected.
- 503 -
The value p4=0.004
その値は 0.004 です。
The second term
１）
第２項は
4C3
3
(4-3)
p (1-p)
is the probability of three of the four are infected.
３）
確率です。２）４人のうち３人が罹患している
The value p3=0.0047
その値は 0.0047 です。
The third term says p2=0.211
第３項によると p2=0.211 です。
- 504 -
The fourth term says p1=0.422
第４項によると p1=0.422 です
The fifth term says p0=0.316
第５項によるとひとりも罹患していない確率は 0.422 です
If the probabilities for all possible events are added,
２）
確率を
１）
起こりうるすべての事象の
３）
足し合わせると
the result must be 1, as has been mentioned.
５）
１でなければなりません。４）これまでにも申し上げたように
Generally speaking the probability of
１）
一般的に表現すると
３）
確率は
n out of N are infected is
- 505 -
２）
N 人中ｎ人が罹患している
n
(N-n)
４）
C
p
(1-p)
です。
N n
The probability for all possible events should be one.
起こりうるすべての事象の確率合計は１でなければなりません。
4
n
(N-n)
∑1 NCn p (1-p)
where n runs from 0 to N=4.
=1
ここで n を０から４とすると１です。
The Poisson distribution bellow
n –a
po(n) = a e /n! where a=Np=4×0.25=1=a
- 506 -
ポアソン分布で N=4, p=0.25 とすると
tells us that
次の計算結果を得ます。
p0(0)=p0(1)=1/e=0.368, p0(2)=0.184,
p0(3)=0.0613, p0(4)=0.0153.
4
Σn=0 p0(n)=(1+1+1/2!+1/3!+1/4!)/e≒1<1
We recognized that The Poisson distribution is an
５）
１）
理解できます。
ポアソン分布は
４）
approximation of the binomial distribution.
３）
近似
２）
２項分布の
- 507 -
であると
Kindly remember the diffinition for e that
３）
ください。２）思い出して
１）
e の次の定義を
e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+…+1/n!+…
We can see the link between these distributions and
ふたつの分布はネイピア定数とかかわりがあることが分かります。
the special number e.
- 508 -
=67= Continued
Let us have examples.
例を考えましょう。
We have two unknowns, X and Y.
ＸとＹはふたつとも未知数です。
We don’t know the values of X and Y.
ＸとＹの値は分かりません。
The information about X and Y is
ＸとＹの手がかりは
X+Y=4
Equation 1
- 509 -
and
と
2X+4Y=14 Equation 2 です。
We call it a simultaneous algebraic equation.
この手がかりは連立代数方程式です。
We want to know the solution of them.
この連立式の解を知りたいです。
Suppose God A tells us that X=1.
仮に神様ＡがＸは１だよと告げてくれて
We believed in him.
お告げを信じます。
- 510 -
We can recognize that Y should be 3.
Ｙは３のはずだと解ります。
These values satisfy equation 1.
この２つの値は式１を満足します。
And at the same time
また
同時に
these values satisfy equation 2.
この２つの値は式２を満足します。
God A makes us happy.
おかげでうれしくなります。
Suppose another God B tells us that X=2.
- 511 -
別の神様ＢがＸは２だよと告げてくれて
If we believe in him
お告げを信じます。
Y should be 2.
Ｙは２のはずです。
These values satisfy equation 1.
この２つの値は式１を満足します。
But these values do not satisfy equation 2.
でも
この２つの値は式２を満足しません。
God B make us unhappy.
がっかりです。
- 512 -
Let us have another example.
別の例をみましょう。
X and Y are unknowns.
ＸとＹは未知数です。
The information we have is
手がかりは
X squared plus Y squared equals 100.01.
Ｘ2+Y2=100.01
X plus Y equals 10.1
Ｘ+Ｙ=10.1
Someone said we can regard Y is very small
- 513 -
１）
誰かが
5）
と言いました。２）Ｙは
4）
非常に小さい
as compared with X.
3）
Ｘと比べて
In case, this proposal is right.
この場合 この提案は正しいです。
We get
次式を得ます。
X squared approximately equals 100.01.
Ｘ2+Y2≒100.01
X is about 10.0005.
Ｘは約 10.0005 です。
- 514 -
and Y is about 0.0995.
またＹは約 0.0995 です。
The exact solution is
正確な答えは
X=10 and Y=0.1
Ｘが 10 でＹは 0.1 です。
10.1 squared = (10 + 0.1) squared.
10.1 の平方は（10+0.1）の平方です。
We can neglect 0.1 as compared with 10
0.1 を 10 と比べて無視できます。
Then we get
- 515 -
これにより次式を得ます。
10.1 squared approximately equals
１）
10.1 の平方は
10 squared
３）
２）
近似で
４）
等しいです。
≒100.
100 に
The exact solution is 102.01.
これの正確な答えは 102.01 です。
As we know
いうまでもなく
(10+0.1) squared equals 10 squared+2 by 10 by 0.1
+0.1 squared. (10+0.1)2=102+2・10・0.1+0.12 です。
- 516 -
That is
つまり
100+0.2+0.01
です。
Generally speaking
一般的に書くと
(A+b) squared approximately equalsA squared+2Ab,
(A+b)2≒A2+2Ab です。
where A is very large as compared with b.
式中の A は b と比べて非常に大きいです。
- 517 -
=68=
dy(x)/dx = y(x), y(0)=1
This is a differential equation.
これは微分方程式です。
Let us take the Laplace transform of both sides of
両辺のラプラス変換を取って
this equation. We get
次式を得ます。
p L[y] – 1 = L[y]
We can rewrite this equation of p to make L[y] the
- 518 -
３）
１）
書き直すと
得られたｐについての式を
subject.
２）
L[y]について
L[y] (p-1) = 1
L[y] = 1/(p-1)
The table tells us
４）
です。
（変換）表によると
x
y(x)=e
です。
x
x
It is sure that d/dx e = e
確かに ex は微分しても ex です。
- 519 -
=69=
We can regard Mathematical expressions as a
３）
見なせます。
１）
数式は
language system.
２）
言語体系であると
Some languages have symbols and pronunciations.
たいがいの言語には記号と発音があります。
We can communicate with others by pronunciations.
３）
情報を伝えられます。２）他の人に
Sound wave is a device to do it.
音波は伝達手段です。
- 520 -
１）
発音で
Pronunciation is a device to communicate.
発音は対話の手段です。
The detector for the sound wave signals is ear.
２）
検出機は
１）
音声信号の
３）
耳です。
We can communicate with others by looking at the
４）
対話できます。
３）
他人と
２）
見て
written symbols.
１）
書いた記号を
The detector for the written symbols is eye.
２）
検出機は
１）
書いて記号の
Blessed are those
- 521 -
３）
目です。
２）
さいわいなり
who don’t know the way of reading
１）
よみかたをしらぬひとは
for they will recognize the meaning
５）
しるからなり
４）
そのわけを
by watching them.
３）
みて
Blessed are those
３）
さいわいなり
who can’t see the sequence of symbols
２）
みえぬひとは
１）
しるしのならびが
- 522 -
for they will recognize the meaning
６）
５）
しるからなり
そのわけを
by hearing them.
４）
きいて
Let have examples.
例をみてみましょう。
We have several pronunciations of symbols
３）
あります。２）いくつかの発音が
１）
記号の
2
1/(p +1).
The reciprocal of p squared plus 1 in parentheses.
３）
逆数
２）
ｐ平方足す１の
- 523 -
１）
かっこ中の
The invers number of the sum of p to 2 plus 1.
２）
逆の数
１）
ｐの２乗と１の合計の
1 over p squared plus 1 in parentheses.
３）
分の１
２）
１）
ｐ平方足す１
かっこ中の
If someone said 1 over 1 plus p squared,
１）
誰かが
４）
と言えば
３）
分の１
２）
１足すｐ平方の
then we can get the picture of this symbol.
６）
５）
目に浮かびます。
この式が
We have enjoyed mathematical languages.
数学ことばを楽しんで参りました。
This speaker gave you some example of
- 524 -
３）
２）
お知らせしました。
いくつかの例を
reading mathematical notations.
１）
数学表記の
Now this fellow wishes to emphasize
１）
ここで
６）
と申しげたい。
that seeing mathematical expressions
３）
２）
見ることは
数式を
is superior to listening them.
５）
よりまさる
４）
聞くこと
A Laplace transform table tells us that
- 525 -
ラプラス変換表によると
2
2
Laplace transform of sin at is a/(p +a )
Sin at をラプラス変換したものは a/(p2+a2)です。
2
2
L[sin at ]=a/(p +a )
つまり上式です。
We can rewrite as follows:
次のように変形できます。
2
2
a/(p +a )=a/{(p+ai)(p-ai)}
={(p+ai)-(p-ai)}/{(p+ai)(p-ai)}/2i
2
=i{(1/(p-ai))-(1/(p+ai))}/2i
- 526 -
=(1/2){(i/(p+ai) - i/(p-ai))
We take the inverse Laplace transform of left side,
左辺の逆ラプラス変換を取ると
then
次式です。
2
2
a/(p +a ) = L[sin at ]
The inverse Laplace transform of the first term of
３）
２）
逆ラプラス変換は
right side is
１）
右辺
- 527 -
第１項の
-ia
(1/2){i/(p+ai)}=L[(i/2) e ]
That of second term is
４）
です。
第２項では
ia
-(1/2){i/(p-ai)}=L[-(i/2) e ]
です。
Then we get
よって次式を得ます。
-ia
ia
L[sin at ] =L[(i/2) e ]+ L[-(i/2) e ]
The definitions lead us
定義によると次式になります。
- 528 -
-ia
ia
i{e –e }/2 = i{cos a–i sin a}/2 –i{cos a + i sin a}/2
2
= - 2i sin a/2= sin a
Now we make sure that
次式を確認できます。
2
2
L[sin at ] = a/(p +a )
- 529 -
=70= continued
The configuration of CH4 is tetrahedron. The
２）
立体配置は
１）
メタンの
３）
正四面体です。
number of conformation is large. The number of
２）
個数は
１）
立体配座の
３）
多いです。２）個数は
configuration is 1. The entropy of CH4 system can be
１）
立体配置の
３）
１です。
１）
メタンのエントロピは
obtained with the number of conformation. In case
４）
求められます。３）個数から
２）
立体配座の
２）
場合は
the system is strongly restricted, the number of
１）
その系が強く制限されている
- 530 -
４）
個数は
configuration is small.
３）
立体配座の
５）
少ないです。
Kindly image the figures of conformation
４）
ください。３）思い浮かべて２）原子同士の位置関係を
of cyclohexane system, C6H12, and of ,1-hexene or
１）
シクロヘキサンでの（C6H12）５）また１ヘキセン（ヘキサ
hex-1-en, C6H12. To compare these 2 systems leads
１エン）についても
１）
この二つを比べる
５）
と分かります。
us that cyclohexane is more restricted than
４）
シクロヘキサンはより制限されている
３）
よりも
1- hexene. The standard entropy for 1-hexene is
- 531 -
２）
１ヘキセン
１ヘキセンの標準エントロピは
greater than that of cyclohexane.
シクロヘキサンよりも大きいです。
We describe phenomena in words. Languages
現象をことばで記述します。
including mathematics make it easy to describe
数学も含めて言語のおかげで現象をたやすく記述できます。
phenomena. We can describe the structure of
ことばで分子構造を表せます。
molecules in words. A molecule is a system. A
- 532 -
ある分子は全体でひとつとして働きます。系です。
molecule is a collection of atoms. These atoms in a
分子はいくつかの原子のあつまりです。
分子中の原子は
molecule affect each other. Any atom in a molecule
互いに影響しあいます。
分子中の原子でひとり勝手に
cannot act independently. Several components make
独立して動けるものはありません。いくつかの要素で系を作ります。
a system. Any component in a system cannot act,
１）
３）
系の中のいかなる要素も
活動できません。
cannot move, independently. Some time we need to
４）
動けません。
２）
２）
独立して
- 533 -
こともあります。
compare several systems. We want to know the
１）
いくつかの系を比較する
３）
知る必要があります。
difference between several systems. If the
２）
どう違うかを
１）
系によって
descriptions of systems are sentences or words,
１）
それぞれの系の説明が言語文章で書いてあれば
quantitative comparisons between systems are next
３）
２）
定量的に比較することは
系による違いを
to impossible. If the description or evaluation of a
４）
至難です。４）あれば
２）
説明 評価が
system is one value, it is easy to compare them. For
- 534 -
１）
ある系の
３）
一つの数値で
６）
たやすいです。５）比較は
example system A is ¥30 and system B is ¥60, B is
例えば
Aは30円で
Bは60円だと
twice the price of A. These values explain each
ＢはAの倍です。
この二つの数値はそれぞれの系の説明です。
system. This value of a system is called ‘index’ of
系のこのような数値をその系の指標と言います。
the system. Today we will discuss the ‘Entropy’ for
ある系のエントロピを採りあげましょう。
the system. ‘Entropy’, ‘Yen’, ‘Engels’s coefficient’
エントロピ、円、エンゲル係数
- 535 -
and others are indices of each system. Entropy is a
などはそれぞれの系の指標です。
エントロピは
concept. Entropy is not a virtual object. Entropy is
概念です。
エントロピは物ではありません。エントロピは
not a reality. Entropy is an indicator. Probability
実存しません。エントロピはひとつの指標です。２）確率分布
distribution of occurrence of molecular arrangement
１）
分子での原子の相対的位置（並び方の）の
makes it possible to estimate the entropy value of the
３）
により
６）
５）
推定できます。
エントロピの値を
system. The molecules are very restricted in the solid
- 536 -
４）
その分子の
３）
分子は強く制限されています。１）個体状態
state that is ice. In this case the number of
２）
１）
つまり氷の
３）
この場合
数は
arrangements is small. The molecules in the gaseous
２）
並びの
４）
小さいです。
３）
１）
分子は
気体状態
state that is vapor can move freely and the number of
２）
つまり水蒸気の
４）
自由に動けて
６）
数は
arrangements is large. The molecules in the vapor
５）
並び方の
７）
大きいです。１）気体の分子は
are freer from control of movement than that of ice.
４）
より自由です。３）動きの制限から
- 537 -
２）
氷よりも
The standard entropy of vapor is greater than that of
水蒸気の標準エントロピは氷よりも大きいです。
ice. Do not be seized with the knowledge about
４）
とらわれないように。３）知識に２）エントロピについての
etropy that you have got. Do not fix your
１）
これまでに習った
５）
（が正しいと）決めつけないように。
knowledge that Entropy equals randomness, ‘乱雑さ’
４）
という知識
１）
エントロピは
３）
等しい２）国語の乱雑さに
in Japanese. The value of entropy for a system
２）
エントロピの値は
１）
ある系の
denotes the state of the system. Let us have an image
- 538 -
４）
示しています。３）その系の状態を
４）
思い浮かべましょう。
of structure of 1-hexene (hex-1-en) and of
３）
構造を
１）
１ヘキセンと
cyclohexne. ‘hexene’ is
２）
is
ヘキセン
in Japanese. ‘hexane’
シクロヘキセンの （英語と国語ではxe xaの発音が違います）
ヘキサン
in Japanese. These two molecules have the
どちらの分子も
same molecular formula. The molecular formula is
同じ分子式です。
その分子式は
C6H12. 6 carbon atoms and 12 hydrogen atoms make
C6H12です。
炭素原子６つと水素原子12個で
- 539 -
a system called 1-hexene. Also they make a system
１ヘキセンという系を構成しています。
また同じ原子で
called cyclohexane. The difference of bonding
シクロヘキセン系も構成します。１）（２つの系での）結合
structure can be indicated as the difference of
２）
構造の違いは
４）
違いとして示すことができます。
standard entropy of 1-hexene and of cyclohexane.
３）
１ヘキセンとシクロヘキサンの標準エントロピの
Molecules are stable and are able to turn back to the
１）
３）
分子は安定なもので
復元力があります。
original state. The atoms in a molecule can slightly
- 540 -
２）
基本構造への
分子中の原子は
わずかに
move and vibrate. 6 carbon atoms in a cyclohexane
振動できます。
１）
シクロヘキサン中の６つの炭素原子は
are more restricted than that of 1-hexene. In
３）
より制限されています。２）１ヘキセンと比べて
cyclohexane system 6 carbon atoms are restricted to
１）
シクロヘキセン中の６つの炭素原子は
３）
制限されています。
form a circle. The number of possible relative
２）
環状になるように
６）
４）
数は
可能な相対的
placements of atoms in a cyclohexane is smaller than
５）
位置の
３）
原子の
２）
シクロヘキサンでの７）より少ないです。
- 541 -
that of 1-hexene. Now we can see that the standard
１）
１ヘキセンよりも
５）
分かります 。１）標準エントロピは
entropy of 1-hexene is larger than that of
３）
１ヘキセンの方が
４）
大きいと
cyclohexane. Cyclohexane is more restricted than
２）
シクロヘキサンより１）シクロヘキサンは３）制限されている。
1-hexene.
２）
１ヘキセンより
- 542 -
=71=
Literature Cited
“Scientific Models on Physical Chemistry with a CD-ROM
(新)数理物理化学” Kaoru TOMURA（戸村芳）2003-2011,
ISBN978-4-901493-04-8, ISBN4-901493-44-2, ISBN4-901593-33-7,
ISBN978-4-901493-62-8:Kaoru Tomura,IPC,2013
“Quantitative Analysis” R. A. DAY, Jr. and A. L. UNDERWOOD, 1967
“Chemistry A Conceptual Approach” Charles E. MORTIMER, 1979
“Experimental Methods for Engineers” J. P. HOLMAN, 1978
“Principles of Mathematics” Carl B. ALLENDOERFER and Cletus O. OAKLEY, 1963
”Basic Engineering Mathematics” John BIRD, 2010
“Chemical Kinetics and Reaction Dynamics” Paul L. HOUSTON, 2001
“日本人の英語” 岩波新書 18 Mark Petersen, 1988
- 543 -
=72=
Fig.1 複素数計算シートの例
- 544 -
Fig.2 マクロプログラムの例
- 545 -
Fig.3 πの数値計算例 積分→π/2
- 546 -
Fig.4
f(x)=e-x sin(x) の微積分 積分→1/2
- 547 -
Fig.5
f(x)=1/{ex+e-x}の微積分 積分→π/4
- 548 -
Fig.6 乱数による有意確率推定例 行列計算例
- 549 -
Fig.7 繰り返し計算例
- 550 -
Newton-Raphson 法
Fig.8 強酸の希釈シミュレーション例
- 551 -
連立式の数値解法
Fig.9 中和滴定シミュレーション例
- 552 -
Fig.10 乱数利用の仮想電子うごき例
- 553 -
Fig.11 ある断面での存在確率密度表示例
- 554 -
Fig.12 ある断面での存在確率密度等高線表示例
- 555 -
Fig.13 直線化表示の例
- 556 -
Fig.14 反応機構（連立微分方程式）数値解法例
- 557 -
Fig.15 反応機構（連立微分方程式）数値解法例
- 558 -
Fig.17 入出力応答差分計算表示例
- 559 -
Fig.18 ３事象系のエントロピ表示例
- 560 -
Fig.19 ２原子分子安定説明例
- 561 -
Fig.20 化学平衡位置の自由エネルギでの説明例
- 562 -
Fig.21 複素数関数の表示例 Z2+2
- 563 -
Fig.22 複素数関数の表示例 Z2+2
- 564 -
Fig.23 複素数関数の表示例 Z2+2
- 565 -
im Z^2+2
-2.2
-1.9
-1.6
-1.3
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.3
1.6
1.9
2.2
3.25
3
2.75
2.5
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
argument of complex0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1.25
-1.5
-1.75
-2
-2.25
-2.5
-2.75
-3
-3.25
real
3-3.25
2.75-3
2.5-2.75
2.25-2.5
2-2.25
1.75-2
1.5-1.75
1.25-1.5
1-1.25
0.75-1
0.5-0.75
0.25-0.5
0-0.25
-0.25-0
-0.5--0.25
-0.75--0.5
-1--0.75
-1.25--1
-1.5--1.25
1.727875959-1.75--1.5
0.942477796
-2--1.75
0.157079633
imaginary -2.25--2
-0.628318531
-2.5--2.25
-1.413716694
-2.75--2.5
-2.199114858
-3--2.75
-3.25--3
Fig.24 複素数関数の表示例 Z2+2
- 566 -
im Z^2+2
15
10
real
5
-6
0
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-5
-10
-15
imaginary
Fig.25 複素数関数の表示例 Z2+2
- 567 -
Fig.26 複素数関数の表示例 eZ
- 568 -
Fig.27 複素数関数の表示例 eZ
- 569 -
exp(y+xi)
11
10
10-11
9
9-10
8
7
7-8
6
6-7
5-6
5
4-5
4
3-4
3
2-3
2
1-2
1
0-1
2.042035225
0.628318531
-0.785398163imaginary
-2.199114858
2.2
1.9
real
1.6
0
-2.2
-1.9
-1.6
-1.3
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.3
abs of complex
8-9
Fig.28 複素数関数の表示例 eZ
- 570 -
exp(y+xi)
2-2.5
1.5-2
2.5
2
1-1.5
1.5
0.5-1
1
0.5
0-0.5
0
argument of complex
-0.5-0
-0.5
-1
-1--0.5
-1.5
-2
-2.2
-1.9
-1.6
-1.3
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
1.3
1.6
1.9
2.2
-2.5
1.727875959
-1.5--1
0.942477796
0.157079633
imaginary -2--1.5
-0.628318531
-1.413716694
-2.199114858
real
-2.5--2
Fig.29 複素数関数の表示例 eZ
- 571 -
exp(y+xi)
15
10
real
5
-10
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-5
-10
-15
imaginary
Fig.30 複素数関数の表示例 eZ
- 572 -
10
12
Fig.31 正規分布 N(0,1)でエントロピ最大 1.418939
- 573 -
Fig.32 正規分布 N(0,1)での A.U.C.=1 の確認
- 574 -
Fig.33 SD=1,average=0 でのエントロピ値 1.418939 以下
- 575 -
Fig.34 SD=1, average=0 での A.U.C.=1 の確認
- 576 -
Fig.35 f(x)=sin 2x + sin 4x+ sin 8x
- 577 -
Fig.36 f(x) vs. f’(x) 及び f(x) vs.∫f(x) dx のリサージュ
- 578 -
Fig.37 写真に対するパワースペクトログラム
- 579 -
Fig.38 音声のスペクトル
Fig.39 音声のスペクトログラム
- 580 -
K124 カオス？
- 581 -
K124 カオス？
- 582 -
K124 カオス？
- 583 -

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