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平成 26 年度版
物理数学基礎 I
目次
1
偏微分
1.1
偏導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1.1.3 接平面の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
関数の勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
関数の勾配とナブラ演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
1.1.1
1.1.2
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.3
1.4
1.5
1.8
1.3.1
1.3.2
ラプラス演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
8
全微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
合成関数の偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
合成関数の微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
陰関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
座標変換 (合成関数の微分の応用) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
それぞれの座標の単位ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ラプラシアンの極座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1
演算子とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2
1.7.3
1.7.4
演算子の交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
11
12
13
13
交換子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.5 ラプラシアンの様々な表記 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
平均値の定理とテイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
17
平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
19
演算子の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 変数関数のテイラーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
多変数関数のテイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
多変数関数の極値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
多変数関数の極大極小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
条件付きの多変数関数の極値
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
微分方程式
2.1
8
9
13
14
15
1.9.1
1.9.2
2
物理への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
1.8.1
1.8.2
1.8.3
1.9
関数の勾配の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
高次偏微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1
1.6.2
1.7
偏微分係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
高次偏微分
1.5.1
1.5.2
1.6
1
偏微分係数と偏導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
微分方程式とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
2.1.2
微分方程式の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
微分方程式の解の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
2.3
積分型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
2.5
2.6
線型 1 階常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
変数分離型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
電気回路への応用 (キルヒホッフの法則) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
線型 2 階定係数斉次常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1
2.6.2
微分演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
線型 2 階定係数斉次常微分方程式の一般解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
24
24
24
25
26
27
28
29
29
29
2.7
線型 2 階定係数非斉次常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
特殊解の推測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
31
2.7.3 演算子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
補遺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
2.7.1
2.7.2
2.8
3
線型 2 階定係数非斉次常微分方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
重積分
3.1 重積分の定義と意味
3.1.1
3.1.2
3.2
二重積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
二重積分の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
3.1.3 三重積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 物理での表記 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
累次積分と積分順序の交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
36
36
矩形領域の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
38
3.2.1
3.2.2
3.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
一般の領域の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
重積分の座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
3.3.2
2 次元極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
球座標 (3 次元極座標) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
3.3.3
一般の座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
ii
偏微分
1
偏微分係数と偏導関数
1.1
1.1.1
偏微分係数
2 変数関数 f (x, y) が (x0 , y0 ) において，極限値
fx (x0 , y0 ) = lim
h→0
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
h
(1.1a)
を持つとき，fx (x0 , y0 ) を f (x, y) の (x0 , y0 ) における x についての偏微分係数と呼ぶ．
同様に，(x0 , y0 ) において，極限値
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
h→0
h
fy (x0 , y0 ) = lim
(1.1b)
を持つとき，fy (x0 , y0 ) を f (x, y) の (x0 , y0 ) における y についての偏微分係数と呼ぶ．
偏微分係数の意味
f (x, y) の (x0 , y0 ) での偏微分係数 fx (x0 , y0 ) は，曲面 z = f (x, y) を平面 y = y0 で切って得られる
x についての 1 変数関数 z = f (x, y0 ) の x = x0 での傾きになる．
同様に，fy (x, y) は，z = f (x, y) を平面 x = x0 で切って得られる y についての 1 変数関数 z = f (x0 , y)
の y = y0 での傾きになる．
下の図は，関数 z = f (x, y) = e−(x
2
+y 2 )
(下図 a) の偏微分係数 fy (0.5, −0.5) の意味を示したものである．
2
2
y についての偏微分係数なので x を 0.5 に固定する (幾何学的には曲面 z = e−(x +y ) を平面 x = 0.5 でき
ることに相当する (下図 b)) と y についての 1 変数関数 z = e−(0.5
−(0.5 +y )
2
fy (0.5, −0.5) は，この 1 変数関数 z = e
2
2
+y 2 )
が得られる (下図 c)．偏微分係数
の y = 0.5 での傾き (下図 c の矢印に対応) を与える．
z = exp[- ( x 2 + y 2 )]
z
z = exp[- (0.52 + y 2 )]
z
z
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.6
0
y
y
1.5
1
0.5
-1.5 -1
-0.5 0
0.5 1
1.5
0
-0.5
-1
-1.5
x
1
0.5
-1.5 -1
-0.5 0
0.5 1
1.5
(a)
1.1.2
0.4
1.5
(b)
0.2
0
-0.5
-1
-1.5
x
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y
(c)
偏導関数
関数 f (x, y) がある領域 D の至るところで，上記の極限を持つとき，関数 f (x, y) は領域 D で偏微分可能で
あると言う．このとき，
1
関数 f (x, y) の (x, y) における x についての偏微分係数は x, y についての関数，
fx (x, y) = lim
h→0
f (x + h, y) − f (x, y)
h
(1.2a)
で与えられ，fx (x, y) を f (x, y) の x についての (1 階) 偏導関数と呼ぶ．
同様にして，関数 f (x, y) の (x, y) における y についての偏微分係数は x, y についての関数，
f (x, y + h) − f (x, y)
h→0
h
fy (x, y) = lim
(1.2b)
で与えられ，fy (x, y) を f (x, y) の y についての (1 階) 偏導関数と呼ぶ．
技術的には，fx (x, y) は y が定数だと思って，x について微分するのと同じである．fx (x, y) と fy (x, y) は
それぞれ，
∂
∂f (x, y)
f (x, y) =
∂x
∂x
∂
∂f (x, y)
fy (x, y) =
f (x, y) =
∂y
∂y
fx (x, y) =
(1.3)
∂f
∂f
や
などと略記してよい．∂ は
∂x
∂y
d
と書く変わりに，
「ラウンドディー」とよむ．2 変数関数なので，1 変数関数の場合と区別するために，
dx
∂
と書くのである．
∂x
とも書く．関数の引数（f (x, y) の変数 x や y ）が明らかな場合には，
[例題 1.1 ] 以下の 2 変数関数 z = f (x, y) の偏導関数を求めよ．
(1)
z = exy
(2)
z = sin xy
(3)
z = x2 y − xy 2
(4)
z = xye2y
(解答) (1) zx = yexy ，zy = xexy ，(2) zx = y cos xy ，zy = x cos xy ，(3) zx = 2xy−y 2 ，zy = x2 −2xy ，
(4) zx = ye2y ，zy = (x + 2xy)e2y
これまで，2 変数関数の偏微分を見てきたが，n 変数関数への拡張は簡単で，
n 変数関数 f (x1 , x2 , · · · , xi , · · · , xn ) の xi についての偏微分は，
f (x1 , x2 , · · · , xi + h, · · · , xn ) − f (x1 , x2 , · · · , xi , · · · , xn )
(1.4)
h→0
h
fxi (x1 , x2 , · · · , xi , · · · , xn ) = lim
で定義される．
1.1.3
接平面の方程式
関数 z = f (x, y) 上の点 (x0 , y0 , z0 ) における接平面の方程式は，
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
で与えられる．
[例題 1.2 ] 曲面 z = x2 + y 2 上の点，(1, 1, 2) における接平面を求めよ．
(解答) z = 2x + 2y − 2
2
(1.5)
1.2
1.2.1
関数の勾配
関数の勾配とナブラ演算子
2 変数関数 f (x, y)（2 次元のスカラー関数と呼ぶことがある）に対して，
∂f (x, y) ∂f (x, y)
,
∂x
∂y
(1.6a)
で与えられる，偏導関数を成分に持つベクトル関数を関数 f (x, y) の勾配(gradient) と呼ぶ．3 変数
関数 f (x, y, z)（3 次元のスカラー関数と呼ぶことがある）の場合は，
∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z)
,
,
∂x
∂y
∂z
(1.6b)
で与えられる．
以下では，物理で重要な 3 次元の場合について考える．なお，物理では，3 変数関数 f (x, y, z) を，位置ベ
クトル r = (x, y, z) における関数という意味で，f (r) と表記することが多い．
式 (1.6b) は形式的に因数分解して
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
=
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
f とかくことができる．ここで ∇ =
で定義されるナブラ(nabla) ベクトル ∇ を用いると，(1.6b) 式は，
∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z)
,
,
∂x
∂y
∂z
=
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
f (x, y, z) =
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂y ∂z
f (r) = ∇f (r)
(1.7)
と書ける．∇f (r) を grad f (r) と書くこともあるが，この表記では，勾配がベクトル関数であることが明
∂f (r)
瞭でないので，ここでは用いない．また，位置ベクトル記号 r を用いて，∇f (r) を
と書く教科書も
∂r
あるが，よい表記ではない．
線型代数では，x，y ，z 方向の単位ベクトル ex (= (1, 0, 0))，ey (= (0, 1, 0))，ez (= (0, 0, 1)) を用いてナ
ブラベクトルを，
∇ = ex
∂
∂
∂
+ ey
+ ez
∂x
∂y
∂z
(1.8)
と表すこともある．ナブラベクトル (∇) はそれ自体では機能せず，後ろに関数がきてはじめて偏微分とい
う演算を行う．こういったものを演算子と呼ぶ．演算子については後で詳しく勉強する．
[例題 1.3 ] 次の関数 f の勾配 ∇f を求めよ．
(1) f (x, y) =
(解答) (1)
1
1 + x2 + y 2
(2) f (x, y, z) =
1
1 + x2 + y 2 + z 2
−2
−2
(x, y)，(2)
(x, y, z)
(1 + x2 + y 2 )2
(1 + x2 + y 2 + z 2 )2
3
1.2.2
関数の勾配の意味
関数の勾配 ∇f は関数 f のもっとも変化の大きい方向を与え，その大きさは変化の大きさを表す．
従って，関数 f が等しい値を持つ面（等数値面）に対してベクトル ∇f の向きは垂直になる．
（説明）ある点 r = (x, y, z) における関数値 f (r) と，点 r から微小ベクトル ∆r だけ離れた点 r + ∆r =
(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) における関数値 f (r + ∆r) の差を考える．関数 f (r) の x についての偏導関
∂f (r)
数 ∂x は，x 方向の f (r) の変化量を表すから，点 r から点 r + ∆r まで移動した時の，関数 f の x
∂f (r)
方向の変化分は ∆x ∂x で与えられる．同様に，y 方向と z 方向の変化分を考えれば，関数 f の変化分
∆f (r) = f (r + ∆r) − f (r) は，∆x, ∆y, ∆z の一次までの近似で，
∆f (r) ≅ ∆x
∂f (r)
∂f (r)
∂f (r)
+ ∆y
+ ∆z
∂x
∂y
∂z
と表される（「≅」は「近似的に等しい」という意味の記号）．この式の右辺に，関数 f (r) の勾配 ∇f (r)
を用いれば，
∆f (r) ≅ ∆r · ∇f (r)
となる．∆r だけ移動しても関数 f が変化しない時，∆f (r) = 0 であり，関数 f が等しい値を持つ面（等数値
面）は任意の微小ベクトル ∆r で構成される．つまり，∆r は等数値面に平行である．上の式で，∆f (r) = 0
とすれば，
∆r · ∇f (r) = 0
となり，ベクトル ∇f (r) が，
（その大きさが 0 でない限り）∆r と直交する，すなわち，等数値面に垂直で
あることがわかる．
1
の鳥瞰図 (右) とその等高線図 (右) 及び，等高線図の 1 つの等高線
1 + x2 + y 2
にそってベクトル ∇f を描いたものである．等高線と ∇f が垂直になっていることがわかる．
下図は関数 z = f (x, y) =
z
0.8
0.6
0.4
0.2
0
y
1.5
1
0.5
-1.5 -1
0
-0.5
-0.5 0
0.5 1
1.5
-1
-1.5
x
1.2.3
物理への応用
ある物体の位置エネルギーが U (x, y, z) で与えられるとき，その物体に働く力 F (x, y, z) は，
F (x, y, z) = −∇U (x, y, z)
(1.9)
で与えられる．
実際にはこれが位置エネルギーの「微分型」での定義である．後に線積分を勉強すると高校で習った位置
エネルギーの定義と同等であることが解る．
4
[例題 1.4 ] 質量 m の物体にバネ定数 k のバネをつないで，バネを自然長から x 軸方向に x だけ伸ばした
1
ときの位置エネルギー U (x) は kx2 で与えられる．このとき物体に働く力 F (x) を求めよ．
2
（物体が x 軸方向のみに運動するので，位置エネルギーや力は x のみの関数とする）．
(解答) F (x) = −∇U (x) = (−kx, 0, 0) (力はベクトルで与えられることに注意)．
ポテンシャルが Φ(x, y, z) で与えられるとき，対応する場は −∇Φ(x, y, z) で与えられる．
[例題 1.5 ] 電荷 q を持つ質点が原点にあるとき，この質点は静電ポテンシャル Φ(x, y, z) = k
q
r
(r =
x2 + y 2 + z 2 ) をつくる．このとき，
(1) この質点が (x, y, z) につくる電場 E(x, y, z) を求めよ．
(2) 電場の向きを求めよ．
(3) 電場 E(x, y, z) の大きさ E(x, y, z) = |E(x, y, z)| を求めよ．
(解答) (1) E = −∇Φ = k
q
q
(x, y, z)，(2) 原点から (x, y, z) に向かう方向，(3) E = |E| = k 2
r3
r
(参考)1.2.2 章の関係から，ポテンシャルの等しい面 (等電位面) に対して電場は常に垂直になる．
1.3
1.3.1
高次偏微分
高次偏微分
fx (x, y)，fy (x, y) がさらに偏微分可能であれば，
∂
fx (x, y), fxy (x, y) =
∂x
∂
fy (x, y), fyy (x, y) =
fyx (x, y) =
∂x
fxx (x, y) =
∂
fx (x, y),
∂y
∂
fy (x, y)
∂y
(1.10)
を計算できる．これら 4 つを f (x, y) の 2 階の偏導関数と呼ぶ．これらはまた，
∂
fx (x, y) =
∂x
∂
fxy (x, y) =
fx (x, y) =
∂y
∂
fyx (x, y) =
fy (x, y) =
∂x
∂
fy (x, y) =
fyy (x, y) =
∂y
fxx (x, y) =
∂2
∂2f
f (x, y) =
∂x∂x
∂x∂x
∂2
∂2f
f (x, y) =
∂y∂x
∂y∂x
2
∂
∂2f
f (x, y) =
∂x∂y
∂x∂y
2
∂
∂2f
f (x, y) =
∂y∂y
∂y∂y
(1.11)
とも書く．
(注意) 偏微分の順序に注意すること．fyx は添え字の順序に左からまず y について偏微分して次に x につ
∂2f
となり，順序が逆になる．
いて偏微分することを表す．一方，これを ∂ を用いて書くときは， ∂x∂y
しかしながら，
5
fxy と fyx がともに連続ならば，
fxy = fyx
(1.12)
が成り立つ．つまり偏微分の順序を変えても同じ結果になる．
物理では (1.12) などが成立する場合を考えるので，以降では偏微分の順序は自由に変えられるものとする．
[例題 1.6 ] 以下の 2 変数関数 z = f (x, y) の 2 階偏導関数を求めよ．
1
y
2
(1) z = ex y (2) z =
(3) z = tan−1
x − 2y
x
2
2
2
(解答) (1) zxx = (2y + 4x2 y 2 )ex y ，zxy = zyx = (2x + 2x3 y)ex y ，zyy = x4 ex y ，
2
4
8
(2) zxx =
，zxy = zyx = −
，zxx =
，
(x − 2y)3
(x − 2y)3
(x − 2y)3
2xy
y 2 − x2
2xy
(3) zxx = 2
，
z
=
，zyy = − 2
xy
(x + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
(x + y 2 )2
[例題 1.7 ] f (x, y) = log
x2 + y 2 について，
∂2f
∂2f
+ 2 を求めよ．(解答) 0
2
∂x
∂y
※ f (x, y) : f が x,y の関数であることを明示する書き方．
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
を求めよ．
∂x2
∂y 2
∂z 2
x2 + y 2 + z 2
※ f (x, y, z) : f が x,y,z の関数であることを明示する書き方．(解答) 0
[例題 1.8 ] f (x, y, z) =
1
について，
(注意) 変数を入れ替えても式の形が変わらない式を対称式という．[例題 1.7] の log
1
の
は対称式の例である．
2
x + y2 + z2
1.3.2
x2 + y 2 や [例題 1.8]
ラプラス演算子
∂2z ∂2z
∂2
∂2
∂2
∂2
+ 2 を形式的に因数分解して，
+ 2 z とかくことがある．この時， 2 + 2 を
2
2
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
2 次元のラプラス (Laplace) 演算子，または，ラプラシアン (Laplacian) と呼び，∆ であらわす．これを用い
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
ると上の式は，
+ 2 z = ∆z と書ける．同様に， 2 + 2 + 2 を 3 次元のラプラシアンとよび
2
∂x
∂y
∂x
∂y
∂z
∂2f ∂2f ∂2f
∂2
∂2
∂2
同じく ∆ であらわす．これを用いると，例題 1.8 の式は
+
+
=
+
+
f = ∆f
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
∂x2
∂y 2
∂z 2
と書ける．
例題 1.7 で
∆=
∆=
∂2
∂2
+
∂x2
∂y 2
(2 次元)
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
(3 次元)
(1.13a)
(1.13b)
ラプラシアンもナブラと同じ演算子の一種である（演算子については，後の 1.7 節で詳しく扱う）．それ自
体では機能せず，後ろに関数がきてはじめて偏微分という演算を行う．ラプラシアンは電磁気学や量子力
学で重要な演算子である．
ナブラ演算子 ∇ 同士の内積 (∇ · ∇ = ∇2 ) を形式的にとってみると，∇ · ∇ =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂y 2
とな
る．即ち，
∆ = ∇ · ∇ = ∇2
が成り立つ．
6
(1.14)
1.4
全微分
関数 z = f (x, y) が領域 D で偏微分可能で，fx (x, y) と fy (x, y) が領域 D で連続なとき，
dz = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy
(1.15)
を関数 z = f (x, y) の全微分と呼ぶ．
式 (1.5) において (x, y, z) → (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) とすると，
∆z = fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
(1.16)
となることから，全微分は z = f (x, y) を接平面で近似したときの ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
の近似値を表している．
2 つの関数 A(x, y)，B(x, y) を用いて表された，
A(x, y)dx + B(x, y)dy
(1.17)
を微分形式と呼ぶ．一般に微分形式が全微分である保証はない．式 (1.16) において，fxy = fyx が成り立
つことから，
A(x, y)dx + B(x, y)dy が全微分である必要十分条件は，Ay = Bx である．
A(x, y)dx + B(x, y)dy が全微分では無くても，ある関数 µ(x, y) をかけたものが全微分になることがある．
µ(x, y)A(x, y)dx + µ(x, y)B(x, y)dy が全微分であるとき，µ(x, y) を積分因子と呼ぶ．このとき
(µA)y = (µB)x が成り立つ．
[例題 1.9 ] 以下の 2 変数関数 z = f (x, y) の全微分を求めよ．
y
2
(1) z = e−xy
(2) z = 2
x
(解答) (1) dz = −y 2 e−xy dx − 2xye−xy dy ，(2) dz = −
2
2
2y
1
dx + 2 dy
x3
x
[例題 1.10 ] 微分形式 −ydx + xdy が
(1) 全微分でないことを示せ
1
(2) 積分因子
をかけることで全微分形式に直せ．
xy
y
(解答) (1) 省略，(2) d(log )
x
熱力学における全微分の応用
全微分形式は熱力学で重要な役割を果たす．たとえば，1mol の単原子理想気体を考えて，気体の圧力を p
に保ったまま，その体積を V から V + ∆V だけ変化させる仕事を加えた時，その温度が T から T + ∆T
に上昇したとする．この時，加えた仕事を W とすれば，W = −p∆V であり，内部エネルギーが U から
U + ∆U に変化したとすると，1mol の単原子理想気体の内部エネルギーが U = 3RT /2 であることを用
いれば，∆U = 3R∆T /2 である．この時，気体に加えた熱量 Q は，熱力学第一法則 ∆U = Q + W から，
Q = ∆U − W = 3R∆T /2 + p∆V と表される．1mol の理想気体の状態方程式が pV = RT であることを
用いれば，結局，
Q=
RT
3R
∆T +
∆V
2
V
7
となる．Q が T と V に依存しているとして，無限小量 dT と dV を用いた微分形式
3R
RT
dT +
dV
2
V
が全微分になっているかを調べてみる．式 (1.17) の A と B に対応するのが，各々，3R/2 と RT /V である
ので，
∂
∂V
∂
∂T
3R
2
RT
V
= 0
=
R
V
となり，上の微分形式は全微分でないことがわかる．ここで，積分因子として，1/T をかけた微分形式
R
3R
dT + dV
2T
V
を考えると，
∂
3R
∂V 2T
∂
R
∂T V
=
0
=
0
と等しくなるので，この微分形式は全微分となる．つまり，気体に加えた熱量 Q 自体は全微分ではないが，
それを T で割った量 Q/T は全微分になる．これは，熱量 Q 自体は温度 T と体積 V の一意的な関数にな
らず，温度変化や体積変化の順序によって熱量変化が異なること，また，Q/T という量は T と V の一意
的な関数として定義され，変化の順序によらず，系の状態だけで定まることに対応している．Q/T はエン
トロピーと呼ばれ，熱力学・統計力学で重要となる量であり，S で表されることが多い．上述の内容は，S
が T と V の一意的な関数 S(T, V ) であり，式 (1.15) に対応する全微分
dS =
∂S
∂S
dT +
dV
∂T
∂V
で表されることを示している．
1.5
1.5.1
合成関数の偏微分
合成関数の微分法
関数 f (x, y) において，x と y がそれぞれ u と v の関数で x = x(u, v)，y = y(u, v) と書けるとき，
f (x, y) (= f (x(u, v), y(u, v)) は u と v の合成関数であるという．f (x, y) が全微分可能で，x = x(u, v)
と y = y(u, v) が偏微分可能であれば，fu と fv は，
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
,
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
(1.18)
で与えられる．
(証明) f (x, y) を全微分すると df = fx dx + fy dy となる．これに x と y の全微分である dx = xu du + yv dv
と dy = yu du + yv dv を代入すると，df = (fx xu + fy yu )du + (fx xv + fy yv )dv となる．f は u と v の関数
でもあるからその全微分は，df = fu du + fv dv とも書けこれを上の式と比較すると，上記の関係が求まる．
同様にして，関数 f (x, y, z) において，x，y ，z がそれぞれ u，v ，w の関数で x = x(u, v, w)，y = y(u, v, w)，
z = z(u, v, w) と書けるとき，f (x, y, z) が全微分可能で，x = x(u, v, w)，y = y(u, v, w)，z = x(u, v, w) が
偏微分可能であれば，fu ，fv ，fw は，
8
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
∂f ∂z
=
+
+
,
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂z ∂u
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
=
+
+
,
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
∂z ∂v
∂f
∂f ∂x
∂f ∂y
∂f ∂z
=
+
+
∂w
∂x ∂w
∂y ∂w
∂z ∂w
(1.19)
これらをチェイン・ルールと呼ぶ．
[例題 1.11 ] 関数 z = sin(x2 + y 2 ) において，x と y が x = u2 − v 2 ，y = 2uv で与えられるとき，zu と zv
を求めて，u と v の関数として表せ（先に x や y を代入してから計算せずに，チェイン・ルールを用
いること）．
(解答) zu = 4(xu + yv) cos(x2 + y 2 ) = 4u(u2 + v 2 ) cos[(u2 + v 2 )2 ]，zv = 4(yu − xv) cos(x2 + y 2 ) =
4v(u2 + v 2 ) cos[(u2 + v 2 )2 ]．
チェイン・ルールの特殊な場合として次のものがある．
関数 f (x, y) において，x と y がそれぞれ t の関数で x = x(t)，y = y(t) と書けるとき，f (x, y) は 1
変数 t の関数 f (x(t), y(t)) となる．f (x, y) が全微分可能で，x = x(t) と y = y(t) が微分可能であれ
ば， df
dt は，
∂f dx ∂f dy
df
=
+
,
dt
∂x dt
∂y dt
(1.20)
で与えられる．
dz
を求めて，t の関数として表せ（先に x や y を代入してから計算せずに，
dt
チェイン・ルールを用いること）．
[例題 1.12 ] 次の z について
(1) z = 2x2 + 5y 2 ，x = cos t，y = sin t．
x2 + y 2 ，x = t − sin t，y = 1 − cos t．
(2) z =
(解答) (1)
1.5.2
dz
dz
x(1 − cos t) + y sin t
= −4x sin t + 10y cos t = 3 sin 2t，(2)
=
dt
dt
x2 + y 2
陰関数の微分
2 変数関数 f (x, y) = 0 により間接的 (implicit) に y が x の関数として定義されるとき，y を x の陰
関数と呼ぶ．このとき，fy (x, y) ̸= 0 なら，
dy
fx (x, y)
=−
dx
fy (x, y)
(1.21)
が成り立つ．
(証明) f (x, y) = 0 の両辺の全微分をとると，fx (x, y)dx + fy (x, y)dy = 0 より，上式が成り立つ．
[例題 1.13 ] x についての関数 y が，x2 + y 2 = 1 で定義されるとき，
(解答)
x
dy
=−
dx
y
= ±√
x
．
1 − x2
9
dy
を求めよ．
dx
1.6
座標変換 (合成関数の微分の応用)
3 次元の点を (x, y, z) で表す座標を直交座標またはカルテシアン(Cartesian：
「カーテシアン」とも) 座標と
呼ぶ．カルテシアン座標以外にも多くの座標がある．ここでは，代表的な 3 つの座標を紹介する．
極座標
極座標は 2 次元の点 (x, y) を，

ρ = x2 + y 2 (0 ≤ ρ)
φ = tan−1 y
(0 ≤ φ < 2π)
x
(1.22)
y
(x,y)
で与えられる (ρ, φ) で表す座標である．(x, y) と (ρ, φ) の幾
何学的な関係は右図のようになる．逆に，極座標で (ρ, φ) と
ρ
表される点はカルテシアン座標では，

x = ρ cos φ
y = ρ sin φ
φ
(1.23)
x
で与えられる．
円筒座標
z
円筒座標は，3 次元の点 (x, y, z) を，


ρ = x2 + y 2 (0 ≤ ρ)



y
φ = tan−1
(0 ≤ φ < 2π)

x


z = z
(x,y,z)
(1.24)
ρ
で与えられる (ρ, φ, z) で表す座標である．(x, y, z) と (ρ, φ, z)
の幾何学的な関係は右図のようになる．
φ
y
x
逆に，円筒座標で (ρ, φ, z) と表される点はカルテシアン座標では，



x = ρ cos φ


y = ρ sin φ



z = z
で与えられる．
10
(1.25)
球座標 (3 次元極座標)
球座標(3 次元極座標) は 3 次元の点 (x, y, z) を，



r = x2 + y 2 + z 2
(0 ≤ r)



2
2
x +y
θ = tan−1
(0 ≤ θ ≤ π)

z


y

φ = tan−1
(0 ≤ φ < 2π)
x
(1.26)
z
(x,y,z)
q
で与えられる (r, θ, φ) で表す座標である．(x, y, z) と (r, θ, φ)
の幾何学的な関係は右図のようになる．逆に，球座標 (3 次
r
元局座標) で (r, θ, φ) と表される点はカルテシアン座標では，



x = r sin θ cos φ


(1.27)
y = r sin θ sin φ



z = r cos θ
y
f
x
で与えられる．
[例題 1.14 ] 2 変数関数 f (x, y) において極座標を用いた場合，
(1)
∂f
∂f
sin φ ∂f
= cos φ
−
∂x
∂ρ
ρ ∂φ
(2)
∂f
∂f
cos φ ∂f
= sin φ
+
∂y
∂ρ
ρ ∂φ
となることを合成関数の偏微分を用いて示せ．
(解答) 省略
1.6.1
それぞれの座標の単位ベクトル
本小節でのみ，カルテシアン座標での座標変数 (x, y, z) を (x1 , x2 , x3 ) と表す．座標変換した時に，カルテシ
アン座標の xi は，変換後の座標変数 (u1 , u2 , u3 ) で表される．すなわち，各 xi（i = 1, 2, 3）は (u1 , u2 , u3 )
∂xi
で表されるので，
の関数となっている．たとえば，u1 方向への変化を表すベクトルの xi 方向成分は，
∂u1
u1 方向への変化を表すベクトルをカルテシアン座標表示で表せば，
∂x1 ∂x2 ∂x3
,
,
∂u1 ∂u1 ∂u1
となる．この方向の単位ベクトルを求めるには，上のベクトルを，その大きさで割ればよい．ベクトルの
大きさは，各成分の 2 乗の和の正の平方根で与えられるので，u1 方向への変化を表すベクトルの大きさを
h1 とすれば，h1 は
h1 =
∂x1
∂u1
2
+
∂x2
∂u1
2
+
∂x3
∂u1
3
2
=
であり，u1 方向への変化を表す単位ベクトル e1 は，
e1 =
1
h1
∂x1 ∂x2 ∂x3
,
,
∂u1 ∂u1 ∂u1
となる．u2 や u3 方向も同様なので，次のようにまとめられる．
11
i=1
∂xi
∂u1
2
座標変換後の uα 方向への変化を表す単位ベクトル eα （α = 1, 2, 3）の，カルテシアン座標表示は，
eα = (e1α , e2α , e3α ) =
1
hα
3
hα =
i=1
∂x1 ∂x2 ∂x3
,
,
∂uα ∂uα ∂uα
∂xi
∂uα
2
前述の各々の座標系での単位ベクトルを調べてみよう．
円筒座標
u1 ≡ ρ, u2 ≡ φ, u3 ≡ z として，それぞれの方向の単位ベクトルを，eρ ≡ e1 , eφ ≡ e2 , ez ≡ e3 と
すると，hρ ≡ h1 = 1, hφ ≡ h2 = ρ, hz ≡ h3 = 1 なので，
eρ
= (cos φ, sin φ, 0)
eφ
= (− sin φ, cos φ, 0)
ez
= (0, 0, 1)
球座標（3 次元極座標）
u1 ≡ r, u2 ≡ θ, u3 ≡ φ として，それぞれの方向の単位ベクトルを，er ≡ e1 , eθ ≡ e2 , eφ ≡ e3 と
すると，hr ≡ h1 = 1, hθ ≡ h2 = r, hφ ≡ h3 = r sin θ なので，
er
=
(cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ)
eθ
=
(cos φ cos θ, sin φ cos θ, − sin θ)
eφ
=
(− sin φ, cos φ, 0)
[例題 1.15 ] 円筒座標でのそれぞれの方向の単位ベクトルを求めよ．
（解答）省略
[例題 1.16 ] 球座標（3 次元極座標）でのそれぞれの方向の単位ベクトルを求めよ．
（解答）省略
[例題 1.17 ] 2 次元極座標でのそれぞれの方向（ρ 方向と φ 方向）の単位ベクトルを求めよ．
（解答）eρ = (cos φ, sin φ), eφ = (− sin φ, cos φ)
1.6.2
ラプラシアンの極座標表示
2 変数関数 f (x, y) のラプラシアンは極座標を用いると，
∆f =
∂2f
∂2f
∂2f
1 ∂f
1 ∂2f
+ 2 =
+
+ 2 2
2
2
∂x
∂y
∂r
r ∂r
r ∂θ
で与えられる．
12
(1.28)
3 変数関数 f (x, y, z) のラプラシアンは球座標 (3 次元極座標) を用いると，
∆f =
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
2 ∂f
cot θ ∂f
∂2f
1 ∂2f
1
+
+
=
+
+
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
r2 ∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
(1.29)
で与えられる．
[例題 1.18 ] 例題 1.14 を利用して，式 (1.28) を証明せよ．
(解答省略)
∂2z
∂2z
+
を求めよ．
∂x2
∂y 2
(解答) 0 (例題 1.7 と同じ問題．極座標を用いることで計算が簡単になる．)
[例題 1.19 ] 式 (1.28) を用いて，z = log
x2 + y 2 について，
∂2f
∂2f
∂2f
+ 2 + 2 を求めよ．
2
∂x
∂y
∂z
x2 + y 2 + z 2
(解答) 0 (例題 1.8 と同じ問題．極座標を用いることで計算が簡単になる．)
1
[例題 1.20 ] 式 (1.29) を用いて，f (x, y, z) =
1.7
1.7.1
について，
演算子
演算子とは
∂2f
∂2f
∂2f
∂2
∂2
∂2
+
+
は「形式的」に因数分解できて，
+
+
f とかくこ
∂x2 ∂y 2
∂z 2
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂2
∂2
∂2
とができる．そこで ∆ =
+ 2 + 2 と定義すると上式は，∆f と書き直せる．∆ はそれ自体で
2
∂x
∂y
∂z
は何もせず，後ろに関数がきて初めて機能する．このように，
前節で見たように，
後ろに続く関数に作用して初めて意味を持つものを演算子と呼ぶ．
1.3.2 節のラプラス演算子（ラプラシアン）∆ は物理学で頻出する演算子の一つである．∆ は，さらに細か
く見ると
∂
∂x
などの偏微分演算子の積の和で成り立っている．(偏) 微分演算も後ろに (偏) 微分する関数が
来て初めて意味を持つので演算子の一種である．
演算子の性質を調べると，作用する関数に拠らない議論ができるので便利である．例えば，式 (1.28) で演
算子だけくくりだしてやると，
∆=
∂2
∂2
∂2
1 ∂
1 ∂2
+ 2 = 2+
+ 2 2
2
∂x
∂y
∂r
r ∂r r ∂θ
(1.30)
となり，関数 f に無関係な関係式となる．
1.7.2
演算子の交換
演算子を扱うときに最も注意しなければいけないことは，演算子は交換するとは限らないということであ
る．特に演算子が関数と (偏) 微分演算子の積で与えられるときは注意が必要である．
演算子が交換する例
われわれは，1.3.1 節で
∂ ∂
∂x ∂y
f=
∂2f
∂2f
=
=
∂x∂y
∂y∂x
13
∂ ∂
∂y ∂x
f
となることを習った．これは偏微分演算子
∂
∂
と
の順番を入れ替えても (交換しても) 良いことを示し
∂x
∂y
ている．一般に，
(偏) 微分演算子同士は交換可能である．
演算子が交換しない例
次に，演算子が交換しない例を見ることにする．
∂
xf (x, y)
∂x
∂
∂
x f とかけて， x を演算子と見ること
∂x
∂x
∂
∂f (x, y)
∂
ができる．上の式は， xf (x, y) = f (x, y) + x
= 1+x
f (x, y) となるから，
∂x
∂x
∂x
という計算を考えよう．これを形式的に因数分解すると，
∂
x=
∂x
となる．つまり演算子
1+x
∂
∂x
̸= x
∂
∂x
(1.31)
∂
と x は交換しないのである．一般に，
∂x
(偏) 微分演算子と関数演算子の交換には注意が必要である．
∂
x をそのまま計算すると「1」になってしまうが，これを演算子としてみるときは後ろに見えない ✷ が
∂x
あって，
∂
∂
∂
∂
x=
x✷ = 1 × ✷ + x ✷ = 1 + x
(1.32)
∂x
∂x
∂x
∂x
というように計算する．２つの演算子が交換するか否かに注目して，交換子という演算子を考えることが
ある（1.7.4 節参照）．
1.7.3
演算子の積
演算子は交換するとは限らないので，演算子の積を計算するときは注意が必要である．
例えば，
∂
∂x
x+
2
=
x+
∂
∂x
∂
∂x
(1.33a)
∂
∂
∂ ∂
+
x+
∂x ∂x
∂x ∂x
(1.33b)
x+
という演算子の積を考えよう．これを展開すると，
x+
ここで，
∂
∂x
x+
∂
∂x
= x2 + x
∂
∂
x=1+x
に注意すると，
∂x
∂x
x+
∂
∂x
2
= x2 + x
∂
∂
∂2
∂
∂2
2
+1+x
+
=
x
+
2x
+
+1
∂x
∂x ∂x2
∂x ∂x2
(1.33c)
となる．従って普通の展開公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 から予想される結果にはならないのである．
x+
∂
∂x
2
̸= x2 + 2x
14
∂
∂2
+ 2
∂x ∂x
(1.33d)
1.7.4
交換子
演算子が交換するか否かに注目して，次のような演算子を考えることがある（２年生で学ぶ「量子力学」の
重要な概念に関係する）．
任意の演算子 A と B について，
[A, B] = AB − BA
(1.34)
で定義される演算子を交換子と呼ぶ．
例えば，x という演算子（「後ろ（右側）の関数を x 倍する」という演算を行う）と ∂ という演算子（「後
∂x
ろ（右側）の関数を x について偏微分する／後ろ（右側）の関数の x についての偏導関数を求める」とい
う演算を行う）を考えると，任意の３変数関数 f (x, y, z) について，(1.34) 式の定義に従って，
x,
∂
∂
∂
f (x, y, z) = (x
−
x)f (x, y, z)
∂x
∂x ∂x
∂f (x, y, z)
∂
= x
−
(xf (x, y, z))
∂x
∂x
∂f (x, y, z)
∂f (x, y, z)
= x
− f (x, y, z) + x
∂x
∂x
= −f (x, y, z)
となるので，
∂
= −1
∂x
という，演算子としての等式が成り立つことになる（ここで右辺の −1 は，あくまで「後ろ（右側）の関数
を −1 倍する」という演算を行う演算子であることに注意せよ）．
x,
以下に，より複雑な交換子を考える時に便利な「公式」を示しておく（A, B, C は任意の演算子とする）．
[A, B] = −[B, A]
(1.35)
[aA, B] = a[A, B]
(1.36)
[A + B, C] = [A, C] + [B, C]
(1.37)
任意のスカラー a について，
すなわち，和の交換子は交換子の和に等しい．
（証明）(1.35)，(1.36)，(1.37) は，交換子の定義 (1.34) 式から明らか．
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
これは「量子力学」で大変有用になる公式である．頻出するので憶えておくとよい．
（証明）
左辺
= ABC − CAB
= ABC − CAB + (ACB − ACB) = (ABC − ACB) + (ACB − CAB)
= A(BC − CB) + (AC − CA)B
= A[B, C] + [A, C]B = 右辺
15
(1.38)
２つ目の等号では，ACB という演算子（の積）を加えて引くという冗長な変形（+(ACB − ACB)）をし
ている．
[A, BC] = B[A, C] + [A, B]C
(1.39)
（証明）(1.35) 式と (1.38) 式を用いればすぐに示せる：
左辺
=
−[BC, A]
=
−(B[C, A] + [B, A]C)
=
B(−[C, A]) + (−[B, A])C = B[A, C] + [A, B]C = 右辺
[例題 1.21 ] 量子力学によると，物体の位置ベクトル (x, y, z) と運動量ベクトル（px , py , pz ）は演算子であ
り，その各成分の交換子について，次の関係（交換関係）が成り立つことがわかっている（i は虚数
単位，¯
h は Planck 定数 h を用いて ¯
h=
h
2π
で定義される物理定数（Dirac 定数とも呼ばれる））
：
[x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i¯h
また，それ以外の全ての交換子（たとえば，[x, py ] や [y, z] や [px , pz ] など）は，全て 0 である．公式
(1.36)，(1.37)，(1.38) 式を用いて，
[p2 , x] = [p2x + p2y + p2z , x] = −2i¯hpx
を示せ．
(解答省略)
1.7.5
ラプラシアンの様々な表記
演算子を用いると球座標 (3 次元極座) でのラプラシアン ∆(1.29 を参照) は，以下のように様々な形でかけ
る．問題により便利なものを利用すると良い．
2 ∂
1 ∂2
cot θ ∂
1
∂2
∂2
+
+
+
+
∂r2
r ∂r r2 ∂θ2
r2 ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2
2
∂
2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
= 2+
+ 2
sin θ
+ 2 2
∂r
r ∂r r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
∂
1
∂
∂
1
1 ∂
∂2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
= 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
∂2
1 ∂2
1
∂
∂
1
=
r+ 2
sin θ
+ 2 2
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
∆=
[例題 1.22 ] 例題 1.14 から，2 次元極座標では
∂
sin θ ∂
−
∂r
r ∂θ
2
∂
cos θ ∂
+
∂r
r ∂θ
2
∂2
=
∂x2
cos θ
(2)
∂2
=
∂y 2
sin θ
(1.40b)
(1.40c)
(1.40d)
∂
∂
sin θ ∂
∂
∂
cos θ ∂
= cos θ
−
，
= sin θ
+
とな
∂x
∂r
r ∂θ ∂y
∂r
r ∂θ
ることが解る．このとき，
(1)
(1.40a)
を利用して
∂2
の 2 次元極座標での表式を求めよ．
∂x2
を利用して
∂2
の 2 次元極座標での表式を求めよ．
∂y 2
(3) (1) (2) の結果を用いて，式 (1.30) を証明せよ．
16
[例題 1.23 ] 球座標 (3 次元極座標) において以下の関係が成り立つことを示せ．
(1)
∂2
2 ∂
1 ∂
+
= 2
∂r2
r ∂r
r ∂r
(2)
1 ∂2
cot θ ∂
1
∂
= 2
+ 2
r2 ∂θ2
r ∂θ
r sin θ ∂θ
r2
∂
∂r
sin θ
∂
∂θ
平均値の定理とテイラー展開
1.8
1.8.1
平均値の定理
1 変数の場合と同様，多変数の場合にも平均値の定理は成り立つ．2 変数の場合の平均値の定理は以下のよ
うになる．
関数 f (x, y) が x = x0 ∼ x0 + h，y = y0 ∼ y0 + k で囲まれる領域で連続でかつ滑らかなときは，
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) + hfx (x0 + θh, y0 + θk) + kfy (x0 + θh, y0 + θk) (0 < θ < 1) (1.41)
を満たす θ が存在する．
(証明) F (t) = f (x0 + ht, y0 + kt) という関数を考えこれに対して 1 変数の平均値の定理を適用すると，
F (1) = F (0) + F ′ (θ) (0 < θ < 1)
となる．これを書き換えると式 (1.41) になる．
1.8.2
2 変数関数のテイラーの定理
2 変数の場合のテイラー (Taylor) の定理は，
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +
+
+
Rn+1 =
1
2!
h
1
n!
h
h
∂
∂
+k
∂x
∂y
∂
∂
+k
∂x
∂y
2
∂
∂
+k
∂x
∂y
n
1
(n + 1)!
h
f (x, y)
x=x0
y=y0
+ ···
f (x, y)
x=x0
y=y0
f (x, y)
(1.42)
+ Rn+1
x=x0
y=y0
∂
∂
+k
∂x
∂y
n+1
f (x, y)
(0 < θ < 1)
x=x0 +θh
y=y0 +θk
で与えられる．
(証明) 関数 F (t) = f (x0 + ht, y0 + kt) に対して 1 変数のテイラーの定理を適用すると，
F (1) = F (0) + F (1) (0) +
Rn+1 =
1
1 (2)
F (0) + · · · + F (n) (0) + Rn+1
2!
n!
(1.43)
1
F (n+1) (θ)
(n + 1)!
となる．ここで，
d
∂f
∂f
d
F (t) = f (x0 + ht, y0 + kt) = h
+k
=
dt
dt
∂x
∂y
17
h
∂
∂
+k
∂x
∂y
f
となることから，
F (n) (0) =
h
∂
∂
+k
∂x
∂y
n
f (x, y)
x=x0
y=y0
これらの関係を式 (1.43) に代入すると式 (1.42) を得る．(証明終わり)
lim Rn = 0 の時，
n→0
f (x0 + h, y0 + k) =
+
+
f (x0 , y0 ) +
1
2!
h
1
n!
h
1
n!
n=0
∂
∂
+k
∂x
∂y
∂
∂
+k
∂x
∂y
2
∂
∂
+k
∂x
∂y
n
∞
=
h
h
f (x, y)
x=x0
y=y0
+ ···
f (x, y)
x=x0
y=y0
f (x, y)
x=x0
y=y0
∂
∂
+k
∂x
∂y
+ ···
n
f (x, y)
(1.44)
x=x0
y=y0
をテイラー(Taylor) 展開と呼ぶ．式 (1.44) は扱いづらいので，少し変形を行う．
h
∂
∂
+k
∂x
∂y
n
n
=
n Cm h
n−m m
k
m=0
n−m
∂
∂x
∂
∂y
m
(1.45)
の関係を用い，また x = x0 + h，y = y0 + k を代入すると，式 (1.44) は，
∞
n
f (x, y) =
n=0 m=0
n Cm
n!
∂
∂x
n−m
∂
∂y
m
(x − x0 )n−m (y − y0 )m
f (x, y)
(1.46)
x=x0
y=y0
と書き直せる．もう少し具体的に最初の数項を書き下しておくと，
f (x, y) = f (x0 , y0 )
+ fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 )
1
fxx (x0 , y0 ) · (x − x0 )2 + 2fxy (x0 , y0 ) · (x − x0 )(y − y0 ) + fyy (x0 , y0 ) · (y − y0 )2
+
2
1
+
fxxx (x0 , y0 ) · (x − x0 )3 + 3fxxy (x0 , y0 ) · (x − x0 )2 (y − y0 )
6
+3fxyy (x0 , y0 ) · (x − x0 )(y − y0 )2 + fyyy (x0 , y0 ) · (y − y0 )3
+ ···
(1.47)
となる．1 変数の場合と同様，テイラー展開は関数 f (x, y) を (x0 , y0 ) の周りで x と y についての多項式で
近似することに対応している．特に，1 次までの展開，
f (x, y) ≅ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 )
を見ると，式 (1.5) の接平面の方程式になっていることが解る．
18
関数 f (x, y) を原点 (0, 0) の周りでテイラー展開した時，特にマクローリン (Maclaurin) 展開とよび，
∞
n
f (x, y) =
n=0 m=0
n Cm
n!
∂
∂x
n−m
∂
∂y
m
xn−m y m
f (x, y)
(1.48)
x=0
y=0
で与えられる．
テイラー展開の証明からわかるように，
テイラー展開は一意的に求まる．
[例題 1.24 ] 関数 f (x, y) = x + y + x2 + xy + y 2 を
(1) 原点の周りにテイラー展開し 3 次の項まで求めよ．
(2) (1, 1) の周りにテイラー展開し 3 次の項まで求めよ．
(解答) (1) f (x, y) = x + y + x2 + xy + y 2 ，(2) f (x, y) = x + y + x2 + xy + y 2
1−y
を原点の周りにテイラー展開し 2 次の項まで求めよ．
1 + sin x
(解答) f (x, y) = 1 − x − y + x2 + xy + · · ·
[例題 1.25 ] 関数 f (x, y) =
(注意) テイラー展開が無限級数となる場合に「n 次の項まで求める」ということは，n 次の項までを
明示して，それ以上の次数の項を「+ · · · 」で表記することである．
[例題 1.26 ] 関数 f (x, y) = sin(x + 2y) を原点の周りにテイラー展開し 3 次の項まで求めよ．
1
(解答) f (x, y) = x + 2y − (x + 2y)3 + · · ·
6
[例題 1.27 ] 関数 f (x, y) = sin x sin y を原点の周りにテイラー展開し 4 次の項まで求めよ．
1
(解答) f (x, y) = xy − (x3 y + xy 3 ) + · · ·
6
1.8.3
多変数関数のテイラー展開
テイラー展開を m 変数関数の場合に拡張しておこう．
m 変数関数 f (x1 , x2 , · · · , xm ) の (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 ) 近傍でのテイラー展開は，式 (1.44) に対応
して，
f (x1,0 + h1 , x2,0 + h2 , · · · , xm,0 + hm ) =
∞
1
n!
n=0
h1
∂
∂
∂
+ h2
+ · · · + hm
∂x1
∂x2
∂xm
n
f (x1 , x2 , · · · , xm )
で与えられる．
これに，xi,0 + hi = xi を代入して，式 (1.46) の形に書き直すと，
19
(1.49)
x1 =x1,0 ,x2 =x2,0 ,··· ,xm =xm,0
f (x1 , x2 , · · · , xm ) =
∞
n=0
n1 +n2 +,··· ,nm =n
1
∂ n1 ∂ n2
∂ nm
f (x1 , x2 , · · · , xm )
n1
n2 · · ·
n1 !n2 ! · · · nm ! ∂x1 ∂x2
∂xnmm
{xi =xi,0 }
(1.50)
× (x1 − x1,0 )n1 (x2 − x2,0 )n2 · · · (xm − xm,0 )nm
となる．1 次までの項を書き出すと，
f (x1 , x2 , · · · , xm ) ≅ f (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 ) + fx1 (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 )(x1 − x1,0 )
+ fx2 (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 )(x2 − x2,0 )
+ ···
(1.51)
+ fxm (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 )(xm − xm,0 )
となる．式 (1.50) の簡単な (そのかわり厳密でない) 証明を与えておく．今 m 変数関数 f (x1 , x2 , · · · , xm )
が，
∞
f (x1 , x2 , · · · , xm ) =
an1 ,n2 ,··· ,nm (x1 − x1,0 )n1 (x2 − x2,0 )n2 · · · (xm − xm,0 )nm
n=0
n1 +n2 +,··· ,nm =n
と展開できたとする．この式の両辺を x1 , x2 , · · · , xn についてそれぞれ n1 , n2 , · · · , nm 回偏微分すると，
∂ nm
∂ n1 ∂ n2
f (x1 , x2 , · · · , xm ) = n1 !n2 ! · · · nm !an1 ,n2 ,··· ,nm
n1
n2 · · ·
∂x1 ∂x2
∂xnmm
′
+
n′1 ≥1,n′2 ≥1,···n′m ≥1
′
′
a′n′1 ,n′2 ,··· ,n′m (x1 − x1,0 )n1 (x2 − x2,0 )n2 · · · (xm − xm,0 )nm
これに，x1 = x1,0 , x2 = x2,0 , · · · , xm = xm,0 を代入すると，
an1 ,n2 ,··· ,nm =
1
∂ nm
∂ n1 ∂ n2
·
·
·
f (x1 , x2 , · · · , xm )
n1 !n2 ! · · · nm ! ∂xn1 1 ∂xn2 2
∂xnmm
{xi =xi,0 }
となり，式 (1.50) が証明できる．同様にして 2 変数関数のテイラー展開 (1.46) や 1 変数のテイラー展開も
証明できる．
平均値の定理から証明するのに比べはるかに簡単で結果もわかりやすいのだが，なぜこのように証明しな
いのかというと，この方法ではテイラー展開の一意性と展開の収束性が示せないのである．
1.9
1.9.1
多変数関数の極値問題
多変数関数の極大極小
2 変数関数 z = f (x, y) が点 (a, b) で極値を持つ必要条件は，
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
である．
これは，偏微分の定義から自明であろう．多変数関数の場合に拡張しておくと，
20
(1.52)
m 変数関数 z = f (x1 , x2 , · · · , xm ) が点 (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 ) で極値を持つ必要条件は，
fx1 (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 ) = fx2 (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 ) = · · · = fxm (x1,0 , x2,0 , · · · , xm,0 ) = 0 (1.53)
である．
必要条件ということは，式 (1.52) を満たしても，極値ではない場合があるということである．
下図に fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 を満たして実際 (0, 0) で極大値を持つ場合 (左図) と極大にも極小にもならな
い場合 (右図) の例を示す．左の図では x 軸方向では (0, 0) で極小になっているが，y 軸方向では (0, 0) で
極大になっている．このような点を鞍点（saddle point）または峠点と呼ぶ．
1
z
z
4
2
0.5
0
-2
0
-4
2
2
1
-2
1
0
-1
-1
0
x
1
-2
y
0
-1
-1
0
2 -2
x
1
2 -2
y
2 変数関数の場合には極値の判定条件が以下で与えられる．
関数 f (x, y) について，２階までの偏導関数が連続で，点 A(a, b) で fx (a, b) = fy (a, b) = 0 を満たす
とき，D ≡ (fxy (a, b))2 − fxx (a, b) · fyy (a, b) という式（判別式）を導入すると，
1. D < 0 ならば，
(a) fxx (a, b) < 0 のとき，点 A(a, b) で極大
(b) fxx (a, b) > 0 のとき，点 A(a, b) で極小
2. D > 0 ならば，極大でも極小でもない
3. D = 0 のときは判別不能 (極大・極小いずれの場合もあり，また極値でない場合もある)
(証明) Taylor の定理 (1.42) において，n = 1 とおけば，ある θ (0 < θ < 1) が存在して，
f (a + h, b + k) − f (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k
1
+
fxx (a + θh, b + θk)h2 + 2fxy (a + θh, b + θk)hk + fyy (a + θh, b + θk)k 2
2
と表すことができる．極値を持つ必要条件から，fx (a, b) = fy (a, b) = 0 であるので，f (a + h, b + k) − f (a, b)
の正負は，
S ≡ fxx (a + θh, b + θk)h2 + 2fxy (a + θh, b + θk)hk + fyy (a + θh, b + θk)k 2
の正負と等しい．今，A ≡ fxx (a + θh, b + θk)，B ≡ fyy (a + θh, b + θk)，H ≡ fxy (a + θh, b + θk) とお
けば，
S = Ah2 + 2Hhk + Bk 2 = A
h+
H
k
A
2
−
1
(H 2 − AB)k 2
A2
と表されるが，fxx , fxy , fyy の連続性から，点 (a, b) の十分近傍では，D と H 2 − AB ，及び，fxx (a, b) と
A はそれぞれが同符号と考えてよい．すると，S の正負（即ち，f (a + h, b + k) − f (a, b) の正負）につい
ては以下が言える．
21
1. D < 0 かつ fxx (a, b) < 0 ならば，H 2 − AB < 0 かつ A < 0 となり，h と k の符号によらず，S < 0
2. D < 0 かつ fxx (a, b) > 0 ならば，H 2 − AB < 0 かつ A > 0 となり，h と k の符号によらず，S > 0
3. D > 0 ならば，H 2 − AB > 0 となり，h と k の値によっては S は正とも負ともなる
4. D = 0 ならば，H 2 − AB ≅ 0 ではあるが，H 2 − AB の符号は正とも負ともわからない
以上から，たとえば，D < 0 かつ fxx (a, b) < 0 なら，任意の微小な h と k に対して，f (a + h, b + k) − f (a, b)
は負，つまり，点 (a, b) の近傍でどの方向に動いても関数値は減少することになるので，関数 f (x, y) は点
(a, b) で極大値を持つことがわかる．同じように，D < 0 かつ fxx (a, b) > 0 なら点 (a, b) で極小値を持つ．
他も同様である．(証明終わり)．
[例題 1.28 ] 次の関数が極値を持てば，それを求めよ．
(1)
f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2
(2)
f (x, y) =
x2
4
− y2
(解答) (1) (0, 0) で極小値 0 を持つ，(2) 極値は持たない
1.9.2
条件付きの多変数関数の極値
条件 g(x, y) = 0 のもとに関数 f (x, y) の極値を求めるためには，gx (x, y) = gy (x, y) = 0 でなけれ
ば，新しい関数 F (x, y) = f (x, y) − λg(x, y) を定義して，F (x, y) が極値を持つ点を求めればよい．
具体的には連立方程式，


 g(x, y) = 0
Fx (x, y) = fx (x, y) − λgx (x, y) = 0


Fy (x, y) = fy (x, y) − λgy (x, y) = 0
(1.54)
を解けば良い．これをラグランジュ(Lagrange) の未定乗数法 (あるいは未定係数法) と呼ぶ．また
λ を未定乗数 (未定係数) と呼ぶ．
(証明) g(x, y) = 0 を y についてとき直したとき，y = φ(x) となるとすると，陰関数の微分公式 (1.21) に
従って，
dφ(x)
gx (x, y)
=−
dx
gy (x, y)
(1.55)
が成り立つ．このとき，関数 f (x, y) が条件 g(x, y) = 0 を満たす点 (x, y) で極値を持つということは，x に
ついての 1 変数関数 f (x, φ(x)) が極値を持つのと同じであるから，
d
dφ(x)
f (x, φ(x)) = fx (x, φ(x)) + fy (x, φ(x))
=0
dx
dx
これに，式 (1.55) を代入して，
(1.56)
fy (x, y)
= λ とおくと式 (1.54) の上の式が得られる．下の式も同様に証明
gy (x, y)
できる．(証明終わり)
[例題 1.29 ] x2 + y 2 = 1 の条件のもとに x + y が極値を持つ点の候補をすべて見つけよ．
(解答) ( √12 , √12 )，(− √12 , − √12 )
多変数関数への拡張を示しておく．
22
m 個の条件，gj (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0 (1 ≤ j ≤ m) のもとに n 変数関数 f (x1 , x2 , · · · , xn ) が極値を
とる点を求めるには，新しい関数 F (x1 , x2 , · · · , xn ) を
m
F (x1 , x2 , · · · , xn ) = f (x1 , x2 , · · · , xn ) −
λj gj (x1 , x2 , · · · , xn )
(1.57)
j=1
と定義し，m + n 個の連立方程式，


 gj (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0 (1 ≤ j ≤ m)
∂

 Fxi (x1 , x2 , · · · , xn ) = ∂x f (x1 , x2 , · · · , xn ) −
i
m
λj
j=1
∂
gj (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0 (1 ≤ i ≤ n)
∂xi
(1.58)
を解けば良い．
[例題 1.30 ] x2 + y 2 + z 2 = 1 の条件のもとに x + y + z の極値の候補点をすべて求めよ．
(解答) ( √13 , √13 , √13 )，(− √13 , − √13 , − √13 )
23
微分方程式
2
2.1
微分方程式とは
ある関数とその (偏) 導関数の間の関係を表したものを微分方程式と呼ぶ．また，微分方程式を満たす関数
を具体的に求めることを微分方程式を解くという．
2.1.1
微分方程式の種類
常微分方程式と偏微分方程式
独立変数が 1 つの場合を常微分方程式と呼ぶ．また，独立変数が複数の場合を偏微分方程式と呼ぶ．ここ
では，主に常微分方程式に関して勉強する．
常微分方程式の例
偏微分方程式の例
y ′′ = −y
∂ 2 f (x, t)
1 ∂ 2 f (x, t)
=
∂x2
c2 ∂t2
n 階微分方程式
微分方程式の中に現れる導関数の最高次数を，その微分方程式の階数と呼ぶ．階数が n である微分方程式
を n 階微分方程式と呼ぶ．例えば，y ′′′ + 2y ′′ − y = 0 は 3 次微分が最高次なので 3 階微分方程式である．
線型微分方程式
微分方程式がある関数とその（偏）導関数についての 1 次式で与えられるとき，その微分方程式を線型微
分方程式と呼ぶ．以上をまとめると，
線型 n 階常微分方程式の一般形は，
y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y = q(x)
で与えられる．ここで，y (n) =
(2.1)
dn y
である．特に，q(x) = 0 であるとき，
dxn
y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y = 0
(2.2)
これを線型 n 階斉次常微分方程式と呼ぶ．
2.1.2
微分方程式の解の種類
n 階常微分方程式の解のうち，n 個の任意定数を含むものを一般解と呼ぶ．また，任意定数に特殊
な値を代入して得られる解を特殊解（または特解）と呼ぶ．
特に，線型 n 階斉次常微分方程式の場合には n 個の線型独立な解，f1 (x)，f2 (x)，. . . ，fn (x) が存
在して，一般解はそれらの線型結合，
y = C1 f1 (x) + C2 f2 (x) + · · · + Cn fn (x)
で与えられる（以下の（注意）を参照のこと）．
24
(2.3)
（注意）n 個の関数 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) に対して，n 個の 0 でない定数 C1 , C2 , . . . , Cn を係数とした和
n
C1 f1 (x) + C2 f2 (x) + · · · + Cn fn (x) =
Ck fk (x)
k=1
を，関数 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) の線型結合という．また，n 個の関数 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) の中の任意
の fk (x) (k = 1, 2, . . . , n) が，その他の (n − 1) 個の関数の線型結合で表すことができない時，関数 f1 (x),
f2 (x), . . . , fn (x) は線型独立であるという．
n 階常微分方程式の特殊解を求めるためには，n 個の任意定数を決定するための条件（初期条件，ま
たは，境界条件）が必要である．
（注意）たとえば，x = x0 の時に y = y0 となる初期条件を，y(x0 ) = y0 と書くことがある．
微分方程式の中には，一般解でも特殊解でもない解が存在する場合がある．これを特異解と呼ぶ．
[例題 2.1 ] 微分方程式 (y ′ )2 + xy ′ − y = 0 について以下の問いに答えよ．
(1) y = Cx + C 2 がこの微分方程式の一般解であることを示せ．
(2) 初期条件 y(0) = 1 のもとにこの微分方程式を解け．
(3) y = −x2 /4 がこの微分方程式の特異解であることを示せ．
(解答省略)
[例題 2.2 ] 微分方程式 y ′′ = −y について以下の問いに答えよ．
(1) y = sin x がこの微分方程式を満たすことを示せ．
(2) y = cos x がこの微分方程式を満たすことを示せ．
(3) C1 と C2 を任意の定数とすると，y = C1 sin x + C2 cos x がこの微分方程式を満たすことを示せ．
(4) 初期条件 y(0) = 1，y(π/2) = 1 のもとにこの微分方程式を解け．
(解答省略)
この方程式は線型 2 階斉次常微分方程式で，sin x と cos x が線型独立な 2 解であり，一般解はその線
型結合 y = C1 sin x + C2 cos x で与えられる．
2.2
積分型
微分方程式 y ′ = f (x) の解は，y =
f (x)dx で与えられる．
[例題 2.3 ] 微分方程式 y ′ = e−2x について，
(1) 一般解を求めよ．
(2) 初期条件 y(0) = 0 を満たす解を求めよ．
1
1
(解答) (1) y = − e−2x + C ，(2) y = (1 − e−2x )
2
2
25
y が時間 t の関数 y(t) であるとき，物理学では y の時間に関する微分を特別に，
d2 y
= y¨
dt2
dy
= y,
˙
dt
(2.4)
などと表すことがある．
速度の定義
ある物体の位置ベクトルが，r(t) (=
(x(t), y(t), z(t))) であるとき，その速度 v(t) (=
(vx (t), vy (t), vz (t))) は，r の時間微分，
v = (vx , vy , vz ) =
d
r = r˙ =
dt
dx dy dz
, ,
dt dt dt
= (x,
˙ y,
˙ z)
˙
(2.5)
= (v˙ x , v˙ y , v˙ z )
(2.6)
で定義される．
加速度の定義
加速度 a(t) (= (ax (t), ay (t), az (t))) は，速度 v の時間微分，
a = (ax , ay , az ) =
d
v = v˙ =
dt
dvx dvy dvz
,
,
dt dt dt
で定義される．これはまた，定義 (2.5) から，位置ベクトル r の時間に関する 2 階微分，
a = (ax , ay , az ) =
d2
r = r¨ =
dt2
d2 x d2 y d2 z
,
,
dt2 dt2 dt2
= (¨
x, y¨, z¨)
(2.7)
である．
[例題 2.4 ] 水平方向に x 軸を取り，鉛直上方に y 軸を取る．時刻 t = 0 に原点から初速度 (v0x , v0y ) で斜
めに質量 m の質点を投げたときに，以下の問いに答えよ．
(1) x 軸と y 軸方向に分けて運動方程式を立てよ．
(2) 初期条件を示せ．
(3) (1) の微分方程式を解いて，時刻 t での質点の座標を求めよ．
(解答) (1) m¨
x = 0，m¨
y = −mg ，(2) x(0) = y(0) = 0，x(0)
˙
= v0x ，y(0)
˙
= v0y ，(3) x(t) = v0x t，
y(t) = v0y t − g2 t2
2.3
変数分離型
微分方程式 y ′ = f (x)g(y) の一般解は，
1
dy =
g(y)
f (x)dx + C (C は任意定数)
で与えられる．
26
(2.8)
(証明) g(y) ̸= 0 として，y ′ =
dy
= f (x)g(y) の両辺を g(y) で割ると，
dx
f (x) =
1 dy
=
g(y) dx
d
dy
1
dy
g(y)
dy
d
=
dx
dx
1
dy
g(y)
dy
この式の両辺を x で積分すれば，(2.8) 式が得られる．g(y) = 0 の時は， dx
= 0 より，y は定数となる．
[例題 2.5 ] 微分方程式 x2 y ′ + y = 0 について以下の問いに答えよ．
(1) この微分方程式の一般解を求めよ．
(2) 初期条件 (x = 1, y = −1) のとき特殊解を求めよ．
(解答) (1) y = Ce1/x ，(2) y = −e1/x−1
[例題 2.6 ] 終端速度
y 軸を鉛直下方にとり，質量 m の質点を時刻 t = 0 に y = 0 から初速度 0 で自由落下させた．質点に
は，速度に比例した空気抵抗が働くとし，その比例係数を α とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 速度の y 方向成分を v として，y 軸方向の運動方程式を立てよ．
-av
(2) (1) の方程式を解け．
y
(3) 十分時間が経ったとき，速度の大きさはどうなるか？
(解答) (1) mv˙ = mg − αv ，(2) v(t) =
2.4
mg
α (1
mg
− e− m t )，(3) v(∞) = mg/α
α
線型 1 階常微分方程式
線型 1 階常微分方程式 y ′ + P (x)y = Q(x) の解は，
y = e−
R
P (x)dx
R
e
P (x)dx
Q(x)dx + C
(2.9)
で与えられる．
（定数変化法を用いた解法）まず，与えられた微分方程式の右辺 Q(x)（非斉次項）を 0 と置いた微分方程
式（斉次方程式）
y ′ + P (x)y = 0
を解く．これは変数分離型なので，(2.8) に従って，
dy
=−
y
P (x)dx + D (D は任意定数)
となる．従って，新たな任意定数 A を用いて，斉次方程式の一般解は，
y = Ae−
R
P (x)dx
となる．ここで，定数 A を x の関数 A(x) と考えて，改めて元の微分方程式に代入する（定数変化法）．
y′ =
R
R
d
dA(x) − R P (x)dx
A(x)e− P (x)dx =
e
+ A(x)(−P (x))e− P (x)dx
dx
dx
27
であるので，
dA(x) − R P (x)dx
e
= Q(x)
dx
y ′ + P (x)y =
つまり，
R
dA(x)
= e P (x)dx Q(x)
dx
この式の両辺を x について積分すると，任意定数を C として，関数 A(x) が
R
A(x) =
と求まる．y = A(x)e−
R
P (x)dx
e
P (x)dx
Q(x)dx + C
に A(x) を代入すれば，公式 (2.9) が得られる．
[例題 2.7 ] 以下に従って，公式 (2.9) を証明せよ．
R
(1)
e
P (x)dx
y
′
R
=e
P (x)dx
R
P (x)y + e
R
(2) y ′ + P (x)y = Q(x) の両辺に e
P (x)dx ′
P (x)dx
y を示せ．
をかけることで，公式 (2.9) を証明せよ．
(解答省略)
[例題 2.8 ] 以下の微分方程式を解け．
xy ′ + y = xe2x
(1)
(解答) (1) y =
(2) y ′ + xy = x
2
e2x
C
e2x
−
+ ，(2) y = 1 + Ce−x /2
2
4x
x
電気回路への応用 (キルヒホッフの法則)
2.5
電気回路において，任意の閉回路で一方向に一周した時の電圧降下の合計は起電力に等しい（キル
ヒホッフ (Kirchhoﬀ) の法則）．但し，電気抵抗 R の抵抗，自己インダクタンス L のコイル，電気
容量 C のコンデンサーにおける電圧降下はそれぞれ，
C
R
I
L
I
−RI
−L
I
dI
dt
−
Q
Q(0)
1
=−
−
C
C
C
t
I(t)dt
0
で与えられる．なお，電流と一周する方向が逆向きのときは符号を反転させる必要がある．
[例題 2.9 ] 右図の直流回路で時刻 t = 0 にスイッチ S を閉じたとする．回路に流れる電流を I とし，t = 0
では，コンデンサーには電荷が蓄えられていなかったとして以下の問いに答えよ．
(1) スイッチを閉じた直後に回路に流れる電流 I(0) を求めよ．
(2) キルヒホッフの法則を適用して，電圧の関係式を求めよ．
R
(3) (2) の結果から電流 I についての微分方程式を導け．
(4) (3) の微分方程式を解き，時刻 t での電流 I(t) を求めよ．
V0
C
S
Q
(解答) (1) I(0) = V0 /R，(2) V0 − RI −
= 0，
C
V0 − t
1
e RC
(3) RI˙ + I = 0，(4) I =
C
R
28
[例題 2.10 ] 右図の交流回路で時刻 t = 0 に交流電圧 V0 sin ωt をかけた．回路に流れる電流を I とし，t = 0
では，コンデンサーには電荷が蓄えられていなかったとして以下の問いに答えよ．
(1) 交流電圧をかけた直後に回路に流れる電流 I(0) を求めよ．
R
(2) キルヒホッフの法則を適用して，電圧の関係式を求めよ．
C
(3) (2) の結果から電流 I についての微分方程式を導け．
V0 sinωt
(4) (3) の微分方程式を解き，時刻 t での電流 I(t) を求めよ．
Q
(解答) (1) I(0) = 0，(2) V0 sin ωt − RI −
= 0，
C
V0
1
V
0
sin(ωt + φ) −
(3) RI˙ + I = ωV0 cos ωt，(4) I =
2
C
ωC(R +
R2 + 1
ω2 C 2
φ = tan−1
2.6
2.6.1
t
e− RC ，
1
ω2 C 2 )
1
，
RωC
線型 2 階定係数斉次常微分方程式
微分演算子
x の関数 y に対する x による微分演算子を D で表す．すなわち，
D
≡
Dn y
≡
d
dx
dn y
dxn
(n = 1, 2, 3, . . . )
D0 y = y と考えて，D0 ≡ 1 と定義する．
さらに，u についての n 次多項式 Φ(u) ≡ un + a1 un−1 + a2 un−2 + · · · + an−1 u + an に対して，
Φ(D) = Dn + a1 Dn−1 + a2 Dn−2 + · · · + an−1 D + an
の形の多項式演算子を考え，
Φ(D)y ≡ Dn y + a1 Dn−1 y + a2 Dn−2 y + · · · + an−1 Dy + an y
と定義する．
2 つの多項式 Φ1 (u) と Φ2 (u) に対して，(Φ1 (D)+Φ2 (D))y ≡ Φ1 (D)y+Φ2 (D)y ，および，(Φ1 (D)Φ2 (D))y ≡
Φ1 (D)(Φ2 (D)y) と定義すると，たとえば，定数 p と q を用いた u の二次式 u2 + pu + q が，(u − α)(u − β)
と因数分解される時，D2 + pD + q = (D − α)(D − β) が成り立つ．
2.6.2
線型 2 階定係数斉次常微分方程式の一般解
u2 + pu + q = 0 の 2 解を α と β とすると，線型 2 階定係数斉次常微分方程式 y ′′ + py ′ + qy = 0，すなわち
(D2 + pD + q)y = 0 は，(D − α)(D − β)y = 0 と表される．(D − α)(D − β)y = 0 に対して，(D − β)y = Y
とおけば，(D − α)Y = 0 となる．この時，元の微分方程式 y ′′ + py ′ + qy = 0 は，
29
y ′′ + py ′ + qy = 0
⇐⇒
(D − β)y
(D − α)Y
= Y
= 0
という連立線型 1 階常微分方程式と同等となり，各々の線型 1 階常微分方程式は，公式 (2.9) を用いて一般
解が求まるので，次が成り立つ．
線型 2 階定係数斉次常微分方程式
y ′′ + py ′ + qy = 0
(2.10)
の一般解は，対応する特性方程式 u2 + pu + q = 0 の 2 解を，α，β とすると，
(1) α ̸= β のとき，
y = C1 eαx + C2 eβx
(2.11a)
特に，α，β が複素数解 λ ± iµ のときは，
y = eλx (C1 cos µx + C2 sin µx)
(2.11b)
y = (C1 x + C2 )eαx
(2.11c)
(2) α = β のとき，
で与えられる．
[例題 2.11 ] 上の公式 (2.11a)，(2.11b)，(2.11c) を証明せよ．
（解答）省略
[例題 2.12 ] 微分方程式 y ′′ = −a2 y について以下の問いに答えよ．但し，a > 0 とする．
(1) 一般解を求めよ．
(2) 初期条件 y(0) = 0, y ′ (0) = a を満たす特殊解を求めよ．
(解答) (1) y = C1 sin ax + C2 cos ax，(2) y = sin ax
[例題 2.13 ] 次の微分方程式の一般解を求めよ．
(1)
y ′′ − y ′ − 2y = 0
(2)
y ′′ − 4y ′ + 4y = 0
(3)
y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
(解答) (1) y = C1 e−x + C2 e2x ，(2) y = (C1 x + C2 )e2x ，(3) y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
30
2.7
2.7.1
線型 2 階定係数非斉次常微分方程式
線型 2 階定係数非斉次常微分方程式の解
線型 2 階定係数非斉次常微分方程式
y ′′ + py ′ + qy = f (x)
(2.12)
の一般解は，対応する斉次方程式 y ′′ + py ′ + qy = 0 の一般解を g(x)，また与えられた非斉次方程
式の特殊解を h(x) とすると，
y = g(x) + h(x)
(2.13)
で与えられる．斉次方程式の一般解は式 (2.11) で与えられるから，何らかの方法で非斉次方程式の
特殊解 h(x) を 1 つ見つければ良い．
[例題 2.14 ] 微分方程式 2y ′′ − y ′ − y = x − 2 について，以下の問いに答えよ．
(1) y = −x + 3 が上の微分方程式を満たすことを示せ．
(2) 上の微分方程式の一般解を求めよ．
(解答) (1) 省略，(2) y = C1 e−x/2 + C2 ex − x + 3
2.7.2
特殊解の推測
線型 2 階定係数非斉次常微分方程式 (2.12) の一般解を求めるためには，特殊解を 1 つ見つければ良い．で
は，特殊解をどのように見つければ良いか？
確実に見つける方法は，次節で紹介する．一方，(2.12) 式の非斉次項 f (x) が特殊な形の場合には，簡単に
推測できることがある．
f (x) が斉次方程式 y ′′ + py ′ + qy = 0 の一般解で表せない (特殊解ではない) とき
f (x) の形
推測される特殊解
r 次の多項式
aeαx
a cos µx + b sin µx
r 次の多項式
Aeαx
A cos µx + B sin µx
eλx (a cos µx + b sin µx)
eλx (A cos µx + B sin µx)
f (x) が斉次方程式 y ′′ + py ′ + qy = 0 の特殊解であるとき
f (x) の形
推測される特殊解
αx
ae
Axeαx (特性方程式が単根のとき)
a cos µx + b sin µx
eλx (a cos µx + b sin µx)
Ax2 eαx (特性方程式が重根のとき)
x(A cos µx + B sin µx)
eλx x(A cos µx + B sin µx)
[例題 2.15 ] 次の微分方程式の一般解を求めよ．
(1)
y ′′ − 2y ′ + y = x2 + 1
(2)
y ′′ − 3y ′ − 10y = e−x
(3)
2y ′′ + 2y ′ + y = cos x
(解答) (1) y = (C1 +C2 x)ex +x2 +4x+7，(2) y = C1 e−2x +C2 e5x − 16 e−x ，(3) y = e−x/2 (C1 cos x2 +
C2 sin x2 ) + 15 (2 sin x − cos x)
31
[例題 2.16 ] 以下の問いに答えよ．
(1) 微分方程式 y ′′ + 3y ′ + 2y = 0 の一般解を求めよ．
(2) 微分方程式 y ′′ + 3y ′ + 2y = ex の特殊解を y = Aex と仮定して求めよ．
(3) 微分方程式 y ′′ + 3y ′ + 2y = cos x の特殊解を y = B sin x + C cos x と仮定して求めよ．
(4) 微分方程式 y ′′ + 3y ′ + 2y = ex + cos x の一般解を求めよ．
(解答) (1) y = C1 e−x +C2 e−2x ，(2) y = 16 ex ，(3) y =
1 x
1
6 e + 10 (3 sin x + cos x)
1
10 (3 sin x+cos x)，(4)
y = C1 e−x +C2 e−2x +
[例題 2.17 ] 右図の交流回路で時刻 t = 0 に交流電圧 V0 sin ωt をかけた．回路に流れる電流を I とし，t = 0
では，コンデンサーには電荷が蓄えられていなかったとして以下の問いに答えよ．
(1) キルヒホッフの法則を適用して，電圧の関係式を求めよ．
(2) (1) の結果から電流 I についての微分方程式を導け．
R
(3) (2) の微分方程式に対応する斉次微分方程式の一般解を I0 (t) とする
と，十分時間が経ったとき I0 (t) → 0 となることを示せ．
V0 sinωt
(4) (2) の微分方程式の特殊解 I1 (t) を I1 (t) = A sin ωt + B cos ωt と仮
定することで求めよ．
C
L
(5) L，C と ω の間にどのような関係があるとき (4) の特殊解 I1 (t) の振
幅は最大になるか？
1
dI
1
(解答) (1) V0 sin ωt − RI −
Idt − L
= 0，(2) LI¨ + RI˙ + I = V0 ω cos ωt，(3) 省略，
C
dt
C
V0
1
V0
sin(ωt+φ),
(4) I1 (t) =
R sin ωt +
− ωL cos ωt =
2
1
2
ωC
1
R2 + ωC − ωL
− ωL
R2 + ωC
1/(ωC) − ωL
1
φ = tan−1
，(5) ω = √
R
LC
(参考) 電磁気学では，この回路の「合成インピーダンスは，Z =
そのとき電圧と電流の間の位相差は，φ =
tan−1 1/(ωC)−ωL
R
R2 +
1
ωC
− ωL
2
で与えられ，
で与えられる」と習う．この関係をベク
トル図で書くと右下図のようになる．抵抗 R を流れる電流は電源電圧と同じ位相なのに対し，コン
デンサーに流れる電流は電源電圧に対して，位相が
の方向にとる．一方，コイルに流れる電流は位相が
π
2
π
2
進むのでリアクタンス
1
ωC
を反時計回りに 90◦
遅れるのでリアクタンス ωL を時計回りに 90◦
の方向にとる．合成インピーダンスは，これらのベクトル和で表される．
これは，特殊解を簡単に求める簡単な方法になっている．斉次方程
式に対する解 (任意定数を含む項) は，時間に対して指数関数的に減
2
衰することがわかっている場合，物理ではしばしば特殊解のみを求
1
wC
めてそれで良しとする．物理の問題や入試問題で「十分時間が経っ
たとき」という但し書きがついているのは，
「斉次方程式から出てく
る指数関数的に減衰する解を無視すると」という意味である．
32
2
R
Z=
wL
/
+ (1
wC
f
R
-w
L)
1
- wL
wC
衰するので無視するのである．任意定数を含む項が時間に関して減
2.7.3
演算子法
2 階定係数非斉次常微分方程式 y ′′ + py ′ + qy = f (x) は，特性方程式 u2 + pu + q = 0 の 2 解を α，
β とすると，(D − α)(D − β)y = f (x) と書けるので，連立線型 1 階常微分方程式
(D − β)y
(D − α)Y
= Y
= f (x)
(2.14)
と同等になる．これらは線型 1 階常微分方程式なので公式 (2.9) を用いて必ず解ける．
[例題 2.18 ] 次の微分方程式の一般解を (2.14) 式の方法に従って求めよ．
(1)
y ′′ − 3y ′ − 10y = e−x
(2)
2y ′′ + 2y ′ + y = cos x
(解答) (1) y = C1 e−2x + C2 e5x − 16 e−x ，(2) y = e−x/2 (C1 cos x2 + C2 sin x2 ) + 15 (2 sin x − cos x)
(参考) 特殊解が推測できる場合は，(2.14) 式の方法を用いない方が多くの場合に計算が簡単になる．
[例題 2.19 ] 線型 2 階定係数非斉次常微分方程式 y ′′ + py ′ + qy = f (x) の一般解は，対応する特性方程式
t2 + pt + q = 0 の 2 解を α，β とすると，
α ̸= β のとき，
y=
eαx
α−β
e−αx f (x)dx −
eβx
α−β
e−βx f (x)dx + C1 eαx + C2 eβx
α = β のとき，
y = xeαx
e−αx f (x)dx − eαx
xe−αx f (x)dx + C1 xeαx + C2 eαx
で与えられることを (2.14) 式の方法を用いて証明せよ．
(解答) 省略
2.8
補遺
線型 2 階定係数常微分方程式での議論は，線型 1 階定係数常微分方程式の場合にも成り立つ．即ち，
線型 1 階定係数斉次常微分方程式 y ′ + py = 0 の一般解は，対応する特性方程式 u + p = 0 の解
α (= −p) を用いて，
y = C1 eαx
(2.15)
で与えられる．
線型 1 階定係数非斉次常微分方程式 y ′ + py = f (x) の一般解は，対応する斉次方程式 y ′ + py = 0
の一般解 C1 eαx と，与えられた非斉次方程式の特殊解 g(x) により，
y = C1 eαx + g(x)
(2.16)
で与えられる．従って，何らかの方法で非斉次方程式の特殊解 g(x) を 1 つ見つければ良い．
[例題 2.20 ] 公式 (2.15) を証明せよ．
(解答) 省略
33
1
[例題 2.21 ] 微分方程式 RI˙ + I = ωV0 cos ωt の一般解を以下の手順で求めよ．
C
(1) 対応する斉次方程式の解を求めよ．
(2) 特殊解を y = A sin ωt + B cos ωt と仮定することで求めよ．
(3) 一般解を求めよ．
(解答) 例題 2.10 を参照
34
重積分
3
3.1
3.1.1
重積分の定義と意味
二重積分の定義
xy 平面内の閉領域 D を ∆xi ，∆yi を 2 辺とする n 個の長方形 Di の集まりで近似したとする．Di の中の
1 点を (xi , yi ) とし (下図参照)，閉領域 D で連続な 2 変数関数 f (x, y) を考える．
y
n
f (xi , yi )∆xi ∆yi
S=
D
i=1
で定義される和 S が {∆xi } → 0, {∆yi } → 0
Di
の極限で一定の値に収束するとき，これを関数
( x i ,y i )
Di
f (x, y) の領域 D における二重積分と呼び，
Dy i
Dx i
f (x, y)dxdy
D
と書く．すなわち，
x
f (x, y)dxdy =
D
3.1.2
lim
{∆xi } → 0
{∆yi } → 0
f (xi , yi )∆xi ∆yi
(3.1)
i
二重積分の意味
二重積分の定義からわかるように，
z
二重積分
z= f ( x , y )
f (x, y)dxdy は曲面 z = f (x, y)
D
と xy 平面の間にあり領域 D で囲まれる部分の
体積に等しい．ただし f (x, y) > 0 の部分は正
の体積として与えられ，f (x, y) < 0 の部分は
負の体積として与えられる．
y
特に，f (x, y) = 1 の時は領域 D の面積を与
える．
3.1.3
Dx i
x
Dy i
三重積分の定義
z
3 次元の閉領域 D を ∆xi ，∆yi ，∆zi を 3 辺とする n
個の直方体 Di の集まりで近似したとする．Di の中の
Di
(xi,yi,zi)
D
Di
1 点を (xi , yi , zi ) とし (右図参照)，閉領域 D で連続な
3 変数関数 f (x, y, z) を考える．
Dz i
n
S=
y
f (xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi
i=1
x
35
Dy i
Dx i
で定義される和 S が {∆xi } → 0, {∆yi } → 0, {∆zi } → 0 の極限で一定の値に収束するとき，これを関
数 f (x, y, z) の領域 D における三重積分と呼び，
f (x, y, z)dxdydz
D
と書く．すなわち，
f (x, y, z)dxdydz =
D
3.1.4
lim
f (xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi
{∆xi } → 0
{∆yi } → 0
{∆zi } → 0
(3.2)
i
物理での表記
物理の教科書では，しばしば数学とは異なる表記をすることがある．例えば二重積分は，
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy =
D
D
f (x, y)dr =
D
f (x, y)dS
D
2 番目の例は記号を 1 つにしている．3 番目の例はさらに，dxdy を dr に変えている．この表記は後に
習う線積分と紛らわしい．この場合積分領域から二重積分か線積分か区別するしかない．最後の例は dxdy
を dS に変えている．これも後に習う面積分と紛らわしい．三重積分の場合も同様に，
f (x, y, z)dxdydz =
D
f (x, y, z)dxdydz =
D
f (x, y, z)dr =
D
f (x, y, z)dV
D
などと書くことがある．3 番目の例はやはり線積分と紛らわしい．そのため物理の教科書を読むときには
注意が必要である．重積分なのか，線積分なのか，面積分なのか，最終的には内容を考えて自分で判断し
なければならない時もある．
3.2
累次積分と積分順序の交換
重積分を実際に計算するときは，多くの場合 x 軸方向に積分して y 軸方向に積分するというように順番に
積分していく (累次積分)．しかし領域の形により注意が必要である．
3.2.1
矩形領域の場合
二重積分
積分領域 D が a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d の長方形で与えられるとき，二重積分
d
f (x, y)dxdy は，
b
f (x, y)dxdy =
D
D
f (x, y)dx dy
c
(3.3a)
a
で与えられる．
式 (3.3a) の右辺はまた，
d
b
d
b
f (x, y)dx dy =
c
a
d
f (x, y)dxdy =
c
a
c
36
b
dy
f (x, y)dx
a
(3.3b)
とも書く．順番に注意すること． ✷dy =
dy✷ は ✷ を先に計算する．これは約束事なので覚えるしか
ない．
式 (3.3) で，特に f (x, y) が x のみの関数 u(x) と y のみの関数 v(y) の積で f (x, y) = u(x)v(y) と書
けるとき，
b
d
u(x)dx ×
f (x, y)dxdy =
D
a
v(y)dy
(3.4)
c
で与えられる．
三重積分
積分領域 D が a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f の直方体で与えられるとき，三重積分
D
f (x, y, z)dxdydz は，
f
d
b
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dx dy dz
D
e
c
(3.5a)
a
で与えられる．
式 (3.5a) の右辺はまた，
f
d
b
f
f (x, y, z)dxdydz =
e
c
a
d
dz
e
b
dy
c
f (x, y, z)dx
(3.5b)
a
とも書く．
式 (3.5) で，特に f (x, y, z) が x のみの関数 u(x) と y のみの関数 v(y)，および z のみの関数 w(z) の
積で f (x, y, z) = u(x)v(y)w(z) と書けるとき，
b
D
d
u(x)dx ×
f (x, y, z)dxdydz =
a
f
v(y)dy ×
c
w(z)dz
(3.6)
e
で与えられる．
二重積分でも三重積分でも，積分領域が矩形の場合 x，y ，z の各方向で独立に定数で積分領域を指定でき
るので積分の順序は自由に交換できる．しかし，一般の領域の場合は単純に交換できないので注意が必要
になる．
[例題 3.1 ] 次の重積分を計算せよ．
xydxdy ，D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
(1)
D
e−(x+y) dxdy ，D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
(2)
D
√
(3)
x + ydxdy ，D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
D
√
(解答) (1) 1，(2) (1 − 1/e)2 ，(3) (16 2 − 8)/15
37
3.2.2
一般の領域の場合
二重積分
y
積分領域 D が，a ≤ x ≤ b，φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x) で与えられるとき，
y = f 2( x )
2 変数関数 f (x, y) の領域 D における二重積分は，
b
φ2 (x)
f (x, y)dxdy =
D
f (x, y)dy dx
a
(3.7)
φ1 (x)
y = f1( x )
で与えられる．
a
x
b
x
[ ] 内で y についての定積分を行うとき，x は定数として扱う．定積分を実行したあとは [ ] 内は x のみの関
数となり，続けて x についての積分を実行すればよい．同様にして，
積分領域 D が，c ≤ y ≤ d，ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y) で与えられるとき，
y
2 変数関数 f (x, y) の領域 D における二重積分は，
d
d
ψ2 (y)
f (x, y)dxdy =
D
f (x, y)dx dy
c
x = y1( y )
(3.8)
ψ1 (y)
x = y 2( y )
c
で与えられる．
x
式 (3.7) と (3.8) はまた，累次積分における積分順序を変更する方法を与えている．
三重積分
積分領域 D が，a ≤ x ≤ b，ψ1 (x) ≤ y ≤ ψ2 (x)，φ1 (x, y) ≤ z ≤ φ2 (x, y) で与えられるとき，3 変
数関数 f (x, y, z) の領域 D における三重積分は，
b
ψ2 (x)
φ2 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz =
D
f (x, y, z)dz dy dx
a
ψ1 (x)
φ1 (x,y)
で与えられる．
z
z = f 2( x,y )
y
y = y 2( x )
z = f 1 ( x,y )
y
y = y1( x )
a
x
x
b x
dxdy, D : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1 を以下の 2 通りで計算せよ．
[例題 3.2 ] 重積分
D
(1) まず x について積分し，次に y について積分する．
(2) まず y について積分し，次に x について積分する．
(解答) (1)，(2) π/4
38
(3.9)
[例題 3.3 ]
f (x, y)dxdy の積分領域 D が以下で与えられるとき，y について積分してから x について
D
積分する累次積分と，x について積分してから y について積分する累次積分の両方を示せ．
(1) D : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
(2) D : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
(3) D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1
1
x
(解答) (1)
0
1−x
1
1
1
(3)
0
1
0
y
1−y
f (x, y)dydx =
0
0
1
1
f (x, y)dxdy ，(2)
f (x, y)dydx =
1
y
f (x, y)dxdy ，
f (x, y)dydx =
0
x
0
0
f (x, y)dxdy
0
0
[例題 3.4 ] 以下の重積分を計算せよ．
(1)
D
1
dxdy ，D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1
1+x+y
xydxdy ，D : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1
(2)
D
dxdydz ，D : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
(3)
D
(解答) (1) 1 − log 2，(2) 1/8，(3) π/6
3.3
3.3.1
重積分の座標変換
2 次元極座標
カルテシアン座標から (2 次元) 極座標に座標変換するとき，
f (x, y)dxdy =
D
f (ρ cos φ, ρ sin φ)ρdrdφ
(3.10)
D
すなわち，dxdy = ρdrdφ が成り立つ．
y
(説明)
x ∼ x + ∆x と y ∼ y + ∆y で囲まれる面積を ∆S
とすると，∆S = ∆x∆y である．同様にして，極座
ρ
標で ρ ∼ ρ + ∆ρ と φ ∼ φ + ∆φ で囲まれる面積
ρ
は，∆S ≅ ρ∆ρ∆φ で与えられる (右図参照)．従って，
φ
∆x∆y ≅ ρ∆ρ∆φ が成り立つ．
dxdy ，D : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1
D
dxdy ，D : x ≥ 0, y ≥ 0,
(2)
D
Δφ
ρΔφ
x
[例題 3.5 ] 以下の二重積分を計算せよ．
(1)
ρ
x 2
a
+
y 2
b
39
≤1
xydxdy ，D : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1
(3)
D
(解答) (1) π/4，(2) abπ/4，(3) 1/8
∞
[例題 3.6 ] 以下の問いに従って，
e−x dx =
2
√
π を示せ．
−∞
e−(x
+y 2 )
dxdy ，D1 : x2 + y 2 ≤ R2 を計算し，また R → ∞ の極限を求めよ．
e−(x
+y 2 )
dxdy ，D2 : x2 + y 2 ≤ 2R2 を計算し，また R → ∞ の極限を求めよ．
2
(1) 重積分
D1
2
(2) 重積分
D2
e−(x
(3) 重積分
2
+y 2 )
D
e−(x
2
e−(x
dxdy ，D : −R ≤ x ≤ R, −R ≤ y ≤ R が，
2
+y 2 )
dxdy <
D1
+y 2 )
e−(x
2
dxdy <
D
+y 2 )
dxdy を満たすことを示せ．
D2
R
(4) I =
e−x dx とすると，
e−(x
2
−R
2
+y 2 )
dxdy = I 2 となることを示せ．
D
∞
(5) 以上の設問から
e−x dx =
2
√
π を示せ．
−∞
（解答）省略
3.3.2
球座標 (3 次元極座標)
カルテシアン座標から 3 次元極座標 (球座標) に座標変換するとき，
f (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)r2 sin θdrdθdφ
f (x, y, z)dxdydz =
D
(3.11)
D
すなわち，dxdydz = r2 sin θdrdθdφ が成り立つ．
(説明)
x ∼ x + ∆x と y ∼ y + ∆y ，x ∼ z + ∆z で囲
まれる体積を ∆V とすると，∆S = ∆x∆y∆z
z
である．同様にして，3 次元極座標 (球座標) で
r ∼ r + ∆r と θ ∼ θ + ∆θ，φ ∼ φ + ∆φ で
Dq
r
囲まれる体積は，∆V ≅ r2 sin θ∆r∆θ∆φ で
Df
f
2
r sin θ∆r∆θ∆φ が成り立つ．
y
rDq
q
与えられる (右図参照)．従って，∆x∆y∆z ≅
Dr
Dr
rsinqDf
x
[例題 3.7 ] 以下の積分を求めよ．
dxdydz ，D : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2
(1)
D
xyzdxdydz ，D : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1
(2)
D
(3)
1
4πϵ0
定数．
ρdxdydz
D
x2
+ y 2 + (z − z0 )2
(解答) (1) 4πR3 /3，(2) 1/48，(3)
，D : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 ，ただし，R < z0 で，z0 ，ρ，ϵ0 は
1
4πR3
4πϵ0 ρ 3z0
40
3.3.3
一般の座標変換
前節では，2 次元および 3 次元極座標での座標変換時の重積分の公式を与えたがここでは一般の場合の公
式を与えておく．
二重積分
カルテシアン座標から x = ξ(u, v)，y = η(u, v) で与えられる座標に変換するとき，
f (x, y)dxdy =
D
すなわち，dxdy =
f (ξ(u, v), η(u, v))
D
∂(x, y)
dudv
∂(u, v)
(3.12)
∂(x, y)
∂(x, y)
dudv が成り立つ．ここで，
はヤコビアン (Jacobian) と呼ばれ，
∂(u, v)
∂(u, v)
行列式を用いて，
∂(x, y)
=
∂(u, v)
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
(3.13)
で与えられる．
三重積分
カルテシアン座標から x = ξ(u, v, w)，y = η(u, v, w)，z = ζ(u, v, w) で与えられる座標に変換する
とき，
f (x, y, z)dxdy =
D
f (ξ(u, v, w), η(u, v, w), ζ(u, v, w))
D
すなわち，dxdydz =
∂(x, y, z)
dudvdw
∂(u, v, w)
(3.14)
∂(x, y, z)
∂(x, y, z)
dudvdw が成り立つ．ここで，
はヤコビアンであり，行
∂(u, v, w)
∂(u, v, w)
列式を用いて，
∂(x, y, z)
=
∂(u, v, w)
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
(3.15)
で与えられる．
a11 a12 a13
a21 a22 a23 は，
a31 a32 a33
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a23 a12 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a32 a23 である．線形代数で習っているは
ずなので復習しておくこと．式 (3.12) や式 (3.14) は，２年生の「物理数学基礎 II」でも異なる視点から取
行列式 |A| =
a11
a21
a12
a22
は，a11 a22 − a12 a21 である．同様に，行列式 |A| =
り扱う．また，同じく２年生の「解析力学」では具体的な計算に応用される．
[例題 3.8 ] 式 (3.12) から，式 (3.10) を示せ．
（解答）省略
[例題 3.9 ] 式 (3.14) から，式 (3.11) を示せ．
（解答）省略
41

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