離散最適化基礎論 (11) 演習問題 2015 年 1 月 9 日 岡本 吉央 提出締切: 2015 年 1 月 23 日 ただし,x ∈ RE が変数であり,δ(v) は頂点 v に接続する辺 復習問題 11.1 次の整数計画問題 (P) を考える. 全体の集合を表す.この問題 (P) の線形計画緩和 (LP) は c> x (P) maximize 以下の問題である. x1 + 2x2 ≤ 2, subject to 2x1 + x2 ≤ 2, (LP) maximize subject to x1 , x2 ∈ Z. c> x subject to x1 + 2x2 ≤ 2, max w≥0 2x1 + x2 ≤ 2, が x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. 3 2 G = (V, E) と非負頂点重み関数 w : V → R が入力として 与えられ,w に関する G の最小重み頂点被覆を出力する. (LP) の最適値 (P) の最適値 次の問題 (P) は,最小重み頂点被覆問題を整数計画問題 として定式化したものである. (P) 復習問題 11.2 次の整数計画問題 (P) を考える. minimize subject to w(v)yv ∑ yv ≥ 1 (∀ e ∈ E), yv ∈ {0, 1} (∀ v ∈ V ). v∈e Ax ≤ b, x ∈ Zn . ただし,y ∈ RV が変数である.この問題 (P) の線形計画緩 ただし,変数は x であり,A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn は定 和 (LP) は以下の問題である. 数である.この問題の線形計画緩和 (LP) は以下の問題で ある. (LP) minimize subject to ∑ v∈V c> x maximize (LP) の最適値 (P) の最適値 以上であるようなグラフ G が存在することを証明せよ. が何であるか,定めよ. (LP) (∀ e ∈ E). 復習問題 11.4 最小重み頂点被覆問題では,無向グラフ 問題 (P) の整数性ギャップ,つまり, subject to (∀ v ∈ V ), このとき,問題 (P) の整数性ギャップ,つまり, maximize (P) maximize xe ≤ 1 0 ≤ xe ≤ 1 線形計画緩和 (LP) は以下の問題である. c≥0 ∑ e∈δ(v) ただし,x1 , x2 が変数であり,c ∈ R2 は定数である.その max xe e∈E x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, (LP) ∑ > ∑ w(v)yv v∈V c x subject to Ax ≤ b. ∑ yv ≥ 1 (∀ e ∈ E), 0 ≤ yv ≤ 1 (∀ v ∈ V ) v∈e 問題 (LP) の許容領域が整凸多面体であるとき,(P) の整数 性ギャップが 1 となることを証明せよ. このとき,任意の自然数 n ≥ 2 に対して問題 (P) の整数性 復習問題 11.3 最大重みマッチング問題では,無向グラフ ギャップ,つまり, G = (V, E) と非負辺重み関数 w : E → R が入力として与え られ,w に関する G の最大重みマッチングを出力する. max w≥0 次の問題 (P) は,最大重みマッチング問題を整数計画問 が2− 題として定式化したものである. ∑ (P) maximize xe 2 n (P) の最適値 (LP) の最適値 以上であるような頂点数 n のグラフ G が存在する ことを証明せよ. e∈E subject to ∑ xe ≤ 1 (∀ v ∈ V ), (裏に続く) e∈δ(v) xe ∈ {0, 1} (∀ e ∈ E). 1 追加問題 11.5 問題 11.3 にある問題 (P) と (LP) を考え る.次の図に挙げるグラフを入力とするとき,(P) の整数 性ギャップが 5 4 以上となることを証明せよ. 追加問題 11.6 問題 11.3 にある問題 (P) と (LP) を考え る.次の図に挙げるグラフを入力とするとき,(P) の整数 性ギャップが 8 7 以上となることを証明せよ. 追加問題 11.7 問題 11.4 にある問題 (P) と (LP) を考え る.次の図に挙げるグラフを入力とするとき,(P) の整数 性ギャップが 4 3 以上となることを証明せよ. 2
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