Forest数学ⅠA 実力チェックテスト １ a は定数とする。次の方程式を解け。 (1) a 2x +1= ax + a (2) ax 2 +20 a -11 x + a =0 ２ 次の方程式を解け。 (1) 5 x -3=0 (2) x 2 - x -6=0 (3) x 2 +4 x -1=0 ３ 次の条件に適する 2 次関数を求めよ。 (1) x =3 のとき最大値 2 をとり，x =-3 のとき y =-34 となる。 (2) -1 ( x ( 5 において，x =1 のとき最大値 4，x =5 のとき最小値 -12 をとる。 ４ 0,( h ( 180, で，sin h +cos h = U 5 のとき，sin h -cos h の値を求めよ。 3 ５ 1 の整数部分を a，小数部分を b とする。 3-U 5 (1) a，b の値を求めよ。 (2) a 2 +2ab +3b 2 の値を求めよ。 ６ 定義域が 0 ( x ( a である関数 y =-x 2 +6x の最大値および最小値を，次の各場合につ いて求めよ。 (1) 0< a <3 (2) 3 ( a <6 (3) a =6 (4) 6< a ７ 次の集合は四則演算 (加 ! 減 ! 乗 ! 除) のどれについて閉じているか。ただし，除法では 0 で割ることを考えないものとする。 (1) A = 6 -1，0，17 (2) B = 6a + bU 2 ｜a，b は整数7 -1- Forest数学ⅠA 実力チェックテスト １ s (1) a ' 0，a ' 1 のとき x = 1 ； a =0 のとき 解はない a a =1 のとき 解はすべての実数 (2) a =0 のとき x =0； a <0，0< a < a = 1 1 - a $ U 1 - 2a のとき x = a 2 1 1 のとき x =1， < a のとき 実数解はない 2 2 3 5 ２ s (1) x = $ (2) x = $3 (3) x =-2+ U 5 ，2- U 5 ３ s (1) y =-x 2 +6x -7 (2) y =-x 2 +2x +3 ４ s U 13 3 ５ s (1) a =1，b = U 5 -1 13 + U 5 (2) 4 8 ６ s (1) x = a で最大値 -a 2 +6a，x =0 で最小値 0 (2) x =3 で最大値 9，x =0 で最小値 0 (3) x =3 で最大値 9，x =0，6 で最小値 0 (4) x =3 で最大値 9，x = a で最小値 -a 2 +6a ７ s (1) 乗法，除法 (2) 加法，減法，乗法 -2- Forest除法と剰余の定理、恒等式 no.2 １ 次のような多項式を求めよ。 (1) 3x 3 -2x 2 +1 を割ると，商が x +1，余りが x -3 である多項式 (2) x 4 +3x 3 +2x 2 -1 を割ると，商が x 2 +1，余りが -3x -2 である多項式 (3) 4x 4 -12x 2 -3x +1 を B で割ると，商は B と一致し，余りが -3x -8 となるような 多項式 B ２ A を B で割った商と余りを求めよ。 (1) A =3x 2 +5x +4，B = x +1 (2) A =6x 2 -7x -5，B =2x -1 (3) A = x 4 +8-2x 3 - x，B = x 2 - x -2 x 2 - x+6 a b c = + が x についての恒等式となるように， + 2 2 x 1 x + 1 0 x + 11 0 x - 11 0 x - 11 定数 a，b，c の値を定めよ。 ３ 等式 ４ 次の等式が x についての恒等式であるとき，定数 a，b，c の値を求めよ。 2x +3= ax0 x -11 + bx 2 + c0 x -11 ５ 3 次方程式 x 3+ax 2 -21x + b =0 の解は 1，3，c である。このとき，定数 a，b，c の値 を求めよ。 ６ 次の等式が x についての恒等式になるように，定数 a，b，c，d の値を定めよ。 (1) 4x 2 -13x +13= a0x 2 -11 + b0 x +11 0 x -21 + c0 x -21 0 x -11 (2) 2x 3 = a + b0 x +11 + c0 x +11 0 x -21 + d0 x +11 0 x -21 0 x +31 -1- Forest除法と剰余の定理、恒等式 no.2 １ s (1) 3x 2 -5x +4 (2) x 2 +3x +1 (3) B =2x 2 -3 または B =-2x 2 +3 ２ s (1) 商 3x +2，余り 2 (2) 商 3x -2，余り -7 (3) 商 x 2 - x +1，余り -2x +10 ３ s a =3，b =-1，c =2 ４ s a =-5，b =5，c =-3 ５ s a =2，b =18，c =-6 ６ s (1) a =1，b =-2，c =5 (2) a =-2，b =6，c =-4，d =2 -2- Forest絶対値の問題no.3 １ 次の方程式を解け。 (1) x -1 =2 (2) x +4 =5x (3) x -1 + x -2 = x ２ 次の不等式を解け。 (1) x -2 <4 (2) x +3 ) 5 (3) x -4 <3x (4) x +1 >2x ３ 次の関数のグラフをかけ。 (1) y = x -2 (2) y = x +1 + x -3 ４ (1) 2 次方程式 x 2 - 0 k+11 x +1=0 が異なる 2 つの実数解をもつような，定数 k の値の 範囲を求めよ。 (2) 関数 y = x 2 -3x -4 のグラフをかけ。 ５ 次の不等式を解け。 (1) x 2 -7x < x -3 (2) x 2 -2x -3 ) 3- x (3) 2x 2 + x -6 - 3x 2 - x -14 ) 0 ６ 関数 f 0 x1 = x - a 1 + x - a 2 + …… + x - a N の最小値を与える実数 x をすべて求め よ。ただし，a 1，a 2，……，a N は a 1 < a 2 < …… < a N を満たす定数である。 -1- Forest絶対値の問題no.3 １ s (1) x =3，-1 (2) x =1 (3) x =1，3 ２ s (1) -2< x <6 (2) x ( -8，2 ( x (3) x >1 (4) x <1 ３ s (1) "図# 実線部分 (2) 2 図3 実線部分 (1) (2) y y 2 O 4 2 -1 x 2 x O 1 3 -2 -2 ４ s (1) k<-3，1< k (2) 2 図3 実線部分 (2) y 25 4 4 -1 O 3 4 2 -4 25 4 ５ s (1) 3+2U 3 < x <4+ U 13 (2) x ( -2，0 ( x (3) x =-2，2 ( x ( 4 1 ，N が偶数のとき a N ( x ( a N ６ s N が奇数のとき x = a N+ +1 2 2 2 -2- x Forest数学1A_因数分解!平行移動!ガウスno.4 １ 次の式を因数分解せよ。 (1) a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + c 2a + ca 2 +2abc (2) a 20 b - c1 + b 20 c - a1 + c 20 a - b1 ２ 次の式を因数分解せよ。 (1) 0 x 2 + x -51 0x 2 + x -71 +1 (2) 0 a + b + c +11 0 a +11 + bc (3) 0 x +11 0 x +21 0 x +31 0 x +41 -24 ３ 次の式を因数分解せよ。 (1) x 4 +4x 2 +16 (2) x 4 -7x 2y 2 + y 4 ４ x+ 1 = U 5 のとき，次の式の値を求めよ。 x (1) x 2 + 1 1 1 (2) x 3 + 3 (3) x 4 + 4 2 x x x ５ (1) 放物線 y = x 2 -5x +2 を，x 軸方向に 2，y 軸方向に -1 だけ平行移動して得られる 放物線の方程式を求めよ。 (2) x 軸方向に 1，y 軸方向に -2 だけ平行移動すると，放物線 C 1 ：y = 2x 2 + 8x + 9 に 移されるような放物線 C の方程式は y =2x 2 + ア x+ イ である。 ６ (1) 関数 y =-4 x5 0 -3 ( x ( 21 のグラフをかけ。ただし，4 a5 は，実数 a を超えない最 大の整数を表すものとする。 (2) 関数 f 0 x1 0 0 ( x ( 41 を，f 0 x1 = > 2x 0 0 ( x < 21 のように定義するとき，次の 8 - 2x 0 2 ( x ( 41 関数のグラフをかけ。 (ア) y = f 0 x1 (イ) y = f 0 f 0 x1 1 -1- Forest数学1A_因数分解!平行移動!ガウスno.4 -2- Forest数学1A_因数分解!平行移動!ガウスno.4 １ s (1) 0 a + b1 0 b + c1 0 c + a1 (2) -0 a - b1 0 b - c1 0 c - a1 ２ s (1) 0 x + 31 20 x - 21 2 (2) 0 a + b +11 0 a + c +11 (3) x0 x +51 0x 2 +5x +101 ３ s (1) 0 x 2 +2x +41 0x 2 -2x +41 (2) 0 x 2 +3xy + y 210 x 2 -3xy + y 21 ４ s (1) 3 (2) 2U 5 (3) 7 ５ s (1) y = x 2 -9x +15 (2) (ア) 12 (イ) 21 ６ s (1) "図# (2) (ア) "図# (イ) "図# (1) y 3 2 1 1 2 x -3 -2 -1O -1 -2 (2) (ア) (イ) y y 4 4 2 O 1 2 3 4 O x -3- 1 2 3 4 x Forest数学1A 不等式復習no.6 １ " 赤ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# 方程式 x 4 -2x 3 + x 2 -4x +4=0 について (1) t = x + 2 とおいて，与えられた方程式を t の方程式で表せ。 x (2) 与えられた方程式の解のうち，実数解を求めよ。 ２ " 赤ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# 方程式 x 2 - 0 m +11 x - m 2 =0 と x 2 -2mx - m =0 がただ 1 つの共通な実数解をもつと き，定数 m の値とそのときの共通解を求めよ。 ３ " 改訂版 青ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# 0 ( x ( 8 のすべての x の値に対して，不等式 x 2 -2mx + m +6>0 が成り立つような定 数 m の値の範囲を求めよ。 ４ " 改訂版 青ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# a は定数とする。次の方程式 ! 不等式を解け。 (1) a 2x +1= a0 x +11 (2) ax > x + a 2 + a -2 ５ " 改訂版 青ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# f 0 x1 = x + a，g 0 x1 = x 2 - x +2 とする。次の条件が成り立つ a の値の範囲をそれぞれ求 めよ。 (1) f 0 x1 < g 0 x1 が，ある実数 x に対して成り立つ。 (2) f 0 x1 < g 0 x1 が，すべての実数 x に対して成り立つ。 (3) f 0 x1 > g 0 x1 が，ある実数 x に対して成り立つ。 (4) f 0 x1 > g 0 x1 が，すべての実数 x に対して成り立つ。 -1- Forest数学1A 不等式復習no.6 １ " 赤ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# s (1) t 2 -2t -3=0 (2) x =1，2 ２ " 赤ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# s m =0 のとき 共通解 x =0，m =-1 のとき 共通解 x =-1 ３ " 改訂版 青ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# s -6< m <3 ４ " 改訂版 青ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# s (1) a ' 0 かつ a ' 1 のとき x = 1 ，a =0 のとき解はない， a a =1 のとき解はすべての数 (2) a >1 のとき x > a +2，a =1 のとき解はない，a <1 のとき x < a +2 ５ " 改訂版 青ﾁｬｰﾄ数学Ⅰ# s (1) すべての実数 (2) a <1 (3) a >1 (4) 解はない -2- Forest数学ⅠA 不等式などno.5 １ (1) 不等式 5x -7<2x +5 を満たす自然数 x の値をすべて求めよ。 (2) 不等式 x < 3a - 2 を満たす x の最大の整数値が 5 であるとき，定数 a の値の範囲を 4 求めよ。 ２ ２次関数 y = ax 2 + bx + c のグラフが右の図のように y なるとき，次の値の符号を調べよ。 (1) a (2) b (3) c (4) b 2 - 4ac (5) a + b + c (6) a - b + c O 1 x ３ 定義域が 0 ( x ( a である関数 y = x 2 -4x +1 の最大値および最小値を，次の各場合につ いて求めよ。 (1) 0< a <2 (2) 2 ( a <4 (3) a =4 (4) 4< a ４ 0 ( x ( 4 における関数 f 0 x1 = x 2 -2ax +2a +3 の最大値を M 0 a1 ，最小値を m 0 a1 とす る。M 0 a1 ，m 0 a1 をそれぞれ a の式で表せ。 -1- Forest数学ⅠA 不等式などno.5 １ s (1) x =1，2，3 (2) 22 26 <a( 3 3 ２ s (1) a <0 (2) b >0 (3) c <0 (4) b 2 -4ac >0 (5) a + b + c >0 (6) a - b + c <0 ３ s (1) x =0 で最大値 1，x = a で最小値 a 2 -4a +1 (2) x =0 で最大値 1，x =2 で最小値 -3 (3) x =0，4 で最大値 1；x =2 で最小値 -3 (4) x = a で最大値 a 2 -4a +1，x =2 で最小値 -3 2a + 3 0 a < 01 -6a + 19 0 a < 21 ，m 0 a1 = -a 2 + 2a + 3 0 0 ( a ( 41 ４ s M 0 a1 = 2a + 3 2 a 0 ) 1 -6a + 19 0 a > 41 F > -2- Forest数学1A 絶対値の問題no.7 １ " 改訂版 4STEPⅠ０７１～０８０# U x 2 - 10x + 25 + U x 2 + 4x + 4 を x の多項式で表せ。 ２ " 改訂版 4STEPⅠ１９１～２００# 次の関数のグラフをかけ。 (1) y = x +2 (2) y = x 2 + x (3) y = x 2 -3x -4 ３ " 改訂版 4STEPⅠ１９１～２００# 次の関数のグラフをかけ。 (1) y = x 2 -4 x (2) y = x +1 0 x -31 ４ " 改訂版 4STEPⅠ１９１～２００# 次の関数のグラフをかけ。 (1) y = x + x -1 (2) y = x +1 - x -2 ５ " 改訂版 4STEPⅠ００１～０１０# 次の方程式，不等式を解け。 (1) x + x -1 =3x (2) x + x -1 >3x ６ " 改訂版 4STEPⅠ００１～０１０# 関数 y = x +1 + x -1 + x -2 0 -2 ( x ( 31 の最大値，最小値を求めよ。 -1- Forest数学1A 絶対値の問題no.7 １ " 改訂版 4STEPⅠ０７１～０８０# s x <-2 のとき -2x +3 -2 ( x <5 のとき 7 5 ( x のとき 2x -3 ２ " 改訂版 4STEPⅠ１９１～２００# s (1) (2) y y 2 -4 x O -2 1 4 -2 O -1 x 1 2 (3) 25 y 4 -1 O 4 x 3 2 ３ " 改訂版 4STEPⅠ１９１～２００# s (2) y (1) y 4 -2 -4 2 O 4 x -1 O -3 -4 -4 -2- 1 3 x Forest数学1A 絶対値の問題no.7 ４ " 改訂版 4STEPⅠ１９１～２００# s (1) (2) y y 3 -1 1 O -1 2 O 1 1 -1 x -3 2 ５ " 改訂版 4STEPⅠ００１～０１０# s (1) x = 1 1 (2) x < 3 3 ６ " 改訂版 4STEPⅠ００１～０１０# s x =-2 で最大値 8，x =1 で最小値 3 -3- x Forest数学1A 最大!最小no.8 １ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０１１～０２０# 実数 x，y，z が条件 x +2y +3z =1 を満たすとき，x 2 +4y 2 +9z 2 の最小値とそのとき の x，y，z の値を求めよ。 ２ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# 区間 -2 ( x ( 2 で 2 つの関数 f 0 x1 = 0 x - 11 2， g 0 x1 =-2x 2 -4x + a を考える。次の a の値の範囲を求めよ。 (1) すべての x で f 0 x1 > g 0 x1 となる a の値の範囲 (2) 少なくとも 1 つの x で f 0 x1 > g 0 x1 となる a の値の範囲 (3) すべての x 1，x 2 の組について f 0x 11 > g 0 x 21 となる a の値の範囲 (4) 少なくとも 1 組の x 1，x 2 について f 0x 11 > g 0 x 21 となる a の値の範囲 ３ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１１１～１２０# 定義域が 0 ( x ( a である関数 y =-x 2 +6x の最大値および最小値を，次の各場合につ いて求めよ。 (1) 0< a <3 (2) 3 ( a <6 (3) a =6 (4) 6< a ４ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１１１～１２０# 2 次関数 f 0 x1 = x 2 -10x + a について (1) a ( x ( a +1 における f 0 x1 の最大値 g 0 a1 を求めよ。 (2) a ( x ( a +1 における f 0 x1 の最小値 h 0 a1 を求めよ。 ５ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１１１～１２０# 2 次関数 y =3x 2 -6ax +5 (0 ( x ( 1) の最小値を m とするとき，定数 a の値によって場 合分けをして，m を求めよ。 -1- Forest数学1A 最大!最小no.8 １ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０１１～０２０# s x = 1 1 1 1 ，y = ，z = のとき最小値 3 6 9 3 ２ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# s (1) a < 2 (2) a <17 (3) a <-2 (4) a <25 3 ３ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１１１～１２０# s (1) x = a で最大値 -a 2 +6a，x =0 で最小値 0 (2) x =3 で最大値 9，x =0 で最小値 0 (3) x =3 で最大値 9，x =0，6 で最小値 0 (4) x =3 で最大値 9，x = a で最小値 -a 2 +6a ４ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１１１～１２０# s (1) a < 9 のとき g 0 a1 = a 2 -9a 2 a ) 9 のとき g 0 a1 = a 2 -7a -9 2 (2) a <4 のとき h 0 a1 = a 2 -7a -9 4 ( a ( 5 のとき h 0 a1 = a -25 5< a のとき h 0 a1 = a 2 -9a ５ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１１１～１２０# s a <0 のとき m =5，0 ( a ( 1 のとき m =-3a 2 +5， 1< a のとき m =-6a +8 -2- Forest数学1A 色々な関数、最大最小 no.9 １ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# 2 つの放物線 C 1：y = x - x 2，C 2：y = a0 x + 11 2 について，次の問いに答えよ。 ただし，a は正の数とする。 (1) C 1 と C 2 がただ 1 つの共有点をもつとき，a の値を求めよ。 (2) (1) のときの共有点を P とする。点 P における C 1 と C 2 の共通の接線の方程式を求 めよ。 ２ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# 1 放物線 y = x 2 + px + q の頂点が直線 y =- x -3 上にあるとき 2 (1) q のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 放物線 y = x 2 + px + q が原点を通過するとき，頂点の座標を求めよ。 (3) 放物線 y = x 2 + px + q が x 軸と異なる 2 点で交わり，かつその 2 点間の距離が 2 で あるとき，頂点の座標を求めよ。 ３ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# 変数 x，y は x 2 + y 2 =1 を満たす実数とする。 (1) t = x + y とおくとき，t のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) S =3x 2 +8xy +3y 2 とおくとき，S の最大値，最小値およびそのときの x，y の値を を求めよ。 ４ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# a を実数の定数とする。関数 f 0 x1 = x 2 - x - a - a 2 +3a について (1) a = 1 のとき，曲線 y = f 0 x1 の概形をかけ。 4 (2) 関数 f 0 x1 の最小値を m 0 a1 とするとき，m 0 a1 を求めよ。 (3) a が -1 ( a ( 2 の範囲を動くとき，(2) で求めた m 0 a1 の最大値を求めよ。 -1- Forest数学1A 色々な関数、最大最小 no.9 ５ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０３１～０４０# a >0，b >0 とする。ax 2 + by 2 =1 を満たす負でない実数 x，y について (1) x y ( となるための x の値の範囲を求めよ。 a b (2) min > ? x y ， の最大値と，そのときの x および y を求めよ。 a b -2- Forest数学1A 色々な関数、最大最小 no.9 １ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# s (1) a = 1 1 1 (2) y = x + 8 3 9 ２ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# s (1) q ) - 49 3 9 (2) 0 2， -41 または - ， - (3) 0 -4， -11 16 2 4 8 9 ３ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# s (1) -U 2 ( t ( U 2 2 (2) x = y = $ U のとき最大値 7， 2 2 2 x = $ U ，y = P U (複号同順) のとき最小値 -1 2 2 ４ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０２１～０３０# s (1) 2 図3 y 1 (2) a ) 0 のとき m 0 a1 =-a +2a - ， 4 3 4 11 16 2 a <0 のとき m 0 a1 =-a 2 +4a - 1 4 3 (3) a =1 のとき最大値 4 - 1 O 1 1 2 4 2 ５ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ０３１～０４０# s (1) 0 ( x ( (2) x = a U a +b 3 3 a U a +b 3 3 ，y = b U a +b 3 3 のとき最大値 -3- 1 U a +b 3 3 3 16 x Forest数学1A 三角比 no.10 １ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# 次の式を簡単にせよ。 (1) sin 75, +sin 120, -cos 150, +cos 165, (2) sin 140, sin 50, +cos 40, cos 130, (3) 0 tan 25, + tan 65, 1 2 - 0 tan 155, - tan 115, 1 2 ２ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# 次の式を簡単にせよ。 (1) 0 cos h + 2sin h 1 2 + 0 2cos h - sin h 1 2 (2) 0 cos 110, - cos 160, 1 2 + 0 sin 70, + cos 70, 1 2 (3) cos 2 h + tan 2 h - sin 2 h tan 2 h ３ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# 0,( h ( 180, のとき，sin h >cos h を満たす h の値の範囲を求めよ。 ４ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# 0,( h ( 180, で，sin h +cos h = ] 3 のとき，次の式の値を求めよ。 2 (1) sin h cos h (2) cos 4 h + sin 4 h (3) tan h ５ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１９１～２００# 次の関数の最大値，最小値およびそのときの h の値を求めよ。 (1) 0,( h ( 90, のとき f 0 h1 =2sin 2 h -8sin h +5 (2) 0,( h ( 180, のとき f 0 h1 = cos 2 h -2sin h -1 -1- Forest数学1A 三角比 no.10 ６ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１９１～２００# 次の方程式，不等式を解け。 (1) 4sin 2 h -4cos h -1=0 (0, < h <90,) (2) 3tan h =2cos h (0,( h ( 180,) (3) 2cos 2 h +5sin h -4>0 (0, < h <180,) ７ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１９１～２００# a が整数で，0,( x <180,， 0,( y <180, のとき，次の連立方程式を解け。 sin x + cos y = U 3 > cos x + sin y = a ８ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１０１～１１０# 0,( h ( 180, のとき，次の不等式を満たす h の値の範囲を求めよ。 (1) 2sin h <1 (2) 2cos h +1 ) 0 (3) tan h -1 ( 0 -2- Forest数学1A 三角比 no.10 １ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# s (1) U 3 (2) 0 (3) 4 ２ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# s (1) 5 (2) 2 (3) 1 ３ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# s 45, < h ( 180, ４ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１８１～１９０# s (1) 1 7 (2) (3) 2+ U 3 ，2- U 3 4 8 ５ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１９１～２００# s (1) h =0, のとき最大値 5，h =90, のとき最小値 -1 (2) h =0,，180, のとき最大値 0，h =90, のとき最小値 -3 ６ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１９１～２００# s (1) h =60, (2) h =30,，150, (3) 30, < h <150, ７ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１９１～２００# s x =120,，y =30, または x =60,，y =30, ８ " 赤ﾁｬｰﾄⅠ１０１～１１０# s (1) 0,( h <30,，150, < h ( 180, (2) 0,( h ( 120, (3) 0,( h ( 45,，90, < h ( 180, -3- Forest数学2B ベクトル基礎計算 no.1 １ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# 次のベクトルを簡単にせよ。 (1) AB+BC+CD (2) AB-CD-AC+BD ２ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# △ABC の辺 BC，CA，AB を 1：2 に内分する点をそれぞれ D，E，F とし，CA= a， CB= b とする。次のベクトルを a，b を用いて表せ。 (1) AD (2) BE (3) CF (4) AD+BE+CF ３ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# 平面上に異なる 4 点 A，B，C，D と点 O があり，OA= a，OB= b とする。 OC=3a -2b，OD=-3a +4b であるとき，ABSCD であることを証明せよ。 ４ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# (1) a = 0 -2，11 ，b = 0 3， -21 のとき，ベクトル 5a +3b を成分で表せ。 また，その大きさを求めよ。 (2) p = 0 14，3a1 ，x = 0 b， -11 ，y = 0 a -5， - b -11 とする。 等式 p =3x -4y が成り立つように，a，b の値を定めよ。 (3) u = 0 4， -31 と同じ向きの単位ベクトルを成分で表せ。 ５ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# ベクトル a = 0 2，11 ，b = 0 3， -11 に対して， a + tb は t = イ をとる。 -1- ア のとき最小値 Forest数学2B ベクトル基礎計算 no.1 ６ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# △ABC において，BC=2，4A=90,，4B=60, であるとき，次の内積を求めよ。 (1) BA ･ BC (2) BC ･ CA (3) BC ･ CB ７ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# (1) a ' 0，b ' 0，aTb とし，OP=4a +3b，OQ=5a +5b，OR=10a +15b とする。 点 R は線分 PQ をどのような比に分けるか。 (2) ¦ABC と点 P が等式 6PA+3PB+2PC=0 を満たすとき，P はどのような位置に あるか。 ８ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# 4 点 A (1，2)，B (3，-2)，C (4，1)，D 0 x，y1 を頂点とする平行四辺形は 3 個ある｡それ ぞれについて，点 D の座標を求めよ。 ９ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# 次の等式を証明せよ。 2 2 (1) 0a + b 1 ･ 0a - b 1 = a - b (2) a + b -2- 2 + a -b 2 2 =20 a + b 2 1 Forest数学2B ベクトル基礎計算 no.1 １ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# s (1) AD (2) 0 ２ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# s (1) AD=-a + 2 1 2 1 b (2) BE= a - b (3) CF= a + b 3 3 3 3 (4) AD+BE+CF=0 ３ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# s 略 ４ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# 8 s (1) 0 -1， -11 ，U 2 (2) a =3，b =2 (3) 4 3 ，5 5 9 ５ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# 1 10 s (ア) - (イ) U 2 2 ６ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s (1) 1 (2) -3 (3) -4 ７ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s (1) 点 R は線分 PQ を 6：5 に外分する (2) 辺 BC を 2：3 に内分する点を D とすると，P は線分 AD を 5：6 に内分す る点 ８ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s 0 2，51 ，0 6，-31 ，0 0，-11 ９ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s (1) 略 (2) 略 -3- Forest数学2B 直線!円のベクトル方程式 no.2 １ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# △ABC において，内積 AB ･ BC，BC ･ CA，CA ･ AB をそれぞれ a，b，c で表す。この とき，△ABC の面積を a，b，c で表せ。 ２ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# a- 2 b と a + b が垂直，a と a - b が垂直であるとき，a と b のなす角 h を求めよ。 5 ３ " 赤ﾁｬｰﾄB０２１～０３０# 異なる 3 点 A 0a1，B 0b1，C 0c1 を頂点とする三角形 ABC がある。 このとき，次の直線のベクトル方程式を求めよ。 (1) 辺 AB を 2：1 に内分する点 D を通り，辺 AC に平行な直線 (2) 頂点 A と辺 BC の中点 M を通る直線 ４ " 赤ﾁｬｰﾄB０２１～０３０# 平面上の 2 つのベクトル a，b のなす角は 60, で， a =1， b =2 である。 このとき，点 P 0p1 に関するベクトル方程式 0p +3a1 ･ 0p - a - kb1 =0 で表される円 C の半径 r を，定数 k を用いて表せ。 ５ " 赤ﾁｬｰﾄB０３１～０４０# 実数 x，y，u，v が条件 x 2 + y 2 =1，0 u - 2 1 2 + 0 v - 2U 3 1 2 =1 を満たすとき，ux + vy の最大値，最小値を求めよ。 ６ " 赤ﾁｬｰﾄB０２１～０３０# 零ベクトルでない 2 つのベクトル a，b に対して，a + tb と a +3tb が垂直であるような -1- Forest数学2B 直線!円のベクトル方程式 no.2 実数 t がただ 1 つ存在するとき，a と b のなす角 h 0 0,( h ( 180,1 を求めよ。 ７ " 赤ﾁｬｰﾄB０３１～０４０# ¦ABC の内部の点 P が 5PA+2PB+3PC=0 を満たしているとき，面積比 △ABP：△BCP：△CAP を求めよ。 ８ " 赤ﾁｬｰﾄB０４１～０５０# (1) A 0 3， -41 ，B 0 1，21 ，^：2x -3y +6=0 とする。A を通り，^に平行，垂直な直 線，B を通り AB に垂直な直線の方程式を，それぞれ求めよ。 (2) 2 直線 2x -3y +1=0，5x - y -4=0 のなす鋭角 a を求めよ。 ９ " 赤ﾁｬｰﾄB０４１～０５０# O を原点とする平面上で，A，B を定点，P を動点とし，その位置ベクトルをそれぞれ OA= a，OB= b，OP= p とする。線分 AB を直径とする円のベクトル方程式 0p - a 1 ･ 0p - b 1 =0 から p- a+b 2 = a -b 2 を導け。 10 " 赤ﾁｬｰﾄB０４１～０５０# 1 つの直径の両端がA 0 3， -51 ，B 0 -5，11 である円 C について (1) ベクトルを用いて，円 C の方程式を求めよ。 (2) 点 0 2，21 は円 C 上の点であることを示せ。また，ベクトルを用いて，この点におけ る円 C の接線の方程式を求めよ。 -2- Forest数学2B 直線!円のベクトル方程式 no.2 １ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s 1 U ab + bc + ca 2 ２ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s h＝60, ３ " 赤ﾁｬｰﾄB０２１～０３０# s (1) p = a + 2b t + t0c - a1 (2) p = 0 1 - t1 a + 0b + c1 3 2 ４ " 赤ﾁｬｰﾄB０２１～０３０# s r = U k 2 + 2k + 4 ５ " 赤ﾁｬｰﾄB０３１～０４０# s 最大値 5，最小値 -5 ６ " 赤ﾁｬｰﾄB０２１～０３０# s h =30,，150, ７ " 赤ﾁｬｰﾄB０３１～０４０# s 3：5：2 ８ " 赤ﾁｬｰﾄB０４１～０５０# s (1) 順に 2x -3y -18=0，3x +2y -1=0，x -3y +5=0 (2) a =45, ９ " 赤ﾁｬｰﾄB０４１～０５０# s 略 10 " 赤ﾁｬｰﾄB０４１～０５０# s (1) 0 x + 11 2 + 0 y + 21 2 =25 (2) 証明略，3x +4y -14=0 -3- Forest数学2B ベクトル(点と直線の距離) no.3 １ " 赤ﾁｬｰﾄB０５１～０６０# 平面上に三角形 OAB があり，OA=1，OB=2，4AOB=45, であるとする。 a =OA，b =OB として，次の問いに答えよ。 (1) この平面上の点 H について，OH5AB，AH5OB であるとする。このとき， BH5OA であることを示せ。また，OH を a と b で表せ。 (2) 三角形 OAB の外接円の中心を C とするとき，OC を a と b で表せ。 ２ " 赤ﾁｬｰﾄB０６１～０７０# (1) 円 0 x - 21 2 + 0 y - 21 2 =4 の上を動く点 P と，円 0 x + 11 2 + 0 y + 11 2 =1 の上を動く点 Q がある。このとき，内積 OP ･ OQ の最大値は ア ，最小値は イ である｡ ただし，O は原点である。 (2) 実数 x，y，u，v が x 2 + y 2 =1，u 2 + v 2 =4 を満たすとき，xu + yv の最大値と最 小値を求めよ。 ３ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# 相異なる 3 点 O，A，B に対し，ベクトル OA= a，OB= b が a = b =1，a ･ b ' 0, a ･ b ' 1，a ･ b ' -1 を満たしているものとする。t = a ･ b とおくとき (1) 直線 OB に関して，点 A と対称な点を C とするとき，ベクトル OC を a，b と t を用いて表せ。 (2) 直線 OC に関して，点 A と対称な点を D とするとき，ベクトル OD と b が平行と なるような t の値をすべて求めよ。 ４ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# 平面上の原点を O とし，2 点 A，B を O，A，B が同一直線上にないようにとる。ベ クトル a，b を a =OA，b =OB とする。 実数 r，s 0 r ' 1，s ' 11 に対し，点 C を OC= ra + sb となるように定める。 (1) 直線 OA と直線 BC の交点を P，直線 OB と直線 AC の交点を Q とするとき，OP と OQ を a，b，r，s で表せ。 -1- Forest数学2B ベクトル(点と直線の距離) no.3 (2) 線分 OC の中点を E，線分 AB の中点を F，線分 PQ の中点を G とする。EF と EG を a，b，r，s で表せ。 (3) r，s が条件 rs =1 を満たしているとする。このとき，2 EF = EG となるような r，s の組をすべて求めよ。 -2- Forest数学2B ベクトル(点と直線の距離) no.3 １ " 赤ﾁｬｰﾄB０５１～０６０# 2 -2 s (1) 証明略，OH= 02U 2 -11 a + U b 2 (2) OC= 0 1 - U 2 1a + 4-U 2 b 4 ２ " 赤ﾁｬｰﾄB０６１～０７０# s (1) (ア) 0 (イ) -6-4U 2 (2) 最大値 2，最小値 -2 ３ " 赤ﾁｬｰﾄB００１～０１０# s (1) 2tb - a (2) t = $ 1 2 ４ " 赤ﾁｬｰﾄB０１１～０２０# s (1) OP= r s a，OQ= b 1-s 1-r 1 1 rs rs 1 - r1 a + 0 1 - s1 b，EG= a+ b 20 1 - s1 20 1 - r1 20 2 1 1 (3) 0 r，s1 = 2， ， ，2 2 2 (2) EF= 8 9 8 9 -3-
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