2014/11/22 2章静止流体の力学 2.1 静止流体の (pressure) 圧力は次の三つの性質を持つ． (1) 静止流体中の圧力は作用する． (2) 静止流体中のある点の圧力は，同じ値をとる．（圧力の等方性，例題2.1で証明している．） (3) 密閉した容器内の流体に加えた圧力は，容器内の全ての部分に同じ強さで伝わる．… 原理水面に接する高さhの仮想的な円柱の底面積A に働く圧力pを考える．円柱内の水に働く力F（と呼ぶ）は，水の密度を，重力加速度をgとすると F  pa A  Ahg であるので， [N] pa 大気圧自由表面 h p + dp 水圧pは次式で表される． p p 圧力 dh (2.1) A 底面積 F  p a  gh [N]/[m2] = [Pa] (2.2) A p F  p a  gh A (2.2) このように，水圧は深さhに依存するので，水の高さで表すことがある．さらに，における圧力p + dpは次式で表される． (2.3) p  dp  p  g h  dh a 式(2.2)と(2.3)の差をとると (2.4) 2.2 圧力の表し方と単位を基準とする圧力を絶対圧力（absolute pressure），大気圧を pA pa 基準とする圧力を圧力（gauge pressure）という．圧力がpA，pB pB の時の圧力pA (gauge)，pB 0 (gauge) は次式で表される．正のゲージ圧 101.32 kPa : 標準大気圧負のゲージ圧（真空ケージ圧）絶対真空 Vacuum pA(gauge) = pA – pa > 0，pB(gauge) = pB – pa < 0 ここで，paは大気圧である． 1 2014/11/22 SI単位系では圧力の単位はPaであるが, 他に次のものが使われる. : 9806.65 Pa（Wgh = 103×9.80665×1） : 133.32×103 Pa（Hggh = 13.595×103×9.80665×1） : 1 mmHg （at工学気圧）: 98.0665×103 Pa（9.80665N/10-4 m2）（標準大気圧） : 101.32×103 Pa = 760 mmHg（Hggh = 13.595×103×9.80665×0.76） bar : 105 Pa（CGS単位系から発生） : lbf/in2（英米で使われる．1 atm = 14.7 psi） (= mAq) ここで， ×103 kg/m3は0ºCにおける水銀の密度である．なお，気象では標準大気圧（101.32 kPa）を慣例により hPaというようにhPaを用いて表している． 2.3 圧力の測定ａ．（液柱圧力計，manometer）：圧力の時間的変動（圧力変動）の小さい時の計測に適する．最も単純なマノメータを右に示す．この例では，管内を流れる液体の圧力pを測っており，圧力は次式で表される． p (2.6) 透明管圧力が高い時には，長い透明管を使う代りに，水銀などの高密度’の液が入ったマノメータを用いる．U字管において，の原理により，同一の液でつながった同一高さのA－Aの圧力は等しいので，次式が成立つ． p より p  pa   ' gh  gh1  (2.7) a （大気圧） h p 密度  p 水面は同じ高さ a 等圧 h1 A h A 水準器の原理 ’ （水銀）管内の流体が気体の時には，水銀の代りに水をマノメータ液として使うことが好都合であり，しかも式(2.7)のgh1は，一般にと比較して極めて小さいので（∵ << ’），無視して良い． 2 2014/11/22 1  2 p マノメータ（differential manometer） 1 2点間の圧力差が大きい時はマノメータが好 h1 都合である．前例と同じく，同一の液でつながった同一高さの点A－Aの圧力は等しいので，次式が成立つ． 2 h2 h A A より p ’ p1  p2   2 gh2   ' gh  1 gh1 (2.8) （水銀）ｂ．圧力計：マノメータでは測りにくいほど高圧であって圧力変動が小さい時に適する．圧力計などがある．ｃ．圧力計：圧力変動の測定が可能だが高価．抵抗線ひずみゲージ式，半導体ひずみゲージ式などがある． 2.4 パスカルの原理水圧プレス，プレスへの応用（例題2.3）：密閉した容器において受圧面積をA2 > A1とすると，p = F1/A1 = F2/A2よりとなるので，小さな力で重いものを持ち上げることができる． dy 2.5 図形の各種モーメント (1) 断面一次モーメント (2.10) G 𝐼𝑥 = 𝑦 2 𝑑𝐴 =  × 𝑦 2 𝑏𝑑𝑦 2 G' G (2) 断面二次モーメント 𝑦2 b(y) dA 1 全面積A (2.11) yG y1 𝑦1 y y2 x' x (4) 断面二次モーメントの平行軸定理平行軸の定理は，断面二次モーメントIxを， G 軸回りの断面二次モーメントIGを用いて表す時に使う定理である．式 (2.11)において，とおくと Ix   2 1  yG 2  yG   2 dA   G 2   2 yG   2 dA 1 2 2  1 ここで， y 2 2 1 1 dA  2 yG  dA    2 dA 2  ,の起点は重心だから dA  0 , 1 3 2014/11/22 dy G軸回りの断面二次モーメント  2 2 1  dA  I G を代入すると G  y y2 x' x h 2 (長方形の場合) h h 2  2 dA  2 2  2bd h  0 2 G' 1 全面積A yG y1 図心を通る軸回りの断面二次モーメントIG  2  × (2.13) G なお，教科書の式（2.13）では，x軸から図心までのはhと書いてある． IG  b(y) dA dA=bd d h  3  2 2b  h 3  2b      3 2  3  0  h × G G' 公式として覚えること． - h 2 b (円盤の場合) IG   d  2  2dA　2 2 d  0 2  d2 d d4 sin2  d cos cosd  4 2 4   2 sin2 cos2 d 0 dA dA ここで，倍角の公式より d であり， cos 4  1  2 sin 2 2 より   G × G' d  = (d/2) sin  より d = (d/2) cos  d また，dA = d cos  d であるので， d4  d4 2   IG  1  cos 4  d    32 0 32  4 1   2 d   sin 4     4 64  0 公式として覚えること．その他の形状については工業力学・材料力学等の本を参照すること． 4 2014/11/22 2.6静止している流体の圧力（静水圧） 2.6.1 平面壁に及ぼす力水面から斜面に沿ってyの距離における圧力（ゲージ圧力）は (2.15) であるので，平板の面積Aに対する作用力（，total pressure）は y F  g sin  y12 ydA ． (2.16)  ここで，O軸から面積Aの図心Gまでの距離yGは zG (2.17) z y y1 y2 p=  gz yG dy dA x Gx C であるので，式(2.16)は次式となる． F  g sin yG A  gzG A  pG A (2.18) 結局，全圧力Fは平板ので与えられる． yC A における水圧×平板の面積圧力の中心水圧によって平板に働くは，通常，式(2.16)のように積分して求める．しかし，円盤の時のように，全圧力F× yc (center of pressure)として求める方が便利な場合がある．ycの定義式は次式である． g sin   ydA  yc   gy sin dAy  g sin   y 2dA 右辺は水圧によるモーメントの合計である．上式を簡単にすると，  y dA  I x yc   ydA yG A 2 (2.20) が得られる．ここで，yGは図心までの距離，Ixはの断面二次モーメントである．次に，図心を通るG軸回りの断面二次モー 2 メントIGを用いると，平行軸の定理により I x  yG A  I G と表されるので，式(2.20)は次のようにも書ける． (2.22) 5 2014/11/22 水門に作用する水圧とトルク（回転モーメント）長方形の水門の回転を止めるために必要な力Fを，トルクの釣合いから求めてみる．面積 bdyに働く水圧による力はで表されるので，モーメントdTは次式で与えられる． dT  gzbdy y z h1 b x h p = gz (a) したがって，水門全体に働く x y F dy は次式となる． h  y 2 y3  gbh 2 3h1  2h (b) T  gb  h1  y ydy  gb h1    2 3 6  0 h 0 これがと釣合うので (c) x 2.6.2 二次元曲面壁に及ぼす力微小面dAに働く力はであり，そのx方向とz方向の分力は次式で与えられる． z z dFx  gzdAsin   gzdAx, p = gz （∵dA sin  = dAx） dA pdA cos  = pdAz Fx   dFx  g  zdAx  gzG Ax, zG Ax ×GG Ax  dAのx面への投影面積dAx (2.25) 面全体Aに働くx方向とz方向の分力は pdA sin  = pdAx Az dAのz面への投影面積dAz Fz   dFz  g  zdAz  gV (2.26) ∴Fxは図心の深さでの水圧gzG×曲面のx面への Axに等しい． Fzは曲面の上方にある（Vは体積）に等しい．結局, と tan   Fx で大きさと方向が求められる． Fz 6 2014/11/22 円筒を引き裂く力円筒内部の圧力pによるx方向の分力は，p×曲面の面積Ax で与えられる．したがって，引き裂く力と材料の耐力の関係は次のようになる． T t 2 T tl  pdl 引張応力 p ⇒ d pdA T dA 拡大  x T T l  p pdA cos  = p dAx dAx = dA cos  曲面のx面への投影面積ここで，Tは応力である．このTが材料の応力（引張強さ÷ 安全率）以下となるように，配管や圧力容器の設計（材質や肉厚の決定）が行われる．なお，引張強さはによって決まるので，同じ材料の場合，dが小でtが大なるほどpが大きくとれ，性能が良いといえる． 2.7浮力（buoyancy force） (a) の原理面積A，高さhの物体に働く水圧による垂直方向上向きの力を(+)として考えると， F   p0  gh2 A   p0  gh1 A  g h2  h1 A  ghA  gV 下の面上の面水面に浮いた物体では，水面に対する浮力を考えれば良い．すなわち，物体のが浮力ghAと同じ大きさになるように深さhは決まり，その状態で浮く． …これが浮力大気圧 p0 h1 h2 h 面積A p0 + gh1 p0 + gh2 (水平方向は釣合うので考えなくてよい) 7 2014/11/22 (a)船の安定性とメタセンタ船が傾くと，浮力Fの中心C点を通る軸（浮揚軸）と船の重量W の作用軸がsだけずれるので，のモーメントが発生する．交点がメタセンタ浮力 F F C'点を通る垂直軸 M  船の重心 G C 傾く前の浮力の中心 M C' s W 船の重量 G C' s 傾いた時の浮力の中心 W このモーメントは，船が少し傾いた状態では船の重心Gに対して反時計回りとなり，傾きを戻すを生じる．しかし，大きく傾いた状態では時計回りとなり，傾きは方向になる．したがって，船のはこのモーメントの方向で決まる．その安定性を決めるのが，メタセンタ（傾く前のと傾いた時の浮揚軸の交点M）の位置である．すなわち，Mが重心Gよりあれば復元力が働いて安定となり，Mが重心Gよりあれば不安定となる． z 2.8流体静力学の基礎式 dy 静止流体中の微小六面体に働くのつり合いを考える．外力には圧力pによる力と（body force）があり，後者は単位質量あたりにx, y, zの各方向に成分X, Y, Zを持つ． p p + x dx （地表に垂直な上向きをz軸とすれば，重力による作用はで表わすことができる） o x x方向の力のつり合いより， 𝜕𝑝 𝑝𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑋 = 0 ⇒ 𝜕𝑥 同様に， p p (2.29)  Y ，  Z y z f dy y 圧力pは座標（x, y, z）のみの関数であるので， ∂𝑝 ∂𝑝 ∂𝑝 𝑑𝑝 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 ∂𝑥 ∂𝑦 ∂𝑧 式(2.28)と (2.30) を代入すると 𝑑𝑝 = 𝜌(𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧) f y f (2.31) (x, y) f x dx df = p dz dx y (2.28) f dx + x f dy y f dx x (x + dx, y +dy) dy f y x 8 2014/11/22 水面などのではdp = 0となるので次式が成り立つ． 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 0 (2.32) 上式はベクトル（X, Y, Z）とベクトル（x, y, z）の内積がゼロであること意味している．したがって，（外力の方向を示す線）と等圧面は垂直でなければならない． 2.9相対的静止の状態容器内の流体に一定のを作用させても，容器に対して相対的な流れが起こらなければ，その流体はみかけ上，静止状態となる．これをの状態と呼ぶ． z 2.9.1等加速度直線運動質量mの流体粒子に働く力は重力 mgと mの二つであり，それぞれz方向とx方向の逆方向であるので， h 式(2.31)にX = -  ，Y = 0，，を代入すると m  m   等圧面 F mg x z (2.40) となる．これを積分し，x = 0，z = hにおいての境界条件を代入して積 h 分定数を決めると次式が得られる． m  m   等圧面 F mg x 𝑝 = −𝜌 𝛼𝑥 + 𝑔𝑧 + 𝐶 ，より， 𝑝 − 𝑝a = −𝜌𝛼𝑥 + 𝜌𝑔 ℎ − 𝑧 (2.41) 上式にp = paを代入すると液面を表す式を求めることができる．液面の傾きを与える式はその式をすると求められる． 𝑑𝑧 𝛼 𝛼 = − 𝑧 = − 𝑥 + ℎ ， tan 𝜃 = 𝑑𝑥 𝑔 𝑔 (2.42) 液面は合力Ｆとなり，液面から深さｚの位置では圧力はpa + gz となるので，液中のは液面と平行になる． 9 2014/11/22 2.9.2 鉛直軸まわりの運動周方向の力がなく，半径方向と方向のみの力がある場合の圧力変化は次の基礎式で表すことができる．遠心力 mr2  r  F 等圧面 mg 𝑑𝑝 = 𝜌 𝑅𝑑𝑟 + 𝑍𝑑𝑧 h0 z （式の導出はノート2.5参照） (2.39) 角速度  この問題では，質量mの流体粒子に働く力はzの負の方向の重力mgと r方向のの二つであるので，式(2.39)にR = r2， Z = - g，を代入すると (2.43) 𝑑𝑝 = 𝜌 𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝑔𝑑𝑧 これを積分し，r = 0，z = h0において分定数を決めると次式が得られる．の境界条件を代入して積 1 𝑝 = 𝜌𝑟 2 𝜔2 − 𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 ， 2 1 𝑝 − 𝑝𝑎 = 𝜌𝑟 2 𝜔2 + 𝜌𝑔 ℎ0 − 𝑧 2 1 𝑝 − 𝑝𝑎 = 𝜌𝑟 2 𝜔2 + 𝜌𝑔 ℎ0 − 𝑧 2 より， (2.44) (2.44) この式より，z = 一定の断面ではに比例して圧力が上がることが分かる．ポンプはこの原理を使っている．上式にp = paを代入すると液面を表す式を求めることができる． r 2 2 z  h0 2g (2.45) この式から，液面はであることが分かる．その傾きを与える式は式(2.45)をrで微分すると求められる． (2.46) なお，式(2.46)は液面と合力Ｆとが垂直になることからも導くことができる． 10