460_2 次曲線に引いた 2 接線が直交する点の軌跡２次曲線の準線と準円 2 次曲線外の点から引いた 2 本の接線が垂直となる点の軌跡は，次のようになる．放物線： y = 4 px (1) 2 ⇒ 準線： x = − p ⇒ 準円： x + y = a + b 2 ⇒ 準円： x + y = a − b 2 2 x2 + y = 1 a2 b2 2 y2 x (3) 双曲線： 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) a b (2) 証明 (1) 楕円： 2 2 2 2 2 2 点 P ( X , Y ) から引いた接線の傾きを m とすると，接線の方程式は y − Y = m( x − X ) ⇔ ①を y = 4 px に代入して y = mx − (mX − Y ) "" ① 2 {mx − (mX − Y )} = 4 px ⇔ m2 x 2 − 2m(mX − Y ) x + (mX − Y )2 = 4 px ⇔ m 2 x 2 − 2 {m(mX − Y ) + 2 p} x + (mX − Y ) 2 = 0 2 m' 0 より，上式の判別式を D とすると D = m(mX − Y ) + 2 p 2 − m 2 (mX − Y ) 2 = 0 { } 4 ⇔ m 2 (mX − Y ) 2 + 4 pm(mX − Y ) + 4 p 2 − m 2 (mX − Y ) 2 = 0 ⇔ 4 p( Xm 2 − Ym + p) = 0 p ' 0 より Xm 2 − Ym + p = 0 "" ② X ' 0 より，②の異なる 2 つの実数解を m1 , m2 とする p m1m2 = と，解と係数の関係から X m1m2 = −1 2 つの接線の垂直条件は p = −1 ⇔ X = − p したがって X y P -p x O よって，求める点 P の軌跡は ■ 準線： x = − p (2) (1)と同様に，①を b x + a y = a b に代入して 2 2 2 2 2 2 b 2 x 2 + a 2 {mx − (mX − Y )} = a 2b 2 x =-p y 2 =4px 2 ⇔ b 2 x 2 + a 2 {m 2 x 2 − 2m(mX − Y ) x + (mX − Y ) 2 } − a 2b 2 = 0 ⇔ (a 2 m 2 + b 2 ) x 2 − 2a 2 m(mX − Y ) x + a 2 {(mX − Y ) 2 − b 2 } = 0 a 2 m 2 + b 2 ' 0 より，上式の判別式を D とすると D = a 4 m 2 (mX − Y ) 2 − (a 2 m 2 + b 2 ) ⋅ a 2 {(mX − Y ) 2 − b 2 } = 0 4 2 a ' 0 より a 2 m 2 (mX − Y ) 2 − (a 2 m 2 + b 2 ) {(mX − Y ) 2 − b 2 } = 0 ⇔ a 2 m 2 (mX − Y ) 2 − a 2 m 2 (mX − Y ) 2 + a 2b 2 m 2 − b 2 (mX − Y ) 2 + b 4 = 0 ⇔ b 2 {a 2 m 2 − (mX − Y ) 2 + b 2 } = 0 −1− http://www.geocities.jp/ikemath 2 b ' 0 より a 2 m 2 − (mX − Y ) 2 + b 2 = 0 ⇔ (a 2 − X 2 )m 2 + 2 XYm + b 2 − Y 2 = 0 "" ③ X ' ± a のとき，③の異なる 2 つの実数解を m1 , m2 とすると，解と係数の関係から 2 2 m1m2 = b2 − Y 2 a −X y m1m2 = −1 2 つの接線の垂直条件は 2 a +b 2 P したがって b 2 − Y 2 = −1 ⇔ b 2 − Y 2 = − a 2 + X 2 a2 − X 2 ⇔ X 2 + Y 2 = a2 + b2 X = ± a のとき， Y = ±b （複号任意）であれば 2 2 2 2 2 接線は直交し， X + Y = a + b に含めること b -a ができる．よって，求める点 P の軌跡は準円： x + y = a + b 2 (3) 2 2 2 O a a 2 +b 2 x -b ■ (1)と同様に，①を b x − a y = a b に代入して 2 2 2 2 2 2 b 2 x 2 − a 2 {mx − (mX − Y )} = a 2b 2 2 ⇔ b 2 x 2 − a 2 {m 2 x 2 − 2m(mX − Y ) x + (mX − Y ) 2 } − a 2b 2 = 0 ⇔ (b 2 − a 2 m 2 ) x 2 + 2a 2 m(mX − Y ) x − a 2 {(mX − Y ) 2 + b 2 } = 0 b 2 − a 2 m 2 ' 0 すなわち， m' ± b のとき，上式の判別式を D とすると a D = a 4 m 2 (mX − Y ) 2 + (b 2 − a 2 m 2 ) ⋅ a 2 {(mX − Y ) 2 + b 2 } = 0 4 a 2 ' 0 より a 2 m 2 (mX − Y ) 2 + (b 2 − a 2 m 2 ) {(mX − Y ) 2 + b 2 } = 0 ⇔ a 2 m 2 (mX − Y ) 2 − a 2 m 2 (mX − Y ) 2 − a 2b 2 m 2 + b 2 (mX − Y ) 2 + b 4 = 0 ⇔ − b 2 {a 2 m 2 − (mX − Y ) 2 − b 2 } = 0 b 2 ' 0 より a 2 m 2 − (mX − Y ) 2 − b 2 = 0 ⇔ (a 2 − X 2 )m 2 + 2 XYm − b 2 − Y 2 = 0 "" ④ X ' ± a のとき，④の異なる 2 つの実数解を m1 , m2 とすると，解と係数の関係から 2 2 m1m2 = −b2 − Y2 a −X 2 つの接線の垂直条件は m1m2 = −1 したがって −2− 460_2 次曲線に引いた 2 接線が直交する点の軌跡 −b 2 − Y 2 = −1 a2 − X 2 ⇔ − b2 − Y 2 = −a 2 + X 2 ⇔ y 2 2 U a -b X 2 + Y 2 = a 2 − b2 よって，求める点 P の軌跡は準円： x + y = a − b 2 2 2 b 2 P b ただし， m' ± より，円周上の点で a b 漸近線 y = ± x との共有点の 4 点は a 除く． a O -a x -b 2 2 U a -b ■ 例題１．[数学Ⅱ] 点 P ( p , q ) から放物線 y = x に引いた 2 本の接線が直交しているとき，点 P の軌跡を求めよ． (筑波大，熊本大，関西大，東京電機大，名城大) 2 s 点 P ( p , q) から引いた接線で，y 軸に平行となるものはないから，傾きを m とすると接線の方程式は y − q = m( x − p) ⇔ y = mx − mp + q "" ① 2 とおける．①を y = x に代入して x 2 = mx − mp + q ⇔ x 2 − mx + mp − q = 0 上の 2 次方程式の判別式を D とおくと，接するための条件から D = 0 したがって y m − 4(mp − q ) = 0 y =x 2 2 1 ⇔ m 2 − 4 pm + 4q = 0 "" ② ②の 2 実数解を m1 , m2 とすると，解と係数の関係から m1m2 = 4q 2 本の接線の垂直条件はしたがって m1m2 = −1 -1 4q = −1 ⇔ q = − 1 4 O P 0 p,q1 逆も成り立つから，求める点 P の軌跡は，直線 y = − 1 y =- x 1 4 1 である． 4 t 点 P ( p , q) から引いた接線で，y 軸に平行となるものはないから，接線の方程式は y = mx + n とおける． y = x 2 と連立させて x 2 = mx + n ⇔ x 2 − mx − n = 0 上式の判別式を D とすると，接するための条件から D = m 2 + 4n = 0 ⇔ n = − 1 m 2 4 1 2 したがって，接線の方程式は， y = mx − m と表される． 4 −3− http://www.geocities.jp/ikemath これが点 P ( p , q ) を通ることから q = mp − 1 m 2 4 ここで， m1 = 2( p + ⇔ m 2 − 4 pm + 4q = 0 ⇔ m = 2 p ± 2 p 2 − q p 2 − q ) , m2 = 2( p − p 2 − q ) とおくと，直交条件から m1m2 = 2( p + p 2 − q ) ⋅ 2( p − p 2 − q ) = −1 ⇔ 4 { p 2 − ( p 2 − q)} = −1 ⇔ q = − 1 4 逆も成り立つから，求める点 P の軌跡は，直線 y = − 1 である． 4 u 放物線 x 2 = 4 ⋅ 1 y の準線の方程式は y = − 1 であるから，y 軸が軸の放物線の場合も 4 4 成り立っていることがわかる．例題２．点 (0 , a ) を通り，楕円 a2 = 2 x 2 + y = 1 に接する 2 つの接線が直交するとき， 16 9 (芝浦工業大) である． s 点 (0 , a) から引いた接線の方程式は y = mx + n とおける． 9 x 2 + 16 y 2 = 144 に代入して 9 x 2 + 16(mx + a ) 2 = 144 ⇔ (16m 2 + 9) x 2 + 32amx + 16a 2 − 144 = 0 y 上式の判別式を D とすると，接するための条件から 5 D = (16am) 2 − (16m 2 + 9)(16a 2 − 144) = 0 4 3 ⇔ 16a 2 m 2 − (16m 2 + 9)(a 2 − 9) = 0 ⇔ 16m 2 − a 2 + 9 = 0 "" ① ①の 2 解を m1 , m2 とすると，解と係数の関係および -4 垂直条件から O 4 5x -3 2 m1m2 = −a + 9 = −1 ⇔ a 2 = 25 16 2 2 y u 楕円 x + = 1 に引いた 2 本の接線が直交する 16 9 2 2 点は，円 x + y = 16 + 9 上にあることから 02 + a 2 = 25 ⇔ a 2 = 25 ■ 練習問題．１．a は正の定数とする．点 (1 , a ) を通り，双曲線 x − 4 y = 2 に接する 2 本の直線が直交 2 (福島県立医科大) するとき，a の値を求めよ．２．楕円 2 2 x 2 + y = 1 の外部の点 P (a , b) から引いた 2 本の接線が直交するような点 P の軌 17 8 (東京工業大) 跡を求めよ． −4−