0.1. 式の計算 2014-2nd UltimateMath 式の計算 0.1 【演習 1】 n を自然数とするとき，3 つの数 a = の大きさを比較せよ。 √ √ 5 1 + 1 − 1, b = 1 − 5 1 − 1 , c = 1 n n 5n 【名古屋大学】【演習 2】多項式 (x100 + 1)100 + (x2 + 1)100 + 1 は多項式 x2 + x + 1 で割り切れるか。【京都大学】【演習 3】 x を実数として、関数 f (x) = [x] + [2 (x − [x])] を考える．ただし、実数 x に対して [x] は n 5 x となるような最大の整数 n を表す． (1) f (3.4) , f (3.7) の値を求めよ． (2) f (x) = 3 を満たす x の値の範囲を求めよ． (3) f (x) + f (2x) = 10 を満たす x の値の範囲を求めよ．【東京理科大学】 c Darumafactory -1- RadicalMath 0.2. 整数【演習 4】次の条件を満たす組 (x, y, z) を考える。条件 (A)：x, y, z は正の整数で，x2 + y 2 + z 2 = xyz および x 5 y 5 z を満たす。以下の問いに答えよ。 (1) 条件 (A) を満たす組 (x, y, z) で，y 5 3 となるものをすべて求めよ。 (2) 組 (a, b, c) が条件 (A) を満たすとする。このとき，組 (b, c, z) が条件 (A) を満たすような z が存在することを示せ。 (3) 条件 (A) を満たす組 (x, y, z) は，無数に存在することを示せ。【東京大学】整数 0.2 【演習 5】 3p3 − p2 q − pq 2 + 3q 3 = 2013 を満たす正の整数 p, q の組をすべて求めよ。【一橋大学】【演習 6】 k, x, y は正の整数とする。三角形の 3 辺の長さが k , k , 1 で，周の長さが x y xy 25 である。k, x, y を求めよ。【一橋大学】 16 c Darumafactory -2- RadicalMath 0.3. 確率【演習 7】円周上に m 個の赤い点と n 個の青い点を任意の順序に並べる。これらの点により，円周は m + n 個の弧に分けられる。このとき。これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ。ただし， m = 1, n = 1 であるとする。【東京大学】【演習 8】 (1) すべての正の奇数 k は，m > n = 0 をみたす整数 m, n によって k = m2 − n2 と表されることを示せ。 (2) 正の偶数 k で，m > n = 0 をみたす整数 m, n によって k = m2 − n2 と表されるものをすべて求めよ。【一橋大学】確率 0.3 【演習 9】サイコロを n 回投げ、k 回目に出た目を ak とする。また、sn を sn = n ∑ 10n−k ak k=1 で定める。 (1) sn が 4 で割り切れる確率を求めよ。 (2) sn が 6 で割り切れる確率を求めよ。 (3) sn が 7 で割り切れる確率を求めよ。【一橋大学】 c Darumafactory -3- RadicalMath 0.3. 確率【演習 10】最初の試行で 3 枚の硬貨を同時に投げ，裏が出た硬貨を取り除く。次の試行で残った硬貨を同時に投げ，裏が出た硬貨を取り除く。以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返す。 (1) 試行が 1 回めで終了する確率 p1 , および 2 回めで終了する確率 p2 を求めよ。 (2) 試行が n 回以上行われる確率 qn を求めよ。【一橋大学】【演習 11】 1 から n (n = 2) までの番号が，順番に 1 つずつ書かれた n 枚の札が袋に入っている。この袋の中から札を 1 枚ずつ取り出し，つぎの (i), (ii) のルールに従って A または B の箱に入れる。 ( i ) 最初に取り出した札は A の箱に入れる。 ( ii ) 2 番目以降に取り出した札は，その番号がそれまでに取り出された札の番号のどれよりも大きければ A の箱に入れ，そうでないときは B の箱に入れる。 n 枚の札すべてを取り出し，箱に入れ終わったとき，B の箱にちょうど 1 枚の札が入っている確率を求めよ。【京都大学】 c Darumafactory -4- RadicalMath 0.3. 確率【演習 12】さいころを振り，出た目の数で 17 を割った余りを X1 とする。ただし，1 で割った余りは 0 である。さらにさいころを振り，出た目の数で X1 を割った余りを X2 とする。以下同様にして，Xn が決まればさいころを振り，出た目の数で Xn を割った余りを Xn+1 とする。このようにして，Xn , n = 1, 2, · · · を定める。 (1) X3 = 0 となる確率を求めよ。 (2) 各 n に対し，Xn = 5 となる確率を求めよ。 (3) 各 n に対し，Xn = 1 となる確率を求めよ。注意：さいころは 1 から 6 までの目が等確率で出るものとする。【東京大学】 c Darumafactory -5- RadicalMath 0.3. 確率【演習 13】 N を 1 以上の整数とする。数字 1, 2, . . . , N が書かれたカードを 1 枚ずつ，計 N 枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う。 ( i ) 甲が 1 枚カードをひく。そのカードに書かれた数を a とする。ひいたカードはもとに戻す。 ( ii ) 甲はもう 1 回カードをひくかどうかを選択する。ひいた場合は，そのカードに書かれた数を b とする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は，b = 0 とする。 a + b > N の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する。 (iii) a + b 5 N の場合は，乙が 1 枚カードをひく。そのカードに書かれた数を c とする。ひいたカードはもとに戻す。a + b < c の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する。 (iv) a + b = c の場合は，乙はもう 1 回カードをひく。そのカードに書かれた数を d とする。a + b < c + d 5 N の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする。 (ii) の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを，a の値に応じて考える。以下の問いに答えよ。 (1) 甲が 2 回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を a を用いて表せ。 (2) 甲が 2 回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を a を用いて表せ。ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする。【東京大学】 c Darumafactory -6- RadicalMath 0.3. 確率【演習 14】以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。三角形の 3 つの頂点のうち 2 つの頂点上には白球を 1 個ずつ置き，他の 1 つの頂点上には黒球を 1 個置く。いま次の操作 T を何回か繰返し行う。操作 T (T1) 次の (a) または (b) の規則に従って三角形の頂点上にあるすべての球を同時に 1 回だけ動かす。 (a) 球が 1 個だけ置かれている頂点上にある球については，その球を 1 ずつで他の 2 つの頂点のう他の球の動かし方とは独立に確率 2 ちのどちらかの上に移す。 (b) 白球が 2 個置かれている頂点上にある球については，その 2 個の白球を他の 2 つの頂点おのおのの上に 1 個ずつ移す。このとき 2 個の白球のうちのどちらの白球を他のどちらの頂点上に移すかについては区別しないものとする。 (T2) 上の (Tl) の処理を行った結果白球 1 個と黒球 1 個が同一の頂点上に置かれた場合は，その白球 1 個を三角形の頂点上から取り除き黒球 1 個だけをその頂点上に残す。以下，n, m を自然数とする。操作 T を n 回繰返し行った結果，球が 1 個だけ置かれている頂点が 3 つある確率を pn , 白球が 2 個置かれている頂点と黒球が 1 個だけ置かれている頂点とが 1 つずつある確率を qn , 白球が 1 個だけ置かれている頂点と黒球が 1 個だけ置かれている頂点とが 1 つずつある確率を rn とする。 (1) p1 = （あ）, q1 = （い）であり，r1 = （う）である。 (2) pn + qn を n の式で表すと pn + qn = （え）となる。 (3) p2m−1 , p2m を m の式で表すと p2m−1 = （お）, p2m = （か）となる。さらに，rn を n の式で表すと rn = （き）となる。【慶應義塾大学】 c Darumafactory -7- RadicalMath 0.4. 図形と式【演習 15】投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標１の点に関して対称な点に石を移動する。 (1) 石が座標 x の点にあるとする。2 回硬貨を投げたとき、石が座標 x の点にある確率を求めよ。 (2) 石が原点にあるとする。n を自然数とし、2n 回硬貨を投げたとき、石が座標 2n − 2 の点にある確率を求めよ。【京都大学】図形と式 0.4 【演習 16】 α, β を実数とする。xy 平面内で、点 (0, 3) を中心とする円 C と放物線 y=− x2 + αx − β 3 √ が点 P( 3, 0) を共有し、さらに P における接線が一致している。このとき、下の問に答えよ。 (1) α, β の値を求めよ。 (2) 円 C, 放物線 y = − x2 + αx − β および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 3 【京都大学】 c Darumafactory -8- RadicalMath 0.4. 図形と式【演習 17】 a を実数とし、関数 1 1 f (x) = |x − a| − x − 2 + x − 2 3 3 を考える。f (x) の最小値は a であるとする。このとき、a = アであり、f (x) は x = イで最小値でない極小値ウをとる。【慶應義塾大学理工】【演習 18】原点を O とする xy 平面上に、放物線 C : y = 1 − x2 がある。C 上に２点 P(p, 1 − p2 )、Q(q, 1 − q 2 ) を p < q となるようにとる。 (1) ２つの線分 OP,OQ と放物線 C で囲まれた部分の面積 S を p と q の式で表せ。 (2) q = p + 1 であるときの S の最小値を求めよ。 (3) pq = −1 であるときの S の最小値を求めよ。【一橋大学】【演習 19】 0 以上の実数 s, t が s2 + t2 = 1 をみたしながら動くとき，方程式 x4 − 2(s + t)x2 + (s − t)2 = 0 の解のとる値の範囲を求めよ。【東京大学】 c Darumafactory -9- RadicalMath 0.4. 図形と式【演習 20】正３角形 ABC の頂点 A から辺 AB とのなす角が θ の方向に、３角形の内部に向って出発した光線を考える．ただし、0◦ < θ < 60◦ とする．この光線は３角形の各辺で、入射角と反射角が等しくなるように反射し、頂点に到達するとそこでとまるものとする．また、３角形の内部では光線は直進するものとする． √ 3 のとき、この光線はどの頂点に到達するかを述べよ． (1) tan θ = 4 √ 3 (2) 正の整数 k を用いて、tan θ = と表せるとき、この光線の到達する 6k + 2 頂点を求め、またそこへ至るまでの反射の回数を k を用いて表せ．【東京大学】【演習 21】座標平面上に 3 点 O(0, 0), A(4, 2), B(6, 0) を考える。平面上の直線 ` に関して点 A と対称な点が線分 OB 上にあるとき，直線 ` をピッタリ直線と呼ぶことにする。 (1) 点 (p, q) を通るピッタリ直線 ` があるとし，` に関して A と対称な点を A0 (t, 0) (0 5 t 5 6) とするとき，p, q, t の間に成り立つ関係式を求めよ。 (2) ピッタリ直線が 2 本通る点 P(p, q) の存在範囲を求め，それを図示せよ。図には三角形 OAB も書いておくこと。 (3) 点 P(p, q) を通る 2 本のピッタリ直線が直交するような点 P(p, q) の存在範囲を求め，それを図示せよ。【名古屋大学】 c Darumafactory -10- RadicalMath 0.5. 三角関数【演習 22】  { }  集合 S を S = 35m + 21nm, n は整数とする。このとき，次の問に答えよ。 (1) S の要素は 7 の倍数であることを示せ。 (2) 7 は S の要素であることを示せ。 (3) k を整数とするとき，7k は S の要素であることを示せ。 (4) x 座標，y 座標共に整数からなる点 (m, n) と直線 y = − 5 x + 5 との距離 3 7 の最小値を求めよ。また，この距離が最小となる点 (m, n) を一つ求めよ。【大阪教育大学】【演習 23】不等式 1 5 ||x| − 2| + ||y| − 2| 5 3 の表す領域を xy 平面に図示せよ。【大阪大学】三角関数 0.5 【演習 24】半径 1 の円周上に相異なる 3 点 A B, C がある。 (1) AB2 + BC2 + CA2 > 8 ならば 4ABC は鋭角三角形であることを示せ。 (2) AB2 + BC2 + CA2 5 9 が成立することを示せ。また，この等号が成立するのはどのような場合か。【京都大学】 c Darumafactory -11- RadicalMath 0.5. 三角関数【演習 25】平面上の点 O を中心とし半径 1 の円周上に相異なる 3 点 A, B, C がある。4ABC 1 以下であることを示せ。の内接円の半径 r は 2 【京都大学】【演習 26】 O を原点とする座標平面上に，y 軸上の点 P(0, p) と，直線 m : y = (tan θ)x が π とする。 2 いま，傾きが α の直線 ` を対称軸とする対称移動を行うと，原点 O は直線 y = 1 与えられている。ここで，p > 1, 0 < θ < 上の，第 1 象限の点 Q に移り，y 軸上の点 P は直線 m 上の，第 1 象限の点 R に移った。 (1) このとき，tan θ を α と p で表せ。 (2) 次の条件を満たす点 P が存在することを示し，そのときの p の値を求めよ。 ( ) π に対しても，原点を通り直線 ` に垂直条件：どのような θ 0 < θ < 2 ( ) θ な直線は y = tan x となる。 3 【東京大学】 c Darumafactory -12- RadicalMath 0.6. ベクトルベクトル 0.6 【演習 27】空間内に定点 A(1, 1, 1) がある。xy 平面上に原点を中心とする半径 1 の円があり，点 P, Q はこの円周上を PQ が直径となるように動く。 (1) ∠PAQ の最大値と最小値を求めよ。 (2) 4PAQ の面積の最大値と最小値を求めよ。【一橋大学】【演習 28】 a, b を正の実数とする．座標空間の４点 P(0, 0, 0),Q(a, 0, 0),R(0, 1, 0),S(0, 1, b) が半径１の同一球面上にあるとき、P,Q,R,S を頂点とする四面体に内接する球の半径を r とすれば、次の２つの不等式が成り立つことを示せ． ( )2 1 1 1 20 − − = r a b 3 √ √ 1 2 5 =2 +2 r 3 3 【東京大学】 c Darumafactory -13- RadicalMath 0.6. ベクトル【演習 29】四面体 ABCD は各辺の長さが 1 の正四面体とする。 −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ (1) AP = lAB + mAC + nAD で与えられる点 P に対し |BP| = |CP| = |DP| が −→ 成り立つならば，l = m = n であることを示せ。また，このときの |BP| を l を用いて表せ。 (2) A, B, C, D のいずれとも異なる空間内の点 P と点 Q を，四面体 PBCD と四面体 QABC がともに正四面体になるようにとるとき，cos ∠PBQ の値を求めよ。【東北大学】【演習 30】四面体 OABC は次の 2 つの条件 ( i ) OA ⊥ BC, OB ⊥ AC, OC ⊥ AB (ii) 4 つの面の面積がすべて等しいをみたしている。このとき，この四面体は正四面体であることを示せ。【京都大学】【演習 31】 − → − → − → 0 < t < 1 とし，平面上のベクトル a , b と単位ベクトル e が 2 → − − → − → ( i ) (1 − t) a + t b = e − → − → − → − → (ii) (1 − t)( a + e ) = t( b + e ) − → − → − → − → − → を満たすとする。さらに平面上のベクトル x があって， x − a と x − b が垂 → − − → 直で長さの比が t : 1 − t となるとする。このとき，内積 x · e を t で表せ。【東北大学】 c Darumafactory -14- RadicalMath 0.7. 数列【演習 32】平面上にそれぞれの内角が 180◦ 未満の四角形 A1 A2 A3 A4 がある。各頂点は時計回りにこの順番に並んでいるとし，便宜上 A5 = A1 とする。各 i = 1, 2, 3, 4 に対して，辺 Ai Ai+1 を 1 辺とする正方形を四角形 A1 A2 A3 A4 の外側に描き，そ − → の正方形の対角線の交点を Pi とする。各頂点 Ai の位置ベクトルを a i , 点 Pi の − → − → 位置ベクトルを p i で表すことにする。ベクトル x に対して，原点 O を中心と − → して反時計回りに 90◦ 回転して得られるベクトルを T x で表す。 → − − → (1) ベクトル p i を変換 T とベクトル a j を用いて表せ。 → − − → − → − → (2) ベクトル x と y の内積を ( x , y ) で表すとき − → − → − → − → − → − → → − − → (T x , T y ) = ( x , y ), (T x , y ) = −( x , T y ) を示せ。 (3) 線分 P1 P3 と P2 P4 とは互いに直交し，長さが等しいことを示せ。【札幌医科大学】数列 0.7 【演習 33】 n を自然数とし、整式 xn を整式 x2 − 2x − 1 で割った余りを ax + b とする。このとき a と b は整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。【京都大学】 c Darumafactory -15- RadicalMath 0.7. 数列【演習 34】 N を 2 以上の自然数とし、an (n = 1, 2, · · · ) を次の性質 (i),(ii) をみたす数列とする。 ( i ) a1 = 2N − 3, ( ii ) n = 1, 2, , · · · に対して、 an が偶数のとき、an+1 = an an − 1 , an が奇数のとき an+1 = . 2 2 このとき、どのような自然数 M に対しても、 M ∑ an 5 2N +1 − N − 5 n=1 が成り立つことを示せ。【京都大学】【演習 35】数列 {an } の初項 a1 から第 n 項 an までの和を Sn と表す。この数列が a1 = 0, a2 = 1, (n − 1)2 an = Sn (n = 1) を満たすとき，一般項 an を求めよ。【京都大学】 c Darumafactory -16- RadicalMath 0.7. 数列【演習 36】 ( ) 1 を中心とする半径 1 の円，C 次の様に円 Cn を定める。まず，C0 は 0, 1 2 2 ( ) 1 1 は 1, を中心とする半径の円とする。次に C0 , C1 に外接し x 軸に接す 2 2 る円を C1 とする。さらに，n = 3, 4, 5, · · · に対し，順に，C0 , Cn−1 に外接し x 軸に接する円で Cn−2 でないものを Cn とする。Cn (n = 1) の中心の座標を (an , bn ) とするとき，次の問いに答えよ。ただし，2 つの円が外接するとは，中心間の距離がそれぞれの円の半径の和に等しいことをいう。 (1) n = 1 に対し，bn = an 2 を示せ。 2 (2) an を求めよ。【名古屋大学】【演習 37】 2 次方程式 x2 − 4x + 1 = 0 の 2 つの実数解のうち大きいものを α, 小さいものを β とする。 n = 1, 2, 3, · · · に対し， sn = αn + β n とおく。 (1) s1 , s2 , s3 を求めよ。また，n = 3 に対し，sn を sn−1 と sn−2 で表せ。 (2) sn は正の整数であることを示し，s2003 の 1 の位の数を求めよ。 (3) α2003 以下の最大の整数の 1 の位の数を求めよ。【東京大学】 c Darumafactory -17- RadicalMath 0.7. 数列【演習 38】 k, m, n は整数とし、n = 1 とする。mCk を二項係数として、Sk (n), Tm (n) を以下のように定める。 Sk (n) = 1k + 2k + 3k + · · · · · · + nk , Sk (1) = 1 (k = 0) Tm (n) = mC1 S1 (n) + mC2 S2 (n) + mC3 S3 (n) + · · · + mCm−1 Sm−1 (n) = m−1 ∑ mCk Sk (n) (m = 2) k=1 (1) Tm (1) と Tm (2) を求めよ。 (2) 一般の n に対して、Tm (n) を求めよ。 (3) p が 3 以上の素数のとき、、Sk (p − 1)(k = 1, 2, 3, · · · .p − 2) は p の倍数であることを示せ。【名古屋大学】【演習 39】 1 で出すも 3 のとする。負けた人は脱落し、残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのと３人でジャンケンをする。各人はグー、チョキ、パーをそれぞれ確率きは誰も脱落しない）。勝ち残りが１人になるまでジャンケンを続ける。このとき各回の試行は独立とする。３人でジャンケンを始め、ジャンケンが n 回目まで続いて n 回目終了時に２人が残っている確率を pn , ３人が残っている確率を qn とおく。 (1) p1 , q1 を求めよ。 (2) pn , qn がみたす漸化式を導き、pn , qn の一般項を求めよ。 (3) ちょうど n 回目で１人の勝ち残りが決まる確率を求めよ。【名古屋大学】 c Darumafactory -18- RadicalMath 0.7. 数列【演習 40】正六面体の各面に 1 つずつ，サイコロのように，1 から 6 までの整数がもれなく書かれていて，向かい合う面の数の和は 7 である。このような正六面体が底面の数字が 1 であるように机の上におかれている。この状態から始めて，次の試行を繰り返し行う。「現在の底面と隣り合う 4 面のうちの 1 つを新しい底面にする。」ただし，これらの 4 面の数字が a1 , a2 , a3 , a4 のとき，それぞれの面が新しい底面となる確率の比は a1 : a2 : a3 : a4 とする。この試行を n 回繰り返した後，底面の数字が m である確率を pn (m) (n = 1) で表す。 (1) n = 1 のとき，qn = pn (1) + pn (6), rn = pn (2) + pn (5), sn = pn (3) + pn (4) を求めよ。 (2) pn (m) (n = 1, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6) を求めよ。【名古屋大学】 c Darumafactory -19- RadicalMath