フィードバック制御系の設計� 前章までに学んだことを踏まえ， –  安定性，減衰性，速応性，定常特性を用いて，制御系の設計仕様を定量的に表現できる –  補償要素を加えることによって，設計仕様を満たす制御系を設計できる •  直列補償 •  フィードバック補償� 1 閉ループ特性に対する設計仕様� •  フィードバック制御系を評価する特性 –  安定性�（もっとも大事） –  減衰性 –  速応性 –  定常特性 •  制御系の設計においては、これらの特性をある指標で指定 –  時間応答仕様 –  周波数応答仕様 –  極零点仕様 2 時間応答仕様� 過渡特性� Os : Os :行き過ぎ量� 定常特性� ±5% c� 0.9c� lim e(t) : 定常偏差� t→∞ Td : 遅れ時間� 0.5c� Ts :整定時間� 0.1c� 0� Tr :立上がり時間� ステップ応答� t� 3 周波数応答仕様� |G(j )| MP� 1� 1 2 0� p b 4 設計仕様� 閉ループ特性開ループ特性時間特性周波数特性周波数特性減衰性 Os Mp GM, PM 速応性 Td , Tr ωb ωc 定常特性 εp , εv , εa K 5 極零点仕様� •  閉ループ伝達関数の次数がn次 –  特性に主に影響を与える、原点に近い極だけを考える ±j –  その極が共役複素数 s1,2 = •  複素共役根をもつ2次系で近似可能な場合 –  この主要極s1, s2によってシステムの�� ωn 求める仕様を指定 γ −α jβ 0 6 閉ループ特性に対する設計仕様� 閉ループ伝達関数を2次系で近似 2 s1 s2 n Go (s) = = s2 + 2 = (s + + n2 (s s1 )(s s2 ) 2 + 2 + = 2 j )(s + + j ) s +2 s+ ns 2 ±j s1,2 = 固有周波数減衰率 2 = = + = cos n ωn γ 2 −α 2 2 + 2 jβ 0 n 7 閉ループ特性｜減衰性� ts = p = パラメータ極零点� ζ（減衰率）� 時間領域� Os（行き過ぎ量）� 周波数領域� Mp（周波数応答の最大値）� 2 1 n 設計仕様 1 のとき， Os = exp n 2 2 (共振周波数）のとき Mp = 1 1 2 1 28 2 閉ループ特性｜減衰性� パラメータ� サーボ系（追値制御）� プロセス系（定値制御）� ζ 0.6〜0.8� 0.2〜0.4� Os 0〜25%� Mp 1.1〜1.5（通常1.3程度）� Os , Mp はの関数時間特性の仕様から周波数特性上で設計可� 9 閉ループ特性｜速応性� 設計仕様� パラメータ� 極零点 ωn（固有振動数）� Td （遅れ時間）時間領域� Ts （立ち上がり時間）周波数領域� Td ωb�（閉ループ遮断周波数）� b b Tr b 整定時間Tsは減衰性にも速応性にも関連するパラメータ� 振幅の包絡線 e nt = 0.05 となる t = Ts を求めると Ts 3 10 n 閉ループ特性｜定常特性� 設計仕様� パラメータ� 極零点 εp （定常位置特性） εa （定常速度特性） εd （定常加速度特性）時間領域� 周波数領域� 開ループ伝達関数で決まる •  積分項を何個持っているか Ø  何形の制御系か •  ゲイン定数K� 11 開ループ特性に対する設計仕様� •  閉ループ特性上の仕様が与えられたところで、これを満たす制御系の設計に •  開ループ伝達関数G(s)は定まっている •  ゲイン調整を行ったり、補償要素の伝達関数Gc(s)を決める�＝�制御系の設計 •  開ループ特性上で周波数特性（ボード線図）によって設計する 12 開ループ特性に対する設計仕様� gdB [dB]� K( = 0) 大：定常偏差小 c 0 大：速応性向上 GM� φ [deg]� 0 PM� −180 大：減衰性向上 13 制御系の設計（周波数応答法）� •  直列補償補償要素 Gc(s) を制御対象 Gp(s) と直列に付加して，設計仕様を満たすように設計する –  ゲイン補償（調整） –  位相遅れ補償 –  位相進み補償 –  位相遅れ進み補償� 補償要素� 制御対象� +− Gc (s) G p (s) 14 ゲイン補償（調整）� gdB [dB]� K大� 0 与えられた開ループ伝達関数� c K小� c φ [deg]� 0 −180 PM� -180° 越え不安定� 開ループ伝達関数のボード線図� Gc (s) = K 位相特性を変化させずにゲイン特性を � 20 log K dB増加� K < 1のとき� PMが増加し安定するが， ωcは低下し速応性は劣化� K > 1 のとき� ωcは高くできるが，PMは減少し不安定になる� 15 例題� 開ループ伝達関数が K G(s) = s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) で与えられる閉ループ系の位相余裕を PM=30° にするゲイン定数Kの値を求めよ補償要素 Gc(s) +− K� 制御対象Gp(s) 1 s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) 16 ボード線図を描く� c = 1.8[rad/sec] -7� PM=30°� -150� ゲインを7dBあげてよい� K=2.24� 17 ボード線図を描く� c = 1.8[rad/sec] -7� PM=30°� -150� ゲイン交差周波数も変化� 18 速応性、定常偏差に影響� ステップ応答� ゲイン補償前� ゲイン補償後� 19 例題� 開ループ伝達関数が K G(s) = s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) で与えられる閉ループ系が安定で、かつ定常速度偏差が0.1以下となるKを求めよ補償要素 Gc(s) +− K� 制御対象Gp(s) 1 s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) 20 例題� •  閉ループ伝達関数 G(s) K Go (s) = = 1 + G(s) 0.1s3 + 0.7s2 + s + K •  特性方程式は 0.1s3 + 0.7s2 + s + K = 0 •  フルビッツの安定判別法より D= a1 a3 a0 a2 •  すなわちK<7� = 0.7 K 0.1 1 = 0.7 0.1K > 0 21 例題� •  開ループ伝達関数の積分の次数は1 •  1形の制御系の定常速度偏差は v 1 = K 0.1 •  すなわちK≥10 •  二つの特性を満足するKは存在しない� 22 位相遅れ補償� 補償要素Gc(s) 1 + saT Gc (s) = , a<1 1 + sT 低周波領域でのゲインを高周波領域のゲインに比べて大きくする –  減衰性、速応性� ⇒�影響なし –  定常特性� ⇒�改善� 補償要素� 制御対象� +− Gc (s) G p (s) 23 位相遅れ補償� 1 + saT Gc (s) = , a<1 1 + sT 1 + saT gdB [dB]� 0 折れ点周波数� •  1次遅れ要素�� 20 log a m 1 aT φ [deg]� 0 1 T φm 位相遅れ要素のボード線図� 1 1 + sT � •  1次進み要素� 1 T 1 aT ゲイン� •  低周波領域 �0[dB] •  高周波領域� gc = 20 log a = 20 log |Gc (j )| 24 1 aT 位相遅れ補償� 1 + saT gdB [dB]� 0 1 + saT Gc (s) = , a<1 1 + sT 位相特性� � m 20 log a m 1 aT (1 + j aT ) (1 + j T ) 位相が最小値になる角周波数 ωm(折点周波数の中間)とそのときの位相φm m φ [deg]� 0 1 T 1 1 + sT = m = T1a = sin 1 a 1 a+1 φm 位相遅れ要素のボード線図� 25 位相遅れ補償� 1 + saT gdB [dB]� 0 20 log a m 1 aT φ [deg]� 0 1 T φm 1 1 + sT 1 + saT Gc (s) = , a<1 1 + sT 1.  位相余裕PMや速応性を示す指標ωcなどの仕様がすでに満足 2.  位相遅れ要素Gc(s)を制御対象Gp(s)に直列に付加� 3.  高周波領域のゲインがgc低下� 4.  ゲイン調整により、gc だけ一様に上げる� 位相遅れ要素のボード線図� 26 位相遅れ補償� 1 + saT Gc (s) = , a<1 1 + sT 1 + saT gdB [dB]� 0 低域のゲインのみ上げて定常特性を向上� 20 log a m 1 aT φ [deg]� 0 1 T 1 1 + sT � 低域の位相は遅れるが十分に余裕があり，減衰性，速応性にはほとんど影響を与えない� φm 位相遅れ要素のボード線図� 27 位相遅れ補償� •  閉ループ系が不安定な場合でも、補償によって位相余裕と定常偏差の仕様を満足するように設計が可能 1.  定常偏差を満たすようにゲイン調整 2.  位相遅れ補償により、高周波領域のゲインをgcだけ低下させて、位相余裕を改善 28 例題（位相遅れ補償）� 開ループ伝達関数が K G(s) = s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) で与えられる閉ループ系の位相余裕PM=40°、定常速度偏差εv≤0.1となるように補償要素を設計せよ補償要素 Gc(s) +− Gc(s) 制御対象Gp(s) K s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) 29 例題（位相遅れ補償）� •  開ループ伝達関数の積分の次数は1 •  1形の制御系の定常速度偏差は v 1 = K 0.1 K≥10 •  K=10と定めたときのボード線図を描く •  以下の教科書のボード線図は折線近似で描いているので、値が少しずれていることに注意 30 K=10のときのボード線図� K=10� 20dB上昇� K=1� 位相遅れ回路での高周波領域での位相遅れは10° 程度余裕をみて� PM = 40+10 = 50°� とする� ゲイン交差周波数� 4.4[rad/sec]� PM=50°� 補償後のゲイン交差周波数� 1.1[rad/sec]� −15°⇒不安定� 31 位相遅れ補償器の特性� |Gp (j1.1)| = 18[dB] ゲイン交差周波数でのゲインを0[dB] 位相遅れ補償器の高域でのゲインは� 20 log a = -18[dB] a=0.126� 補償器の特性� 折点周波数 1/aT はゲイン交差周波数の1/8〜1/10 に設定されるので，ここでは � 0.14 [rad/sec] とする� 0.14� 32 位相遅れ補償器� •  位相遅れ回路の折点周波数1/aTを 0.14[rad/sec]とする 1 1 aT = = = 7.14 0.14 7.14 T = = 56.7 0126 •  すなわち位相遅れ回路の伝達関数は 1 + 7.14s Gc (s) = 1 + 56.7s PM = 44°� •  設計仕様をほぼ満たす 33 位相遅れ補償後の特性� 位相遅れ補償後の特性� PM = 44°� 34 ステップ応答� 位相遅れ補償後� 位相遅れ補償前� 35 ランプ応答� 位相遅れ補償後� 位相遅れ補償後� 位相遅れ補償前� 等速度入力� 位相遅れ補償前� 36 位相進み補償� 補償要素Gc(s) 1+s T Gc (s) = , >1 1 + sT ゲイン交差周波数ωc付近の位相を進めて適当な位相余裕を確保する –  速応性� ⇒�改善補償要素� 制御対象� +− Gc (s) G p (s) 37 位相進み補償� 1+sαT� 1+s T Gc (s) = , 1 + sT gdB [dB]� 20 log 折れ点周波数� •  1次遅れ要素�� 0� 1 T m 1 T 1 1 + sT φ [deg]� m 0� 位相進み要素のボード線図� � •  1次進み要素� <1 1 T 1 T ゲイン� •  低周波領域 �0[dB] •  高周波領域� gc = 20 log a = 20 log |Gc (j )| 38 1 aT 位相進み補償� 1+sαT� gdB [dB]� 20 log Gc (s) = 1+s T , 1 + sT >1 位相特性� � 0� 1 T m 1 T 1 1 + sT 位相が最小値になる角周波数 ωm(折点周波数の中間)とそのときの位相φm m φ [deg]� m m = T1 = sin 1 1 +1 0� 位相進み要素のボード線図� 39 位相進み補償� 1+sαT� gdB [dB]� 20 log 0� 1 T m 1 T 1 1 + sT φ [deg]� m 0� 位相進み要素のボード線図� Gc (s) = 1+s T , 1 + sT >1 ゲイン交差周波数ωc 付近にωmを設定 1 1 < c< T T •  ゲイン交差周波数 ωc’が大きくなる •  移動したゲイン交差周波数ωc’における位相余裕も確保速応性の向上� 40 例題� 開ループ伝達関数が K G(s) = s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) で与えられる閉ループ系の位相余裕PM=40°、ゲイン交差周波数ωc=4.4[rad/sec]となるように補償要素を設計せよ補償要素 Gc(s) +− Gc(s) 制御対象Gp(s) K s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s) 41 例題� •  ゲイン調整でωc=4.4にするにはK=10 •  このときの位相が−197°なので不安定 •  位相余裕PM=40°を満たすためにはωc付近で57°位相を進めさせる必要 φm=40°+(197°−180°) = 57° 1 sin m = = 0.84 +1 1 = 11.5 4.4 = 14.9 m = T 1 = 1.30 T = 11.5 42 例題� 希望のゲイン交差周波数� 4.4[rad/sec]� 補償前のゲイン交差周波数� 43 ωc=4.4にゲイン調整� K=10� K=1� 希望のゲイン交差周波数� 4.4[rad/sec]� 57°進める� PM=40°� −197°� 補償前のゲイン交差周波数� 44 位相余裕を満たす補償器� 位相進み補償器により、ωc=4.4[rad/sec]付近の位相を57°進ませるその位相進み補償器の伝達関数は 1 + 0.769s Gc (s) = 1 + 0.067s 45 位相進み補償器を設計� K=10� K=1� 希望のゲイン交差周波数� 4.4[rad/sec]� 57°進める� ωc=4.4付近で 57°進ませる位相進み要素� 1 + 0.769s Gc (s) = 1 + 0.067s PM=40°� −197°� 補償前のゲイン交差周波数� 46 位相進み補償器を使用� ゲイン交差周波数が ωc=8.5に移動� K=10� 10dB� ゲインを10dB 下げればよい� K=1� 希望のゲイン交差周波数� 4.4[rad/sec]� 57°進める� ωc=4.4付近で 57°進ませる位相進み要素� 1 + 0.769s Gc (s) = 1 + 0.067s PM=40°� −197°� 47 ゲイン交差周波数を補正� •  ゲイン交差周波数がωc’=8.5[rad/sec]に変化 ⇒�仕様の4.4[rad/sec]にするためにゲイン調整により10[dB]ゲインを下げる K K = 3.16 10[dB] = 20 log 10 48 ゲイン調整によりωc=4.4に� ゲイン交差周波数が ωc=8.5に移動� K=10� K=3.16� K=1� 希望のゲイン交差周波数� 4.4[rad/sec]� PM=40°� 49 位相進み補償によるステップ応答� 位相進み補償後� 位相進み補償前� 減衰性と速応性の仕様を満足 50 位相進み遅れ補償� 補償要素Gc(s) 1 + s Ta1 1 + saT2 Gc (s) = · , a < 1, T1 < T2 1 + sT1 1 + sT2 低周波領域に折点周波数をもつ位相遅れ回路高周波領域に折点周波数をもつ位相進み回路減衰性、速応性、定常特性の仕様をすべて満たすように補償� 補償要素� 制御対象� +− Gc (s) G p (s) 51 位相進み遅れ補償� •  まず、位相進み補償か位相遅れ補償を適用 •  仕様を満足させないときにさらに位相遅れ補償、または位相進み補償を適用 •  定数a, T1, T2の決定法は位相遅れ補償や位相進み補償での決定法と同じ 52 例題8.4� 図に示されるフィードバック制御系について答えよ� +− Gc (s) Gp (s) 53 例題8.4(a)� 制御対象のボード線図が右図であるとき、伝達関数 Gp(s)を求めよ。なお、Gp(s)は s=0に1次の極をもつ� � 角周波数(rad/sec)� 54 例題8.4(a)� 折点周波数はω=2, 10[rad/sec] ゲイン特性の傾きは ω < 2では−20[dB/dec] 2 ≤ ω ≤ 10では−40[dB/dec] ω  > 10では−60[rad/dec] すなわち積分要素に加えて一次遅れ要素が2個角周波数(rad/sec)� 55 例題8.4(a)� Gp (s) は積分要素 K s 1 1 次遅れ要素 1 + sTa 1 1 + sTb から成る。すなわち K Gp (s) = s(1 + sTa )(1 + sTb ) 角周波数(rad/sec)� 56 例題8.4(a)� 折点周波数より 1 = 0.5 2 1 Tb = = 0.1 10 Ta = また， = 2[rad/sec] のときゲインが 1，すなわち 0dB であるので， K K = =1 j 0 j2 より K = 2。よって Gp (s) = 2 s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s) 角周波数(rad/sec)� 57 例題8.4 (b)� 開ループ伝達関数のボード線図が右図の赤の実線であり、補償回路の伝達関数が G (s) = 10(1 + sT2 )(1 + sT4 ) c (1 + sT1 )(1 + sT3 ) であるときの定数T1, T2, T3, T4を求めよ� ゲイン� 角周波数(rad/sec)� 58 例題8.4 (b)� 開ループ伝達関数のボード線図が右図の赤の実線であり、補償回路の伝達関数が G (s) = 10(1 + sT2 )(1 + sT4 ) c (1 + sT1 )(1 + sT3 ) であるときの定数T1, T2, T3, T4を求めよ� 位相� 角周波数(rad/sec)� 59 例題8.4 (b)� 新たな折点周波数は 0.02, 0.2, 1, 5[rad/sec]。ゲイン� •  0.02 < ω < 0.2では傾きが増大 •  1 < ω < 5では減少 •  低周波領域では位相の遅れ •  高周波領域では位相の進み� 角周波数(rad/sec)� 60 例題8.4 (b)� 新たな折点周波数は 0.02, 0.2, 1, 5[rad/sec]。位相� •  0.02 < ω < 0.2では傾きが増大 •  1 < ω < 5では減少 •  低周波領域では位相の遅れ •  高周波領域では位相の進み� � 角周波数(rad/sec)� 位相進み遅れ補償� 61 例題8.4 (b)� 各定数は折点周波数より� T1 = T2 = T3 = T4 = ゲイン� 1 = 50 0.02 1 =5 0.2 1 = 0.2 5 1 =1 1 角周波数(rad/sec)� 62 例題8.4 (b)� ゲイン余裕� GM 15[dB] ゲイン-位相図� 10[dB] 角周波数(rad/sec)� 63 例題8.4 (b)� ゲイン余裕 GM 15[dB] 10[dB] 位相余裕 P M 33 39 ゲイン交差周波数� 2[rad/sec] 4[rad/sec] c ゲイン� 角周波数(rad/sec)� 64 ステップ応答� 位相進み遅れ補償後� 補償前� 減衰性と速応性が改善 65 ランプ応答� 位相進み遅れ補償後� 等速度入力� 補償前� 定常速度偏差が減少⇒定常特性が向上� 66 フィードバック補償� 補償要素をフィードバック要素として用いるものだが、以下のように等価変換できるので、直列補償と同様に扱うことができる� +− G1 (s) + − G2 (s) Gc (s) +− 1 1+ Gc (s)G2 (s) G1 (s) G2 (s) 67 例題 8.5� 下図の制御系が次の設計仕様を満たすように K および KT を定めよ． ①  減衰率 ζ = 0.5 ②  定常速度偏差 εv ≤ 0.05� R(s) +− E(s) K� +− 10 s(s + 1) C(s) sKT 68 例題 8.5：解答例� ブロック線図を等価変換する� R(s)� E(s)� +− R(s) G(s)� 10K s2 + s(1 + 10KT ) C(s)� C(s) 10K s2 + s(1 + 10KT ) + 10K Go (s) 69 例題 8.5：解答例� 2次系の一般形と対応させると 2 10K n 2 s + s(1 + 10KT ) + 10K s2 + 2 n s + n 2 n2 = 10K, 2 n = n = 1 + 10KT = 10K 定常速度偏差は� v 1 = lim sE(s) · 2 = lim s 0 s 0 s 1 1 · 10K s 1+ 2 s + s(1 + 10KT ) 1 + 10KT = 0.05 10K 1 = lim 10K s 0 s+ s + 1 + 10KT 70 例題 8.5：解答例� まとめると� 1 + 10KT = 10K 1 + 10KT 0.5K 10K 0.5K より K また、1 + 10KT "$1+10K = 10K T # $%1+10KT ≤ 0.5K 40 400 = 20 より KT 1.9 71 例題 8.5：ステップ応答� K=50, KT = 2� 72 例題 8.5：ランプ応答� K=50, KT = 2� 73 PID制御器� 比例(Propotional)動作、積分(Integral)動作、微分(Derivative)動作で構成される制御器 t u(t) = KP e(t) + KI 0 伝達関数 de(t) e( )d + KD dt 1 Gc (s) = KP + KI + KD s s 1 = KP 1 + + TD s TI s PID制御器 +− GP ID (s) 制御対象 Gp (s) 74 PID動作� PID制御器の伝達関数 1 GP ID (s) = KP + KI + KD s s –  比例ゲイン：ゲイン調整 –  積分ゲイン：低周波領域でゲイン上昇。位相が遅れる。定常偏差に効果。位相遅れ補償器と同様の効果 –  微分ゲイン：高周波領域でのゲイン上昇。位相が進む。速応性に効果。位相進み補償器と同様の効果� 75 PID動作� PID制御器の伝達関数� Gc (s) = KP 1 1+ + sTD sTI –  KP：比例ゲイン –  TI：積分時間 –  TD：微分時間 76 PID制御の種類� •  P動作（比例動作） –  ゲイン調整に対応。安定性を改善 •  PI動作（比例＋積分動作） –  位相遅れ補償に対応。定常特性を改善 •  PD動作（比例＋微分動作） –  位相進み補償に対応。速応性を改善 •  PID動作（比例＋積分＋微分動作） –  定常特性と速応性を同時に改善� 77 PID制御器のパラメータ調整� •  PID制御器 –  調節するパラメータが3つ –  効果がわかりやすい ⇒�実用的 •  パラメータの調整も、直感的に調整することで、ある程度の性能が確保 78 ステップ応答法� 複雑な制御対象であっても近似的に次の伝達関数 Gp(s) であると見なし，ステップ応答を測定した結果から以下の表に従ってパラメータを決定する� Ke s GP (s) = 1 + sT P制御 PI制御 PID制御 Kp� 1 RL 0.9 RL 1.2 RL １次遅れ要素とむだ時間要素で近似 T I� T D� ー� ー� 3.3L� ー� 2L� 0.5L� c� R= c T t 0 τ =L 79 T 限界感度法� まず P 動作のみ(KI=KD=0)で安定限界となる KP = Ko を定め、このときの持続振動の周期 To を測定した結果から以下の表に従ってパラメータを決定する� 安定限界のときのステップ応答� P制御 Kp� T I� T D� 0.5KO� ー� ー� PI制御 0.45KO� 0.83TO� ー� PID制御 0.6KO� 0.5TO� 0.125TO� c� 0 t T O� 80