P CSI1 13-14 TD no 11 : Lois de Newton et ´energie 1. Oscillateur : lois de Newton et ´ energie y O ~g d θ O′ M l0 x On consid`ere un pendule constitu´e d’une tige de masse n´egligeable, de longueur d et d’un point mat´eriel M de masse m. La liaison en O′ est parfaitement coulissante de sorte que le ressort est constamment horizontal. Le ressort est id´eal de constante de raideur k et de longueur `a vide l0 . On n´eglige tout frottement. En utilisant les lois de Newton, d´eterminer l’´equation diff´erentielle du deuxi`eme ordre r´egissant θ. En d´eduire la p´eriode des petites oscillations. Retrouver les r´esultats pr´ec´edents en utilisant le th´eor`eme de la puissance m´ecanique. 2. Glissade d’un palet sur une boule Soit (R) le r´ef´erentiel du laboratoire suppos´e galil´een et associ´e `a (Oxyz). (Oz) est suivant la verticale ascendante. Le champ de pesanteur ~g est suppos´e uniforme. On note g sa norme. On consid`ere un palet de masse m assimil´e `a un point mat´eriel M . Il est `a t = 0 plac´e en M0 sur une boule (suppos´ee immobile par rapport `a (R), de centre C et de rayon b) avec une vitesse nulle. M0 est rep´er´e par l’angle θ0 par rapport `a la verticale. On suppose que θ0 ≪ 1 rad. M se met alors `a glisser sur la boule en restant dans le plan (x0z) et on le rep`ere par l’angle p θ par rapport `a la verticale. On n´eglige tous les frottements, solides comme fluides. On pose ω0 = gb . z M0 θ0 b C θ ~ur M ~uθ x O (a) Repr´esenter sur un sch´ema les diff´erentes forces s’exer¸cant sur M pour θ quelconque. Quelle est la nature de la liaison entre M et la boule? (b) En utilisant la deuxi`eme loi de Newton, d´eterminer θ¨ en fonction de ω0 et θ et en d´eduire θ˙2 en fonction de ω0 , θ0 et θ. Retrouver ce r´esultat par un raisonnement ´energ´etique. − → (c) D´eterminer la r´eaction R exerc´ee par la boule sur M en fonction de m, g, θ0 , θ et ~ur . (d) On suppose que θ − θ0 ≪ 1 rad. D´eterminer alors θ en fonction du temps. L’expression obtenue est-elle valable quelque soit t? (e) Pour quel angle θ1 le contact entre le point M et la boule cesse-t-il? On notera M1 le point correspondant au d´ecollage de M et t1 l’instant correspondant. Quelle est l’altitude z1 de M1 par rapport au sol z = 0? (f) Quelle est la norme v1 de la vitesse ~v1 de M en M1 ? Faire un dessin repr´esentant le point M en M1 avec sa vitesse. (g) Que peut-on dire du mouvement de M pour t > t1 ? Seule une analyse qualitative est demand´ee. 3. Mouvement d’un point sur une h´ elice z Une h´elice est d´ecrite par la donn´ee de ses coordonn´ees cylindriques (ρ, θ, z) sous la forme ρ = a et z = h θ. Un petit anneau assimil´e `a un point mat´eriel M est enfil´e sur l’h´elice en M0 d’altitude H = 2πh, et lˆach´e sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur terrestre. On n´eglige les frottements de l’anneau sur l’h´elice. M0 O M y x θ (a) Par un raisonnement ´energ´etique, d´eterminer la Mf vitesse V de l’anneau lorsqu’il atteint le plan z = 0. (b) D´eterminer `a un instant t quelconque (0 ≤ t ≤ T avec T la dur´ee du trajet de M0 `a Mf ) l’expression de θ˙ en fonction de g, a, h et θ. En d´eduire, par une s´eparation des variables, la dur´ee T de ce trajet. (c) D´eterminer en fonction de a, h et dθ, la norme, not´e ds, du vecteur d´eplacement ´el´ementaire de M sur l’h´elice. En d´eduire par int´egration la longueur L du trajet de M0 `a Mf . Discuter si h → 0. R´ eponse : V = √ 2gH ; T = 2 q π(a2 +h2 ) gh √ ; L = 2π a2 + h2 4. Vibration d’un moteur Lorsqu’un moteur fonctionne, un balourd provoque des vibrations du chassis. Il est n´ecessaire de pr´evoir un syst`eme de suspension. Le moteur est assimil´e `a un point mat´eriel M de masse m. La suspension peut ˆetre mod´elis´ee par un ressort de longueur `a vide l0 et de raideur k, plac´e en parall`ele avec un amortisseur qui exerce sur le moteur une force de freinage : f~ = − α dz ~uz o` u α est une dt constante positive. z O M ~g α k (a) Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile. D´eterminer la longueur le du ressort. La position du moteur dans ce cas est prise comme origine de l’axe (Oz). (b) Le moteur ´etant toujours arrˆet´e, on ´ecarte le moteur de sa position d’´equilibre d’une hauteur H vers le haut puis on le laisse ´evoluer librement sans lui communiquer de vitesse initialement. i. En utilisant le principe fondamental de la Dynamique, ´etablir avec soin l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par z(t). α k ii. On pose λ = 2m et ω02 = m et on suppose que λ < ω0 . D´eterminer z(t) en fonction de λ, ω0 et H. Comment appelle-t-on ce type de r´egime? Tracer l’allure de z en fonction du temps, puis celle de ddzt en fonction de z. Quel nom porte cette derni`ere courbe? iii. D´eterminer l’´energie m´ecanique Em du syst`eme en fonction de z et ddzt . Le syst`eme est-il conservatif? Que vaut ddEtm ? Retrouver ainsi l’´equation du mouvement obtenue `a la question b)i). (c) Le moteur fonctionne. Tout se passe comme s’il apparaissait une force suppl´ementaire s’exer¸cant − → sur M de la forme F = F0 cos(ωt) ~uz o` u F0 est une constante. i. Donner la nouvelle ´equation diff´erentielle v´erifi´ee par z(t). ii. En r´egime sinuso¨ıdal ´etabli, on recherche des solutions de la forme : z(t) = Z0 cos(ωt + ϕ) dz = V0 cos(ωt + ψ) dt D´eterminer les expressions des grandeurs complexes Z = Z0 ejϕ et V = V0 ejψ . iii. Exprimer Z0 et V0 en fonction de ω et des param`etres λ, ω0 et Fm0 . Donner l’allure de Z0 (ω) et de V0 (ω). iv. La pulsation ω vaut 628 rad.s−1 . Le moteur a une masse m = 10 kg et on dispose de deux ressorts de raideur k1 = 4.106 N.m−1 et k2 = 106 N.m−1 . Lequel faut-il choisir pour r´ealiser la suspension? v(t) = 5. Oscillation d’un v´ ehicule On souhaite ´etudier le mouvement vertical d’un v´ehicule de masse totale m = 1, 00.103 kg, assimil´e `a un point mat´eriel M . On suppose qu’il poss`ede une unique suspension assimilable `a un ressort de constante de raideur k = 1, 00.105 N.m−1 et de longueur `a vide l0 , et `a un amortisseur de constante − → u l est la d’amortissement k ′ = 1, 00.103 N.m−1 .s. La force d’amortissement est Fa = −k ′ ddtl ~uz o` longueur du ressort. On note A le point de contact du v´ehicule avec le sol et zA son altitude. (a) Faire le bilan des forces s’appliquant sur M . (b) Syst`eme au repos z On suppose le syst`eme au repos. On a alors l = leq et zA = 0. D´eterminer leq en fonction de m, g = ||~g ||, k et l0 . Dans toute la suite, M sera rep´er´e par ′ k rapport `a cette position d’´equilibre (coordonn´ee z, k l cf figure ci-contre). (c) Syst`eme excit´e sinuso¨ıdalement leq Le v´ehicule se d´eplace avec une vitesse horizontale ~v0 = v0 ~ux . L’ondulation du sol est assimil´ee `a une sinuso¨ıde de p´eriode spatiale L = 2 m et A a d’amplitude a = 5 cm. zA O i. Montrer que zA est x de la forme zA (t) = a v0 a cos 2π L t + ϕA . On ne cherchera pas `a L d´eterminer l’expression de ϕA . On posera dans la suite ω = 2π vL0 . ii. Montrer que z v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante : M z ~g d2 z ω0 dzA ω0 dz 2 2 + ω z = ω z + + A 0 0 dt2 Q0 dt Q0 dt avec ω0 = q k m et ω0 Q0 = k′ . m Calculer les valeurs num´eriques de ω0 et Q0 . iii. On note, en r´egime sinuso¨ıdal forc´e : z(t) = Z cos(ωt + ϕz ) avec Z > 0. On pose H = Za . A. D´eterminer H en fonction de u = ωω0 et Q0 . B. D´eterminer les limites de H. C. Que peut-on dire de Q0 s’il n’y a pas de frottement? Quelle est alors l’expression de H? Tracer l’allure de H en fonction de u dans ce cas. D. Il y a des frottements, mais Q0 est toutefois grand. D´eduire de la question pr´ec´edente l’allure de H. Justifier qualitativement la pr´esence d’un ph´enom`ene de r´esonance en une valeur de u que l’on pr´ecisera. Montrer que la valeur maximale de H est de l’ordre de Q0 . E. Calculer l’amplitude des oscillations du v´ehicule lorsque v0 = 50 km.h−1 . Calculer la fr´equence des oscillations que ressent un passager. ` quelle vitesse v0 c ne faut-il surtout pas rouler sur ce sol ondul´e? A 6. R´ eponse d’un oscillateur ` a une excitation indirecte Une petite sph`ere M de masse m est suspendue `a un ressort de raideur k et de longueur `a vide l0 . Elle est plong´ee dans un fluide. Lorsqu’elle se d´eplace `a la vitesse ~v par rapport au fluide, elle subit − → une force de frottement F = −h~v . On n´egligera la Pouss´ee d’Archim`ede. Le point d’attache A du ressort peut se d´eplacer verticalement, grˆace `a un dispositif non repr´esent´e sur la figure. On posera h k λ = 2m et ω02 = m . O A=O xA (a) D´eterminer l’´equation diff´erentielle r´egissant x en fonction de xA . (b) On se place dans le cas d’un amortissement faible. L’oscillateur ´etant initialement au repos et `a l’´equilibre, on lui applique l’´echelon de d´eplacement xA (t) suivant xA (t) = 0 pour t < 0 et xA (t) = XA = cte pour t > 0. D´eterminer la r´eponse x(t). ~g A leq l Meq (c) A est anim´e d’un mouvement vertical sinuso¨ıdal tel que xA (t) = XA cos ωt. D´eterminer l’amplitude X des oscillations de M . Dans le cas o` u λ ≪ ω0 et ω ≫ ω0 (fonctionnement en sismographe), que devient X ? x R´ eponse : x(t) = XA − XA (cos Ωt + λ Ω sin Ωt) e−λt 7. Pendule avec frottements fluide visqueux y O On consid`ere le mouvement d’un pendule simple M qui oscille dans un milieu o` u il subit une force de frottement du type − → F = −h~v o` u ~v est la vitesse du pendule dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een. Le pendule est constitu´e d’un objet ~g ponctuel M de masse m, accroch´e par l’interm´ediaire d’une tige `a un point fixe O. On suppose la tige de masse n´egligeable. Sa longueur est l = 1 m. On note θ l’angle de la tige OM avec θ la verticale. L’ensemble est situ´e dans le champ de pesanteur M x terrestre ~g consid´er´e comme uniforme. 2 (a) La prise en compte de frottements am`ene `a proposer l’´equation diff´erentielle suivante : d 2θ + dt ω0 dθ 2 + ω sin θ = 0. Justifier l’´ e quation pr´ e c´ e dente par deux m´ e thodes. 0 Q0 dt (b) La figure en annexe repr´esente le portrait de phase du pendule amorti. Quel est le sens de parcours d’une trajectoire de phase? Quelles sont les conditions initiales? Comment se manifeste l’irr´eversibilit´e du ph´enom`ene? Quels sont les attracteurs? Justifier les r´eponses. (c) Expliquer le mouvement du pendule correspondant `a chaque trajectoire de phase. Peut-on ´evaluer le facteur de qualit´e Q0 ? 8. Stabilit´ e d’un ´ equilibre y M ~g θ x A O B Le r´ef´erentiel terrestre est suppos´e galil´een et le champ de pesanteur uniforme. Un guide circulaire de centre O et de rayon r est plac´e verticalement dans le plan (xOy). Un anneau ponctuel M de masse m est enfil´e sur ce guide et est susceptible − → −−→ d’y glisser sans frottement. Une force F = k M A tend `a attirer l’anneau M vers le point A. Elle se comporte comme une force de rappel ´elastique due `a un ressort de raideur k et de longueur `a vide l0 nulle, dont l’autre extr´emit´e serait fix´ee en A. On q p k posera ω1 = m et ω2 = gr . (a) D´eterminer l’´energie potentielle de M . On la choisira nulle pour θ = 0. (b) Discuter l’existence et la stabilit´e de positions d’´equilibre. 9. La mol´ ecule d’ammoniac z z H 11 00 00 11 x Dans un mod`ele simplifi´e de la mol´ecule d’ammoniac N H3 , les trois atomes d’hydrog`ene H forment la base N 0 1 d’une pyramide dont l’atome d’azote N de masse m 0 1 0 1 occupe le sommet. Les trois atomes d’hydrog`ene sont fixes dans le r´ef´erentiel du laboratoire suppos´e galil´een et H 00 11 00 11 y d´efinissent le plan (xOy). L’atome d’azote est en mouvement suivant l’axe O (Oz) perpendiculaire au plan d´efini par les atomes 00 11 d’hydrog`ene. Il peut passer de part et d’autre de ce 00H 11 plan et sa cote est not´ee z. Le champ de pesanteur est n´egligeable pour d´ecrire cette structure atomique et la r´esultante des forces qui s’exercent sur l’atome d’azote N suppos´e ponctuel − → est : F = −β z (z 2 − a2 ) ~uz o` u les constantes β et a sont positives. − → (a) D´eterminer l’´energie potentielle Ep dont d´erive la force F . L’origine de cette ´energie potentielle est choisie en z = 0. En d´eduire les positions d’´equilibre. (b) Donner, sans d´emonstration, la condition de stabilit´e d’un ´equilibre et d´eterminer les positions d’´equilibre stables et instables de l’atome d’azote. Repr´esenter Ep en fonction de z lorsque z varie de −∞ `a +∞. (c) Une ´energie E ≤ 14 β a4 est c´ed´ee au syst`eme au moment o` u l’atome d’azote est dans une position d’´equilibre stable zs . Montrer graphiquement que l’atome d’azote va osciller entre deux valeurs limites z1 et z2 . Quel nom porte un tel ´etat? On consid`ere de petites oscillations autour de zs . Pour cela, on pose z = zs + q avec |q| ≪ |zs |. Faire un d´eveloppement de Ep `a l’ordre le plus bas non nul en q. En d´eduire l’´energie m´ecanique de l’atome d’azote en fonction de q et q. ˙ En d´eduire la fr´equence des petites oscillations. (d) Que se passe-t-il si l’´energie c´ed´ee E est sup´erieure `a 1 4 β a4 ? 10. Bille sur une surface hyperbolique On consid`ere un r´ef´erentiel galil´een associ´e au rep`ere orthonorm´e (O, ~ux , ~uy , ~uz ). L’axe (Oz) est vertical ascendant. La position d’un point M sera d´efinie par ses coordonn´ees cylindriques r, θ et z. On notera respectivement ~ur et ~uθ les vecteurs unitaires d´eduits de ~ux et ~uy par rotation d’angle θ autour de (Oz). −−→ (a) Faire un dessin et exprimer le vecteur position OM dans la base cylindrique. (b) En d´eduire la vitesse ~v et l’acc´el´eration ~a dans la base cylindrique. Montrer que : ~a.~uθ = 1 d 2 dθ r dt . r dt (c) On ´etudie le mouvement d’une bille d’acier M , de masse m, assimil´ee `a un point mat´eriel, sur une surface de r´evolution. La surface sur laquelle roule la bille est engendr´ee par la r´evolution d’une avec k > 0. On n´eglige les frottements. La r´eaction du support est portion d’hyperbole : z = −k r − → not´ee : R = Rr ~ur + Rθ ~uθ + Rz ~uz . Justifier sans calcul que Rθ = 0. (d) Faire un bilan des forces s’exer¸cant sur la bille. Pr´eciser si ces forces d´erivent d’une ´energie potentielle. Dans l’affirmative, pr´eciser l’expression de l’´energie potentielle associ´ee en fonction de la variable r uniquement. On choisira l’origine de l’´energie potentielle lorsque r tend vers l’infini. ´ (e) Ecrire le principe fondamental de la Dynamique et faire la projection dans la base cylindrique. En d´eduire que la quantit´e r2 ddθt est une constante, que l’on notera C. 2 (f) Exprimer l’´energie m´ecanique sous la forme : Em = 21 m α r˙ 2 + 21 m Cr2 − fonction de k et r. Que peut-on dire de l’´energie m´ecanique? mgk . r D´eterminer α en 2 (g) On peut d´efinir une ´energie potentielle ”effective” : Ep ef f = 12 m Cr2 − mgk . Tracer l’allure de r cette ´energie potentielle effective en fonction de r. En fonction de la valeur de l’´energie m´ecanique initiale du syst`eme E0 , discuter le caract`ere li´e ou libre du mouvement. (h) Pour quelle valeur de r a-t-on un mouvement circulaire? On exprimera le rayon du mouvement circulaire rc en fonction de C, g et k. (i) On lance la bille d’une distance r0 avec une vitesse ~v0 . Pr´eciser la direction et le module de ~v0 pour avoir un mouvement circulaire. 11. Bifurcation z O ~g x M a l A fixe x On consid`ere un anneau assimil´e `a un point mat´eriel M de masse m. Cet anneau est enfil´e sur une tige horizontale port´ee par (Ox), sur laquelle il peut glisser sans frottements. L’anneau est par ailleurs reli´e au point A fixe sur l’axe ascendant (Oz) par l’interm´ediaire d’un ressort id´eal de constante de raideur k et de longueur `a vide l0 . On note a = OA et x = OM . Le r´ef´erentiel (R) li´e `a la tige est suppos´e galil´een. (a) Faire le bilan des forces s’appliquant sur M . De quelle nature est la liaison entre M et la tige? D´eterminer l’´energie potentielle Ep de M en fonction de k, a, l0 et x. On choisira l’´energie potentielle de pesanteur nulle pour z = 0. (b) En ´etudiant Ep , d´eterminer les positions d’´equilibre xeq et ´etudier leur stabilit´e. Tracer les positions d’´equilibre xeq en fonction de a. Pourquoi parle-t-on de bifurcation ”fourche”? (c) Tracer l’allure de l’´energie potentielle Ep en fonction de x. On sera amen´e `a consid´erer les cas suivants : a ≥ l0 et a < l0 . On note E0 l’´energie m´ecanique initiale. Discuter graphiquement la nature du mouvement. On sera amen´e `a consid´erer les cas a ≥ l0 et a < l0 . (d) D´eterminer l’int´egrale premi`ere du mouvement en fonction de x˙ et x. En d´eduire l’´equation du mouvement en fonction de x¨ et x. Cette ´equation est-elle lin´eaire? (e) On consid`ere dans cette question que l0 6= a. On d´esire ´etudier le mouvement de M au voisinage de xeq = 0. Pour cela, on pose x = xeq + q = q avec aq ≪ 1. D´eterminer l’´equation diff´erentielle du second ordre en q. On se limitera dans les calculs au premier ordre en aq . Discuter la nature du mouvement. (f) On consid`ere dans cette question que l0 = a. On d´esire toujours ´etudier le mouvement de M au voisinage de xeq = 0. Pour cela, on pose x = xeq + q = q avec aq ≪ 1. i. D´eterminer l’´energie potentielle de M en fonction de q. On se limitera dans les calculs `a l’ordre en aq le plus bas non nul. Commentaire? ii. D´eterminer l’int´egrale premi`ere du mouvement. iii. En d´eduire l’´equation du mouvement. Commentaire? ` partir de l’int´egrale premi`ere du mouvement, d´eterminer q˙ en fonction de q. Par une iv. A s´eparation des variables, en d´eduire la p´eriode T du mouvement en prenant comme conditions initiales q(0) = q0 (avec |q0 | ≪ a) et q(0) ˙ = 0. Commentaire? Indications : Soit ε une grandeur sans dimension. On rappelle que si |ε| ≪ 1, alors : (1 + ε)α = Rπ 1 + α ε + 12 α (α − 1) ε2 + .... On donne d’autre part : 02 √ dθ 2 ≃ 1, 31 1+sin θ
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