微小ループアンテナ (TEr モード)
科
v1.3 Jul.2014
zˆVl
[Vm]
l
x
y
r
ˆ δ ( x)δ ( y )δ ( z ) [V/m 2 ]
M ( x, y, z ) = zVl
r
z
M S ( x, y ) 0
[V/m]
z0
x
r
M ( x, y , z )
[V/m 2 ]
(a)
(7)
(8)
さらに，任意のスカラー Φ の勾配の回転に関するベクトル公式*3
∇ × ∇Φm = 0
(9)
と式 (8) を比較すると
⃗ + jωεF
⃗ = ±∇Φm
H
(10)
⃗ について求めると，任意ベクトル F
⃗ と任意ス
が得られる。これを H
⃗ を次のように表現することもできる。
カラー Φm を使って磁界 H
⃗ = ±∇Φm − jωεF
⃗
H
(11)
⃗
⃗
式 (11) と式 (6) を式 (2) に代入して H と E を消去すると，
(
)
(
)
⃗ = −jωµ ±∇Φm − jωεF
⃗ −M
⃗
∇ × −∇ × F
(12)
x
y
r
r
M ( x, y, z ) = M S ( x, y )δ ( z − z0 )
[V/m 2 ]
(b)
y
z
ˆ ( x ) z0
xV
[V]
xˆVl
[Vm] z0
x0
y0
x
y
r
ˆ ( x)δ ( y − y0 )δ ( z − z0 )
M ( x, y, z ) = xV
[V/m 2 ]
(c)
図2
t≃0
z
となり，これを整理すると次式 (8) となる。
⃗ + jωεF
⃗ =0
∇× H
z
z
r
M ( x, y , z )
[V/m 2 ]
(6)
)
z 方向に流れる磁流素とその磁流密度 [V/m2 ]
図1
次式 (6) のように表現することもできる。
(
番氏名:
z
1. ベクトルポテンシャルによる電磁界の表現
⃗ [V/m2 ] を含むマクスウェル方程式
仮想的な物理量である磁流源*1 M
⃗
⃗ = − ∂B − M
⃗ = −jωµH
⃗ −M
⃗
∇×E
(1)
∂t
⃗
⃗ = ∂ D = jωεE
⃗
∇×H
(2)
∂t
2
*
について考える。式 (2)
( 両辺の発散をとると
)
⃗
)
(
)
∂D
∂ (
⃗ =0
⃗
∇•D
∇• ∇×H =∇•
=
(3)
∂t
∂t
となるから，次式 (4) が得られる。
⃗ = 0, or ∇ • E
⃗ =0
∇•D
(4)
⃗
ここで，任意ベクトル F の回転の発散に関するベクトル公式
(
)
⃗ =0
∇ • −∇ × F
(5)
⃗ を任意ベクトル F
⃗ を使って
と式 (4) との比較より，電界ベクトル E
⃗ = −∇ × F
⃗
E
式 (6) を式 (2) に代入すると
(
)
⃗ = −jωε −∇ × F
⃗
∇×H
年
x
y0
y
r
ˆ δ ( x − y0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z0 )
M ( x, y, z ) = xVl
[V/m 2 ]
(d)
x 方向に流れる磁流，面磁流，線磁流，磁流素の違いとそれ
ぞれの磁流密度 [V/m2 ]。(a) は断面積が有限の通常の磁流，(b)
は厚みがゼロのシート状の面磁流，(c) は断面積を考えない理想
的な線磁流，(d) は長さだけを考慮した微小磁流素
が得られる。この式をベクトル公式*4 を使って整理すると
(
)
⃗ ∓ jωµΦm + ∇2 F
⃗ + k2 F
⃗ = −M
⃗
−∇ ∇ • F
(13)
となる。もともと Φm は任意のスカラーとして導入したものなので式
(13) の左辺の () 内を
⃗ ∓ jωεΦm = 0
∇•F
(14)
素*5 を考える。この磁流素を磁流密度 [V/m2 ] で表現すると，図 2(d)
において x
ˆ → zˆ, x0 = y0 = z0 = 0 を代入することにより
[
⃗ (x, y, z) = zˆV lδ(x)δ(y)δ(z)
M
V/m2
となる*6 。これを式 (19) に代入すると
⃗ + k2 F
⃗ = −ˆ
∇2 F
z V lδ(x)δ(y)δ(z)
式 (21) をスカラー表示すると，
∇2 Fz + k2 Fz = −V lδ(x)δ(y)δ(z)
のように選ぶと次の非同次偏微分方程式が導出できる。
⃗ + k2 F
⃗ = −M
⃗
∇2 F
⃗
式 (15) を解いて F が決まれば，式 (11) と式 (14) より
(
)
⃗ = −jωεF
⃗ + 1 ∇ ∇•F
⃗
H
jωµ
⃗ が求まる。以上まとめると，磁流源 M
⃗
が求まり，式 (6) より E
⃗ を使って
在する場合，その周囲の電磁界は任意のベクトル F
⃗ = −∇ × F
⃗
E
(
)
⃗ = −jωεF
⃗ + 1 ∇ ∇•F
⃗
H
jωµ
⃗は
と表現することができる。ただし，F
2⃗
2⃗
⃗
∇ F + k F = −M
(15)
(16)
となる。球座標系で考えると
(
が存
(18)
(19)
の解である。
2. 非同次波動方程式の解
⃗ を求めるために，最も簡単な例として，図 1 に
ここで式 (19) の解 F
*2
⃗
ベクトル公式 ∇ • ∇ × F
(
)
= 0 である。発散を取る理由は，微分形の
⃗ という新たなベクトル量によっ
電磁界方程式をベクトルポテンシャル F
(
(22)
)
(
∂ 2 Fz
2 ∂Fz
+
+ k2 Fz = 0
∂r2
r ∂r
となる。Fz = R(r)e−jkr としてみると，左辺第 1 項目は
(
) (
)
d2 Fz
d
d
=
R(r)e−jkr = R′′ − 2jkR′ − k2 R e−jkr
2
dr
dr dr
左辺第 2 項目は
) (
)2
2 dFz
2 d (
=
R(r)e−jkr = R′ − jkR e−jkr
r dr
r dr
r
*5
て間接的に表現するために行う数式操作である。解法イメージとしては
⃗ → E,
⃗ H
⃗ という順序である。このような間接的で回りくどい表現を
J⃗ → F
⃗ H
⃗ という直接解法もあるが，解くべき方程式が微分方程式
しないで J⃗ → E,
ではなく積分方程式となるため，より高度な数学テクニックが必要になる。
*3 ベクトル公式 ∇ × ∇Φ = 0 は ∇ × (−∇Φ) = 0 としても成り立つ。
*4
(21)
)
の解になっている。これを整理すると
示すような原点に置かれた厚み 0 かつ長さ l で z 方向に流れる磁流
電流に関するアンペアの法則から類推して，磁流に関するアンペアの法則を
考えると，磁流の周囲に同心円状の電界が発生していることを意味する。
(
(20)
∂
∂Fz
1
1 ∂
∂ 2 Fz
2 ∂Fz
r
+
sin
θ
+
r2 ∂r
∂r
r2 sin θ∂θ
∂θ
∂φ2
r2 sin2 θ
2
+k Fz = −V lδ(⃗r)
(23)
となるが，∂/∂θ = ∂/∂φ = 0 なので*7 ，
(
)
1 ∂
∂Fz
r2
+ k2 Fz = −V lδ(⃗r)
(24)
2
r ∂r
∂r
となり，⃗
r
=
̸
0
のすべての点 (原点以外) における Fz は
(
)
1 ∂
2 ∂Fz
r
+ k2 Fz = 0
(25)
r2 ∂r
∂r
(17)
*1
)
]
*6
∫
)
*7
1
(27)
(28)
十分に小さい長さ l と磁流 V との積を磁流素 [Vm] と呼ぶ。
図 2(d)
∫ において，以下の積分を実行すると，デルタ関数の性質から
∫
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
x
ˆV lδ(x − y0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ) dxdydz = x
ˆV l
⃗ =∇ ∇•F
⃗ − ∇2 F
⃗
∇×∇×F
(26)
[Vm]
が得られる。このとき，積分記号内部の次元は [V/m2 ] に等しい。
ベクトルポテンシャル Fz は θ 方向，φ 方向ともに対称形となっている。
左辺第 3 項目は
2
−jkr
2
k Fz = k R(r)e
となる。式[(40) と式
( (41) をを式 (43)
)]に代入すれば，
(
−jkr
2
1
Eφ = −
r
= k Re
(29)
となる。これら式 (27)-式 (29) をまとめると
(
)
2
2jk
R′′ +
− 2jk R′ −
R=0
(30)
r
r
が得られる。ここで，R = C/r (C は任意の定数) とおいて式 (30)
に代入して確かめると R = C/r は式 (30) を満たすことが分かる。
従って，式 (25) の解は
Ce−jkr
Fz =
(31)
r
であることが分かる。一方，式 (22) を半径 r0 の球で積分すると，
∫
0
∫
2π
∫
π
∫
0
(
r0
0
(
2
)
∇2 Fz + k2 Fz dv =
=
Eφ = −
従って
∫
(
Eφ = −
2
−V lδ(⃗r) dv = −V l
0
0
∫
(
r0
(33)
k Fz r sin θdθdφ → 0
2
(34)
0
となって無視できる。従って
∫
(
)
∇2 Fz dv = −V l
(35)
となる。次に，
(
V
となる。式 (35) 左辺にガウスの発散定理を適用して計算すると
∫
I
I
dFz
∇ • ∇Fz dv =
∇Fz • d⃗s =
rˆ • d⃗s
dr
VI
S
S
−jkr dFz
2 dFz 2 d Ce
=
ds = 4πr0
= 4πr0
dr
dr r=r0
dr
r
S
r=r
[
= 4πr0 2 C −jk
−jkr
e
r
(
(
+ e−jkr −r−2
)
]
)
⃗ =
∇∇ • F
−4πCr0
2e
(
0
(
r0 →0
−jkr0
= −V l
(37)
Vl
4π
(38)
となる。以上より，式 (24) の解は式 (39) となることが分かる。
Fz =
V l e−jkr
4π r
(39)
3. 電磁界の導出
求めたベクトルポテンシャル Fz から実際に電磁界を導出する。まず，
式 (39) の Fz を極座標で表すと，図 3 より
V l e−jkr
cos θ
(40)
4π r
−jkr
Vle
Fθ = −Fz sin θ = −
sin θ
(41)
4π r
Fφ = 0
(42)
となるので，式 (17) について ∂/∂φ = 0，Aφ = 0 であることを使っ
⃗ を求めると，
て極座標系で電界 E
Fr = Fz cos θ =
r
ˆ
r2 sin
θ
∂
⃗ = −∇ × F
⃗ =
E
∂r
Fr
(
)
1
=
r
∂ rFθ
∂Fr
−
∂r
∂θ
θˆ
r sin θ
∂
∂θ
φ
ˆ
r
∂
∂φ
rFθ
r sin θFφ
φ
ˆ
∂r
)
(
)
⃗
∇∇ • F
)
r
=
)
(50)
(51)
)
⃗
⃗
1∂ ∇•F
1 ∂ ∇•F
rˆ +
φ
ˆ (52)
θˆ +
r
∂θ
r sin θ
∂φ
Vl
cos θe−jkr
4π
−
k2
2jk
2
+ 2 + 3
r
r
r
⃗
∇∇ • F
θ
)
(53)
)
=
素 Il が作る電磁界は
(
)
k2
1
Vl
1
cos θe−jkr
−j
2
3
2π
η
(kr)
(kr)
(
)
2
1
1
1
Vl
−jkr k
sin θe
j
+
−j
Hθ =
4π
η
kr
(kr)2 ) (kr)3
(
Vl
1
1
Eφ = −
sin θe−jkr k 2 j
+
4π
kr
(kr)2
Hr =
− Fθ
(
(49)
以上まとめると，原点に z 軸方向を向いて置かれた長さ l の微小電流
z
r
(62)
(63)
(64)
となり，波源から十分離れた遠方界では
Fr
k V l e−jkr
sin θ
η 4π r
−jkr
Vle
Eφ = −jk
sin θ
4π r
Hθ = j
θ
y
x
図3
⃗
∂ ∇•F
(48)
4. まとめ
(43)
Fz
(47)
Vl
jk
1
sin θe−jkr
+ 3
(54)
4π
r2
r
となる。ここで，式 (49) の r 成分は
)
1 (
⃗
Hr = −jωεFr +
∇∇ • F
(55)
r
jωµ
であるから，これに式((40) と式 (53) を代入して
)
1
1 1
Vl
−jkr
cos θe
+
Hr =
(56)
2π
ηr2
jωµ r3
これを位相 kr の関数として表すと，
(
)
k2
1
j
Vl
cos θe−jkr
−
Hr =
(57)
2π
η
(kr)2
(kr)3
となる。同様にして式 (49) の θ 成分は
)
1 (
⃗
Hθ = −jωεFθ +
∇∇ • F
(58)
θ
jωµ
であるから，これに式((41) と式 (54) を代入して
)
Vl
jωε
1
1 1
−jkr
Hθ =
sin θe
+ 2 +
(59)
4π
r
ηr
jωµ r3
これを位相 kr の関数として表すと，
(
)
Vl
k2
j
1
j
Hθ =
sin θe−jkr
+
−
(60)
4π
η
kr
(kr)2
(kr)3
となる。波源から十分離れた遠方では，式 (60) 右辺の第 2 項目と第
3 項目を無視できるため式 (61) で近似できる。
k V l e−jkr
Hθ = j
sin θ
(61)
η 4π r
となる。従って任意定数 C は最終的に
C=
1
1
+
kr
(kr)2
同様にして θ 成分について考えると，
(
r=r0
jk
r0 2
j
⃗ の r 成分について考えると，
より ∇∇ • F
(
e−jkr0
e−jkr0
+
(36)
r0
r0 2
ここで，再度 lim をとると式 (36) 第 1 項は消えるので，式 (35) より
= −4πCr0 2
Il
sin θe−jkr k2
4π
Il e−jkr
sin θ
4π r
⃗ を求める。
で近似できる。次に式 (18) から極座標系で電界 E
(
)
1
⃗ = −jωεF
⃗+
⃗
H
∇ ∇•F
jωµ
において，まず第 2 項目の () 内
(
)
1 Fφ
∂
⃗ = 1 ∂ r 2 Fr + 1
∇•F
(sin θFθ ) +
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
sin θ ∂φ
に式 (40)-式 (42) を代入して，
(
)
⃗ = Il cos θe−jkr − 1 − jk 1
∇•F
4π
r2
r
r0 →0
)
2
(45)
(46)
Eφ = −jk
となる。さらに式 (33) について lim の極限を取ると，左辺第 2 項は
π
(44)
できるため
(32)
)
∫
)
また，波源から十分離れた遠方では，式 (47) の右辺第 2 項目は無視
∇2 Fz + k2 Fz dv = −V l
2π
)
うに位相 kr の関数として表す場合もよく使われる。
)
(
V
∫
V l e−jkr
cos θ
4π r
が得られる。式 (44) は距離 r の関数となっているが，次式 (47) のよ
V
V
(
Vl
1
k
sin θe−jkr j + 2
4π
r
r
1 ∂
+
r ∂θ
Er = 0
Eθ = 0
∫
)
V l e−jkr
−
sin θ
4π r
より
∇ Fz + k Fz r sin θdθdφ
2
∂
r
∂r
となる。
ベクトルポテンシャル Fz の極座標成分
2
(65)
(66)

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