TD11 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique.
Sciences Physiques MP 2014-2015
Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique.
A. Application des principes
1. Transformations polytropiques d’un gaz parfait
On appelle transformation polytropique une transformation réversible au cours de laquelle les transferts de
travail et thermique vérifient δW = kδQ, o`
u k est une constante. On étudie de telles transformations pour un
gaz parfait à coefficient γ constant.
´
1. Etablir
la relation liant p et V le long de cette transformation, sous la forme pV q = Cte.
Déterminer les différents cas particuliers : transformations isotherme, isobare, isochore et isentropique.
Représenter l’allure de ces quatre transformations, à partir d’un même état initial, dans un diagramme
(p, V ).
2. L’air de l’atmosphère est en équilibre polytropique ; en déduire la loi de variation de la température avec
l’altitude. On considérera q 6= 1 et on notera g l’accélération de la pesanteur (supposée constante) et M
la masse molaire de l’air.
´
3. Evaluer
la hauteur totale de l’atmosphère si q = 1, 2, l’atmosphère étant de l’air (M = 29 g · mol−1 ) de
température au sol 0 ◦ C, avec g = 9, 8 m · s−2 .
Réponses : dU = δW + δQ = −(1 + k1 )pdV , nRdT = d(pV ), q = γ +
isobare T V
q−1
= Cte, q = 0, k =
1−γ
γ ,
γdU = dH = δQ, isochore T p
isentropique, adiabatique δQ = 0, δW 6= 0, k → ∞, q = γ ;
q RT0
zmax = q−1
Mg = 48 km.
dp
dz
=
− Mgp
RT ,
γ−1
k ,
1−q
q
T
dp
p
isotherme k = −1 et q = 1,
= Cte, q → ∞, k = 0, δW = 0,
q
q Mgz
= − 1−q
dT , T (z) = T0 − q−1
R ;
b
2. Utilisation de la loi de Laplace
A
B
paroi
R0
b
mobile
Un récipient à parois rigides et calorifugées contient deux gaz parfaits diatomiques séparés par une paroi intérieure adiabatique pouvant se déplacer
sans frottement. Les volumes occupés par chaque gaz A et B peuvent donc
varier. Initialement les gaz sont dans le même état : 1 bar, 300 K et 1 L.
Un générateur électrique fait passer un courant de 1 A dans la résistance
R0 = 10 Ω pendant une durée τ . A ce moment le volume de A est de 1, 1 L.
1. Calculer la pression finale dans chacun des compartiments.
2. Calculer la température finale en B.
3. Calculer la température finale en A.
4. Calculer τ .
5. Calculer le travail re¸cu par le gaz du compartiment B.
6. Calculer la variation d’entropie du gaz dans le compartiment A.
3. Chauffe-eau au gaz
De l’eau dont la capacité thermique est c = 4, 18 kJ · kg−1 · K−1 entre à T0 (14 ◦ C) dans un chauffe-eau et en
ressort à la température Tf (33 ◦ C). Pendant 5 minutes, il a circulé 10 L d’eau pour une consommation de 27 L
de gaz. Le gaz possède un pouvoir énergétique P E = 10, 4 kW · h · m−3 .
1. Calculer le rendement du chauffage.
Le rendement du chauffage n’est pas de 100% car il s’effectue entre l’eau chaude et l’extérieur (qu’on
suppose toujours à la température T0 ) un transfert thermique modélisé par la puissance transférée suivante :
Ppertes thermiques = α(T − T0 )
2. Calculer α.
mc(T −T )
Réponses : η = Vgazf P E0 = 79%, mc dT
dt + αT = αT0 +
−1
numérique α ≃ 70 W · K .
JR Seigne
Vgaz
∆t P E,
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Tf = T0 +
Vgaz P E
α∆t (1
− exp − α∆t
esolution
mc ), r´
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Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique. – 2
4. Compresseur refroidi
On étudie un compresseur simple (figure ci-contre) qui fait passer réversiblement de l’air de l’état (TE = 550 K, pE = 15 bar) à l’état (TS = 450 K,
pS = 150 bar). Le débit massique est D = 0, 1 kg · s−1 . Pour l’air, on prendra
r = 287 J · kg−1 · K−1 , cp = 1 kJ · kg−1 · K−1 et γ = 1, 40. On négligera les
variations d’énergie cinétique. Déterminer la puissance du compresseur ainsi
que la puissance thermique en sachant que le transfert thermique s’effectue
avec un thermostat à T0 = 300 K.
Pcomp
(pE , TE )
(pS , TS )
Pth
5. D´
etente dans une tuy`
ere
Une masse d’air assimilée à un gaz parfait arrive à l’entrée d’une tuyère avec une température T0 = 293 K et une
vitesse d’ensemble v. La tuyère la conduit dans un très grand réservoir o`
u elle se disperse et o`
u sa température
est Tf = 500 K. La tuyère et le réservoir sont parfaitement calorifugés. L’air sera assimilé à un gaz parfait
diatomique de coefficient γ = 1, 40, la constante des gaz parfaits est r = R/Mair = 287 J · kg−1 · K−1 . Calculer
la vitesse v de l’air à l’entrée de la tuyère.
Réponses : v = 643 m · s−1 .
6. Chauffage d’un solide
Dans une enceinte adiabatique, on fait passer un solide, de capacité thermique constante C, de la température
T1 à la température T2 en deux étapes :
– contact avec un thermostat de température Ti ;
– contact avec un thermostat de température T2 .
Déterminer Ti pour minimiser l’entropie créée.
Réponses : ∆S = C ln TT12 = Stransf + Scr , Stransf = C(1 −
√
minimale si Ti = T1 T2 .
T1
Ti )
+ C(1 −
Ti
T2 ),
Scr = C[ln
T2
T1
+ ( TT1i +
Ti
T2 )
− 2],
7. Liqu´
efaction du diazote par d´
etente isentropique
On cherche à obtenir du diazote liquide à la température T0 = 78 K pour laquelle la pression de vapeur saturante
vaut psat = p◦ = 1 bar. Dans la machine de Claude (Ingénieur fondateur de la société Air Liquide), on réalise
une détente réversible dans une turbine parfaitement calorifugée à partir de l’état E1 o`
u la pression est p1 , la
température T1 = 160 K et l’entropie massique s1 = 1, 76 kJ · kg−1 · K−1 . Cet état correspond à diazote gazeux
comprimé. Le gaz, après la détente, se trouve dans l’état E2 o`
u la pression est p2 = 1 bar, la température
T2 = 78 K et l’entropie massique s2 .
On donne les entropies massiques du diazote gazeux pour le liquide s2l = 0, 44 kJ · kg−1 · K−1 et pour la vapeur
s2v = 2, 96 kJ · kg−1 · K−1 à la température T2 = 78 K et à la pression de vapeur saturante p2 = psat = 1 bar.
Déterminer la masse ml de diazote liquide récupérée par kilogramme de diazote après la turbine.
Réponse : x =
s2v −s1
s2v −s2l
= 0, 48.
B. Machines thermodynamiques
8. Syst`
eme de climatisation
On étudie l’installation de climatisation d’un wagon. On néglige les variations d’énergie cinétique. Un moteur
entraˆıne un compresseur puisant de l’air dans le wagon à la température θA = 20 ◦ C et à la pression pA = 1 bar.
La compression est adiabatique et réversible. A la sortie l’air est dans l’état θB , pB . Il perd ensuite de l’énergie
par un transfert thermique isobare au profit de l’air extérieur au wagon qui est à 37 ◦ C. Sa température est alors
θC . Il effectue ensuite une détente adiabatique et réversible dans une turbine, à la suite de quoi il est rejeté dans
le wagon à la pression pD = 1 bar et à la température θD = −5 ◦ C. Le compresseur et la turbine sont sur le
même axe. Pour l’air, on prendra r = 287 J · kg−1 · K−1 , cp = 1 kJ · kg−1 · K−1 et γ = 1, 40. On raisonnera pour
un kilogramme d’air.
1. Quelle est la valeur minimale que l’on peut espérer atteindre pour θC ? En déduire la valeur minimale pB
que le compresseur doit imposer. On donne pB = 1, 7 bar, calculer θB et θC .
2. La puissance de climatisation, c’est à dire la puissance thermique rejetée à l’extérieur, est de 5 kW. Calculer
le nombre de kilogrammes d’air qui doivent être puisés chaque seconde dans le wagon.
3. Dans le cadre de la question précédente, calculer la puissance fournie au compresseur, celle récupérée
dans la turbine, celle globalement fournie par le moteur. Calculer l’efficacité de l’installation définie par
e = Pclim /Pmoteur .
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9. Pompe `
a´
energie (couramment dite `
a chaleur)
Une pompe à énergie, dont le fonctionnement est réversible, échange de l’énergie par transfert thermique avec
deux sources : l’une est l’eau d’un lac dont la température constante est 280 K, l’autre est une masse M = 103 kg
d’eau thermiquement isolée et dont la température initiale est 293 K. La capacité calorifique à pression constante
de l’eau est cP = 4, 18 × 103 J · kg−1 · K−1 . Lorsque la masse M d’eau a atteint la température de 333 K, dire si
les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
1. (a) L’énergie extraite du lac est 1, 5 × 105 kJ.
(b) L’énergie cédée à la masse M d’eau est 1, 5 × 105 kJ.
(c) Le travail absorbé par la pompe est 1, 75 × 104 kJ.
(d) La variation d’entropie de la source froide est de −5, 35 × 105 J · K−1 .
2. (a) Le coefficient de performance (efficacité thermique) de la pompe à énergie varie au cours de son
fonctionnement.
(b) Le coefficient de performance ne varie pas au cours de son fonctionnement.
(c) Lorsque la température de la masse M d’eau, 333 K, est atteinte, le coefficient moyen de performance
a pour valeur : 9,6.
(d) Lorsque la température de la masse M d’eau, 333 K, est atteinte, le coefficient moyen de performance
a pour valeur : 8,6.
10. Machine `
a vapeur
On adopte le modèle de machine à vapeur suivant : un système fermé constitué d’1 kg d’eau sous deux phases
liquide et vapeur décrit un cycle ABCD. Les évolutions BC et DA sont adiabatiques et réversibles. Les évolutions
AB et CD sont isothermes et isobares. On note x la fraction massique en vapeur. Les données concernant le
cycle sont résumées dans le tableau suivant :
p en bar
T en K
x
A
20
485
0
B
20
485
1
C
1
373
xC
D
1
373
xD
On donne les extraits suivants des tables thermodynamiques de l’eau :
T
K
485
373
p
bar
20
1
Liquide juste saturé xV = 0
vL
hL
sL
m3 · kg−1
kJ · kg−1 kJ · kg−1 · K−1
1, 18 × 10−3
909
2,45
1, 04 × 10−3
418
1,30
Vapeur saturante sèche xV = 1
vV
hV
sV
m3 · kg−1 kJ · kg−1 kJ · kg−1 · K−1
0,0998
2801
6,35
1,70
2676
7,36
1. Calculer les fractions massiques en vapeur xC et xD ainsi que les volumes massiques vC et vD .
2. Calculer les enthalpies massiques hC et hD .
3. Calculer les énergies internes massiques uA , uB , uC et uD .
4. Calculer les travaux et les transferts thermiques re¸cus par l’eau au cours de chacune des transformations
AB, BC, CD et DA. En déduire le travail total W .
5. Définir l’efficacité thermodynamique e de la machine à vapeur et la calculer. Comparer e à l’efficacité d’un
moteur de Carnot fonctionnant entre des sources à TC = 485 K et TF = 373 K. Commenter.
11. Turbomoteur
Un moteur thermique à air fonctionne en régime permanent ; on néglige les variations d’énergie potentielle et
d’énergie cinétique de l’air lors des diverses transformations. L’air, assimilé à un gaz parfait (M = 29 g · mol−1
et γ = 1, 40) subit les transformations suivantes :
1-2 Compression adiabatique réversible, le compresseur étant actionné par une partie du travail fourni par la
turbine ;
2-3 Chauffage isobare réversible dans un récupérateur de chaleur ;
3-4 Chauffage isobare par un thermostat à la température tc = 1 200 ◦C ;
4-5 Détente adiabatique réversible dans la turbine (phase motrice) ;
5-6 Refroidissement isobare réversible dans le récupérateur de chaleur ;
6-1 Refroidissement isobare par un thermostat de température ta = 0 ◦ C.
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Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique. – 4
On donne p1 = 1 bar, p2 = 4 bar, le débit massique de l’air Dm = 10 kg · s−1 , t1 = 15 ◦ C et t4 = 875 ◦ C.
´
1. Etablir
la relation liant T1 , T2 , T4 et T5 .
2. Déterminer la température et la pression de l’air aux points 2, 3, 4, 5 et 6 du cycle.
3. Pour chacune des transformations du cycle, donner l’expression littérale de la variation d’entropie massique.
Représenter l’allure du diagramme (T, s) de ce cycle.
4. Définir et calculer le coefficient de performance η de ce moteur à turbine.
Que devient ce coefficient lorsque le récupérateur de chaleur est supprimé, toutes autres choses restant
égales par ailleurs ?
5. Calculer dans les deux cas (avec et sans récupérateur) l’entropie créée par unité de temps. Conclure.
Réponses : T2 = T1 ( pp12 )(1−γ)/γ , T5 = T4 ( pp21 )(1−γ)/γ , T2 T5 = T1 T4 , t2 = 155 ◦C, t5 = 500 ◦C, p1 = p5 =
p6 = 1 bar, p2 = p3 = p4 = 4 bar, échangeur adiabatique réversible : T5 − T6 = T3 − T2 et ∆s = 0 d’o`
u
γR
T4
T4 −T3
4 −T5 )
1
T3 T6 = T5 T2 , t6 = 155 ◦ C, t3 = 500 ◦C, η = (T1 −TT24)+(T
=
63%,
c
=
,
s
=
c
[ln
−
p
p
c
−T3
(γ−1)M
T3
Tc ]
(T
−T
)+(T
−T
)
T
T
−T
1
2
4
5
et s2c = cp [ln T61 − 1Ta 6 ], S˙ c = Dm (s1c + s2c ) = 2, 6 kW · K−1 , sans échangeur η ′ =
= 33%,
T4 −T2
T4
T4 −T2
T1
T1 −T5
1
2
1
2
−1
˙
sc = cp [ln T2 − Tc ] et sc = cp [ln T5 − Ta ], Sc = Dm (sc + sc ) = 12, 9 kW · K , le récupérateur améliore
a tout point de vue.
`
12. Tuy`
ere
Dans une tuyère d’axe Ox, de section S(x), un fluide s’écoule de manière stationnaire. On note S1 et p1 les
section et pression à l’entrée x = 0 de la tuyère, S2 et p2 les mêmes grandeurs à la sortie.
On note ρ(x), w(x) et h(x) les masse volumique, vitesse et enthalpie massique du fluide à l’abscisse x. M désigne
la masse molaire du fluide.
La quantité d’énergie apportée sous forme de transfert thermique à l’unité de masse de fluide lorsqu’elle passe
de x = 0 à x est q(x).
1. Relier w(x), h(x), w1 = w(x = 0), h1 = h(x = 0) et q(x).
2. On suppose maintenant que l’évolution est isentropique. Exprimer w(x) en fonction de w1 et de
Z
x
0
dp
.
ρ
3. Exprimer w(x) pour un gaz parfait si w1 ≃ 0 ; on donne γ = cp /cv .
w(x)2 −w 2
1
Réponses : h(x) − h1 +
= q(x), isentropique w(x)2 − w12 = 2(h(x) − h1 ), dh = T ds + vdp =
2q
p
R x dp
R x dp
d’o`
u h(x) = 0 ρ(x) , w(x) = w12 + 2[ 0 ρ(x)
− h1 ], w(x) = 2cp (T1 − T (x)) pour GP.
1
ρ(x) dp
C. Statique des fluides
´
13. Etude
d’un barrage
Dans cet exercice, les solides et les liquides sont plongés dans le champ de pesanteur uniforme g. Le référentiel
terrestre est supposé galiléen. On se réfère au schéma de la figure 1. Le barrage est formé d’un solide indéformable,
en forme de pentaèdre de base rectangulaire. Sa section est un triangle isocèle, de hauteur h, de demi-angle au
sommet égal à α. Sa masse volumique est ρ. Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l’eau d’un lac
dont la masse volumique est égale à µ. On suppose que les seules forces qui interviennent sont liées à la pression
des fluides (eau et air), au poids du barrage et aux forces de contact exercées par le sol. La longueur L du
barrage est suffisamment grande pour que l’on puisse négliger les forces de liaison intervenant à ses extrémités.
On appelle p0 la pression uniforme de l’air au voisinage du barrage.
z
air
α
h
eau
sol
x
Figure 1 – Barrage
1. Exprimer la pression de l’eau en fonction de l’altitude z, de p0 , µ, g et h.
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2. Calculer la force exercée sur la face immergée. En déduire la force exercée sur la face émergée.
On admet que ni l’air, ni l’eau ne peuvent pénétrer sous le barrage. On considère que ce dernier ne tient
alors en équilibre sur le sol que par l’action de la force de frottement solide. Dans ce cas la réaction du sol
sur le barrage est représentée par : une composante normale N verticale ascendante et une composante
tangentielle T horizontale qui s’oppose au glissement du barrage. L’équilibre statique n’est garanti que si
|T | ≤ f |N |, expression dans laquelle f est un coefficient constant, appelé coefficient de frottement statique
du barrage sur le sol. On définit aussi l’angle de frottement ϕ tel que tan ϕ = f . Cet angle représente
l’inclinaison maximale de la réaction du sol par rapport à la verticale.
3. Déterminer les forces N et T .
4. En déduire la valeur minimale du coefficient de frottement, pour que le barrage reste en équilibre sur le
sol, sans glisser.
π
5. Montrer que si α + ϕ > , alors le barrage reste en équilibre.
2
6. On suppose que h = 10 m, g = 10 m · s−2 , ρ = 2 × 103 kg · m−3 , µ = 103 kg · m−3 , α = 45˚. Calculer la
valeur limite de f .
7. Que se passe-t-il si l’air peut s’infiltrer sous le barrage et exercer la pression p0 sur la base ? Quelle est la
nouvelle valeur limite du coefficient de frottement f ?
8. Que se passe-t-il si l’eau peut pénétrer sous le barrage ?
Réponses : p = p0 + µg(h − z), f~eau = −Lh(p0 + µgh
ex + tan α~ez ], f~air = Lhp0 [~ex − tan α~ez ], M~g =
2 )[~
µgh
µgh
µgh
µgh
1
2
−ρLh tan αg~ez , T = Lh 2 , N = Lh tan α[2p0 + 2 + ρgh], fmin = 4p0 +µgh+2ρgh
tan α , ǫ = 4p0 +µgh+2ρgh ,
π
π
π
f > ǫ tan( 2 − α), si f = tan ϕ > tan( 2 − α) alors α + ϕ > 2 et non glissement, fmin = 0, 111, Nair =
µgh
Lh tan α[ µgh
u fmin = µgh+2ρgh
= 0, 333, Neau = Lh tan α[ρgh − 3µgh
u Neau =
2 + ρgh] d’o`
2 ] or ρ = 2µ d’o`
Lh tan α µgh
2 , fmin =
emporté par l’eau.
1
tan α
= 1, f > 1 pas impossible mais il y a beaucoup de chances que le barrage soit
14. Demi-sph`
ere partiellement remplie
On introduit par l’orifice A un liquide de masse volumique ρ dans la demi-sphère de rayon a, de masse volumique
ρ1 et d’épaisseur e ≪ a. Le liquide ne fuit pas par le contact entre la demi-sphère et le plan horizontal sur lequel
elle est posée (cf. figure 2).
A
h
e
2a
Figure 2 – Demi-sphère partiellement remplie
1. Déterminer la force exercée par l’eau sur la demi-sphère.
2. Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la demi-sphère.
` partir de quelle hauteur h0 de liquide la demi-sphère se soulève-t-elle ?
3. A
15. Film liquide sur une paroi
Une paroi est confondue avec le demi-espace z < 0, un gaz remplissant a priori le demi-espace z > 0. Le gaz est
assimilé à un gaz parfait, mais la paroi exerce sur un atome situé en un point M de cote z > 0, une force de la
forme f a = − 4C
ez o`
u C est une constante positive. On néglige les forces de pesanteur.
z4 ~
1. Sachant que la pression loin de la paroi vaut p(z = ∞) = p∞ , que la température est uniforme et qu’il y
a équilibre du gaz, établir l’expression de la pression p en tout point du fluide en fonction de p∞ , z, kB ,
T et C.
2. En déduire que la paroi se recouvre d’un film liquide et exprimer son épaisseur e en fonction de p∞ , kB ,
T , C et de la pression de vapeur saturante psat (T ) à la température T .
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Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique. – 6
3. Dans une expérience réelle avec de l’hélium, on a p∞ = 1, 2 Pa, T = 0, 8 K, psat (T ) = 1, 52 Pa et C =
5, 1 × 10−51 N· m4 . La densité moléculaire de l’hélium liquide vaut n = 2, 7 × 1028 m−3 . Calculer l’épaisseur
e du film liquide et la distance moyenne a entre deux atomes dans l’hélium liquide. Le film liquide est-il
réellement présent ?
4. On chauffe la paroi. Montrer que l’évolution de la température au voisinage de la paroi permet de distinguer
le cas o`
u le film liquide est présent du cas o`
u le film liquide est absent.
16. Instabilit´
e thermodynamique d’une ´
etoile
Une étoile de masse M est une sphère de rayon R constituée d’hydrogène (assimilé à un gaz parfait) ; la
GM
kB T
= κ
o`
u m est la masse de
température, supposée homogène, de ce gaz est donnée par la relation
R
m
l’atome d’hydrogène, G la constante de la gravitation universelle et κ une certaine constante et kB la constante
de Boltzmann, kB = R/Na o`
u Na est le nombre d’Avogadro. Pour cette étoile, l’énergie potentielle et
l’énergie cinétique sont liées par la relation : Ec = −Ep /2.
1. Quelle est l’unité de mesure de κ ?
2. Déterminer la variation de température ∆T associée à un effondrement de l’étoile caractérisé par une
variation de rayon ∆R.
3. Exprimer la capacité thermique à volume constant de l’étoile. Commenter.
4. On considère un système isolé formé de deux étoiles dont le rayon est constant. On note Ui , Si et Ti
respectivement les énergies internes, entropies et températures de chaque élément de ce système isolé
(i = 1, 2). Exprimer les relations imposées par les deux principes à dU1 , dU2 , dS1 et dS2 .
5. En l’absence de toute variable autre que la température T , exprimer ces relations en fonction de dT1 et
dT2 .
6. Montrer que, à l’équilibre thermodynamique, T1 = T2 mais que ce système est thermodynamiquement
instable.
∆R
M 3
∂U
Réponses : κ sans dimension ; ∆T = − GMm
κkB R2 , ∆R < 0 ∆T > 0 ; U = −Ec , Ec = m 2 kB T , CV = ( ∂T )V =
3MkB
− 2m < 0, T augmente, l’énergie diminue ; dU1 + dU2 = 0, dS1 + dS2 ≥ 0 ; dU1 = T1 dS1 = CV 1 dT1 ;
CV 1 dT1 ( T11 − T12 ) ≥ 0, si T1 > T2 alors dT1 > 0 et dT2 < 0, instable.
JR Seigne
Clemenceau
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