`bre Line ´aire Prope ´deutique Alge Cours : Prof. Dr. Jean-Pierre Gabriel Exercices : Matthieu Jacquemet Mardi 25 novembre 2014 ´rie 10 Se Repr´ esentations matricielles d’applications lin´ eaires ` rendre avant le mercredi 3 d´ecembre, 8h15 A Exercice 1 2 2 Soit ϕ : R2 → R2 la r´eflexion par rapport `a la 2x, et π : R droite y = → R la projection 2 orthogonale sur le sous-espace vectoriel U := (x, y) ∈ R | 3x − y = 0 . (a) D´eterminer la repr´esentation matricielle de ϕ et π par rapport `a la base canonique. (b) D´eterminer la repr´esentation matricielle de ϕ ◦ π et π ◦ ϕ par rapport `a la base canonique. (c) D´eterminer des bases B, B 0 de R2 de sorte que la repr´esentation matricielle de ϕ par rapport ` a ces bases soit particuli`erement agr´eable. (d) D´eterminer des bases B, B 0 de R2 de sorte que la repr´esentation matricielle de π par rapport ` a ces bases soit particuli`erement agr´eable. Exercice 2 On consid`ere une chaˆıne trophique 00 carnivores −→ herbivores −→ v´eg´etaux00 dans laquelle interviennent : — 2 esp`eces de v´eg´etaux : V1 , V2 — 3 esp`eces d’herbivores : H1 , H2 , H3 — 2 esp`eces de carnivores : C1 , C2 On donne les matrices de “consommation” : A= V1 V2 H1 a11 a21 H2 a12 a22 C1 H1 b11 B = H2 b21 H3 b31 H3 a13 a23 C2 b12 b22 , b32 o` u aij = consommation (kg) annuelle du v´eg´etal d’esp`ece i par un herbivore de l’esp`ece j, et bkl = nombre (moyen) d’herbivores de l’esp`ece k consomm´es annuellement par un carnivore de l’esp`ece l. D´eterminer la matrice de “consommation” : C= V1 V2 C1 c11 c21 C2 c12 c22 o` u crs = nombre de kg de v´eg´etal d’esp`ece r consomm´e indirectement par un carnivore de l’esp`ece s, et donner une forme matricielle au r´esultat. Exercice 3 On consid`ere le circuit ´electrique donn´e par (a) En utilisant les lois de Kirchhoff, montrer syst`eme d’´equations I1 − I2 I3 I1 − I2 + I3 2I2 + 12I3 6I1 + 2I2 que les courants dans le circuit ob´eissent au + I4 − I5 − + I4 6I4 6I4 + I5 + 2I5 = 0 = 0 = 0 . = 0 = 10 = 30 (b) D´eterminer l’intensit´e des courants. Exercice 4 On donne les matrices suivantes : 1 −2 1 A = −1 0 , B = 4 4 5 −2 5 −1 0 , −1 C= 2 4 −4 0 7 −1 2 1 . −3 1 0 (a) D´eterminer le rang de ces matrices. (b) Calculer les produits AB, BA, AC, CA, C T A, BC, CB, B T AT .
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