ベクトル

ベクトル
映像:(導入)ベクトル
☆ベクトルの性質
向きと大きさを持つ量
−
→
−
→
A 向き:矢印の向き 大きさ:| A | 矢印の長さ
点A(始点)から点B(終点)に向かうベクトルは
−→
AB と表記される
☆和と差
和
−
→ −
→
A+B
つなぎ合わせる,平行線の対角線としてとらえる
差
−
→ −
→
B−A
−
→
→
−
A の終点から B の終点へ矢印をひく
☆始点書きかえ公式
−−→ −−→ −−→
AB = XB − XA
X は必要に応じて選択する
☆ベクトルの成分表示
−
→
p =
(
a
b
)
→
大きさ;|−
p|=
√
a2 + b2
たとえば
A(1,2),B(3,4) とすれば
−→
OA =
(
1
2
)
−→
,OB =
(
3
4
)
となる
また
−→
−→ −→
OP = 2OA + OB = 2
(
1
2
)
(
+
3
4
)
(
=
1
2
4
)
(
+
3
4
)
(
=
5
8
)
☆内分点公式
ABを m : n に内分する点Pのベクトルは
−→ −→
OP = OA +
m −→
AB
m+n
−→
m −→ −→
(OB − OA)
= OA +
m+n
−→
−→
nOA + mOB
=
m+n
※重心ベクトル
−→ −→ −→
−−→ OA + OB + OC
OG =
3
☆内積
−
→
→
−
a と b の内積は
−
→ → −
→
−
→
a · b = |−
a || b |cosθ
−
→
→
−
→
→
で定義される。また θ は −
a と b とのなす角である。特に −
a = b とすると
−
→
→
a ·−
a = |a|2
また成分表示での内積は
−
→
a =
(
a1
a2
)
−
→
(
,b =
b1
b2
)
とすると
−
→
−
→
a · b = a1 b1 + a2 b2
ベクトルの内積はスカラー(大きさのみの量)となる
※分配法則
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
−
−
→
→
a (−
a + b)=−
a ·→
a +→
a · b = |−
a |2 + −
a · b
例
√
−
→
→
|−
a + b|= 5
2
のとき両辺を2乗すると
−
→
−
→ → −
→
−
→ −
→ −
→
→
− −
→
→
→
→
→
→
→
→
|−
a + b |2 = ( −
a + b )·(−
a+b)=−
a ·−
a +2−
a ・ b + b ・ b = |−
a |2 +2−
a・ b +| b |2 = 5
と変形可能
☆平行条件・垂直条件
−
→
→
平行:−
a = k b (k : 実数)
−
→
→
垂直:−
a・ b = 0
平面との直交条件は平面上の2ベクトルとの内積0と考える
☆面積公式
→
−
→
−
a , b によって作られる三角形の面積は
√
−
→
−
→
1 −
→
S=
|→
a |2 | b |2 − ( −
a・ b )2
2
☆斜交座標
−
→
−
→
→
p = x−
a +y b
で f (x, y) = 0 の関係が与えられているとき
→
−
→
−
a を x 軸での単位目盛り, b を y 軸での単位目盛りとしてグラフ化する
☆ベクトル方程式
(1) 直線の方程式
定点 A(x1 , y1 , z1 ) を通り方向ベクトル (l, m, n) である直線上の点P (x, y, z) は


l
−→
AP = t  m 
n




x − x1
l
 y − y1  = t  m 
z − z1
n
∴ (t =)
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
l
m
n
(ii) 平面の方程式
−
→
定点 A(x1 , y1 , z1 ) を通り法線ベクトル h = (a, b, c) である直線上の点P (x, y, z) は
→ →
−→ −
−
AP・h = 0
3

 

x − x1
a
 y − y1 ・ b  = 0
z − z1
c
∴ ax + by + cz + d = 0(d : 定数)
4
★問題
1
−→
3点A (1,0),B(2,-2),C(-2,c) についてベクトル AB を求めよ。また3点A,B,Cが1直
線上にあるとき c の値を求めよ
2
→
−
→
2つのベクトル −
a = (3, 6), b = (− 21 , k) が平行であるとき k の値を求めよ
3
→
−
−
→
→
−
→
→
→
a = (1, −1), b = (2, 5) のとき −
p = 2−
a + b の大きさ |−
p | を求めよ
4
−
→
→
→
2つのベクトル −
a , b に対して |−
a|=
→
−
b の値を求めよ
√ →
√
−
−
→
→
→
3, | b | = 2, |−
a − 2b| = 7 であるとき内積 −
a・
5
−
→
→
2 つのベクトル −
a = (−1, 2), b = (8, c) が直交するとき c の値を求めよ。また,このと
−
→ → →
−
→
き 2−
a + b ,|2−
a + b | を求めよ
6
平面上に3点O,A,Bがあり,A(2,1),B(−3, k), ただし k > 0 とするとき△OABの面
積が
11
2
のときの k の値を求めよ
7
平行四辺形ABCDの辺ABを 2:1 に内分する点をE,BDとECの交点をFとするとき
−→ −→ −→
AF を AB, AD で表せ
8
−→
−→
−→
△OABがあり OP = αOA + β OB とする。PがABの中点となるときの α, β の値を求
めよ。また点 P が△OA B の重心のときの α, β の値を求めよ
9
−→
△OABにおいて OC =
1 −→ −→
2 OA, OD
−→
= 2OB となる点をC,Dととる。CDとABの交点
をPとするときAP:PBの値を求めよ
5
10
−→
−→
−
→
原点をOとする座標平面上の3点A,B,Pの間に 4AP + 3BP = 0 の関係があるとき
−→ −→ −→
OP を OA, OB で表せ。またPは線分ABをいくらの比に分けるか
11
直方体ABCD-EFGHにおいて
D
A
B
C
E
H
F
G
−→ −→ −→
−→
AG + DB + GC + 2CD を簡単にせよ
12
3点 (1,-2,3),(α,-7,8),(4,-5,α) が1直線上にあるとき α の値を求めよ
13
−→ −→ −−→ −→
3 点 A(3,2,4),B(5,3,-3),C(3,-1,-1) と す る と AB, |AC|, AB・AC の 値 を 求 め よ 。ま た
cos ∠BAC の値を求めよ。
6
★.5問題
1
→
−
−
→
−
→
→
→
→
2つのベクトル −
a = (1, 4), b = (2, 2) について −
a + t b を成分で表せ。また |−
a +t b |
が最小となるときの実数 t の値を求めよ
2
→
−
−
→
→
→
2つのベクトル −
a = (3, 2), b = (−1, 4) について m−
a + n b = (2, 8) であるとき実数
−
→ →
→
m, n の値を求めよ。また 3−
a − 2t b が −
a と直交するときの実数 t の値を求めよ
3
平行四辺形OABCの対角線 AC を1:3の比に内分する点をDとして,ODの延長と辺
→
−
−→ → −→ −
−→ −→ → →
A B との交点をEとする。OA = −
a , OC = b とするとき OD, OE を −
a , b を用いて表
せ
4
△OABにおいて辺OAの中点をM,辺OBを3:1に内分する点をNとし,線分BMと
→
→
−→ → −→ −
−→ → −
線分ANとの交点をPとする。OA = −
a , OB = b とするとき OP を −
a , b を用いて表
せ
5
−→
−→
−→
−→
△ABCの内部に点Pがあって 2AB + AC = 2(2PB + PC) を満たすとする。このとき,
辺APと辺BCの交点をQとする。Qの位置を述べよ。また△PAB:△PBC:△PC
Aを求めよ
6
−
→
−
→
→
→
2つのベクトル −
a = (−x + 1, x − 3, 2x − 1), b = (1, 2, 3) について −
a ⊥ b となる実数
−
x を求めよ。また →
a の大きさが最小になるときの x とその最小値を求めよ
7
空間に3点 A(1,2,-3),B(-1,0,-2),C(2,-2,4) があるとき△ABCの面積を求めよ
8
1 辺の長さが1の正四面体OABCの辺OA,BCの中点をそれぞれM,Nとする。
→−→ →
−→ −
−→ −
−−→
OA = →
a , OB = b OC = −
c とするとき MN を求めよ。また線分MNの長さを求めよ
7
★★問題
1
−→
−→
−→
−→
−→
平面上に2つのベクトル OA = (−1, 2), OB = (3, 1) と OC = OA + tOB(t は実数)
−→
(1)t = 12 のとき OC を成分表示せよ
−→
(2)|OC| の最小値とそのときの t を求めよ
−→
−→ −→
(3)(2) の t に対して OA + tOB と OB は垂直であることを示せ
2
−
−→ − −→ →
1辺の長さが l の正6角形ABCDEFについて AB = →
a ,AF = b とおく
→
−→ −−→ → −
(1)AC,AD を −
a , b を用いて表せ
→
−
−→ −→
−
(2)→
a , b を AC, AD で表せ
→
−
−→ −−→
−
(3)AC・AD = 12 のとき l, →
a・ b の値を求めよ
3
→
−→ → −→ −
△OABで OA = −
a ,OB = b とする。OBの中点をM,ABを1:2に比に内分する点
をNとし,線分AM,ONの交点をPとする
→
−→ → −
(1)ON を −
a , b で表せ
→
−→ → −
(2)OP:ON=k : 1 とおいて OP を −
a , b ,k で表せ。またAP:PMを l : 1 − l とおいて
−
→
−→ −
OP を →
a b ,l で表せ
(3)(2) の k, l の値を求めよ
4
−→
−→
−→
平面上の4点O,A,B,Cについて 5OC = 3OA + 4OB が成立しているとする。直線
→
−→ → −→ −
OA と直線 BC の交点を P, 直線 OB と直線 AC の交点を Q とし,OA = −
a ,OB = b と
する。
→
−→ → −
(1) 線分AB,OCの交点を D とするとき OD を −
a , b で表せ
→
−→ −→ → −
(2)OP, OQ を −
a , b で表せ
(3) 線分OCの中点をL,線分ABの中点をM,線分PQの中点をNとするとき3点L,
M,Nは1直線上にあることを示せ
5
△ABCがあり辺ABを2:1に外分する点D,辺BCを3:1に内分する点をE,AC
→ −→ →
−→ −
とDEの延長との交点をFとする。AB = b , AC = −
c として
→ →
−→ −→ −
(1)AD, AE を b , −
c を用いて表せ
→ −
−→ −
→
(2)AF を b , c をもちいて表せ
8
(3)AB=5,AC=7, ∠ BAC=60°のとき,△ABFの面積を求めよ
6
△OABで OA=2,OB=1 ∠AOB= 120°とし,頂点Oから辺ABに垂線OPを引く。
→
−→ −
−→ −
OA = →
a , OB = b とするとき
−
→
−
(1)→
a・ b を求めよ
−
−→ − →
(2)OPを→
a , b で表せ
(3) OPの中点をQとし,直線AQと辺OBとの交点をRとするときOR:RBを求めよ
7
△ABCとその内部にある点について
−→
−→
−→
3PA + 2PB + 2PC = 0
(1)P の位置を説明せよ
(2) △PBCと△PCAと△PABの面積比をもっとも簡単な整数比で示せ
8
映像:(典型)ベクトル
座標平面上に3点O(0,0),A(6,3),B(2,6) があるとき
(1) 点P (x, y) が実数 s, t を用いて
−→
−→
−→
OP = sOA + tOB s + t = 1
で表されるとき,点Pの描く図形を図示せよ
(2) 点 Q(x, y) が実数 p, q を用いて
−→
−→
−→
OQ = pOA + q OB p + q ≤ 1, p ≥ 0, q ≥ 0
で表されるとき,点 Q の存在領域を図示せよ
(3) 点 R(x, y) が実数 l, m を用いて
−→
−→
−→
OR = lOA + mOB 1 ≤ l + m ≤ 3, l ≥ 0, m ≥ 0
で表されるとき,点 Q の存在領域を図示せよ
9
9
→ −→ →
−→ → −→ −
図の立方体ABCD-EFGHで AB = −
a , AD = b , AE = −
c とするとき
D
A
B
C
E
H
F
G
→ −
−→ → −
(1) △BDEの重心をPとするとき APを−
a , b ,→
c で表せ
(2) 対角線AGは点Pを通ることを示し,線分AP,PGの長さの比を求めよ
(3) 対角線AGは平面BDEに垂直であることを示せ
10
空間に A(-1,2,1),B(2,-1,1)C(x,-2,y) がある
−→
(1) 線分ABを t : 1 − t の比に内分する点を P とするときベクトル OP を求めよ
−→
−→ −→
(2)(1) で求めた OP に対して OP・OC を求めよ
−→
(3) 平面OABと OC が垂直となるような x, y の値を求めよ
11
直線 l 上の点 (x, y, z) が媒介変数 t を用いて x = 3t − 2, y = 4t + 3, z = 2t − 4 と表され
るとき
(1) 直線 l と xy 平面との交点の座標を求めよ
(2) 直線 l を含み xy 平面と垂直な平面を α とする。平面 α と xy 平面との交線の方程式
を求めよ
12
映像:(典型)ベクトル
→ −→ −
−→ → −→ −
四面体OABCにおいて OA = −
a , OB = b , OC = →
c とおk
→
|−
a|=
√
√ −
−
→
−
→
−
→ →
→
2, | b | = 5, →
c = 2, −
a・ b = 2, b ・−
c = 4, ∠AOC = 45°
(1) 辺ABの長さを求めよ
(2) △ABCの面積 S を求めよ
(3) 四面体OABCの体積 V を求めよ
10
★★★問題
1
平行四辺形ABCDの対角線ACをCの方に延長し,その延長上に点EをとってCE=2
ACとなるようにする。また辺ABおよび線分DEの中点をそれぞれP,Qとする。ただ
−
−→ → −→ →
し AB = −
a , AD = b とする。
−−→ → −
→
(1)A Q を −
a , b で表せ
−−→ → −
→
(2)PQ を −
a , b で表せ
(3)3 点P,C,Qは一直線上にあり,点Cは線分PQの中点であることを示せ
2
図のように△OABにおいて,辺OA,AB,BOをそれぞれ1:2の比に内分する点をC,
D,Eとする。さらに,BCとOD,ODとAE,AEとBCの交点をそれぞれF,G,H
−
−→ → −→ →
とし,辺ABの中点MとGを結ぶ直線がOAと交わる点をNとする。OA = −
a , OB = b
とする。
B
E
H
M
D
G
F
O
C
N
A
−−→ → −
→
(1)OG を −
a , b で表せ
−−→ → −
→
−−→ −→
(2)MG//BC を示し,MN を −
a , b で表せ
(3) △OABと△FGHの面積比をもっとも簡単な整数比で表せ
3
1 辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて,対角線AC,BFの交点をGとする。
−−→ →
−
−→ →
AB = −
a , A F = b とする
11
A
B
F
G
E
C
D
→
−→ → −
(1)FB を −
a , b で表せ
−
→ −→
−
また内積 →
a・ b ,|FB| を求めよ
−−→ −−→ → −
−−→ −−→
→
(2)GB,GD を −
a , b で表せ。また GB・GD を求めよ
−−→ −−→
(3)GB,GD のなす角を θ とするとき cosθ の値を求めよ
4
△ABCの 3 辺の長さがそれぞれAB=8,BC=7,CA=3 のとき
(1) ∠Aの大きさ A を求めよ
−→ −→
(2) 内積 AB・AC を求めよ
−−→ −→
−→ −→
(3) △ABCの外心をOとして A O を AO = k AB + lAC と表すとき定数 k, l の値を求め
よ
5
映像:(典型)ベクトル
三辺の長さが BC=5,CA=6,AB=7 である△ABCの内接円と三辺BC,CA,ABの接
→ −→ −
−→ −
点を P,Q,R とする。線分APと線分BQとの交点をSとし,AB = b , AC = →
c とおく。
→ →
−→ −
(1)BP=x とおくとき線分AQの長さを x を用いて表せ。また AP を b , −
c で表せ
− →
−→ →
−
(2)AS を b , c で表せ。また 点Sは線分CR上にあることを示せ
−
→
(3)|SP| を求めよ
6
OA=6,OB=4, ∠AOB=60°である△ O ABにおいて重心をG,垂心をHとし,線分A
−
−→ − −→ →
0
Hの延長と辺OBとの交点を H とする。OA = →
a , OB = b とする
−
→
→
−−→ → −
→
(1) 内積 −
a・ b を求めよ。また OG を −
a , b で表せ
−−→0 −→
−
→
→
(2)AH ,OH をそれぞれ −
a , b で表せ
−−→ − −
→
−→ −→
(3) 点Pが 2PG = GH を満たすとき O P を →
a , b で表せ。また点Pは△OABの外心
であることを示せ。
12
7
座標平面上に 2 点A (1,4),B(-1,-3) があるとき
−→
−→
(1)3OA + 2OB の大きさを求めよ
−→
−→
−→
(2)α + β = 1 を満たす実数 α, β に対して,ベクトル OP = α2 OA + β 2 OB の終点Pはど
んな図形を描くか
8
−
−→ − −→ →
−→ →
座標平面上に 2 点A (1,1),B(-1,1) と動点P (x, y) に対して OP = →
p , OA = −
a , OB = b
とし,3つの不等式
−
→ →
→
→
−
−
→
|−
p | ≤ 1……i |−
p |2 + 1 ≥ 2→
a・→
p ……ii |−
p |2 + 1 ≥ 2 b ・−
p ……iii
を同時に満たす点Pの存在する領域をDとする
(1) 不等式 (i) を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ
(2) Dの面積を求めよ
(3) Dに属する任意の 2 点Q,Rに対して
−→
−→
−→
OS = tOQ + (1 − t)OR (0 ≤ t ≤ 1)
を満たす点Sが存在する領域の面積を求めよ
9
映像:(典型)ベクトル 2
−→ −−→
√
平面上に 3 点O,P,Qがあり,OP・O Q = −2, △OPQ=2 2 を満たしている。
−→
−→
|OP| = x, |OQ| = y, ∠POQ=θ とする
(1)cosθ,xy の値を求めよ
−→
(2)|PQ| の最小値を求めよ
−→ −→
−→
−→
−→
−→
(3)OT = OP + 32 OQ, s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1 とするとき OR = sOP + tOT を満たす点
Rの動く範囲の図形の面積を求めよ
10
四面体OABCにおいて辺ABの中点をE,辺OCを 2:1 に内分する点をF,辺OAを
−→
−→
1:2 に内分する点をPとする。またQを BP = tBC を満たす辺BC上の点とする。PQと
EFが交わるとき,実数 t の値を求めよ
11
→
座標空間内の点 P1 (1, 0, 0) を通りベクトル −
a1 = (1, 1, 0) に平行な直線を l1 とし,点
13
→
P2 (0, 2, 0) を通りベクトル −
a2 = (1, 0, 1) に平行な直線を l2 とする。
(1)l1 上の点 Q1 と l2 上の点 Q2 を結ぶ直線が l1 と l2 の両方に直交するとする。このと
きの Q1 ,Q2 の座標を求めよ
(2) 上で求めた 2 点 Q1 ,Q2 について線分 Q1 Q2 の長さを求めよ
12
−
−→ − −→ →
原点を O とし,座標空間に 3 点A (1,-1,0),B(0,1,-2),C(3,2,1) がある。OA = →
a , OB = b
とする
(1) △OABの面積を S とするとき,
√
−
→
−
→
1 −
→
S=
|→
a |2 | b |2 − ( −
a・ b )2
2
で表されることを示せ。また,これを用いて△OABの面積を求めよ
(2) 点Cを通り△OABを含む平面に垂直な直線が,この平面と交わる点をHとするとき,
−
→
−→ −
OH を →
a , b を用いて表せ
(3) 四面体OABCの体積 V を求めよ
13
図の立体で,上面OABと下面CDEは平行であり,これらは互いに合同な直角三角形で
ある。また側面OC DA はひし形,側面ABEDは平行四辺形,側面OBECは長方形で
√
→ −→ →
−→ − −→ −
−
−c = − 3
ある。OA= 3,OB=1,AB=2 また OA = →
a , OB = b , OC = −
c とおくと →
a・→
2
である
A
B
O
D
E
C
(1) ∠AOCの大きさを求めよ。またこの立体の体積を求めよ
→ →
−−→ − −
−−→
(2) △ABCの重心をGとするとき,OG を →
a , b ,−
c を用いて表せ。また |OG| を求めよ
(3)(2) で直線OGと平面ABEDとの交点をFとするとき,OG:GFをもっとも簡単な
整数の比で表せ
14
14
Oを原点とする座標空間に 3 点A,B,Cがあり,
−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→
OA・BC = OB・C A=O C・A B = k
→
− →
−
を満たしている。点A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれ →
a , b ,−
c とする
−
→ −
→ →
→
→
−
(1)k の値を求め,−
a・−
c =→
a・ b = b ・−
c を示せ
−
→
→
(2) △ABCの重心Gのベクトルを g とする。−
g が△ABCを含む平面に垂直であると
き,△ABCは正三角形であることを示せ
−−→
−→ −−→
(3)(2)において OA・O B = 2, |A B| = 2 のとき四面体O-ABCの体積を求めよ
15
四面体ABCDについて AB⊥CD,AC⊥BD とするとき
−→ −−→
(1)AD・BC を求めよ
(2) Oを四面体ABCDに外接する球の中心として,点Hを
−→ 1 −→ −→ −→ −→
OH = (OA + OB + OC + OD)
2
−→ −→
により定めるとき AH・BD = 0 であることを示せ
(3) 頂点A,B,C,Dから対面に下ろした4つの垂線は点Hで交わることを示せ
15
★★★★問題
1
−→
OA:OB= 3:2, ∠AOB= 60°である△OABの外接円の中心をCとする。OA =
→
−
−→ −
−→ − →
→
−
a , OB = b とするとき OCを→
a ,b で表せ
2
平面上において,点Oを始点とする2つの半直線を l1 , l2 とし,それらのなす角は鋭角 θ
とする。点Aは l1 上の点でOA=1, 点Bは l2 上の点で OB= b とする。次に直線AB上
に点Oからおろした垂線と直線ABとの交点をPとする。
−→ −→
−→ −→
−→
−→
(1)OA, OB により OP を OP = tOA + (1 − t)OB とするとき t を b と θ を用いて表せ
(2)θ を固定し,b を b > 0 の範囲で動かすとき,点Pが l1 , l2 で挟まれる部分(ただし,
l1 , l2 も含む)にあるための b の範囲を求めよ
(3)b が (2) で求めた範囲で動くとき,点Pの描く軌跡と l1 , l2 で囲まれる部分の面積を求
めよ
3
四面体OABCがあり,∠AOB=∠AOC= 90°,∠BOC= 60°,辺OA,OB,O
Cの長さはそれぞれ a, a, 2 である。
このとき,点Oから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をPとす
るとき,Pが三角形ABCの内部(辺上を含む) にあるための a の条件を求めよ
4
映像:(典型)ベクトル 2
Oを原点とする xyz 空間に3点A(4,-6,-2),B(1,-5,3),C(1,-9,1) がある。Oから△AB
Cを含む平面に下ろした垂線がこの平面と交わる点をHとし,Hから直線ABに下ろした
垂線の足をQとする。
−→
(1)OH を成分で表せ
−→
(2)AQ を成分で表せ
5 2 つの平面 α : 2x + y + z − 3 = 0…(i),β : x + 2y − z + 6 = 0 について
(1)2 つの平面 α, β のなす角を鋭角で求めよ
(2) 2つの平面 α, β の交線 l の方程式を求めよ
(3) 平面 α 上の点A (1,2,-1) を通り,平面 β と垂直な直線 m の方程式を求めよ。また m
と β との交点 B の座標を求めよ。さらに直線 m を含み,直線 l と垂直な平面 γ の方程式
を求めよ
16
6
空間内の点A,Bの座標をそれぞれ (0,0,1),(0,0,-1) とし,原点をOとする。
−→
−→
(1) 点P (x, y, z) はA,Bと異なる点でベクトル AP とベクトル BP が垂直になるように
動くものとする。このとき x, y, z の満たす条件を求めよ
(2) Pが (1) の条件を満たすとき,直線APと xy 平面の交点を Q(u, v, 0) とする。u, v を
x, y, z を用いて表せ
(3) このとき x, y, z を u, v をもちいて表せ
−→
→
(4)P が(1)の条件を満たし,さらに OP がベクトル −
α = (1, 1, 1) に垂直になるように
動くとき,Qは xy 平面上のどのような図形を描くか答よ。
7
中心A(2,2,2), 半径 r =
√
3 の球面 S と,z 軸を含む平面 α : x − ky = 0 について
(1) 球面 S と平面 α が1点で接するとき k の値を求めよ
(2)k =
4
3
のとき平面 α と球面 S の交わりの円の半径とその中心の座標を求めよ
8
√
√
1
3 −
1
3
−
→
−
→
→
x1 = (1, 0), x2 = (− ,
), x3 = (− , −
)
2 2
2
2
→, −
→ −
→
とおく。3つのベクトル −
x
1 x2 , x3 の中から等確率
1
3
で1つのベクトルを取り出す試行を
n 回くり返す。ただし,各試行は互いに無関係に行われるものとする。このときベクトル
−
→, −
→, −
→ が取り出された回数をそれぞれ n .n , n(n + n + n = n)とする。
x
x
x
1
2
3
1
2
次の問に答えよ
3
1
2
3
−
→ + b−
→ + c−
→=→
(1)a, b, c を実数とする。このとき a−
x
x
x
0 となるための必要十分条件は
1
2
3
a = b = c であることを示せ
(2)n = 3m(m は自然数) のとき
−
→+n −
→
−
→ →
n1 −
x
1
2 x2 + n3 x3 = 0
となる確率を Pm とする。
(イ)P1 を求めよ
(ロ) 一般に,自然数 m に対して,Pm を求めよ
(3)m > 1 に対して
Pm <
m
Pm−1
m+1
17
であることを示せ。
9
→
座標空間において,原点Oを通り,ベクトル −
u = (1, 4, 1) に平行な直線を l, 点A (0,2,1)
を中心とする半径1の球面を S とする。直線 l と球面 S の交点の内,原点Oに近いもの
をPとおく。
(1) 点Pの座標を求めよ
−→ −−→
(2) 内積 PO・AP を求めよ
−→
(3) 平面APO上で,直線APに関して,点Oと対称な点をRとする。ベクトル PR を成
分で表せ。
(4) 直線PRと xy 平面の交点の座標を求めよ
10
(1)xy 平面で,動点Pは集合 M ={(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}を
動点Qは集合 N ={(x, y)||x| + |y| = 3}を動くとする。このとき,
−→ −→ −→
OR = OP + OQ で表される点Rが動いてできる図形を図示しその面積を求めよ。ただし
Oは原点とする。
(2)xyz 空間で,動点Pは集合 M ={(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}を
動点Qは集合 N ={(x, y, z)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1}を動くとする。このとき,
−→ −→ −→
OR = OP + OQ で表される点Rが動いてできる図形の体積を求めよ。ただしOは原点と
する。
18
★★★★★問題
1
−→ −→ → −→ −→ −
−→−→ →
△ ABC において AB・AC = −
x ,BC・BA=→
y ,CACB=−
z とおく。
(1) 各辺の長さをそれぞれ x, y, z を用いて表せ
(2)xy + yz + zx > 0 が成立することを証明せよ
2
映像:(難問)ベクトル1
自然数 k に対して,xy 平面上のベクトル v~k = (cos 45◦ k, sin 45◦ k) を考える。a, b を正の
−
→ −
→ −
→
−
→
数とし,次の xy 平面上のベクトル P0 , P1 , P2 , ……P8 を
−
→
P0 = (0, 0)
−−−−−−→
−→
P2n P2n+1 = a−
v−
2n+1 (n = 0, 1, 2, 3)
−−−−−−−−→
−→
P2n+1 P2n+2 = b−
v−
2n+2 (n = 0, 1, 2, 3)
により定める
(1)P0 = P8 を示せ
(2)P0 , P1 , P2 ………P8 を順に結んで得られる八角形の面積を a, b で表せ
√
(3) 面積 S が7,線分 P0 P4 の長さが 10 のとき a, b の値を求めよ
3
四面体 OABC の面 ABC の重心を G とする。線分 OG を t : 1 − t の比に内分する点を
P とする。また直線 AP と面 OBC の交点を A’,直線 BP と面 OCA の交点を B’,直線
CP と面 OAB の交点を C’ とする。このとき三角形 A’B’C’ と三角形 ABC は相似である
ことを示し,相似比を求めよ。
4
空間に点 A(0,0,6) と球面 S:x2 + y 2 + z 2 − 2y − 2z + 1 = 0 がある。A から S に接線を
引き,その接点を P とする。またその接線が xy 平面と交わる点を Q とする。接点 P が
S 上を動くとき,点 Q の軌跡を表す方程式を求めよ。
5
半径 r の球面上に4点 A,B,C,D がある。四面体 ABCD の各辺の長さは
AB =
√
3, AC = AD = BC = BD = CD = 2
19
を満たしている。このとき r の値を求めよ。
6
四面体 OABC は次の2つの条件
(i)OA ⊥ BC,OB ⊥ AC,OC ⊥ AB
(ii) 4つの面の面積はすべて等しい
を満たしている。この四面体は正四面体であることを示せ
7
三角錐 ABCD において辺 CD は底面 ABC に⊥である。AB=3 で辺 AB 上の 2 点 E,F
は AE=EF=FB=1 を満たし,∠ DAC=30°,∠ DEC=45 °,∠ DBC=60°である。
(1) 辺 CD の長さを求めよ
(2)θ=∠ DFC とおくとき cos θ を求めよ。
8
映像:(難問)ベクトル2
四面体 OABC において OA=OB=2,OC=1, ∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=60°とする。
−→
−→
−→
辺 OA 上に点 P を OP = xOA となるようにとり,三角形 OBC の内部に点 Q を内積 PQ
−→
−→ −→
・OB と PQ・OC がともに 0 になるようにとる。
−→
−→ −→
(1)OQ を x, OB, OC を用いて表せ
(2)x が 0 < x < 1 の間を動くとき,四面体 BCPQ の体積の最大値と,その最大値を与え
る x の値を求めよ
9
r は 0 < r < 1 をみたす実数とする。xyz 空間に原点 (0,0,0) と 2 点 A(1,0,0),B(0,1,0) を
とる。
−→
−→
−→
(1)xyz 空間の点 P で条件 |PA| = |PB| = r ・|PO| を満たすものが存在するような r の範
囲を求めよ
−→ −→
(2) 点 P が (1) の条件をみたして動くとき,内積 PA・PB の最大値,最小値を r の関数と
考えてそれぞれ M (r), m(r) で表す。このとき左からの極限
lim (1 − r)2 (M (r) − m(r))
r → 1−0
を求めよ。
10
C を底面が半径2の円で高さが6の直円錐とし,これを xyz 空間に頂点が原点 (0,0,0) で
20
√
√
底面の中心が A(0, 3 2, 3 2) となるようにおく。C の表面のうち底面と頂点以外の部分
を側面と呼ぶ
(1)P(a, b, c) を C の側面上の点とする。P から線分 OA に下ろした垂線の長さを b, c で表
せ。
(2)(x, y, 2) が C の表面上の点であることを表す x と y の方程式を求めよ。
11
xyz 空間において,xy 平面上に原点を中心とする半径2の円 C がある。また,点 (0,1,0)
を通りベクトル (1,1,-2) に平行な直線を l とする。この l 上の動点 P から最短距離にある
C 上の点を Q とする。点 P が l 全体を動くとき,点 Q が動く範囲を図示せよ。
21