Quadratic Power Cone Programming の弱双対定理小崎敏寛∗ ステラリンク株式会社 (Stera Link, Co., Ltd.) 平成 27 年 4 月 13 日概要 Power Cone Programming[1] を一般化した Quadratic Power Cone Programming を考える．目的関数を凸二次関数に拡張する．この問題を徐々に一般化した 4 つの問題に対して，弱双対定理を証明する． 1 はじめに Power Cone Programming[1] は次の問題 min cT x s.t. Ax = b n i xα i ≥ |z| (1) i=1 x ∈ {(xi , z) ∈ ℜn+ × ℜ} n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n. i=1 2 Quadratic Power Cone Programming 目的関数に凸二次関数を考える． 1 T x Qx + cT x 2 s.t. Ax = b min n i xα i ≥ |z| (P) i=1 x ∈ {(xi , z) ∈ ℜn+ × ℜ} n n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n, Q ∈ S+ . i=1 ∗ [email protected] 1 双対問題は次のようになる． 1 max bT y − xT Qx 2 T s.t. A y + s − Qx = c n i=1 (D) αi si αi ≥ |t| s ∈ {(si , t) ∈ ℜn+ × ℜ} 主問題の実行可能解 x と双対問題の実行可能解 (y, x′ , s) について，目的関数の差は次のようになる． 1 T 1 T 1 1 T x Qx + cT x − (bT y − x′ Qx′ ) = (AT y + s − Qx′ )T x − (Ax)T y + xT Qx + x′ Qx′ 2 2 2 2 1 = xT s + (x − x′ )Q(x − x′ ) 2 n 1 xi si + zt + (x − x′ )Q(x − x′ ) = 2 i=1 n ≥ n xi si − i=1 i=1 xi si αi αi 1 + (x − x′ )Q(x − x′ ) 2 ≥0 1 つ目の不等号は錐に入っていることより，2 つ目の不等号は相加相乗平均の不等式と行列 Q の半正定値性よりなりたつ．したがって，弱双対定理がなりたつ． 3 ユークリッドノルムのとき絶対値をユークリッドノルムに一般化した次の問題を考える． 1 T x Qx + cT x 2 s.t. Ax = b min n i xα i ≥ z 2 (P-2) i=1 x ∈ {(xi , zj ) ∈ ℜn+ × ℜm } n n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n, Q ∈ S+ . i=1 2 双対問題は次のようになる． 1 max bT y − xT Qx 2 T s.t. A y + s − Qx = c n i=1 αi si αi ≥ t 2 (D-2) s ∈ {(si , tj ) ∈ ℜn+ × ℜm } n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n. i=1 主問題の実行可能解 x と双対問題の実行可能解 (y, x′ , s) について，目的関数の差は次のようになる． 1 T 1 T 1 1 T x Qx + cT x − (bT y − x′ Qx′ ) = (AT y + s − Qx′ )T x − (Ax)T y + xT Qx + x′ Qx′ 2 2 2 2 1 T ′ T ′ = x s + (x − x ) Q(x − x ) 2 n m 1 = xi si + zj tj + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 i=1 j=1 n xi si − z ≥ i=1 n ≥ 2 n xi si − i=1 i=1 t 2 xi si αi 1 + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 αi 1 + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 ≥0 1 つ目の不等号はコーシーシュワルツの不等式より，2 つ目の不等号は錐に入っていることより，3 つ目の不等号は相加相乗平均の不等式と行列 Q の半正定値性よりなりたつ．したがって，弱双対定理がなりたつ． 4 Lp ノルムのときノルムを Lp ノルムに一般化した次の問題を考える． 1 T x Qx + cT x 2 s.t. Ax = b min n i xα i ≥ z p (P-p) i=1 x ∈ {(xi , zj ) ∈ ℜn+ × ℜm } n n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n, Q ∈ S+ . i=1 3 双対問題は次のようになる． 1 max bT y − xT Qx 2 T s.t. A y + s − Qx = c n i=1 αi si αi ≥ t q (D-p) s ∈ {(si , tj ) ∈ ℜn+ × ℜm } n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n. i=1 ただし，p ≥ 1 の有理数で，q は 1/p + 1/q = 1 をみたす定数．主問題の実行可能解 x と双対問題の実行可能解 (y, x′ , s) について，目的関数の差は次のようになる． 1 T 1 1 T 1 T x Qx + cT x − (bT y − x′ Qx′ ) = (AT y + s − Qx′ )T x − (Ax)T y + xT Qx + x′ Qx′ 2 2 2 2 1 = xT s + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 n m 1 = xi si + zj tj + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 i=1 j=1 n ≥ xi si − z i=1 n n xi si − ≥ i=1 i=1 p t q xi si αi 1 + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 αi 1 + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 ≥0 1 つ目の不等号はヘルダーの不等式より，2 つ目の不等号は錐に入っていることより，3 つ目の不等号は相加相乗平均の不等式と行列 Q の半正定値性よりなりたつ．したがって，弱双対定理がなりたつ． 5 一般のノルムのときノルムを一般のノルム f (·)[2] に一般化した次の問題を考える． 1 T x Qx + cT x 2 s.t. Ax = b min n i xα i ≥ f (z) (P-n) i=1 x ∈ {(xi , zj ) ∈ ℜn+ × ℜm } n n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n, Q ∈ S+ . i=1 4 双対問題は次のようになる． 1 max bT y − xT Qx 2 T s.t. A y + s − Qx = c n i=1 αi si αi ≥ f D (t) (D-n) s ∈ {(si , tj ) ∈ ℜn+ × ℜm } n αi = 1, 0 < αi < 1 i = 1, . . . , n. i=1 ただし，f D は f の双対ノルム [2] で， f D (y) := max |xT y| (2) f (x)=1 と定義される．主問題の実行可能解 x と双対問題の実行可能解 (y, x′ , s) について，目的関数の差は次のようになる． 1 1 T 1 1 T cT x + xT Qx − (bT y − x′ Qx′ ) = (AT y + s − Qx′ )T x − (Ax)T y + xT Qx + x′ Qx′ 2 2 2 2 1 T ′ T ′ = x s + (x − x ) Q(x − x ) 2 n m 1 = xi si + zj tj + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 i=1 j=1 n ≥ 1 xi si − f (z)f D (t) + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 i=1 n ≥ n xi si − i=1 i=1 xi si αi αi 1 + (x − x′ )T Q(x − x′ ) 2 ≥0 1 つ目の不等号は双対ノルムの定義より，2 つ目の不等号は錐に入っていることより，3 つ目の不等号は相加相乗平均の不等式と行列 Q の半正定値性よりなりたつ．したがって，弱双対定理がなりたつ． 6 結論と今後の課題 Power Cone Programming の目的関数を線形から凸二次に一般化した 4 つの問題に対して弱双対定理を証明した．今後の課題としては，強双対定理がなりたつか調べること，問題を解くアルゴリズムを考えることがある． 5 参考文献 [1] Peter R. Chares, Cones and Interior-Point Algorithm for Structured Convex Optimization involving Powers and Exponentials, Ph.D. thesis, Universite catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain, 2007. [2] Roger A. Horn and Chrles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 2007. 6