2014 年度「ファイナンス保険数理特論」 補足3 — 非対称ランダムウォークに関する中心極限定理 — 2014 年 6 月 16 日, 高岡浩一郎(一橋大)∗ 【このファイルは4頁分です. 】 問題 1ステップの時間幅が 1 n で空間幅が an のランダムウォークを考える.上昇確率と下降確率は, 1ステップごとに pn と 1 − pn とする.ただし,an と pn は n には依存するが分岐点には依存し ないと仮定する.また,an は正で lim an = 0 も仮定する.0 ≤ pn ≤ 1 である. n→∞ このとき時刻 1, つまり n ステップ後のランダムウォークの位置(確率変数になる)の積率母関 数は { Mn (x) = pn ean x + (1 − pn ) e−an x }n (1) となるが,この関数が n → ∞ のときに各点収束【つまり x の値を任意に固定する毎に収束】 するような数列 { an } および { pn } をすべて決定せよ.またこの時の lim Mn (x) を求めよ. 【※ 一般の時刻 t > 0 については,本稿 p.3 の注3参照. 】 n→∞ 解答 2つの段階に分けて議論する. Step 1 式 (1) 右辺の n 乗の中身が n → ∞ の時に 1 に収束することを示す.この式は上から pn ean x + (1 − pn ) e−an x ≤ pn ean |x| + (1 − pn ) ean |x| = ean |x| のように評価でき,同様に下からは pn ean x + (1 − pn ) e−an x ≥ pn e−an |x| + (1 − pn ) e−an |x| = e−an |x| まとめると e−an |x| ≤ pn ean x + (1 − pn ) e−an x ≤ ean |x| ∗ 一橋大学大学院商学研究科.E-mail: [email protected] 1 となるので,はさみうちより { lim n→∞ pn ean x + (1 − pn ) e−an x } = 1 Step 2 Mn (x) が各点収束するための必要十分条件は, 「x を任意に固定するごとに log Mn (x) が極限を 持ち,極限値(x に依存しても良い)が実数もしくは −∞」である.この条件が満たされる時 { } lim log Mn (x) = lim n log pn ean x + (1 − pn ) e−an x n→∞ n→∞ [ = lim { n n→∞ pn e an x + (1 − pn ) e −an x ] } log { p ean x + (1 − p ) e−an x } n n −1 pn ean x + (1 − pn ) e−an x − 1 【※分母がゼロの時の対処法は,次頁の注2参照. 】 { = lim n n→∞ } pn ean x + (1 − pn ) e−an x − 1 log y y→1 y−1 【 Step 1 と lim = lim n {1+q 2 n→∞ { = lim n n→∞ (2) n = 1 より】 } 1 − qn −an x e −1 2 ean x + 【ただし qn := 2 (pn − 12 ) 】 ean x + e−an x − 2 ean x − e−an x + qn 2 2 } ゆえに x ̸= 0 の時に lim log Mn (x) + lim log Mn (−x) = n→∞ n→∞ = = 2 lim n n→∞ ean x + e−an x − 2 2 ean x + e−an x − 2 (an x)2 · (an x)2 2 2 lim n · n→∞ lim n (an x)2 n→∞ ey + e−y − 2 = 1 】 y→0 y2 【 ∵ lim よって,n → ∞ の時に数列 n a2n は収束する.収束先の平方根を σ と記すと,x ̸= 0 の時に { } ean x − e−an x σ 2 x2 + lim n qn lim log Mn (x) = n→∞ n→∞ 2 2 { ean x − e−an x · an x 2 an x = σ 2 x2 + 2 = σ 2 x2 + x lim n an qn n→∞ 2 n qn · lim n→∞ } ey − e−y = 1 】 y→0 2y 【 ∵ lim x は正の時もあれば負の時もあるので, 「x を任意に固定するごとに log Mn (x) が極限を持ち,極 限値(x に依存しても良い)が実数もしくは −∞」ならば,数列 n an qn も実数に収束する. 2 逆に, lim n→∞ √ nan = σ かつ lim n an qn = µ のとき, Mn の各点収束先は n→∞ lim Mn (x) = exp n→∞ ( σ 2 x2 2 ) + µx σ > 0 のとき,収束先は正規分布 N(µ, σ 2 ) の積率母関数である.また σ = 0 のとき,収束先は ✷ 定数関数 µ の積率母関数である. 注1 σ の値は数列 an のみに依存して決まる. pn には依存しないことに注意する. 注2 前頁 (2) の式中の分母がゼロになる可能性がある.この場合,以下のように議論すれば大丈夫で ある:連続関数 f : R → R を { f (y) := log y y−1 if y ̸= 1, 1 if y = 1 と定義すると, { } { } ( ) log pn ean x + (1−pn ) e−an x = pn ean x + (1−pn ) e−an x − 1 f pn ean x + (1−pn ) e−an x となるので,この式の右辺に n を乗じて n → ∞ の極限を考えたもので (2) 式を置き換えれば, (2) の分母がゼロの場合もOK. 注3 一般の時刻 t > 0 に対しては,以下のように議論する.まず,1 頁目の問題文では確率過程が 1 n の自然数倍の時刻に対してしか定義されていないので, nk と k+1 n の間の時刻に対しては線形補完 { } した連続過程を Wn (t) t≥0 と記し,固定された時刻 t > 0 に対して,確率変数 Wn (t) の積率母 [ ] 関数 Mn (x) = E ex Wn (t) に対して 1 頁目と同じ問題を考える. nk ≤ t < k+1 のとき,つまり n k = ⌊nt⌋ のとき, Wn ( ⌊nt⌋ ) n ( ⌊nt⌋ ) 1 1 − √ ≤ Wn (t) ≤ Wn +√ n n n なので, }⌊nt⌋ |x| { }⌊nt⌋ |x| { √ −√ e n ≤ Mn (x) ≤ pn ean x + (1 − pn ) e−an x pn ean x + (1 − pn ) ean x e n よって, 1 lim log Mn (x) = t n→∞ = } { 1 lim ⌊nt⌋ log pn ean x + (1 − pn ) e−an x t n→∞ lim n n→∞ } { ⌊nt⌋ log pn ean x + (1 − pn ) e−an x nt { = lim n log n→∞ pn ean x + (1 − pn ) e−an x 3 } 【 ∵ lim n→∞ ⌊nt⌋ = 1 】 nt あとは前頁と同じ議論になる. Mn の各点収束先は lim Mn (x) = exp n→∞ ( σ 2 t x2 2 ) + µtx であり,これは σ > 0 ならば正規分布 N(µt, σ 2 t) の積率母関数である. 注4 特性関数が広義一様収束するための必要十分条件も,同じ答えになる.なお,確率分布族に対し て,以下の3つの性質が同値であることが知られているので,厳密な議論のためには積率母関数で なく特性関数を用いるほうが良い: • 確率分布が弱収束する. • 特性関数が広義一様収束する. • 特性関数が各点収束して,かつ収束先の関数が x = 0 で連続である. 以上. 4
© Copyright 2024 Paperzz