[1] 頂点の個数が奇数個である凸多角形の頂点を 1 つおきに結んでできる星形多角形について, 次の (1), (2) に答えなさい。図 (1) 上の図のように, 星形多角形の先端部分にできる 7 つの角の和を求めなさい。 1 (i) A a G b a b B c g c g F C f d f d E e D 上の図のように, 多角形内の角をそれぞれ決める三角形の内角の和は 180 °なのでそれぞれ A+a+b=180 ° B+b+c=180 ° C+c+d=180 ° D+d+e=180 ° E+e+f=180 ° F+f+g=180 ° G+g+a=180 ° この両辺を足すと, (A+B+…+G)+2(a+b+…+g)=180 °× 7 … (ii) e b-180° a-180° c-180° g-180° f-180° d-180° e-180° 次に内側の七角形に着目すると内角の角度は図のようになる。七角形の内角の和は 900 °なので (180 °-a)+(180 °-b)+(180 °-c)+(180 °-d)+(180 °-e)+(180 °-f)+(180 °-g)=900 ° これを整理すると a+b+…+g=360 ° … , より A+B+C+D+E+F+G=540 ° よって求める角度の和は,540 ° (終) 2 [2] 下の図 1 は, 点 O1 を中心としてかいた 2 つの球で, 点 A, B は外側の球面上にあり, 線分 AB は内側の球の接点である。同様に, 図 2 は, 点 O2 を中心としてかいた 2 つの球で, 点 C, D は外側の球面上にあり, 線分 CD は内側の球の接線である。次の (1), (2) に答えなさい。 (1) 図 1 において AB=20 のとき, 外側と内側の球の面積の差を求めなさい。 (2) 図 1, 図 2 において, それぞれ同じ点を中心としてかいた 2 つの球で, AB=CD ならば, 外側の球と内側の球の表面積の差は, 球の半径にかかわらずいつでも等しくなることを証明しなさい。 3 [3] 平面上に三角形 OAB があり, その 3 辺の長さは OA=3, AB=7, −→ −→ −−→ − → OB=5 である。この三角形の外心を K とし, またGO+GA+GB= 0 − −→ → −−→ → を満たす平面上の点を G とする。OA=− a ,OB= b として, 次の (1) ∼(3) に答えなさい。 − → → (1) − a ・ b を求めなさい。 → −−→ − − (2) OK=x→ a +y b とするとき, x, y の値を求めなさい。 (3) 線分 GK の長さを求めなさい。 4 [3] 平面上に三角形 OAB があり, その 3 辺の長さは OA=3, AB=7, −→ −→ −−→ − → OB=5 である。この三角形の外心を K とし, またGO+GA+GB= 0 − −→ → −−→ → を満たす平面上の点を G とする。OA=− a ,OB= b として, 次の (1) ∼(3) に答えなさい。 − → → (1) − a ・ b を求めなさい。 → − − → → − → a ・ b = |− a | b cos ∠ AOB 余弦定理より AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA・OBcos ∠ AOB 72 = 32 + 52 − 3・5cos ∠ AOB 整理して cos ∠ AOB = − 21 よって − → − → → − → a ・ b = |− a | b cos ∠ AOB = 3・5・(− 12 ) = − 15 2 → −−→ − − (2) OK=x→ a +y b とするとき, x, y の値を求めなさい。 K は三角形 OAB の外心なので − → −−→ −−→ − OK = AK = BK − → − → − − OK = x→ a +y b − → −−→ −→ − AK = OK − OA − → → → = x− a +y b −− a − → − → = (x − 1) a + y b − → −−→ −−→ − BK = OK − OB − → − → → = x− a +y b − b − → − = x→ a + (y − 1) b − →2 −−→2 − 0 = OK − AK − → → − → − 0 = (x− a + y b )2 − ((x − 1)→ a + y b )2 − − → − 2 − → → →2 − → → → 0 = (x2 |→ a |2 + 2xy − a・b + y 2 b ) − ((x − 1)2 |− a |2 + 2(x − 1)y − a・b + y 2 b ) → − → − → 0 = 2x |− a |2 − |→ a |2 + 2y − a・b ) 0 = 2x・32 − 32 + 2y・(− 15 2 0 = 6x − 5y − 3…(i) 同様にして 5 − −→2 −−→2 0 = OK − BK を計算すると 0 = 21x − 50y + 25…(ii) (i)(ii) より { 0 = 6x − 5y − 3 0 = 3x − 10y + 5 これを解いて x = 11 9 13 y = 15 (3) 線分 GK の長さを求めなさい。 −→ −→ −−→ − → GO + GA + GB = 0 より −→ −→ −→ −−→ −→ − → − OG + (OA − OG) + (OB − OG) = 0 −→ 1 −→ 1 −−→ OG = 3 OA + 3 OB → − → a + 13 b = 13 − また (2) から − → −−→ 11 − OK = 9 → a + 13 b 15 −−→ −−→ −→ GK = OK − OG なので − → − → −−→ → − − a + 13 b ) − ( 13 → a + 31 b ) GK = ( 11 9 15 → 8 − → = 89 − a + 15 b − →2 →2 − 8 − → a + 15 b) GK = ( 89 − →2 − → 2 64 → 64 − → − − = 64 | a | + a ・ b + b 81 135 225 64 64 × 9 + 135 × (− 15 ) + 225 × 25 = 64 81 2 64 = 9 よって − → − GK = 8 3 6 7 [4] 赤球が n 個, 白玉が (10 − n) 個入っている袋から, よくかき混ぜて同時に玉を 3 個取り出す。ただし, 3 ≤ n ≤ 7 とする。次の (1)∼(3) に答えなさい。 (1) 赤玉を 3 個取り出す確立を n で表しなさい。 5 (2) 赤玉を 2 個, 白玉を 1 個取り出す確率が 12 になるときの n の値を求めなさい。 (3) (2) のとき, 取り出す赤玉の個数の期待値を求めなさい。 8 [4] 赤玉が n 個, 白玉が (10 − n) 個入っている袋から, よくかき混ぜて同時に玉を 3 個取り出す。ただし, 3 ≤ n ≤ 7 とする。次の (1)∼(3) に答えなさい。 (1) 赤玉を 3 個取り出す確立を n で表しなさい。赤玉が n 個, 白玉が (10 − n) 個入っているので, 玉は全部で 10 個入っている玉 10 個の玉から 3 個取り出すときの事象は 10・9・8 10 C3 = 3・2・1 赤球 n 個の玉から 3 個取り出すときの事象は n・(n−1)・(n−2) n C3 = 3・2・1 求める確率は・(n−2) 3・2・1 n C3 ・10・9・8 = n・(n−1) 3・2・1 10 C3 ・(n−2) = n・(n−1) 720 5 になるときの n の値を求 (2) 赤玉を 2 個, 白玉を 1 個取り出す確率が 12 めなさい。ｎ個の赤玉から 2 個取り出すときの事象は n・(n−1) n C2 = 2・1 10-ｎ個の白玉から 1 個取り出すときの事象は 10−n 10−n C1 = 1 求める確率は C2・10−n C1 10 C3 n・(n−1) 10−n 3・2・1 = 2・1 ・ 1 ・10・9・8 1 = 240 n(n − 1)(10 − n) n 5 1 これが 12 と等しいので, 240 n(n − 1)(10 − n) = これを満たす n は 3 ≤ n ≤ 7 の範囲では n=5 5 12 (3) (2) のとき, 取り出す赤玉の個数の期待値を求めなさい。 (2) のとき,n=5 なので, 赤玉と白玉は 5 個ずつある 10 個の玉から 3 個取り出すときの事象は 10 C3 = 120 このとき (i) 赤玉 5 個の中から 3 個取るときの事象は 9 C3 = 10 10 確率は 120 (ii) 赤玉 5 個の中から 2 個, 白玉 5 個の中から 1 個取り出すときの事象は 5 C2 ×5 C1 = 50 50 確率は 120 (iii) 赤玉 5 個の中から 1 個, 白玉 5 個の中から 2 個取り出すときの事象は 5 C1 ×5 C2 = 50 50 確率は 120 5 よって求める期待値は 10 50 50 × 3 + 120 × 2 + 120 ×1 120 180 = 120 = 32 10 [5] f(x)=cosx とする。曲線 y=f(x) 上の点 P(t, f(t)) における接線 l と, 曲線 y=f(x), y 軸, 直線 x= π2 で囲まれた, 下の図の斜線部分の面積を S(t) とするとき, 次の (1)∼(3) に答えなさい。ただし, 0 < t < π2 とする。 (1) 接線 l 方程式を求めなさい。 (2) S(t) を t の式で表しなさい。 (3) S(t) の最小値を求めなさい。 11 [5]f (x) = cosx とする。曲線 y = f (x) 上の点 P (t, f (t)) における接線 l と, 曲線 y = f (x), y 軸, 直線 x = π2 で囲まれた, 下の図の斜線部分の面積を S(t) とするとき, 次の (1)∼(3) に答えなさい。ただし, 0 < t < π2 とする。 (1) 接線 l の方程式を求めなさい。 f (x) = cosx 上での接線の傾きの式は f ′ (x) = −sinx より, 点 P (t, f (t)) 上での傾きは f ′ (t) = −sint よって接線 l の式は y − cosx = −sint(x − t) y = −xsint + tsint + cost (2) S(t) を t の式で表しなさい。 ∫ π S= π02 ((−xsint + tsint + cost) − cosx)dx ∫ = 02 (−xsint + tsint + cost − cosx)dx π 2 =[− x2 sint + xtsint + xcost − sinx]02 2 =− π8 sint + π2 tsint + π2 cost − sin π2 − (−sin0) 2 =− π8 sint + π2 tsint + π2 cost − 1 (3) S(t) の最小値を求めなさい。 2 S(t) = − π8 sint + π2 tsint + π2 cost − 1 2 S ′ (t) = − π8 cost + π2 sint + π2 tcost − π2 sint 2 = − π8 cost + π2 tcost 2 = cost(− π8 + π2 ) 0 < t < π2 より S ′ (t) = 0 となるのは t = π4 x S(t) S ′ (t) … ↘ - π 4 極小 0 … ↗ + よって S(t) の最小値は 2 S( π4 ) = − π8 sin π4 + π2・π4 sin π4 + π2 cos π4 − 1 12 √ ・ 2 −1 = π√ 2 2 = 42 π − 1 13 [6] 2 次関数 f (x) = 3x2 − 6ax + a + 2 について, 次の (1)∼(3) に答えなさい。 (1) f(x) の頂点の座標を求めなさい。 (2) 0 ≤ x ≤ 2 における f(x) の最小値 m を a で表しなさい。 (3) 0 ≤ x ≤ 2 において, つねに f(x)>0 が成立するような a の値の範囲を求めなさい。 14 [6] 2 次関数 f (x) = 3x2 − 6ax + a + 2 について, 次の (1)∼(3) に答えなさい。 (1) f(x) の頂点の座標を求めなさい。 f (x) = 3x2 − 6ax + a + 2 = 3(x2 − 2ax) + a + 2 = 3(x2 − 2ax + a2 − a2 ) + a + 2 = 3(x − a)2 − 3a2 + a + 2 よって, f (x) の頂点は (a, −3a2 + a + 2) (2) 0 ≤ x ≤ 2 における f(x) の最小値 m を a で表しなさい。 (i)a<0 のとき x = 0 で最小値をとるので m = f (0) = a + 2 (ii)0 ≤ a ≤ 2 のとき x = a で最小値をとるので m = f (a) = −3a2 + a + 2 (iii)2<a のとき x = 2 で最小値をとるので m = f (2) = 3・22 − 6・2a + a + 2 = −11a + 14 (3) 0 ≤ x ≤ 2 において, つねに f (x)>0 が成立するような a の値の範囲を求めなさい。 f (x)>0 が成立するような条件は (i)a<0 のとき f (0) > 0 a+2>0 a > −2 よって − 2<a<0 (ii)0 ≤ a ≤ 2 のとき f (a) > 0 − 3a2 + a + 2 > 0 (a − 1)(3a + 2) < 0 15 − 32 <a<1 よって 0 ≤ a<1 (iii)2<a のとき f (2) > 0 − 11a + 14 > 0 a< 14 11 よってこの範囲では条件を満たす a は存在しない (i),(ii)より − 2<a<1 16 [7] 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) 対数の定義『a>0, a ̸= 1, M >0 のとき, ap = M ⇔ p = loga M 』を用いて『a>0, a ̸= 1, M >0, N >0 のとき, loga M N = loga M + loga N 』が成立することを示しなさい。 (x) (2) 導関数の定義『f´(x) = lim f (x+h)−f 』にしたがって, 関数 h h→0 f (x) = x3 − x を微分しなさい。 17 [7] 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) 対数の定義『a>0, a ̸= 1, M >0 のとき, ap = M ⇔ p = loga M 』を用いて『a>0, a ̸= 1, M >0, N >0 のとき, loga M N = loga M + loga N 』が成立することを示しなさい。 p = loga M, q = loga N (a>0, a ̸= 1, M >0, N >0) とおくと, 定義より ap = M, aq = N ここでＭ× N = ap × aq = ap+q p + q = r とおくと M N = ar は定義より r = loga M N となる r = p + q = loga M + loga N なので loga M N = loga M + loga N が成り立つ (2) 導関数の定義『f´(x) = lim h→0 f (x+h)−f (x) 』にしたがって, h f (x) = x − x を微分しなさい。 3 f (x+h)−f (x) h h→0 ((x+h)3 −(x+h))−(x3 −x) lim h h→0 (3x2 +1)h+3xh2 +h3 lim h h→0 2 lim (3x + 1) + 3xh + h2 h→0 2 f´(x) = lim = = = = 3x + 1 18 関数 [1] 三角関数の加法定理 sin(α + β)=sinαcosβ+cosαsinβ, cos(α +β)=cosαcosβ-sinαsinβ を用いて, 次の (1)∼(3) を証明しなさい。 (1) sin 2θ =2sinθ cos θ (2) cos 2θ =1-2sin2 θ (3) sin 3θ =3sinθ-4sin3 θ 19 [1] 三角関数の加法定理 sin(α + β)=sinαcosβ+cosαsinβ, cos(α +β)=cosαcosβ-sinαsinβ を用いて, 次の (1)∼(3) を証明しなさい。 (1) sin 2θ =2sinθ cos θ sin(α + β)=sinαcosβ+cosαsinβ α=β のとき sin(α + α)= sin 2α=sinαcosα+cosαsinα =2sinαcosα よって sin 2θ =2sinθ cos θ (2) cos 2θ =1-2sin2 θ cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ α = β のとき cos(α + α) = cos2α = cosαcosα − sinαsinα = cos2 α − sin2 α ここで sin2 α + cos2 α = 1 より cos2α = cos2 α − sin2 α = (1 − sin2 α) − sin2 α = 1 − 2sin2 α よって cos2θ = 1 − 2sin2 θ (3) sin 3θ =3sinθ-4sin3 θ sin(α + β)=sinαcosβ+cosαsinβ 2α=β のとき sin(α + 2α)= sin3α=sinαcos2α+cosαsin2α (1),(2) の結果を用いて sin3α=sinα(1 − 2sin2 α)+cosα・2sinαcosα =sinα-2sin3 α+2sinαcos2 α ここで sin2 α + cos2 α = 1 より 20 sin3α=sinα-2sin3 α+2sinα(1 − sin2 α) =3sinα-4sin3 α よって sin 3θ =3sinθ-4sin3 θ 21 √ √ [2] 円に内接する四角形 ABCD で,AB= 2,BC= 2,CD=2, √ DA= 3+1 であるとき, 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) ∠ B の大きさを求めなさい。 (2) 四角形 ABCD の面積を求めなさい。 22 √ √ [2] 円に内接する四角形 ABCD で,AB= 2,BC= 2,CD=2, √ DA= 3+1 であるとき, 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) ∠ B の大きさを求めなさい。余弦定理より AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB・BCcos ∠ B AC 2 = CD2 + DA2 − 2CD・DAcos ∠ D 四角形 ABCD は円に内接しているので ∠ B+∠ D=180 ° よって cos ∠ B=-cos ∠ D 余弦定理の式に代入すると, AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB・BCcos ∠ B √ 2 √ 2 √ √ = 2 + 2 − 2・ 2・ 2cos ∠ B = 4 − 4cos ∠ B AC 2 = CD2 + DA2 − 2CD・DAcos ∠ D √ √ = 22 + ( 3 + 1)2 + 2・2・( 3 + 1)cos ∠ B √ √ = 8 + 2 3 + 4( 3 + 1)cos ∠ B √ √ 8 + 2 3 + 4( 3 + 1)cos ∠ B = −4cos ∠ B √ √ 4( 3 + 2)cos ∠ B = −2( 3 + 2) cos ∠ B = − 12 よって∠ B = 60° (2) 四角形 ABCD の面積を求めなさい。四角形 ABCD = △ ABC + △ CDA = 12 AB・BCsin ∠ B + 12 CD・DAsin ∠D √ √ √ √ √ 1 3 1 3 = 2・ √2・ 2 2 + 2・2・( 3 + 1)・ 2 = 3+22 3 23 [3] O を頂点とし, 正方形 ABCD を底面とする四角すい O-ABCD において,AB=OA=OB=OC=OD=1, 辺 CD を 4:5 に内分する点を P,P か −→ ら平面 OAB に引いた垂線と平面 OAB の交点を Q とする。また OA → −→ → −−→ − → =− a ,OB= b ,OC=− c とする。次の (1),(2) に答えなさい。 − → −→ → → (1) OP を − a , b ,− c で表しなさい。 − → −→ → → (2) P Q を − a , b ,− c で表しなさい。 24 [3] O を頂点とし, 正方形 ABCD を底面とする四角すい O-ABCD において,AB=OA=OB=OC=OD=1, 辺 CD を 4:5 に内分する点を P,P か −→ ら平面 OAB に引いた垂線と平面 OAB の交点を Q とする。また OA → −→ → −−→ − → =− a ,OB= b ,OC=− c とする。次の (1),(2) に答えなさい。 → − − −→ − → → (1) OP を a , b , c で表しなさい。辺の長さがすべて等しいのでこの四角すいは正四角すいである → −−→ − AC と BD の交点を H, OD= d とおくと, − → − → OH = a +2 c − → − → OH = b + d 2 よって → − − → − → → a +− c = b+d → − 2 − → −2 → d =→ a − b +− c 点 P は CD を 4 : 5 に内分する点なので → →+4− −→ 5− d OP = c4+5 → → − → − →−− b +−c ) = 5 c +4( a4+5 → − − → − → = 4 a −4 9b +9 c − → −→ → → (2) P Q を − a , b ,− c で表しなさい。点 Q は△ OAB 上の点なので − → −→ → OQ = x− a + y b とおくと −→ −→ −→ P Q = OQ − OP → − − → − → − → → = (x− a + y b ) − ( 4 a −4 9b +9 c ) − → → − = (x − 94 )→ a + (y + 94 ) b − − c −→ P Qと△ OAB は垂直に交わるので −→ −→ −→ −−→ P Q・OA = 0, P Q・OB = 0 (i) −→ −→ P Q・OA → − → → → = ((x − 49 )− a + (y + 49 ) b − − c )・− a → − 4 − 4 − 2 → → → −c a・→ = (x − 9 )∥ a ∥ + (y + 9 ) a・b − −                        ここで − → → −c = 0 → → a・→ ∥− a ∥ = 1, − a・b = 12 , − − → − → − → (→ a・b = ∥− a ∥∥ b ∥cos60°= 21 ) √ (ABCD は正方形なので AC = 2, √ △ OAC は OA = OC = 1 より辺の比 1 : 1 : 2の直角三角形, → → → → よって∠ AOC = 90°なので− a・− c = ∥− a ∥∥− c ∥cos90°= 0) 25 = (x − 49 ) + (y + 49 ) × 21 − 0 =0 まとめると 18x − 9y − 4 = 0 (ii) 同様にして − → → − → −→ −−→ − P Q・OB = ((x − 49 )→ a + (y + 49 ) b − − c )・b − → → − − →− − = (x − 94 )→ a・b + (y + 94 )∥ b ∥2 − b・→ c   ここで    − →→ 1 → − →  →  ∥− b ∥ = 1, − a・b = 12 , b・− c =2 − → − → − → − →  ( a・b = ∥ a ∥∥ b ∥cos60°= 12 )    →− − → →   (− b・→ c = ∥ b ∥∥− c ∥cos60°= 21 ) 4 1 = (x − 9 ) × 2 + (y + 49 ) − 21 =0 まとめると 9x + 18y − 5 = 0 (i)(ii) より { 18x − 9y − 4 = 0 9x + 18y − 5 = 0 これを解いて x = 19 y = 29 よって −→ PQ − → → − = (x − 49 )→ a + (y + 94 ) b − − c − − 1 4 − 2 4 → → → = (9 − 9) a + (9 + 9) b − c → − → − = − 31 → a + 23 b − − c 26 [4] logx+logy=log(x+y) が成立している。このとき、次の (1),(2) に答えなさい。 (1) y を x の式で表しなさい。また,x のとりうる値の範囲を求めなさい。 (2) (1) で求めた式の表す曲線と直線 x+y= 92 とで囲まれた部分の面積を求めなさい。 27 [5] 1 けたの自然数を使って, 千の位の数が一の位の数より 2 以上大きい 4 けたの整数をつくり, この整数を (i) とする。この整数 (i) をもとに次の操作をする。 [操作 1] 整数 (i) の千の位と一の位の数を入れかえる。できた整数を (ii) とする。 [操作 2] 整数 (i) のから整数 (ii) を引く。その結果できた整数を (iii) とする。 [操作 3] 整数 (iii) の千の位の数と一の位の数を入れかえる。できた整数を (iiii) とする。 [操作 4] 整数 (iii) に整数 (iiii) をたす。その結果, できた整数を (iiiii) とする。 4 つの操作後に出来た整数 (iiiii) について, 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) (i) がどんな整数であっても, 整数 (iiiii) は常に同じ値となる。整数 (iiiii)。を求めなさい。 (2) 整数 (iiiii) が常に同じ値となることを証明しなさい。 28 [6] 1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD がある。辺 AB 上に点 P,CD 上に点 Q をとり線分 PQ を折り目として, この正方形 ABCD を頂点 B が辺 AD 上にあるように折り返す。折り返した後の頂点 B, 頂点 C の位置をそれぞれ B’,C’ とし, 線分 B’C’ と辺 CD との交点を R とする。図のように AB’=t(0 < t < 1) とするとき, 次の (1)∼(3) に答えなさい (1) AP=s とするとき,s を t で表しなさい。 (2) PB’,B’R の長さをそれぞれ t で表しなさい。 (3) 四角形 PQC’B’ の面積が最小となるときの t の値を求めなさい。 29 [7] 太郎, 次郎, 三郎の 3 兄弟を含む 12 人が A,B2 つの円形の 6 人席のテーブルに着席するとき, 次の (1),(2) に答えなさい (1) 太郎, 次郎, 三郎の 3 兄弟が同じテーブルに着席する確率を求めなさい。 (2) 太郎, 次郎, 三郎の 3 兄弟が同じテーブルで隣り合わせに着席する確率を求めなさい。 30 [1] 1 辺の長さが 8cm の正方形の折り紙を, 下の図のように n 回折って直角二等辺三角形をつくる。その後で, 長さが等しい 2 辺の中点を結ぶ線分で切るという操作をする。 [n=1] ・対角線で折り, 直角二等辺三角形をつくる。 [n=2] ・対角線で折り, 直角二等辺三角形をつくる。・直角二等辺三角形を 1 回半分に折り, 直角二等辺三角形をつくる。 [n=k] ・対角線で折り, 直角二等辺三角形をつくる。・直角二等辺三角形を k-1 回半分に折り, 直角二等辺三角形を作る。操作後の図形について次の (1),(2) に答えなさい。ただし, 各操作は正方形の折り紙から始め, 折ったときの厚さは考えないものとする。 (1) n=4 の操作後の図形の概形を書きなさい。 (2) n=5 の操作後の図形の面積を求めなさい。 31 [2] 定規とコンパスを用いて, つぎの (1)∼(3) を作図しなさい。その際, 作図に用いた線は消さないこと。また, 回答用紙の例にしたがい, 作図の手段を書きなさい。 (1) ∠ AOB の二等分線 (2) 円の中心 O (3) 円外の点 P から, 円 O への 2 本の接線 32 [3] 下の図を用いて, sin15◦ の値を求めなさい。 33 △ ADC について ∠ DAC=60 ° AC=1 なので AD=2 √ DC = 3 また, △ ABD について ∠ ABD=15 ° ∠ ADB=150 ° ∠ DAB=15 ° よって △ ABD は AD = BD の二等辺三角形なので BD = 2 √ BC = 2 + 3 △ ABC について三平方の定理より AB 2 = BC 2 + AC 2 √ = (2 + 3)2 + 12 √ =8+4 3 √ = 2(4 + 2 3) √ √ = 2(( 3)2 + 2 3 + 12 ) √ = 2( 3 + 1)2 AB>0 より √ √ AB = 2( 3 + 1)2 √ √ = ( 3 + 1) 2 √ √ = 6+ 2 sin15°= = √6+1 √2 AC AB 34 [4] 下の図のように, 放物線 y=ax2 上と y=bx2 (a>b>0, x ≥ 0) がある。 y=ax2 上に任意の点 A をとり, 直線 OA と y=bx2 との交点を B とする。同様に y=ax2 上に任意の点 C をとり, 直線 OC と y=bx2 との交点を D とする。点 A の x 座標を m, 点 C の x 座標を n とする。次の (1),(2) に答えなさい。 (1) 点 B の座標を答えなさい。 (2)2 つの放物線が相似であることを証明しなさい。 35 4 (1) A の x 座標が m,B の x 座標が n なので A(m, am2 ) C(n, bn2 ) 直線 OA の傾きは A(m, am2 ) 通ることから, am2 = am m よって直線 OA の式は y = amx これが y = bx2 と交わる点は bx2 = amx bx2 − amx = 0 x(bx − am) = 0 より x = 0, am b b¿0 より b = am b y = bx2 に代入して, y = b( am )2 b 2 2 y = a bm 2 2 B( am , a bm ) b (2) (1) と同様に考えると 2 2 D( an , a bn ) b 点 A, B, C, D から x 軸に垂直におろした線と, x 軸との交点をそれぞれ A′ , B ′ , C ′ , D′ とすると OA : OB = OA′ : OB ′ OC : OD = OC ′ : OD′ A(m, am2 ) 2 2 B( am , a bm ) b C(n, bn2 ) 2 2 D( an , a bn ) b より OA : OB = OA′ : OB ′ OA : OB = m : am b OA : OB = 1 : ab 36 OA : OB = b : a…(i) OC : OD = OC ′ : OD′ OC : OD = n : an b OC : OD = 1 : ab OC : OD = b : a…(ii) △ AOB と△ BOD について ∠ AOC = ∠ BOD (i),(ii) より OA:OB=OC:OD よって △ AOB ∽△ BOD より二つの放物線も相似である 37 [5] 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) 整数 n について,「n2 が 5 の倍数ならば,n は 5 の倍数である」ことを対偶を用いて証明しなさい。 √ (2) 5 が有理数でないことを, 背理法を用いて照明しなさい。 38 (5) 「n2 が 5 の倍数ならば, n は 5 の倍数である」の対偶は「n は 5 の倍数でないならば,n2 が 5 の倍数でない」である n が 5 の倍数ではないとき n = 5k + 1 n = 5k + 2 n = 5k + 3 n = 5k + 4 のいずれかである (k は任意の定数) (i)n = 5k + 1 のとき n2 = (5k + 1)2 =25k 2 + 10k + 1 =5(5k 2 + 2k) + 1 なので 5 の倍数ではない (ii)n = 5k + 2 のとき n2 = (5k + 2)2 = 25k 2 + 20k + 4 = 5(5k 2 + 4k) + 4 なので 5 の倍数ではない (ii)n = 5k + 3 のとき n2 = (5k + 3)2 = 25k 2 + 30k + 9 = 5(5k 2 + 6k + 1) + 4 なので 5 の倍数ではない (iii)n = 5k + 4 のとき n2 = (5k + 4)2 = 25k 2 + 40k + 16 = 5(5k 2 + 8k + 3) + 1 なので 5 の倍数ではない (i)∼(iii) より「n は 5 の倍数でないならば, n2 が 5 の倍数でない」は真であるよって対偶である「n2 が 5 の倍数ならば, n は 5 の倍数である」も真 39 [6] 曲線 C:y= x2x+1 (x≥0) があり、点 P は曲線 C 上を動く。点 P における曲線 C の接線を l とし, 接線 l の傾きを k とする。このとき次の (1),(2) に答えなさい。 (1) k が最小となるときの点 P の x 座標を求めなさい。 (2) (1) のとき, 接線 l と曲線 C 及び y 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。 40 5 (1)y= x2x+1 2 +1)−x(2x) k=y’= (x (x 2 +1)2 −x +1 = (x 2 +1)2 2 k’= −2x(x 2 +1)2 −(−x2 +1)2(x2 +1)2x (x2 +1)4 2x5 −4x3 −6x = (x2 +1)4 4 2 −3) = 2x(x(x2−2x +1)4 2 2 −3) = 2x(x(x+1)(x 2 +1)4 2 −3) = 2x(x (x2 +1)3 よって x2 − 3 = 0 すなわち x>0 より √ x = 3 のとき k は最小値を取る (2)(1) のとき k=- 18 √ √ また, 接点の座標は ( 3, 43 ) よって接線の式は √ √ y- 43 =- 18 (x 3) − √ 1 3 3 y=- 8 x+ 8 よってこのときの面積は √ ∫ √3 1 3 3 (x+ )-( x2x+1 ))dx 0 8 8 √ √ 1 2 3 3 =[- 16 x + 8 x)- 12 log(x2 + 1)]0 3 3 =- 16 + 98 - 12 log4 = 15 -log2 16 41 [7] 微分可能な 2 つの関数 f(x),g(x) の商は f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x) f (x) g(x) の導関数となる。(ただし g(x)̸=0) {g(x)}2 (x) このことを微分の定義式 f(x)=lim f (x+h)−f を用いて証明しな h さい。 h→0 42 (7) 導関数の定義式 f(x)=lim h→0 f (x+h)−f (x) h (x) より F(x)= fg(x) とおくと F (x+h)−F (x) h h→0 1 =lim ( h F (x + h) − F (x)) h→0 (x) (x+h) =lim h1 fg(x+h) − fg(x) h→0 F’(x)=lim ここで 1 f (x+h) f (x) [ ] h g(x+h) g(x) (x+h) f (x) - g(x) ] = h1 [ fg(x+h) (x) = h1 [ f (x+h)g(x)−g(x+h)f ] g(x+h)g(x) 1 1 = h g(x+h)g(x) [f (x + h)g(x) + (−f (x)g(x) + f (x)g(x)) − g(x + h)f (x)] 1 = h1 g(x+h)g(x) [(f (x + h) − f (x))g(x) − f (x)(g(x + h) − g(x))] (x) 1 = g(x+h)g(x) [ f (x+h)−f g(x) − f (x) g(x+h)−g(x) ] h h h → 0 のとき 1 = g(x)g(x) (f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)) このことから ′ (x)g ′ (x) F’(x)= f (x)g(x)−f g(x)g(x)2 が成り立つ 43 [1] 次の関数の最大値, 最小値を求めなさい。また, その問いの x の値を求めなさい。 y = (x2 − 1) − 2(x2 − 1) + 2 (0≤x≤3) 44 y=(x2 − 1)2 − 2(x2 − 1) + 2 t = x2 − 1 とおくと y=t2 − 2t + 2 = (t − 1)2 + 1…(i) また 0≤x≤3 より 02 ≤ x2 ≤ 32 02 − 1 ≤ x2 − 1 ≤ 32 − 1 −1 ≤ x2 − 1 ≤ 8 よって −1 ≤ t ≤ 8…(ii) (i),(ii) より t=1 のとき最小値 t=8 のとき最大値を取り, その時の値は t = x2 − 1 = 1 x2 = 2 0 ≤ x ≤ 3 から √ x= 2 のとき最小値 1 t = x2 − 1 = 8 x2 = 9 0 ≤ x ≤ 3 から x = 3 のとき最大値 50 をとる 45 1 [2] a1 = 45 ,an+1 = 2−a (n=1,2,3…) で定義された数列 an につい n て, 次の (1),(2),(3) に答えなさい。 (1) a2 , a3 , a4 を求めなさい。 (2) an を推定し, それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい。 46 2 (1) a1 = 45 , an+1 = 1 a2 = 2−a 1 = 2−1 4 = 56 1 2−an より 5 1 a3 = 2−a 2 = 2−1 5 = 67 6 1 a4 = 2−a 3 = 2−1 6 = 78 7 (2)(1) より an = n+3 と推測できる n+4 (i)n=1 のとき a1 = 1+3 1+4 = 54 となるので a1 は等しい (ii)n=k のとき ak = 1 ak+1 = 2−a k = 2−1k+3 k+3 k+4 が等しいとすると k+4 = 2k+8 1− k+3 k+4 k+4 1 = k+5 k+4 = k+4 k+5 = (k+3)+1 (k+4)+1 よって k+1 のときも成り立つ (i)(ii) から an = n+3 n+4 47 [3] 太郎君と花子さんが何枚かの硬貨を同時に投げ, 表の出た枚数の多いほうを勝ちとするゲームを行った。次の (1),(2) に答えなさい。 (1) 太郎君と花子さんがともに 3 枚ずつ投げたとき, 太郎君が勝つ確率を求めなさい。 (2) 花子さんは 2 枚投げることにする。太郎君の勝つ確率が 23 を上回るためには, 太郎君は最低何枚の硬貨を投げればよいか, 求めなさい。 48 3 (1) 太郎君が花子さんに勝つときのそれぞれが表を出す枚数は (太, 花)=(3,2),(3,1),(3,0),(2,1),(2,0),(1,0) 表 3 枚を出す確率は 3 C0 × 213 = 18 表 2 枚を出す確率は 3 C1 × 213 = 38 表 1 枚を出す確率は 3 C2 × 213 = 38 表 0 枚を出す確率は 3 C3 × 213 = 18 よってそれぞれの事象の確率は (太, 花)=(3,2) のとき 1 3 × 38 = 64 8 (太, 花)=(3,1) 1 3 × 38 = 64 8 (太, 花)=(3,0) 1 1 × 18 = 64 8 (太, 花)=(2,1) 9 3 × 38 = 64 8 (太, 花)=(2,0) 3 3 × 18 = 64 8 (太, 花)=(1,0) 3 3 × 18 = 64 8 よって求める確立は 3 3 1 9 3 + 64 + 64 + 64 + 64 + 64 11 = 32 3 64 49 [4] 次の (1),(2) の極限値を求めなさい。 logx h→1 1−x lim 1 ( n h→∞ n n+1 (1) lim (2) + n n+2 + n n+3 +…+ n ) n+n 50 4 (1) lim logx x→1 1−x 導関数の定義より (a) f’(a)=lim f (b)−f b−a b→a f(x)=logx,b=x,a=1 と置くと, (1) f’(1)=lim f (x)−f x−1 x→1 logx−log1 x−1 x→1 =lim logx−0 x→1 x−1 =lim logx−0 x→1 x−1 =-lim logx x→1 1−x =lim =(与式) よって (与式)=-f’(1) f’(x)= x1 より (与式)=-f’(1)=- 11 =-1 51 [5] 1 辺の長さが 2 の正五角形 ABCDE で, 対角線 AC と対角線 BE の交点を F とする。次の (1),(2) に答えなさい。 (1) △ ABF と△ ACB が相似であることを証明しなさい。 (2) (1) の結果を利用して, 対角線 AC の長さを求めなさい。 52 [6] 「どんな年でも 13 日の金曜日が存在する」は正しいか正しくないかを答えなさい。また, それを証明しなさい。 53 [7] z=f(x,y),x=rcos θ,y=rsin θのとき, 次の式を証明しなさい ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ∂z 1 ∂z ∂z ∂x + ∂y = ∂z + 2 ∂r r ∂θ 54 [1] 次の (1),(2) に答えなさい。 (1) 三平方の定理を書きなさい。 (2) (1) で書いた三平方の定理を証明しなさい。 55 1 (1) 直角三角形の斜辺の長さを c, 残りの辺の長さを a,b とすると, c2 = a2 + b2 (2) 直角三角形の直角以外の角をθとおくと, a=csin θ b=ccos θ と表せる。また, a2 + b2 = (csin θ)2 + (ccos θ)2 = c2 sin2 θ+c2 cos2 θ = c2 (sin2 θ + cos2 θ) = c2 よって c2 = a2 + b2 が成り立つ 56 [2] 下の図のように, 隣どうしが外接するように半径 r の円を次々に書き, 隣り合う円の中心を線分で結び, 外側を白で, 内側を黒で塗りつぶした。このとき,(1),(2) のそれぞれについて, 外側の白い部分の面積の和と内側の黒い部分の面積の和との差を求めなさい。 (1) 円の数 19 個 (2) 円の数 26 個 57 2 (1) 半径 r, 中心角θの扇形の面積 S は S = 12 r2 θ (i) 黒く塗りつぶされた扇形の中心角を θ1 , θ2 , …θ19 とおく図の黒い部分の面積は扇形の面積を,19 個足し合わせた面積であるその面積は 1 2 r θ1 + 12 r2 θ2 + … + 12 r2 θ19 2 = 12 r2 (θ1 + θ2 + … + θ19 ) と表せる (θ1 + θ2 + … + θ19 ) は 19 角形の内角の和であるので (19-2) ×π =17 π よって黒い部分の面積は = 21 r2 (θ1 + θ2 + … + θ19 ) = 12 r2 × 17 π = 17 π r2 2 (ii) 円全体の面積は r2 π× 19 =19 π r2 なので白い部分の面積は [i] の結果を使って 19 π r2 − 17 π r2 2 = 21 π r2 2 (i),(ii) より黒い部分と白い部分の面積の差は 21 π r2 − 17 π r2 2 2 =2 π r2 (2) 右の円 15 個, 左の円 12 個のかたまりを分けて考える (i) (1) と同様にして考えると右の円 15 個の黒い部分の面積 S1 は内角の和が (15-2) ×π =13 πより S1 = 12 r2 × 13 π 58 = 13 π r2 2 左の円 12 個の黒い部分の面積 S2 は内角の和が (12-2) ×π =10 πより S2 = 12 r2 × 10 π = 10 π r2 2 よって全体の黒い部分の面積は S1 + S2 = 13 π r2 + 10 π r2 2 2 = 23 π r2 2 (ii) 円全体の面積は r2 π× 26 =26 π r2 なので白い部分の面積は [i] の結果を使って 26 π r2 − 23 π r2 2 π r2 = 29 2 (i),(ii) より黒い部分と白い部分の面積の差は 29 π r2 − 23 π r2 2 2 59 [3] 下の図のように, 正三角形 ABC に内接する半径 2 の円 O と, 円 O に外接し, 辺 AB,AC に内接する円 O’ がある。次の図形の面積を求めなさい。 (1) 正三角形 ABC (2) 円 O’ 60 3 (1) 円 O と辺 BC との交点を D とおくと, △ BOD に関して OD=2 ∠ OBD=30 ° ∠ ODB=90 °より √ BD=2 3 BC=2BD √ =4 3 √ これより△ ABC は 1 辺が 4 3 の正三角形なのでその面積は √ √ 1 × (4 3) × (4 3) × sin60° 2 √ =12 3 (2) 円 O と O’ の交点 D’ を通り, 辺 BC と平行な直線と辺 AB,AC との交点をそれぞれ E,F とおくと △ ABC と△ AEF は相似である √ △ ABC の高さは 4 3× sin60°= 6 円 O の半径は 2 なので D’D=4 AD’=AD-D’D =6-4 =2 よって高さの比が 2:6=1:3 なので面積比は 1:9 になる円 O の面積は 4 πより円 O’ の面積は 4 π× 19 = 49 π 61 [4] 次の (1),(2) に答えなさい。 2 (1) 極方程式 r= 1−sinθ を直交座標に関する方程式で表し, 直行座標平面に図示しなさい (2) △ ABC の 3 辺の長さが BC=4,CA=5,AB=6 である。A から辺 BC に下 −−→ ろした垂線を AH とするとき, ベクトルAH を 62 4 (1) x = rcos θ y = rsin θ x2 + y 2 = r2 変形すると r(1-sin θ)=2 r-rsin θ=2 r-y=2 r=y+2 r2 = (y + 2)2 x2 + y 2 = y 2 + 4y + 4 整理して y = 14 x2 − 1 (2) 点 H が辺 AB 上にあるので AH=sAB+(1-s)AC と表すことができるまた,BC=AC-AB 余弦定理より BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2ABACcos ∠ A 42 = 62 + 52 − 2・6・5cos ∠ A cos ∠ A = 34 AB・AC = |AB||AC|cos ∠ A = 6・5・3/4 = 45 2 AH ⊥ BC より AH・BC = sAB + (1 − s)AC・(AC − AB) = sAB・AC + (1 − s)|AC|2 − s|AB|2 + (s − 1)AB・AC = 52 − 16s =0 5 よって s = 32 27 5 AB + 32 AC AH = 32 63 5 (1) √ f (x) = log(x + x2 + 1) f ′ (x) = (x+√1x2 +1)・(1 + ( 2√x12 +1 )・2x) √ 2 √ x +1) = (x+√1x2 +1)・(x+ ( x2 +1) = √x12 +1 √ (2)∫ log(x + x2 + 1)dx √ = xlog(x + x2 + 1) − ∫ (√xx2 +1) dx ここで x2 = u とおくと 2x = du dx xdx = du より 2 x 1 ∫ (√x2 +1) dx = ∫ (2√u+1) du √ = log( u + 1) + C √ = log( x2 + 1) + C よって √ √ √ ∫ log(x + x2 + 1)dx = xlog(x + x2 + 1) − ( x2 + 1) + C (C は任意の定数) (3) 点 P(t,f(t)) を通る接線の方程式は y − f (t) = f ′ (t)(x − t) それぞれに代入して, √ y − log(t + t2 + 1) = √t21+1 (x − t) √ y = ( √t21+1 )x − √t21+1 t + log(t + t2 + 1) (4) f(x) と g(x) および y 軸で囲まれる図形の面積は 0 から t までの g(x) と x 軸で囲まれた面積から f(x) と x 軸で囲まれた面積を引いた面積と等しいよって S(t) = ∫ g(x)dx − ∫ f (x)dx √ √ =∫ √t21+1 x − t √t21+1 + log(t + t2 + 1)dx − ∫ log(x + x2 + 1)dx √ √ √ 2 = (2√xt2 +1) − t √t21+1 x + xlog(t + t2 + 1) − xlog(x + x2 + 1) − ( x2 + 1) √ √ √ 2 = (2√tt2 +1) − t2 √t21+1 + tlog(t + t2 + 1) − tlog(t + t2 + 1) − ( t2 + 1) + 1 √ 2 =( x2 + 1) − (2√tt2 +1) − 1 2 = 2√t t+2 2 +1 − 1 64 7 (1) 求める行列式は 2+6+6-(-9)-1-(-8) =30 (2) 行列で表すと      2 1 3 x −1      1 −2   1   y  =  8  …(i) −3 2 1  z 1    2 1 3 a b c     1 −2  の逆行列を A= d e f   1 −3 2 1 g h i とおくと      a b c 2 1 3 1 0 0     1 −2  d e f  1  = 0 1 0 g h i −3 2 1 0 0 1 となるので     2a + b − 3c a + b + 2c 3a − 2b + c 1 0 0      2d + e − 3f d + e + 2f 3d − 2e + f  =  0 1 0  2g + h − 3i g + h + 2i 3g − 2h + i 0 0 1 よって       2a + b − 3c = 1 2d + e − 3f = 0       2g + h − 3i = 0 a + b + 2c = 0  d + e + 2f = 1  g + h + 2i = 0 これを解い      3a − 2b + c = 0  3d − 2e + f = 0  3g − 2h + i = 1 て 7 7 1 , f = 30 , g = 16 , h = − 30 , i = 30 a = 16 , b = 16 , c = − 16 , d = 61 , e = 11 30   5 5 −5   A = 30  5 11 7  5 −7 1 (i) の両辺に左から A をかけると     2 1 3 x −1      A  1 1 −2   y  = A  8  −3 2 1   z  1     x 5 5 −5 −1 2 1 3       7  8  A  1 1 −2   y  = 30  5 11 −3 2 1 z 5 −7 1 1   2 1 3   A は  1 1 −2  の逆行列なので −3 2 1 65       1 0 0 x 5 5 −5 −1       7  8   0 1 0   y  = 30  5 11 0 0 1  z  5 −7 1 1   30 x      y  = 30  90  −60 z     x 1     y =  3  z −2 よって,x=1,y=3,z=-2 66