第章モータの理論本稿掲載のページ古橋武目次目次第章モータの理論モータの構造とトルクの発生逆起電力マブチモータ（）の構造とトルクの発生モータの等価回路と制御系のブロック線図モータのシミュレーションモータのパラメータの計測モータのシミュレーション式インバータの出力電流対出力電圧特性インバータの回転数制御系のボード線図参考文献第章モータの理論第章モータの理論モータの構造とトルクの発生図は永久磁石の極と極が向き合い，磁束密度の一様な磁界中に辺の長さがのコイルが置かれ，そのコイルには電流が流れている様子を示す．コイルに働く力はフレミングの左手の法則により説明される．図トルク発生の様子図フレミングの左手の法則モータの構造とトルクの発生図トルク発生の様子図トルク発生の様子図のように左手の親指，人差し指，中指を互いに °となるように立てると，人差し指の方向に磁束密度，中指の方向に電流があるとき親指の方向に力が発生する．従って，図のコイルには図に示すように，の長さのコイル辺にそれぞれ図示の方向に力が発生する．図中の×印は電流が紙面に垂直に表側から裏側へと流れていることを表す．矢の羽を後ろから見た絵を連想されたい．また，・印は反対に裏側から表側へ流れていることを表す．矢の頭を前から見たイメージである．これらの力は図の例では反時計方向にコイルを回転させる力となる．のコイル辺でも力は発生しているが，それぞれ真反対の方向に引っ張る力であり打ち消しあっている．図の位置にコイルがあるときに発生する力は時計方向の回転力となる．第章モータの理論一辺のコイルに発生する力は則によりである．回転力に寄与する成分は図のようにコイルの回転角度を定めると，で与えられる．二辺のコイルに発生するトルクはとなる．この回転力成分は反時計方向の回転力を正とする．同図には回転角度とトルクの関係を示してある．である．図トルクと回転角度の関係図ブラシ・整流子の効果モータの構造とトルクの発生図ブラシ・整流子の機構図ブラシ・整流子によるコイル電流の向きコイルに回転角度方向に回転できる機構を設け，さらに，コイルを一定方向に回転し続けられるようにするには図に示すように破線の左右で電流の向きを切り替えてやればよい．すなわち，の範囲では×，の範囲では・の向きに電流が流れるようにすればよい．この切り替えを実現する機構がブラシと整流子である．図にその構造を示す．整流子は円筒が左右対称に２等分されていて，それぞれコイルの両端に連結されている．整流子はコイルと一体となって方向に回転する．ブラシは電源に接続され，整流子表面に接触するように設置されている．ブラシは回転しないように固定されている．この機構によりコイルに流れる電流の向きは図のようになり，図の切り替えを実現する．回転力成分は図に示すように常に正の値となる．整流子が回転することでの位置に来たときには，整流子の切れ目の両端が同じブラシに接する，もしくは両端とも離れる事態となるが，これは無視している．図の回転力によりモータを反時計方向に回転させ続けることができる．しかし，回転力は角度に大きく依存する．回転力を平滑化する工夫の一つを図に示す．コイルをつ設け，整流子は図示のように円周を等分して，それぞれコイルの端に連結する．これらコイルと整流子が一体となって回転角度の方向に回転する機構とする．この工第章モータの理論図ブラシ・整流子による回転力図ブラシ・整流子の機構回転力の平滑化夫により，図示のように水平の位置に近いコイルにのみ電流が流れ，回転力は図に示すように平滑化される．しかし，図の機構では／のコイルは回転力に全く寄与していない．さらなる工夫を図に示す．つのコイルにの番号を付け，例えばコイルの両端はと記してある．整流子は円周を等分してある．各コイルの端を図示のように整流子と連結する．なおブラシはこれまでの位置から回転角度方向に °回転させた位置に固定してある．同図 ! には電流の経路を矢印で示してある．例えば上側のブラシから入った電流はコイル端のとに分流し，から入った電流はから出てきて下側のブラシを通って電源に帰って行く．から入った電流はから出てきて，に入り，から出てきて下側のブラシを通って電源に帰って行く．電源と各コイル端との接続状態は同図 " のようになる．ここで，同図 ! の矢印に示すようにコイル・整流子が反時計方向に回転するとする．この回転によるコイルと電源の接続状態における移動方向のイメージを同図 " に矢印で示す．図の位置からコイル・整流子が °回転した場合を図に示す．電源とコイルの接続状態は同図 " に示すとおりとなる．コイルに流れる電流は，上下のブラシを通る直線で左右を分けたとき，右反面にあるコイル辺におモータの構造とトルクの発生図ブラシ・整流子の機構回転力の平滑化の効果図ブラシ・整流子の機構回転力の平滑化（その２）いて×方向であり，左反面にあるコイル辺では・方向となる．この構造により，全てのコイルに常に電流が流れ，どのコイルの発生する回転力も反時計方向の回転に寄与する．総合的な回転力は各コイル辺の回転力成分の総和となる．図にその概形を示す．図の場合の倍の回転力が得られている．図の発生トルクにおいて，脈動成分を無視すれば，トルクは回転角度に無関係となり，と与えられる．はモータの構造と永久磁石の磁力により決まる定数であるので，比例定数をとするととなる．はトルク定数と呼ばれる．第章モータの理論図ブラシ・整流子の機構回転力の平滑化（その２ ’）図ブラシ・整流子の機構回転力の平滑化の効果（その２）逆起電力導体が磁界中を移動すれば，導体内に電圧が誘起される．図は図と同じ構造において，コイルを反時計方向に回転させた様子を示す．磁界内の導体の移動により導体内に誘起される電圧はフレミングの右手の法則により説明される．図のように．右手の親指，人差し指，中指を互いに °となるように立てると，人差し指方向の磁束密度の中を親指の方向に速度 # で導体が移動すると，導体内には中指の方向に起電力 $ が発生する．従って，図のコイルには図に示すように，の長さのコイル辺にそれぞれ図示の方向に起電力 $ が発生する．図の位置にコイルがあるときに発生する起電力は図とは逆向きになる．図に示すように回転角度において，コイルの円周方向の速度を # とすると，長さがのコイル辺が磁界を垂直に横切る速度成分はにより与えられる．よって，則により，長さが逆起電力図起電力の発生図フレミングの右手の法則のコイル辺に発生する起電力はコイルの回転数を %& %'()*+,- &'% '-. もしくは %+!+,- &'% '-. のこと．秒間の回転数． %*-. &'% '-. と呼ばれることもあるとする．最近は１秒間の回転数の単位はが用いられている．これは周波数 /0 と同じ次元である．本書では筆者が慣れ親しんだ %& を用いる．コイルの円周方向の速度はとなる．式の電圧は一辺のコイル辺に発生する電圧であるので，コイル全体で発生する電圧は $ と与えられる．回転角速度とすると $ 第章モータの理論図起電力の発生図起電力の発生である．図の機構とすることで，コイルに誘起される電圧は図のように平滑化される．に含まれる脈動成分を無視すれば，は回転角度とは無関係になる．この電圧をとすると $ と与えられる．比例定数をとすると $ である．は起電力定数とよばれる．この電圧はモータの外から印加する電源電圧の逆向きに発生することから逆起電力と呼ばれる．電源電圧を印加することで電流が流れ，それによりコイルにトルクが発生して回転し，その結果としてコイルに電源電圧に反発する逆起電力が発生する．逆起電力図起電力の発生図ブラシ・整流子の効果（逆起電力の平滑化）第章モータの理論マブチモータ（）の構造とトルクの発生図モータのキャップを外したところ図モータを分解したところ前項の説明がほとんどの教科書に出てくるモータの構造とトルク発生の原理である．では図のマブチモータはどのような構造をしているのか？分解してみた．図はプラスチックのキャップを外してモータ内部を見たところとキャップの内側の写真である．外枠の金属の円筒の内側に二つの円弧状の永久磁石が配置され，その内側に三つの円弧状の形状を持つ鉄心からなる電機子がある．外枠と永久磁石がステータ（固定子）であり，電機子がロータ（回転子）である．電機子の三つの鉄心にはコイルが巻かれている．これは電機子コイルと呼ばれる．キャップの内側には少し斜めにブラシが設けられている．図はロータを抜き出したところである．ロータの軸には整流子が設けられている様子が分かる．図はモータの模式図である．左側のブラシから流入した電流 1 は図中の下の電機子コイルへの電流と左の電機子コイルへの電流に分流し，左の電機子コイルから出てきた電流は整流子を介して右上の電機子コイルへと流入している．電流とは右側のブラシで合流して電源へと帰って行く．各電機子コイルには右ねじの法則の向きに磁界が発生し，各鉄心表面には図示のようにの磁極が現れる．図はマブチモータ（）の構造とトルクの発生図モータの構造これらの磁極による回転力の発生の様子を示す．ステータ側の永久磁石表面には図示のように右側が極，左側が極の磁極が現れている．右上の鉄心は右側の磁石と反発する．下の鉄心は右側の磁石に引きつけられ，さらに左側の磁石から反発力を受ける．これによりロータには反時計方向への回転力が生まれる．左側の鉄心は左側の磁石に引きつけられるが，その力はロータの回転軸にほぼ垂直の方向であり回転力にはほとんど寄与しない．ロータが少し反時計方向に回転したとする．ブラシ・整流子の接触関係がずれ，左側の電機子コイルの電流の向きが反転する．すなわち，回転力に寄与していない鉄心表面の磁極が反転するように作られている．ロータ，ステータの位置関係が変わったことで，上側の鉄心は新たに左側の磁石の吸引力を受ける．下側の鉄心が左側の磁石から受けていた反発力は弱まる．項で説明したモータのトルク発生の原理と本項のトルク発生の原理は異なっている．にもかかわらず，多くのモータの解説書では前項の則による説明がなされ，すでに幾多の経験も経て，その正しいことが確かめられている．本項では前項の説明との関連を示す．まず，永久磁石が作る磁束の流れを図に示す．永久磁石の極表面から出た磁束はロータの鉄心を通って反対側の永久磁石の極表面で終わる．永久磁石とロータ表面の間のギャップには空気があり，この経路の中で最も透磁率（磁束の通しやすさ）が低い．このためギャップ中を通る磁束はロータ鉄心と永久磁石の対向面にほぼ垂直となる．第章モータの理論図モータの構造（その２）また，対向面内においてほぼ一様に分布する．このことはロータ鉄心を通る磁束の量は鉄心と永久磁石の対向面積に比例することを意味する．なお，鉄心内での磁束同士の間隔が不揃いなのは，単に筆者のパワポイントの技量による．従って，図に示すように，ロータの回転角を，鉄心の永久磁石との対向面の回転軸方向の長さを，鉄心表面の垂直方向の磁束密度をとすると，鉄心を通る磁束の変化分はと与えられる．回巻きの電機子コイルの誘起電圧 $ はであり，この電圧に逆らってコイルに電流を流し込むことは，電力 2 をコイルに注入することになる．電力 2 の時間積分は仕事 3 であり，その角度による微分はトルクである．以上により前項の則によるトルクの導出と，本項の磁極同士の反発，吸引によるトルク発生の原理とが関連づけられた．マブチモータ（）の構造とトルクの発生図モータの構造（その３）図磁束の流れ図はマブチモータを２個連結して，一方をモータとし，他方を発電機として，発電機の発電電圧を測定した結果を示す．この波形は図の波形とほとんど重なる．両者を重ねた図を図に示す．図では，ロータ鉄心表面の磁束密度はロータの回転角度に無関係にほぼ一様としたが，そうであれば実測波形には平坦な部分が見られるはずであるが，正弦波を基に作図した模式図と良く合っている．このことから，実機のはに近い分布になっていると推定される．また，電圧が最低値をとる時点が少し遅くなっている．これはブラシの位置が図のの位置のよりも少し傾いていることによる．このブラシの位置のずれは図のキャップの内側の写真により確認できる．このずれにより，整流子の切り替えのタイミングは，図から図への切り替えの例よりも遅れている．写真のようにブラシの位置をずらすのは電機子反作用の影響を相殺するためである．電機子反作用とは電機子電流の影響によりロータ鉄心第章図モータの理論図モータの起電力の測定例表面の磁束密度の分布が変化することを言う．図 ! に示すように整流子が切り替わる瞬間に，ブラシは二つの整流子を短絡する．この二つの整流子につながっているコイルも短絡する．このコイルに電圧が発生しているとこのコイルには短絡電流が流れ，次に一方の整流子がブラシから離れる瞬間に火花が出る．これはブラシ，整流子を痛め，これらの寿命を縮めてしまう．そこで，電機子電流が流れている状態では，同図 " に示すようにブラシの位置をずらして，コイルに電圧が発生していないタイミングで整流子を切り替えるようにすれば、短絡電流が流れない．このタイミングは電機子電流の値に依存する．そのため，（適切な）電流値におけるタイミングに合わせてある．発電機に抵抗をつないで発電機の電機子コイルに電流を流すと，この切り替え点が変わることを確認できる．図はその測定例である．このときの電機子電流は約であった．回転数を変えてより詳細な測定をしなければ，正確なことは言えない．マブチモータ（）の構造とトルクの発生図実測波形と模式波形を重ねたところ図電機子反作用に対するブラシ位置の影響第章モータの理論図発電機から電流を取り出したときの起電力の測定例モータの等価回路と制御系のブロック線図モータの等価回路と制御系のブロック線図図漏れ磁束のイメージ図図モータの等価回路モータの等価回路は電気子抵抗と電機子インダクタンスおよび逆起電力により表される．記号の添え字のは電機子の英語 %!+*%' に由来する．電気子抵抗は電機子コイルの持つ抵抗であり，電機子インダクタンスは電機子コイルの漏れ磁束によるインダクタンスである．図は漏れ磁束のイメージ図を示す．電機子コイルを通る磁束の中には永久磁石を通る経路から外れて（漏れて），図のように電機子コイルのみを通る磁束がわずかながらある．なお，図中の漏れ磁束の経路は厳密ではない．漏れ磁束はトルクの発生，逆起電力の発生に寄与しない．しかしながら，空間には漏れ磁束の持つ磁気エネルギが蓄えられる．等価回路としてはこれはインダクタンスとして表される．図はモータの等価回路である．にはインバータの出力電圧が印加され，第章モータの理論は式のモータの逆起電力，は起電力定数である．ただし，ここでは大文字のではなく，小文字でと表している．本書では，大文字は直流成分について論じるときに用い，小文字は瞬時値について論じるときに用いている．ただし，いずれも逆起電力に含まれるリップルは無視している．この等価回路においては以下の式が成り立つ． 1 1 図モータの機械的負荷図はモータにより回される機械的負荷を示す．はモータの回転数 %!.#，はモータのトルク，はトルク定数，は慣性モーメント #%!.，! は摩擦係数 #%!.，は外部から加わるトルクである．図の実験装置においては，はモータ自身の慣性モーメントと発電機の慣性モーメントの和である．! もモータ自身と発電機を合わせた摩擦である．この機械的負荷においては以下の式が成り立つ． 1 ! 1 式，をラプラス変換すると 1 1 4 4 1 ! 4 1 となる．ここでの大文字の表記はラプラス変換された変数であることを意味する．これモータの等価回路と制御系のブロック線図らをそれぞれおよび 4 に関して求めると 4 4 1 1 ! である．これより図に示すモータのブロック線図を得る．ただし，図において 1 1 ! と置いている．図モータのブロック線図図モータ制御系のブロック線図式をラプラス変換すると 4 4 1 1 4 4 4 4 第章モータの理論となる．また，回転数検出用のモータの起電力定数をとすると 4 4 である．マイコンによる 56 制御系を含むモータ制御系のブロック線図を図に示す．はインバータのゲインである．マイコンの中では離散値による処理がなされているが，タイマによるサンプリング周期はであるのに対して，図，の実験結果における回転数の応答は以上を要している．このため，図では連続系で近似している．積分ゲインとしてみる．結果を図に示す．にオーバーシュートは見られなくなったが，回転数指令値と検出値を一致させられなくなっている．積分ゲインの有無による定常偏差（回転数指令値に変化がないときの指令値と検出値の誤差）の違いと制御系のブロック線図の関係については文献の章に詳述してある．参照されたい．図モータ回転数制御の実験結果以降の内容は，古橋武「モータドライブノート II（DC モータの理論）」アマゾン kindle 版をご覧下さい．参考文献参考文献後閑哲也「改訂版言語による 56 プログラミング入門」技術評論社，古橋武「パワーエレクトロニクスノート」コロナ社，索引索引則電機子コイル則電気子抵抗モータの等価回路 %& 電機子反作用透磁率トルク定数安定性トルク位相余裕ブラシ永久磁石回転角速度回転子回転数回転力の平滑化開ループ伝達関数角速度フレミングの左手の法則フレミングの右手の法則ブロック線図ボード線図摩擦係数右ねじの法則慣性モーメント漏れ磁束起電力定数ラプラス変換逆起電力ゲイン余裕コイル固定子磁束密度ステータ整流子電機子電機子インダクタンスルンゲ・クッタ法ロータ索引年月著者古橋武名古屋大学工学研究科計算理工学専攻本稿の内容は，著作権法上で認められている例外を除き，著者の許可なく複写することはできません．