ELECTROMAGNETISME
Exercice 375
INT 08 - Le Coz
Montrer que le champ ´electrique, dans une r´egion vide de charges o`
u les lignes de champ sont parall`eles, est
uniforme.
Exercice 376
Centrale 09 - Leduc + Centrale 13 Lefeuvre
(Sans pr´eparation) Trois charges ponctuelles identiques q > 0 sont plac´ees aux sommets d’un triangle ´equilat´eral.
Tracer sans calcul l’allure des lignes de champ.
Exercice 377
Centrale 11 - Martin
(sans pr´eparation) On consid`ere une charge ponctuelle q `a un sommet d’un cube. Calculer le flux du champ
´electrique cr´e´e a` travers chaque face du cube.
Exercice 378
CCP 10 - Pouvreau
Entre deux plans infinis (Π) et (Π0 ) situ´es en x = −a et x = a se trouvent des charges de densit´e volumique
uniforme ρo .
~
1.a)Donner la direction de E(M
).
0
~
~
1.b)Soit M’ sym´etrique de M par rapport au plan x = 0. D´emontrer que E(M
) = −E(M
).
~
2) Calculer E(M ).
3) En d´eduire le potentiel V (M ).
4) Prouver que l’´equation de Maxwell-Gauss est v´erifi´ee ici.
Exercice 379
CCP 12 - Duguet
V (r) =
r
−2r
q
(1 + ) exp(
)
4πo r
a
a
1) Calculer la charge Q(r) d’une sph`ere de rayon r.
2) Calculer la densit´e volumique de charge ρ(r). On pourra utiliser une couronne sph´erique comprise entre r
et r+dr.
Exercice 380
Mines 12 - Goupil
1) Soient deux charges ponctuelles +q et -q distantes de 2a. Allure des ´equipotentielles et des lignes de champ.
Potentiel sur le plan m´ediateur ?
2) Soit +q ponctuelle distante de a d’un plan conducteur `a la masse.
a) Allure des ´equipotentielles et des lignes de champ. Commentaire ? Justifier `a l’aide d’une ´equation satisfaite
par V.
b) Champ au voisinage du plan ? Calculer la densit´e surfacique et la charge totale du plan en utilisant
l’analogie pr´ec´edente.
seule ligne provenant de l'infini
Exercice 381
Centrale 10 - Perigaud
Les points A, B, C et D sont dans un mˆeme plan.
Coordonn´ees des points : A(25a, 75a), B(0, 0), C(25a, -8a), D(75a, 0)
o`
u a est une unit´e de longueur.
Une ligne de champ de chaque type est repr´esent´ee.
- Combien y a-t-il de charges ?
- O`
u sont elles situ´ees ?
- Quels sont leurs signes, leurs valeurs ? (on notera q la plus petite des
charges)
A(25a, 75a)
D(75a, 0)
B(0, 0)
C(25a, -8a)
seule ligne partant à l'infini
3
Exercice 382
Centrale 07- Corre
2
On mod´elise la mol´ecule CO2 par une charge 2q(q > 0) situ´ee en
O avec deux charges -q situ´ees en A et B de part et d’autre de O. On
donne l’allure de quelques ´equipotentielles.
1) Justifier la forme des ´equipotentielle. D´eterminer les r´egions
o`
u V > 0, les r´egions o`
u V < 0. Tracer les lignes de champ ´electrique.
2) La mol´ecule CO2 poss`ede-t-elle un moment dipolaire permanent ?
~ en un point ´eloign´e de la mol´ecule.
3) Calculer V et E
1
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Exercice 383
CCP 07- Le Berre
∂g
1 ∂g
−−→
On donne grad(g) =
~ur +
~uθ
∂r
r ∂θ
1) D´efinir un dipˆ
ole ´electrostatique.
2) D´eterminer le potentiel V(M) cr´e´e `
a grande distance r >> a
avec AB = a.
~
3) Calculer E(M
).
~ `
4) Calculer le flux de E
a travers la surface de l’anneau compris
entre θ et θ + dθ (voir figure 2).
~ `
5) Calculer le flux de E
a travers la surface de la demi-sph`ere de
rayon R.
~ `
6) Calculer le flux de E
a travers le disque (D).
y
M
figure 1
r2
r
θ
A
-q
B
+q
O
figure 2
R
-q
O
r1
x
dθ
+q
(D)
Exercice 384
CCP 13 H´eriveaux
~?
1) Nature (sym´etries) du champ E
~ i.
2) On utilise le principe de superposition. D´eterminer chacun des champs E
~ total et tracer le graphe.
3) D´eterminer E
4) D´eterminer le potentiel V et tracer le graphe.
Oralement : le principe de superposition est-il judicieux ici ?
x
x= a
ρ
y
x= 0
−ρ
x= - a
Exercice 385
Mines 11 - Le Romancer
On consid`ere la distribution de charges ci-contre. On suppose qu’il n’y a pas d’effets
de bord suivant x et y. On prend V (z = 0) = 0.
~
1) Calculer le champ E(M
) cr´e´e en tout point M de l’espace.
Calculer le potentiel V (M ) cr´e´e en tout point M de l’espace.
2) On consid`ere maintenant la distribution :
ρ
z ≤ zA
0
zA ≤ z ≤ 0
−NA e
0 ≤ z ≤ zD
+ND e
2e
− ρo
+ ρo
z
z ≥ zD
0
On donne NA = 1022 USI, ND = 1024 USI , e = 1, 6.10−19 C, o = 8, 85.10−12 USI,
= 10.
La longueur totale de la jonction est de 330nm et la mati`ere est globalement neutre. Calculer le champ en tout
point.
Exercice 386
CCP 12 - Tazine
Dans un rep`ere cart´esien (O, ~ux , ~uy , ~uz ), on d´efinit la densit´e volumique de charges dans 4 zones :
ρ
1)
2)
3)
4)
5)
x ≤ −a
0
−a ≤ x ≤ 0
−ρa
0≤x≤d
+ρd
x≥d
0
Condition pour que l’ensemble soit globalement neutre ?
D´eterminer le champ ´electrique dans tout l’espace et le repr´esenter.
D´eterminer la diff´erence de potentiel entre x = −a et x = d.
Soit Q, charge par unit´e de surface. D´eterminer, apr`es l’avoir d´efinie, la capacit´e du syst`eme entre −a et d.
Questions suppl´ementaire : Qu’est ce qui repr´esente V sur le graphe de E ? Que peut ˆetre ce dipˆole ?
Exercice 387
Mines 13 Simon
(2 exercices pr´epar´es 10min de tˆete) Le syst`eme ci-contre est constitu´e d’un bloc
d’´epaisseur d de densit´e volumique de charge −ρ et d’une plaque situ´ee en B de charge
surfacique σ. On n´egligera les effets de bords, ce qui revient `a consid´erer les plans infinis
selon Ox et Oy.
1) Le syst`eme est neutre. En d´eduire une relation entre les grandeurs caract´eristiques
du syst`eme.
~ dans tout l’espace.
2) D´eterminer E
3) D´eterminer la tension uAB entre A et B.
2
y
d
x
A
B
−ρ σ
z
Exercice 388
Mines 07- Owen
On consid`ere un syst`eme coupl´e constitu´e d’un dipˆole ´electrostatique
p~ pouvant tourner autour de l’axe vertical Oz et d’une charge ponctuelle q de masse m, mobile sur un cercle horizontal de rayon R et
de centre C (voir figure ci-contre). Pour simplifier, on suppose que le
R
p
moment d’inertie du dipˆ
ole par rapport `
a Oz est J = 4mR2 .
O
α
1) Etablir les ´equations du mouvement.
C
qp
. Positions d’´equilibre ?
On notera K =
4
64πo R m
z
2) Lin´eariser les ´equations pour α ' 0 et θ ' 0. On cherche alors
des solutions de la forme α(t) = A exp(rt) et θ(t) = B exp(rt) o`
u
r ∈ C. Montrer que r peut prendre 4 valeurs.
3) Sachant que la solution est combinaison lin´eaires de ces solutions, discuter de la stabilit´e.
M(m,q)
θ
x
Exercice 389
CCP 11 - Cr´epin
On consid`ere un faisceau de protons d’intensit´e 5µA, acc´el´er´es par une ddp de 10mV.
1) D´eterminer la densit´e volumique de charges sachant que j est uniforme `a l’int´erieur d’un cylindre de diam`etre
2mm et nulle `
a l’ext´erieur.
2) D´eterminer l’expression du champ ´electrique radial `a l’int´erieur du cylindre puis tracer E(r).
3) Ce cylindre est reli´e `
a la terre et entour´e d’un autre cylindre. D´eterminer V (r) puis tracer la courbe.
Exercice 390
INT T´el´ecom 07- In
On consid`ere un fil infini charg´e avec une densit´e lin´eique uniforme λ.
~ et V (`
1) Calculer E
a une constante pr`es).
2.a) On consid`ere maintenant deux fils parall`eles distants de d (figure 1). Calculer V en un point M distant de
r1 de O1 et distant de r2 de O2 , en choisissant V (O) = 0
2.b) Exprimer V en fonction de r et θ (voir figure 2) `a grande distance (r >> d).
Figure 1
(λ)
O1
O
x
d/2
Figure 2
M
O2
( -λ )
r
θ
O1
d/2
O2
O
Exercice 391
Mines 07- Etesse
Un point O ´emet dans l’espace des particules α de mani`ere isotrope dans l’espace. Elles partent avec une vitesse
v. On n´egligera la variation de vitesse de ces particules lorsqu’elles sont ´emises. La charge du point O vaut, en
fonction du temps q(t) = qo (e−λt − 1).
~
~
1) Que vaut le champ ´electromagn´etique E(M,
to ) et B(M,
to ) pour un instant to > 0 ?
~
2) Calculer j(M, to ) en M et retrouver les r´esultats pr´ec´edents.
Exercice 392
Mines 08 - Girault
Un conducteur plat est assimil´e `
a un plan d´efini en cylindriques par θ = 0 ou θ = 2π. Il est port´e au potentiel
Vo . On cherche le potentiel au voisinage de Oz sous la forme V (r, θ, z) = Vo + f (r)g(θ).
On donne le Laplacien en coordonn´ees cylindriques :
∆(g) =
1 ∂ ∂g 1 ∂2g ∂2g
r
+ 2 2 + 2
r ∂r ∂r
r ∂θ
∂z
1) Exprimer Er , Eθ et Ez .
2) Trouver une relation entre r, f , f 0 , f ”, g et g” et la mettre sous la forme H(r) = G(θ).
3) Apr`es avoir justifi´e que g(0) = 0 = g(2π), d´eterminer g(θ).
4) En d´eduire l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par f (r). Chercher une solution sous la forme f (r) = rk . En
d´eduire V (r, θ, z).
5) Trouver une ´equation des ´equipotentielles. Les tracer.
6) Forme des lignes de champ ? En donner ´eventuellement une ´equation.
3
Exercice 393
TPE 07- Etesse
On cherche `
a ´etudier le potentiel dans un plasma (globalement neutre) en choisissant comme centre d’un rep`ere
sph´erique un de cations : Ar+ . La distance `
a cet ion sera not´ee r et le potentiel `a cette distance V (r). On suppose
E±
(−
)
que les densit´es volumiques des ions suit la distribution de Maxwell-Boltzmann : n± = ne e kT o`
u E+ et E−
d´esignent l’´energie potentielle d’une charge + et - dans un potentiel V.
1) D´eterminer la densit´e volumique de charge dans l’espace.
2) D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par le potentiel.
3) La r´esoudre en posant u(r) = rV (r) et en consid´erant, pour d´eterminer les constantes d’int´egration, qu’au
voisinage de l’ion tout se passe comme s’il ´etait seul dans l’espace. On introduira une longueur caract´eristique λD .
On donne le Laplacien en sph´erique :
∆U (r, θ, ϕ) =
1
∂
∂U 1
∂2U
1 ∂ 2 ∂U r
+ 2
sin θ
++ 2 2
2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
4) Calculer la charge totale contenue dans une sph`ere de rayon r.
Exercice 394
Centrale 07- Girault+ Centrale 08 H´eraudeau
La cathode (C) chauff´ee ´emet des ´electrons `a une vitesse faible, consid´er´ee
comme nulle par la suite. L’anode (A), `
a une distance a de la cathode, est
a un potentiel VA > VC avec VA − VC = U . Les ´electrons acc´el´er´es restent
`
non relativistes.
1) Trouver une relation entre la vitesse v(x) et la densit´e volumique
de charges ρ(x) et une relation entre la vitesse v(x) et le potentiel V (x).
d2 V
Montrer que le potentiel v´erifie une ´equation diff´erentielle de la forme
−
dx2
αV −1/2 = 0. Chercher une solution de la forme V = Kxp .
2) Quelle est la caract´eristique U = f (I) ? Calculer I pour a=5mm,
U=10kV et S=1cm2 . Tracer la caract´eristique. A quel dipˆole cela vous faitil penser ?
3) Quel temps met l’´electron pour passer de la cathode `a l’anode ?
a
(C)
(A)
e-
VC
VA
v(x)
x
0
Exercice 395
TPE 08 - H´eraudeau
1) Champ cr´e´e en tout point de l’espace par un plan infini situ´e en x = 0, charg´e uniform´ement avec une
densit´e surfacique de charges σ.
2) On consid`ere le syst`eme form´e de deux plans infinis :
e
- l’un situ´e en x = + de charge surfacique uniforme +σ,
2
e
- l’autre situ´e en x = − de charge surfacique uniforme −σ.
2
a) Champ ´electrique cr´e´e en tout point de l’espace.
e
e
b) Calculer la ddp U = V ( ) − V (− ).
2
2
3) En r´ealit´e les deux plans ne sont pas infinis. Ce sont des carr´es de cˆot´e a, avec a >> e, charg´es respectivement
avec la charge +Q et −Q.
Q
a) Exprimer la capacit´e C =
du condensateur en fonction de a, o et e.
U
b) Exprimer la force exerc´ee par un plan sur l’autre.
c) Initialement les deux plans sont confondus en x = 0 (e = 0). Quel travail un op´erateur doit-il apporter
afin de s´eparer les deux plans pour les amener `a la configuration pr´ec´edente ? Comparer `a l’´energie emmagasin´ee
par un condensateur.
z
Exercice 396
Mines 11 - Cr´epin
On consid`ere un condensateur form´e de deux plaques de surface S.
On impose V (z = e/2) = −U/2 et V (z = −e/2) = +U/2. Les charges sont r´eparties
uniform´ement sur les plaques. La charge totale est nulle et on n´eglige les effets de bord suivant
x et y.
1) D´eterminer la capacit´e C du condensateur.
2) On consid`ere d´esormais une densit´e volumique de charges ρ = −aV (z) o`
u a est une
constante entre les deux plaques. D´eterminer la nouvelle capacit´e.
4
i
+e/2
O
-e/2
Exercice 397
Mines 07- Le Berre
Les armatures d’un condensateur plan sont des disques de rayon R situ´es en z=e/2 et z=-e/2. On applique une
tension sinuso¨ıdale de haute fr´equence U (t) `
a ses bornes. On donne le Laplacien en coordonn´ees cylindriques :
1 ∂ ∂g 1 ∂2g ∂2g
r
+ 2 2 + 2
r ∂r ∂r
r ∂θ
∂z
~
1) D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par E(M, t) entre les armatures.
~ sous la forme E
~ = E(r) exp(iωt)~ez . Donner l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par E(r).
2) On cherche E
ωr
3) On effectue le changement de variable x =
et on cherche une solution en s´erie enti`ere sous forme
c
P
E(x) = an xn . Pourquoi les a2p+1 sont-ils nuls ? Quelle relation relie a2p et a2p+2 ? D´eterminer a2p .
∆(g) =
UUUU
UUUU
Exercice 398
Centrale 12 - Calore
x
M
k
vskip 2mm Acc´el´erom`etre : On consid`ere le syst`eme cik
contre. Trois plaques de mˆeme surface S constituent deux condenarmature
armature
sateurs, la plaque du milieu ´etant mobile et solidaire d’une
fixe
armature
fixe
masse M reli´ee `
a deux ressorts. A l’´equilibre, x = 0 , les deux
mobile
ressorts sont au repos, et la plaque centrale est `a distance d
des deux armatures fixes.
V
1) Question pr´eliminaire : pour un des condensateurs quand
-V
Cs
x = 0, d´eterminer la capacit´e Co en fonction des autres param`etres. D´eterminer la force exerc´ee par une armature sur
l’autre.
2) Quelle est la charge port´ee par les armatures (les trois) ? d´eterminer la force d’origine ´electrostatique exerc´ee
par les armatures fixes sur la mobile. montrer que pour |x| << d, elle peut se mettre sous la forme :
F =
2Co Cs xV 2
(2Co + Cs )d2
Exercice 399
CCP 07- Tessier
Un cylindre conducteur de rayon a tourne autour de son axe de r´evolution avec une vitesse angulaire ω
~ . Sa
charge volumique est initialement nulle.
1) En consid´erant le mod`ele classique du conducteur (´electrons de masse m et de charge -e), monter qu’il existe
une diff´erence de potentiel entre l’axe et la surface du cylindre. D´eterminer cette ddp.
2) Calculer ρ(r). Quel est son signe ? Donner une justification qualitative.
3) Calculer σ(a). Quel est son signe ? Donner une justification qualitative.
Exercice 400
Centrale 07- Schweyer
On consid`ere un cylindre de longueur 2L, de rayon R, de centre O, charg´e uniform´ement en surface avec une
densit´e surfacique positive σ.
~ sur l’axe du cylindre dans le cas o`
1) Calculer le champ E
u L >> R.
2) On place un dipˆ
ole ´electrostatique de moment dipolaire p~, de masse m, sur l’axe du cylindre au voisinage
de O, avec p~ parall`ele `
a l’axe.
a) Dans quel sens part le cylindre ?
b) Calculer sa vitesse maximale au cours du mouvement. Calculer sa vitesse limite.
~
On rappelle que l’´energie potentielle d’un dipˆole dans un champ ext´erieur est W = −~
p.E
c) Tracer les lignes de champ dans un plan contenant l’axe du cylindre.
Exercice 401
Mines 11 - Poignant
On consid`ere deux sph`eres m´etalliques, la sph`ere int´erieure charg´ee avec Q, l’autre non charg´ee. Entre ces
sph`eres r`egne un gaz isolant rendu conducteur `a t = 0. Expliquer qualitativement ce qui va se passer, faire un bilan
´energ´etique.
Exercice 402
CCP 12 - Gu´evel
On consid`ere une sph`ere radioactive de centre C, ´emettant des charges ´electriques de fa¸con isotrope avec une
vitesse ~v = v~er . On note Q(r, t) la charge contenue dans la sph`ere de rayon r `a l’instant t.
~
1) Calculer le champ E.
~
2) Calculer B.
~
3) Calculer la densit´e volumique de courant J.
~
4) Calculer le courant de d´eplacement Jd .
5) Montrer que l’´equation de Maxwell-Amp`ere reste v´erifi´ee.
5
Exercice 403
X 13 Lefeuvre
On consid`ere un plan infini qui s´epare l’espace en deux parties : le vide d’un cˆot´e, et un conducteur parfait au
potentiel nul de l’autre. On place une charge q dans le vide. Etudiez les interactions entre le plan et la charge.
Exercice 404
X 10 - Nicolas
On consid`ere un plan infini d’´epaisseur a (un plasma) contenant des charges +e de masse M et des charges -e
de masse m. La densit´e de charges est n (pour les positives comme pour les n´egatives)
~ qui lui est perpendiculaire. D´ecrire ce qui se produit (les plans charg´es
On place ce plan dans un champ E
positivement et n´egativement conserve leur int´egrit´e).
Exercice 405
Ulm 10- Bolgar
Quelle est la charge ´electrique maximale que peut porter une goutte d’eau ?
´
Indication : Energie
de tension superficielle : Ets = AS avec S la surface de la goutte et A constant.
Remarque : utiliser l’´energie.
Exercice 406
X 07- Corre
On consid`ere le syst`eme ci-contre. L’hyperbolo¨ıde `a une
nappe est creux et a pour ´equation x2 + y 2 − 2z 2 = ro2 et celui
a 2 nappes x2 + y 2 − 2z 2 = −2zo2 . On ´etudie la possibilit´e de
`
pi´eger des particules charg´ees `
a l’int´erieur de ce syst`eme.
1) Calculer le potentiel V (x, y, z) `
a l’int´erieur de l’hyperbolo¨ıde `
a une nappe.
2) Est-il possible de pi´eger des particules charg´ees ?
3) Que peut-on envisager ?
Exercice 407
ENS 07- Giacinti
1) 4 charges –q sont situ´ees aux sommets d’un carr´e de cˆot´e a, on se place au voisinage de l’origine O. En
´etudiant les sym´etries, d´eterminer la forme du potentiel V. Calculer V dans le plan (Oxy) au voisinage de O.
L’´equation de Poisson est-elle v´erifi´ee ? (il m’a demand´e plus tard la d´ependance en z de V)
2) Deux charges +q sont maintenant situ´ees `a une distance a de O sur l’axe (Oz), calculer V dans le plan
(Oxy).
3) Une charge +q se trouve en M sur une diagonale du carr´e, calculer et dessiner la force s’exer¸cant sur elle. A
quoi cela vous fait penser ? Quel va ˆetre le mouvement de la charge ? Connaissez-vous des applications pratiques ?
Exercice 408
X 08 - Lecu´e
On connecte deux fils ´electriques de r´esistance nulle en deux points distants de d sur un demi espace conducteur
de conductivit´e finie σ.
Quelle est la r´esistance mesur´ee entre ces deux fils ?
Exercice 409
X 09 - Bouacida
On consid`ere deux dipˆ
oles ´electrostatiques align´es sur un axe x’x (probl`eme unidimensionnel)
1) Quelle est la force exerc´ee par un dipˆ
ole sur l’autre ? Le r´esultat est-il coh´erent ?
2) On consid`ere n dipˆ
oles identiques align´es sur un axe x’x, `a la temp´erature T. Quelle est la force moyenne
s’exer¸cant sur un dipˆ
ole ?
3) En consid´erant le centre de gravit´e de chacun des dipˆoles comme fixe, quel est le mouvement possible d’un
dipˆ
ole ? Quel est l’effet de la temp´erature ? Analogie avec n particules dans un champ de pesanteur, densit´e de
particules par unit´e de volume ?
Exercice 410
1)
2)
3)
4)
CCP 10 - Mauger
Figure 1
~ `
Calculer le flux φ de B
a travers le disque (figure 1).
~
Calculer le flux φ’ de B `
a travers la demi-sph`ere.
Pourquoi sont-ils ´egaux ?
~ `
Calculer le flux de B
a travers le disque pench´e (figure 2).
6
Figure 2
α
B
O
a
Exercice 411
CCP 08 - Morici
On consid`ere une spire circulaire (C) de rayon a parcourue par un courant I et
z
~ = Bo~ez avec Bo > 0.
plac´ee dans un champ magn´etique uniforme B
~ `
1) Calculer le flux φ de B
a travers le disque de rayon a.
θ
B
0
~ `
2) Calculer le flux φ de B
a travers la demi-sph`ere s’appuyant sur (c) situ´ee
(C)
dans le demi-espace z > 0.
~
3) Comparer φ et φ0 . En d´eduire une propri´et´e de B.
O
~ fait maintenant un angle θ avec Oz.
4) B
I
a) D´efinir et calculer le moment magn´etique de (C).
x
b Calculer la force de Laplace. Quelle hypoth`ese peut-on faire ?
~ et du moment magn´etique.
c) Calculer le moment r´esultant en O des forces de Laplace en fonction de B
Exercice 412
CCP 11 - Belhadj
J=J ez
~ et B.
~
1) D´eterminer les directions de A
~
2) D´eterminer B en tout point M de l’espace. Tracer B(r). A.N. Calculer B
pour r=0,5mm ou 1cm avec J = 1A mm−2 , µo = 4π10−7 A m−1 , a=1mm.
~ en tout point grˆ
~ et B.
~
3) D´eterminer A
ace `
a l’´equation int´egrale reliant A
Exercice 413
Centrale 12 - Baton
Le syst`eme ci-contre est infini selon les directions y et z. Les densit´es de
courant j1 et j2 sont uniformes.
~ en tout point de l’espace.
1) D´eterminer le champ B
2) Calculer l’´energie ´electromagn´etique par unit´e de surface.
3) La zone 1jest `
a temp´erature constante T1 et la zone 4jest `a
temp´erature constante T4 . D´eterminer le profil des temp´eratures.
y
z
a
3
2
1
j
4
j1
2
-x2
x1
0
x
UUUU
Exercice 414
Mines 12 - Rannou
On consid`ere le circuit ci-contre o`
u (S) est constitu´e de 2 associations de bobine et r´esistance en s´erie, et de
mˆeme pour (S’) avec un condensateur en plus.
A
Les champs cr´e´es par i et i0 √sont respectivement B = k i et B 0 = k i0 .
i
On alimente le tout avec u = U 2 cos(ωo t).
i'
1) Quel est l’int´erˆet du condensateur ?
(S)
√
2) √Exprimer I, I 0 , tan ϕ et tan ϕ0 si on pose i = I 2 cos(ωo t − ϕ) et
i0 = I 0 2 cos(ωo t − ϕ0 ).
(S')
3) A quelle condition a-t-on I = I 0 et ϕ = ϕ0 ? Tracer I et tan ϕ en
C
1
fonction de .
C
4) Application num´erique.
5) En d´eduire B et B 0 . D´eterminer B en O.
UUUU
UUUU
UUUU
Exercice 415
Centrale 12 - Rannou
Une plaque infinie en x et y, de largeur a est parcourue par un courant de
densit´e volumique J = Jo cos(ωt)~ey . Le milieu pour z > 0 est conducteur, de
conductivit´e γ.
1) D´eterminer B(0+ , t).
~ pour ω suffisamment
2) D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par B,
petit.
~
3) En d´eduire B.
4) D´eterminer la puissance rayonn´ee par unit´e de surface.
x
a
y
Exercice 416
Mines 12 - Barillot
Soit une sph`ere de centre O charg´ee en surface ( densit´e surfacique σ), en rotation de vitesse ω constante autour
de l’axe Oz.
~ cr´e´e par une spire parcourue par un courant i en un point de l’axe ?
1) B
~
2) En d´eduire B(O)
pour la sph`ere.
3) Comment ´evolue B si ω varie ?
Exercice 417
Centrale 07- Corre
~ cr´e´e sur l’axe de la spire.
Soit une spire circulaire parcourue par un courant I. Calculer la circulation de B
7
B
z
Exercice 418
Mines 08 - Hurson + TPE 07- Perigaud
Un plasma occupe un cylindre de rayon R, de longueur infinie, plac´e dans le vide. Il est parcouru par un courant
I parall`ele `
a son axe, de densit´e volumique uniforme ~j. On admet que ce plasma est globalement neutre et que la
densit´e de particules ne d´epend que de la distance `a l’axe : n(r). On consid`ere le plasma comme un gaz parfait
mais on utilisera la loi de Boltzmann plutˆ
ot que la loi des gaz parfaits. On note p(r) la pression `a la distance r de
l’axe.
1) Traduire la condition d’´equilibre du plasma.
~
2) Calculer B(r).
En d´eduire p(r).
3) D´eterminer n(r).
−−→
→~
~ −
4) Exprimer les conditions de passage en fonction de B,
rotB
et gradP .
Exercice 419
CCP 09 - Benv´eniste
Un cylindre infini d’axe Oz et de rayon a est parcouru par un courant dont la densit´e superficielle est de norme
i constante et forme un angle α avec les g´en´eratrices du cylindre : α = (~ez , ~ex ).
~ dans tout l’espace. (Il faut remarquer que c’est la superposition du fil infini et du sol´eno¨ıde infini).
Calculer B
Exercice 420
Centrale 10 - Pelletier + Centrale 11 - Goupil
Un fil dans lequel circule une intensit´e io arrive sur un plan conducteur semiinfini (z < 0) de conductivit´e γ. Le courant se r´epartit radialement ~j = j~er .
1) Pour deux point M et P du conducteur, calculer V (M ) − V (P ) en fonction
de io , γ, rM = OM et rp = OP .
~ pour z > 0 et z < 0. Commenter la limite quand
2) Calculer le champ B
z → 0+ .
~ ~
~ sur le plan.
~ = E ∧ B ? Calculer Π
3) Signification de Π
µo
Exercice 421
Centrale 12 - Cheloudko
On mod´elise un ´electron par une sph`ere de rayon R et de charge q=-e uniform´ement
r´epartie en volume. L’´electron tourne sur lui mˆeme `a un vitesse de n tours par seconde.
~ de l’´electron en fonction de n, e et R.
1) Calculer le moment magn´etique M
~
2) Calculer le moment cin´etique S de l’´electron.
~ et S.
~
3) En d´eduire le coefficient de proportionnalit´
e entre M
√
~ = 3 h . Calculer ||M||.
~
4) La physique quantique donne ||S||
2 2π
~ = 1,6 10−23 A m2 . Conclure.
En r´ealit´e ||M||
5) Question suppl´ementaire. Sur la figure ci-contre, les fils s’attirent ou se repoussent ?
io
θ
er
Bain de Mercure
Exercice 422
Mines 11 - Goupil + Mines 12 - Lucas
~ B)
~ dans le vide. Significa1) On consid`ere un champ ´electromagn´etique (E,
ez
~
~
tion physique et dimension de ~g = o E ∧ B.
2) Soit un condensateur cylindrique de hauteur h plong´e dans un champ
~ = B~uz . On consid`ere deux situations :
magn´etique uniforme B
a
-Q
+Q
a) L’isolant inter-armatures n’est pas parfait : le condensateur se d´echarge
en un temps τ .
b) L’isolant est parfait, mais on fait d´ecroˆıtre B en un temps τ .
Montrer que dans les deux cas le cylindre a acquis un mˆeme moment cin´etique σOz . Interpr´eter grˆace `
a ~g .
b
Exercice 423
Centrale 11 - Ruello + Centrale 12 - Rustam
Moment cin´etique acquis par induction. Formulaire d’analyse vectorielle `a disposition.
On consid`ere deux cylindres concentriques C1 et C2 , d’axe Oz, de masse m, de hauteur h et de rayons a et
−q
q
b > a. C1 porte sur sa face ext´erieure une charge surfacique σ1 =
et C2 porte σ2 =
sur sa face interne.
2πah
2πbh
~
L’ensemble est plac´e dans le vide et il r`egne un champ uniforme B = Bo ~uz entre les deux cylindres. Initialement
les deux cylindres sont immobiles. Ils peuvent pivoter librement autour de leur axe.
~ = Bo e−t/τ ~uz
A t=0, on impose B
1) Expliquer la mise en rotation des cylindres. Dans quel sens vont-ils tourner ?
~ o . D´eterminer L
~ ∞ = lim L
~ o (t). D´eterminer les
2) Calculer le moment cin´etique de l’ensemble en O, not´e L
t→∞
vitesses de rotation finales Ω1 et Ω2 .
~ ∧ B.
~ Consid´erations ´energ´etiques en lien avec ~g .
3) Calculer la quantit´e ~g = o E
4) Condition pour pouvoir n´egliger les flux propres li´es `a la rotation des cylindres.
8
Exercice 424
TPE 09 - Demehati
~ perpendiculaire
Soient N particules de charge q entrant avec une vitesse ~v dans un milieu ou r`egne un champ B
a ~v .
`
Nature du mouvement ?
C
On consid`ere le circuit ci-contre :
1) A t = 0, q(0) = qo et q(0)
˙
= 0. D´eterminer q(t).
2) Que peut-on dire si M=0 ?
L
1
UUUUU
Mines 07- Le Corguill´e
UUUUU
M
Exercice 425
L
2
Exercice 426
Centrale 07- Dembri+Hinaux
On consid`ere deux bobines plates coaxiales de rayon a, comportant N spires, `a distance d l’une de l’autre. Elles
ont mˆeme coefficient d’autoinductance L et une r´esistance n´egligeable.
On alimente le circuit ci-dessous `
a l’aide d’une tension cr´eneau. On observe les deux tensions `a l’oscilloscope :
le signal est triangulaire dans le circuit secondaire.
1) Justifier que le coefficient de mutuelle inductance M ne d´epend que de la distance d entre les deux bobines.
2) A quelle condition sur L et R la tension au secondaire est-elle triangulaire ? Montrer que l’amplitude crˆetecrˆete des tensions d’entr´ee et de sortie permet de d´eterminer la valeur de M .
Y
Y
1
Exercice 427
L
UUUUU
GBF
UUUUU
2
R
L
CCP 09 - Martin
m spires par
unité d'épaisseur
On rappelle que le champ est nul `
a l’ext´erieur d’un sol´eno¨ıde simple.
1.a) On ´etudie le sol´eno¨ıde de la figure 1 ci-contre. Donner les ´el´ements
~
de sym´etrie et d’invariance pour B.
~ en tout point de l’espace.
1.b) Donner B
++
++
n spires par
unité de longueur
figure 1
On ´etudie la figure 2 ci-contre : un cylindre creux contient une r´epartition
volumique de charges uniforme ρ. Il tourne autour de son axe avec une vitesse
angulaire ω
2.a) D´eterminer ~j.
~ en tout point de l’espace.
2.b) Calculer B
2.c) Montrer que l’on pouvait retrouver ce r´esultat grˆace `a la question 1).
ω
figure 2
Exercice 428
TPE 07- Hinaux
On consid`ere un fil de cuivre cylindrique de conductivit´e σ = 5, 96.107 S.m−1 , de diam`etre d=1mm et de longueur
l=1m.
Quel est la r´eponse `
a un ´echelon de tension V = 1V ?
9
Exercice 429
Mines 09 - Pengam + Mines 10 - Goblot
Le rotationnel et la divergence en cylindriques sont donn´es.
1) Calculer le champ magn´etique cr´e´e par un cylindre infini parcouru par un courant de densit´e ~j uniforme.
I cos φ
2) On donne ~js =
~ez . Pour mod´eliser cette distribution, on prend deux cylindres identiques au pr´ec´edent
2R
parcourus par des courants ~j oppos´es, dont les axes sont s´epar´es par une distance petite devant le rayon R des
cylindres.
~ i = µo I cos φ ~eθ
a) Montrer que le champ r´esultant `
a l’int´erieur des cylindres s’´ecrit B
4R
k sin θ
k cos θ
, Bθ =
).
b) Montrer que le champ r´esultant `
a l’ext´erieur des cylindres est (Br =
2
r
r2
3) Calculer l’´energie magn´etique par unit´e de longueur. Dans quelle direction se propage-t-elle ?
4) Calculer l’inductance par unit´e de longueur si on consid`ere que les deux cylindres forment un circuit.
Exercice 430
Centrale 09 - Martin + Centrale 13 Lourdais
On consid`ere un cˆ
able coaxial constitu´e
- d’un cylindre plein de rayon a1 (ˆ
ame centrale) et de conductivit´e γ
- d’un cylindre creux, de rayon a2 , de conductivit´e largement inf´erieure `a γ, qui entoure l’ˆame centrale.
La longueur H du cˆ
able est tr`es sup´erieure `a a2 (on n´eglige donc les effets de bord).
A l’une des extr´emit´es, les deux cylindres sont reli´es par un fil de r´esistance nulle. On se place en ARQS.
A t = 0, on relie l’autre extr´emit´e de chaque cylindre aux bornes
i(t)
d’un g´en´erateur id´eal de tension de fem E. On mesure l’intensit´e i(t)
Im
dans le circuit :
1) Sch´ema ´electrique du circuit et orientations. Expliquer les
Im
ph´enom`enes.
2
2) D´eterminer γ en fonction des donn´ees du probl`eme.
3) Quelle valeur doit-on donner `
a a1 (autres donn´ees inchang´ees)
pour que t1/2 soit maximum ?
t
=140μs
t
1 /2
Exercice 431
Centrale 08 - Lalau K´eraly
Une tige de longueur l, de masse m, dont l’extr´emit´e trempe dans
un liquide conducteur, peut tourner autour d’un axe horizontal Ox.
ml2
Son moment d’inertie par rapport `
a Ox est J =
. Elle est plong´ee
3
~
dans un champ magn´etique uniforme B = Bo~ex . On ´etudie les petites
oscillations de la tige.
1) Expliciter les hypoth`eses de simplification que vous allez utiliser.
2) Donner l’´equation du mouvement.
3) Etudier le comportement du syst`eme selon les valeurs de R.
4) Bilan ´energ´etique.
5) Mˆemes questions si on remplace R par un condensateur, puis
par une inductance pure.
O
B
R
θ
Exercice 432
Mines 13 Marzelli`ere
Soit un sol´eno¨ıde semi-infini d’axe Oz et un disque D de conductivit´e γ `a une distance z du sol´eno¨ıde. On ´etablit
un courant i(t) dans le sol´eno¨ıde.
i(t)
i
O
z
a
e<<a
Le champ magn´etique est de la forme Bz (z, t) = f (z).i(t).
D´eterminer la force exerc´ee sur le disque.
10
I
O
t1
t
Exercice 433
CCP 08 - Louboutin + CCP 09 - Bellec + CCP 10 - Cloarec
Un cˆ
able cylindrique d’axe Oz est form´e d’une ˆame creuse de rayon a et d’une gaine ext´erieure de rayon b et
d’´epaisseur n´egligeable. La longueur du cˆ
able est grande devant a et b. L’ˆame est au potentiel V1 et la gaine au
potentiel V2 .
1) Une intensit´e I parcourt l’ˆ
ame dans le sens des z croissants et revient par la gaine en sens contraire.
~
a) D´eduire de la forme des ´equipotentielles la direction du champ ´electrique E(M
).
~
b) Pour un point Mi situ´e entre l’ˆ
ame et la gaine, donner la forme de E(M
).
i
~
c) En d´eduire E(M
a l’axe.
i ) en fonction de a, b, V2 − V1 et la distance ρ `
~ dans tout l’espace en fonction de I et r.
2) D´eterminer le champ magn´etique B
3) Calculer le flux du vecteur de Poynting `a travers une section droite du cˆable. Conclure.
Exercice 434
Centrale 09 - Cadran
Soit un fluide conducteur de masse volumique ρ dans le quel sont plong´ees deux ´electrodes rectangulaires planes,
verticales, parall`eles face `
a face. On impose une tension U entre les ´electrodes et un courant I circule de l’une `
a
l’autre.
~ uniforme. Le fluide
1) On impose dans le fluide un champ magn´etique horizontal parall`ele aux ´electrodes B
monte alors d’une hauteur h entre les deux ´electrodes. Pourquoi ?
2) D´eterminer h en fonction de param`etres `a d´efinir.
Exercice 435
Centrale 07- Fauvet - Centrale 12 - B´etin + Le Hesran
On mod´elise la chute d’un ´eclair de deux fa¸cons diff´erentes :
1) Un fil selon Oz est parcouru par un courant I, puis le courant se disperse de fa¸con isotrope dans le plan
xOy.
2) Un fil selon Oz est parcouru par un courant I, puis le courant se disperse de fa¸con isotrope dans le demiespace z < 0.
~ dans les deux cas en un point
On suppose qu’on est en r´egime stationnaire. Calculer le champ magn´etique B
proche du sol. A.N. I=50kA et r=0,1 km.
Exercice 436
Centrale 07- Perigaud
Le fil 1 est infini et immobile. Le fil 2, mobile, a une longueur L. Le
ressort a une constante de raideur k et une longueur `a vide lo .
Quand I1 = I2 = 0, la distance entre les deux fils est a. Le poids est
compens´e par la r´eaction de l’axe Ox.
On applique les intensit´es (alg´ebriques) I1 et I2 . D´eterminer les positions
d’´equilibre dans le cas o`
u les fils s’attirent et discuter de leur stabilit´e.
fil 1
fil 2
O
k
UUUUUUUUU
I1
x
I2
a
Exercice 437
CCP 10 - Le Meur
Un fil infini confondu avec l’axe Oz est parcouru par I(t) = Io cos(ωt). Au niveau de O se trouve un tore d’axe
3a
Oz de section carr´ee de cˆ
ot´e a et de rayon moyen
, compos´e de N=104 spires en s´erie ayant une r´esistance
2
R = 0, 3Ω plus un amp`erem`etre de r´esistance r = 0, 2Ω.
1) Sch´ema. Alg´ebrisation des courants ?
~ = B(r, z)~uθ .
2) Montrer que B
~
3) Calculer B `
a l’int´erieur du tore. Que peut-on dire `a l’ext´erieur du tore ?
~ `
4) Calculer le flux de B
a travers les N spires du tore.
im
5) Relation liant I(t) dans le fil et i(t) = im cos(ωt + ϕ) dans le tore. En d´eduire le rapport
. Int´erˆet du
Io
syst`eme ?
Exercice 438
Centrale 10 - Joubert
Pince amp`erem´etrique. Soit un tore de section carr´ee de cot´e a dont le bord int´erieur est sur un cercle de rayon
a, sur lequel sont r´eguli`erement bobin´es N tours de fil. Sur l’axe de r´evolution du tore se trouve un fil rectiligne
infini parcouru par un courant I = Io cos(ωt). Le circuit du tore est ferm´e sur un amp`erem`etre, la r´esistance totale
de ce circuit ´etant R.
1) Etude qualitative du ph´enom`ene.
im
2) En r´egime forc´e, le circuit du tore est parcouru par un courant i = im cos(ωt + ϕ). Calculer
. A.N. avec
Io
a=2cm, R=50Ω et N= 10 000. A quoi sert le dispositif ?
11
Exercice 440
CCP 08 - Soulard
Un cadre carr´e de cˆ
ot´e a est parcouru par un courant I. Il se
trouve dans le mˆeme plan qu’un fil infini parcouru par un courant I
selon Oz, parall`ele `
a un de ses cˆ
ot´es. Le centre du cadre est `a une
distance x >> a du fil. Calculer la r´esultante des forces de Laplace
sur la spire,
1) directement.
2) avec la th´eorie du dipˆ
ole magn´etique.
B
y
O
UUUU
Exercice 439
ENSTIM 13 Moreau
Un cadre m´etallique carr´e de cˆ
ot´e a est suspendu `a un ressort fix´e au point O,
de constante de raideur k et de longueur `
a vide lo . Il se d´eplace verticalement dans
~ = (Bo − bx)~uz , avec Bo
le plan xOy o`
u r`egne un champ magn´etique permanent B
et b constantes positives. Le cadre a une r´esistance R, une masse m et on n´eglige
son autoinductance.
1) Donner l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la position xc de C, puis par
X = xc − xequ .
2) Quelles sont les conditions sur les param`etres du syst`eme pour que le r´egime
soit pseudo-p´eriodique ?
k
g
+C
a
x
z
I
C
x
I
a
a
Exercice 441
TelSudP 13 Moreau
~
Dans la zone z > 0 r`egne un champ magn´etique permanent uniforme B.
On consid`ere une spire carr´ee de masse m, d’autoinductance L et de r´esistance
n´egligeable.
A t = 0 le cˆ
ot´e inf´erieur de la spire est en z = 0 et poss`ede une vitesse ~vo = vo ~uz .
Calculer ~v (t).
Exercice 442
Mines 07 Barrau
~ = ~0, et pour
Le cadre a une masse m et une r´esistance R. Pour z > 0, B
~
z < 0, B = Bo ~ux .
1) Le cadre est abandonn´e sans vitesse initiale, son cˆot´e inf´erieur ´etant
a la cote zo . On note z sa cote `
`
a l’instant t. Etudier z(t).
2) On note v1 = v(t1 ) = v(z = 0) et v2 = v(t2 ) = v(z = −a). Calculer
R t2 2
Ri dt en fonction des vitesses et des diff´erentes constantes.
t1
3) Reprendre l’´etude si on remplace le carr´e par un cube.
Exercice 443
y
x
g
B
z
z
a
g
a
zo
y
x
Mines 12 Lemonnier
Δ
a
z
Le cadre peut tourner sans frottement autour de l’axe horizontal ∆. Il est
soumis au champ de pesanteur ~g = −g~ez et au champ magn´etique permanent
~ = B~ez .
uniforme B
D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par θ(t). La simplifier pour de petites oscillations.
Exercice 444
B
b
θ
CCP 08 Lefaudeux + CCP 13 Garnier
On consid`ere le circuit filiforme ci-contre, de r´esistance R et de moment
d’inertie J par rapport `
a ∆, plong´e dans un champ magn´etique uniforme
~ = B~ex .
B
1) Calculer l’intensit´e i dans le circuit en n´egligeant son autoinductance.
2) Calculer le moment des forces de Laplace.
π
3) En d´eduire l’´equation du mouvement en fonction de ϕ = θ + ,
4
√
π
sachant que sin θ + cos θ = 2 sin(θ + )
4
4) D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par ϕ.
˙
12
Δ
ez
ey
θ
a
ex
a
a
a
a
B
Exercice 445
CCP 12 - Lesauvage
On consid`ere un circuit form´e d’un di`edre de masse totale m, plong´e dans
~ Chaque tige a une longueur a et les angles
un champ magn´etique uniforme B.
5ma2
.
AFE=BCD=P i/2. Le circuit tourne autour de ∆. On donne J =
9
1) Trouver i avec la loi de Faraday.
2) Justifier l’´equivalence avec deux dipˆ
oles magn´etiques de moments M1 et
M2 .
3) Etablir l’´equation du mouvement.
4) Qu’observe-t-on ?
z
B
Δ
x
F
A
y
C
D
B
E
Exercice 446
Centrale 07- Le Berre
Les parois du cylindre et du piston mobile
Po , To
(sans frottement) sont calorifug´ees. Le piston est
R
Po , To
U(t)
solidaire d’une tige rigide reli´ee `
a une seconde tige
tige rigide
glissant sans frottement sur deux rails distants de
B
h. A t=0, on d´eplace le piston de xo << Lo . On
suppose les transformations thermodynamiques
Lo
r´eversibles.
1) Expliquer qualitativement ce qui va se passer. D´eterminer l’´equation diff´erentielle du mouvement du piston.
2) On donne les valeurs suivantes : Po = 1bar, Lo = 10cm, m=100g, γ = 1, 4, S = 10cm2 , R = 2Ω, B=1T
et h=5cm. Calculer le facteur de qualit´e Q puis montrer que Q >> 1. Simplifier alors l’´equation diff´erentielle et
donner l’expression de U (t).
3) Calculer son amplitude Uo pour xo = 1mm. Commenter. Comment peut-on d´etecter U (t) ? Que pensez-vous
de l’hypoth`ese de r´eversibilit´e ?
Exercice 447
Centrale 08 - Casse + Mines 13 Clochard
zone de champ B
Un cycliste physicien installe sur son v´elo un dispositif qui actionne un
´electroaimant quand il le d´ecide, et qui cr´ee ainsi un champ magn´etique sur
R1
α
un secteur angulaire α d’une de ses roues.
1) D´ecrire qualitativement le ph´enom`ene.
R2 circuit
de cuivre
O
2) Calculer la diminution de vitesse angulaire, en particulier pour un
tour de roue.
3) Combien faut-il de tours de roues jusqu’`a l’arrˆet ? Quelle est alors
la distance parcourue ?
4) Expliquer le ph´enom`ene parasite qui se produit en plus.
Donn´ees : Masse (cycliste+v´elo) M=80kg ; masse d’une roue m=1kg ; moment d’inertie d’une roue de rayon a
ma2
par rapport `
a son axe J =
; diam`etre d’une roue 2a=700mm ; R1 = 25cm ; R2 =30 cm ; α = 0, 2rad ; B=1T ;
2
section du fil de cuivre s = 2, 5mm2 , r´esistivit´e du cuivre ρ = 1, 5.10−8 Ω.m.
Exercice 448
CCP 12 - Sauti`ere
Un cadre m´etallique de cˆ
ot´es de longueur a parall`eles `a Ox et Oy, se d´eplace avec une vitesse initiale ~vo = vo ~ux
~ = Bo ~uz . D´eterminer l’´equation du
et entre dans la r´egion x > 0 o`
u r`egne un champ magn´etique uniforme B
~
mouvement dans la premi`ere phase du mouvement o`
u le cadre n’est pas enti`erement dans B.
Exercice 449
y
Centrale 08 - Douguet + Mines 13 Jacob B.
2
O
x
ma
Une barre de masse m, de longueur a, de rayon r, de moment d’inertie en O J =
, est
B
3
fix´ee en O `
a un axe Oy autour duquel elle peut tourner sans frottement. Elle est initialement
~ =
charg´ee avec une charge Qo et plac´ee dans un champ magn´etique uniforme permanent B
Bo ~uy . A t = 0, on relie O `
a la masse. La barre se d´echarge pendant un temps τ . On suppose la
charge q(t) uniform´ement r´epartie pendant la dur´ee τ .
z
1) Sans champ B, p´eriode des petites oscillations ?
2) D´ecrire qualitativement l’origine du mouvement de la barre. A quelle condition sur a, τ et g peut-on dire
que la barre est `
a peu pr`es immobile pendant la d´echarge ? On supposera cette hypoth`ese v´erifi´ee par la suite.
dq
3) Exprimer la densit´e de courant ~j(t) en fonction de
.
dt
4) Calculer la vitesse angulaire de la barre `a l’issue de la d´echarge. Commentaires ? Faire l’application
num´erique avec des valeurs r´ealistes.
13
Exercice 450
Centrale 11 - Riffaut
On consid`ere un cadre m´etallique horizontal et rectangulaire de dimensions L et 2L soumis `
a un champ magn´etique vertical et uniforme sur lequel
peut glisser sans frottements une barre m´etallique de mˆeme mat´eriau que le
cadre. Initialement, la barre co¨ıncide avec la droite (AB) et est lanc´ee avec
une vitesse vo selon l’axe Ox. Chaque ´el´ement du montage a une r´esistance
r par unit´e de longueur.
Donner une condition sur vo pour que la barre quitte le cadre.
A.N. en choisissant judicieusement les valeurs des diff´erents param`etres.
A
L
O
x
B
2L
Exercice 451
Centrale 11 - Martin
Une tige m´etallique de masse m glisse sans frottement sur deux rails parall`eles horizontaux distants de a, reli´es
~ La tige
par une bobine d’auto-inductance L. Le tout est plac´e dans un champ magn´etique vertical uniforme B.
reste constamment perpendiculaire aux rails. On donne une vitesse initiale vo `a la tige.
1) Equation du mouvement de la tige ? Bilan ´energ´etique. Commentaire.
2) Syst`eme ´electronique ´equivalent ? Commentaire ?
Exercice 452
TPE 11 - Guillon
Deux rails m´etalliques parall`eles distants de a sont inclin´es d’un
angle α sur l’horizontale, et reli´es par une r´esistance R. Une barre
conductrice de masse m glisse sans frottement sur les rails, tout en
restant perpendiculaire `
a la ligne de plus grande pente, dans une
~ On la
r´egion o`
u r`egne un champ magn´etique uniforme vertical B.
lache sans vitesse initiale.
1) Donner l’´equation du mouvement de la tige.
2) Bilan ´energ´etique.
Exercice 453
α
TelecomSudP 11 - Le Coz
La barre (2) est initialement immobile et on impose `a la barre (1)
une vitesse ~vo = vo~ex `
a partir de t = 0. La r´esistance totale du circuit
est R.
Mouvement de la barre (2) ?
Exercice 454
R
vo
B
a
(2)
x
(1)
CCP09 - Chevalier
y
Une tige m´etallique de masse m, de r´esistance R, ferme un circuit
i
auquel on impose une tension continue E. La tige se d´eplace sur
deux rails parall`eles distants de a, dont on n´eglige la r´esistance, tout
a
E
~ On
en ´etant soumise `
a un champ magn´etique vertical uniforme B.
n´eglige les frottements et on rep`ere la position de la tige par son
x(t)
abscisse x(t).
1) Calculer la fem induite.
2) Ecrire les ´equations m´ecanique et ´electrique du syst`eme.
3) Donner la vitesse vo de la tige en r´egime permanent et l’intensit´e io correspondante.
5) Mˆeme questions en consid´erant en plus des frottement sur la tige de la forme f~ = −α~v .
Exercice 455
B
X g
x
Mines 07 Urvoy + Mines 08 H´eraudeau
A
D
On consid`ere le dispositif des rails de Laplace ci-contre :
Les rails sont infinis, conducteurs, de r´esistance n´egligeable devant la
b
r´esistance R de l’ensemble des deux tiges. Chaque tige a une masse m et on
n´eglige les frottements.
C
B
1) On donne `
a la tige CD une vitesse constante ~vo . Montrer que la
a
barre AB aura tendance `
a acqu´erir une vitesse ~v (t) qu’on exprimera.
I=cste
2) A pr´esent, on donne `
a la barre CD une vitesse initiale ~vo et on
l’abandonne. D´eterminer les vitesses des deux barres.
3) Application num´erique : a=10 cm, b=50 cm, R = 150Ω, m=20g, I =10A, µo = 4π.10−7 . D´eterminer le
temps au bout duquel la barre CD aura atteint le dixi`eme de sa vitesse limite.
14
Exercice 456
Centrale 12 - Le Balc’h
Un cadre m´etallique de largeur a et de longueur l arrive dans un
demi-espace o`
u r`egne un champ B uniforme orthogonal au cadre, on
consid`ere que le cadre a une vitesse initiale vo . On n´eglige par ailleurs
l’influence du champ de pesanteur. Discuter du mouvement du cadre
et traiter l’aspect ´energ´etique du mouvement.
l
a
B
vo
Exercice 457
Centrale 10 Caill´e + Mines 13 Ertul
On s’int´eresse au freinage d’une luge ou d’un skeleton par induction.
patins
cadre
La luge arrive avec une vitesse horizontale vo sur une portion de piste de
métallique
~
longueur d o`
u r`egne un champ magn´etique uniforme vertical B = Bo ~uz . Un
L
l
cadre m´etallique de longueur L et largeur l est solidaire de la luge, form´e
d’un fil de section s et de r´esistivit´e ρ.
1) Pourquoi peut-on esp´erer un freinage ?
2) En distinguant les cas L > d et L < d, trouver les ´equations
diff´erentielles r´egissant le mouvement du syst`eme (luge+lugeur). Quelle est
Skeleton vu de dessus
la vitesse en sortie de zone ? Comment choisir d pour maximiser le freinage ?
3) On suppose L=d, vo = 30m.s−1 , m=100kg, Bo =1T, l=30cm, L=50cm, r´esistance du cadre : 10−2 Ω. Comment et combien de zones faut-il placer pour stopper la luge ?
Exercice 458
Mines 09 Evain
Deux barres de r´esistance R et de longueur identique a connue sont pos´ees sur des rails (de Laplace) orient´e
suivant ~ux et distants de a. Elles sont libres de glisser sans frottement suivant ~ux . On a un champ magn´etique
~ = B~uz vertical.
unifome B
On note x1 et x2 les absisses respectives des deux barres et on
donne :
x1 (0) = 0 ; x˙ 1 (0) = 0
x2 (0) = X > 0 ; x˙ 2 (0) = vo > 0
1) Donner x1 (t) et x2 (t).
2) Etat final ?
3) Bilan ´energ´etique
i
a
B
x (t)
x1(t)
x
2
Exercice 459
Centrale 10 Poulain
1) On impose `
a To une vitesse constante ~vo . Initialement ~v (T1 ) = ~0. D´eterminer ~v (T1 ) = ~v1 au cours du temps.
Quel est le temps τ caract´eristique ?
2) On impose `
a To un mouvement xo (t) = a sin ωt.
a) D´eterminer x1 (t) de T1 en r´egime permanent.
b) Diagramme de Bode de la fonction de transfert du rapport
B
L
m, R
m, R
des amplitudes. Pulsation de coupure ?
c) Repr´esenter les mouvements relatifs des deux tiges en basse
x
et en haute fr´equence.
T
T0
1
d) Oralement : bilan ´energ´etique. Commenter.
Exercice 460
Centrale 08-L’Her
~ Deux
Deux rails conducteurs horizontaux parall`eles sont plong´es dans un champ magn´etique vertical uniforme B.
tiges conductrices sont pos´ees sur les rails, perpendiculaires aux rails. Elles peuvent se d´eplacer sans frottement sur
les rails. On d´eplace une des deux tiges.
1) D´eterminer la quantit´e de mouvement de la seconde tige lorsque la premi`ere est de nouveau au repos.
2) Analogie ´electrocin´etique ? (Trouver un circuit et conclure).
3) Oralement : Rapprocher l’´equation de la loi de Lenz. Commenter.
Exercice 461
z
CCP 08 L’Her
(3)
Les trois fils sont infinis et parall`eles. Les fils (1) et (2) sont
parcourus par une mˆeme intensit´e I. Quelle doit ˆetre la valeur
de i pour que le fil (3) soit `
a l’´equilibre `
a une hauteur h ?
(2)
(1)
15
i
h
I
a
I
O
Exercice 462
Centrale 07 Owen+Delisle ; Centrale 09 Leduc
Dans un plan horizontal se trouve un cadre rectangulaire rigide form´e de deux rails tr`es longs. Une tige est
pos´ee perpendiculairement aux rails. Le mouvement du cadre et de la tige s’effectue sans frottement. La tige et le
cadre ont mˆeme masse m. La r´esistance de la tige est R/2. Le tout se trouve dans un champ magn´etique permanent
~
vertical B.
R=0,1 Ω
R/2
R
B
a
R/2
B=1T
m=100g
a=10cm
vo =100cm/s
1) A t=0, le cadre est immobile et la tige a une vitesse vo . D´eterminer l’´evolution des vitesses du cadre et de
la tige. Donner un ordre de grandeur du temps τ du r´egime transitoire.
2) Quelle est la puissance consomm´ee dans les r´esistances.
Exercice 463
Centrale 10 Charvin
Un circuit carr´e de cˆ
ot´e l a une r´esistance R et une capacit´e C. Il glisse sans frottement sur un plan horizontal
avec une vitesse ~vo parall`ele `
a un de ses cˆ
ot´es. A l’instant t=0, il entre dans une zone o`
u r`egne un champ magn´etique
~ Sa masse est m = l2 B 2 C. On note u la tension aux bornes de C.
vertical B.
1) D´ecrire qualitativement les ph´enom`enes et temps caract´eristiques.
2) Tracer u(t) et d´eterminer sa valeur maximale.
3) Faire l’application num´erique avec des valeurs `a justifier.
4) (Oralement)
- Si la longueur de la zone est l, que se passe-t-il ?
- Faire un bilan ´energ´etique.
Exercice 464
INT 08 Soulard
Un circuit est form´e d’une bobine torique de rayon moyen R et de section carr´ee de cˆot´e 2a comportant N
tours de fil. Il est parcouru par un courant i. Un second circuit est form´e d’un fil rectiligne infini situ´e sur l’axe de
r´evolution Oz du tore, qui se referme `
a l’infini. Il est parcouru par un courant I
1) D´eterminer le coefficient de mutuelle inductance M des deux circuits.
2) D´eterminer le coefficient d’autoinductance L du circuit torique.
Centrale 10 - Nicolas
On consid`ere des rails avec une r´esistance R et une inductance L sur
lesquels sont pos´es deux tiges T1 et T2 de masse m, de longueur l et de
r´esistance n´egligeable, le tout plong´ee dans un champ B constant perpendiculaire aux rails.
La tige 1 est soumise `
a une force f~1 = F cos(ωt)~ex et la tige 2 est soumise
a f~2 = F cos(ωt + ϕ)~ex .
`
1)
2)
3)
(autre
UUUUUU
Exercice 465
L
R
l
m
m
B
x
T
T2
1
Sans calcul donner le d´ephasage ϕ tel qu’on ait une amplitude du courant maximale et minimale.
D´eterminer l’amplitude de i en fonction de ω et v´erifier le r´esultat donn´e en 1)
Choisir des valeurs num´eriques et montrer s’il peut y avoir un maximum de l’intensit´e par rapport `
a ω
qu’en 0).
Exercice 466
CCP 08 - H´eraudeau
On consid`ere le dispositif des rails de Laplace ci-contre :
I
On note ~v1 = x˙ 1 ~ux et ~v2 = x˙ 2 ~ux
Le circuit a une r´esistance R. Le fil passant par O est parcouru par un
courant d’intensit´e constante I.
O
1) Calculer la fem induite, en fonction de x1 , x2 , x˙ 1 et x˙ 2 .
2) Calculer la puissance ´electrique dissip´ee dans le circuit.
3) Comparer cette valeur `
a la puissance des forces induites sur le circuit.
16
D
A
v1
a
B
x1
v2
C
x
x2
Exercice 467
CCP 08 - Douguet + CCP 13 Prod’Homme
La barre MN de longueur L et de masse m se d´eplace dans le champ
~ = B~uz . On n´eglige les frottements.
magn´etique horizontal B
1) En utilisant la loi de Lenz, indiquer le sens du courant dans le circuit
(on suppose qu’`
a t = 0 le condensateur est d´echarg´e).
2) Calculer la fem induite.
dv
. Qu’en d´eduit-on sur le choix
3) Trouver deux relations entre i et
dt
du sens de i ?
4) Calculer l’acc´el´eration a. Application num´erique : m=10g, B=0,5T,
l = 1m, C = 10−3 F, g = 9,81 m s−2 . Commentaires.
Exercice 468
Centrale 13 Maechler + Vincent
Le tube `
a fluorescence est sym´etrique. Il se comporte comme un interrupteur ouvert pour 0 < u < EA tension d’allumage. Lorsque u > EA , il
se comporte comme une r´esistance R tant que u > ER tension d’extinction
avec ER < EA .
Donn´ees : La tige a une longueur l=1,0m, une masse m, E=200V, B=0,5T.
1) On lˆ
ache la tige (longueur l, masse m) sans vitesse initiale `a l’instant
t = 0. Expliquer le ph´enom`ene. Comment doit-on brancher les deux parties
du circuit pour que u atteigne le plus rapidement EA ?
2) Le tube a` fluorescence change de comportement pour t = tA lorsque
la tige `
a chut´e d’une hauteur H=1,50m. Quelles grandeurs (`a calculer) peuton obtenir `
a partir de ces observations ?
3) Que se passe-t-il pour t > tA ? Etudier les diff´erents cas et repr´esenter
u(t) `
a chaque fois.
y
z
C
M
N
B
g
x
A
B
C
l
Exercice 469
CCP 10 Lambert + CCP 12 Cheloudko + CCP 13 Moreau
~ uniforme. La barre
On consid`ere la figure ci-contre o`
u r`egne un champ B
se d´eplace `
a une vitesse constante v selon Oy en glissant sans frottement
sur les droites conductrices D et D’.
1.a) Calculer la fem induite.
1.b) Donner le sens du courant.
ez
2.a) Le circuit a une r´esistance R proportionnelle `a la longueur totale
O
du circuit : R = K(OM + M N + N O). En d´eduire l’intensit´e du courant
en fonction de α, B, v et K.
ex
2.b) Calculer la puissance que l’op´erateur doit fournir pour d´eplacer la
barre. Comparer `
a la puissance dissip´ee par effet Joule.
B
D
u
Tube
fluorescent
E
tige
g
rails
conducteurs
M
(D)
barre mobile
α
α
y
B=B e z
N
(D')
Exercice 470
Centrale 10 Lambert
Deux spires conductrices S1 et S2 ont mˆeme axe Oz et des rayons respectifs a1 et a2 . S1 est fixe et parcourue
par un courant Io . S2 est libre de se d´eplacer sur Oz et de r´esistance R.
D´eterminer le temps de chute sur une hauteur h.
Exercice 471
Centrale 07 Barrau
Deux rails m´etalliques parall`eles, distants de L, sont inclin´es d’un angle α sur l’horizontale, et reli´es par une
r´esistance R. Une barre conductrice glisse sans frottement sur les rails, tout en restant perpendiculaire `
a la ligne
~
de plus grande pente Ox, dans une r´egion o`
u r`egne un champ magn´etique uniforme vertical B.
1) Montrer qualitativement que la vitesse de la tige tend vers une vitesse limite vo et donner son expression.
2) Repr´esenter x(t). Proposer une constante de temps τ . Donner un moyen graphique de d´eterminer τ .
3) Faire un bilan ´energ´etique.
4) En admettant que le syst`eme ext´erieur reste `a une temp´erature constante To , calculer, pour t >> τ , la
cr´eation d’entropie par unit´e de temps.
Exercice 472
Mines 07- Urvoy
On consid`ere deux rails conducteurs parall`eles de r´esistance nulle sur lesquels sont pos´ees perpendiculairement
aux rails deux tiges CD et C’D’ , l’ensemble des deux tiges ayant une r´esistance R. Un fil infini parcouru par un
courant I est dans le mˆeme plan que les rails, `
a l’ext´erieur des rails, `a une distance a du premier et b > a du second.
1) On d´eplace C’D’ avec une vitesse vo . Montrer que CD va se d´eplacer. D´eterminer sa vitesse v(t).
2) Initialement C’D’ a une vitesse vo et CD est immobile. D´eterminer v(t) et v 0 (t) des deux tiges.
3) Effectuer un bilan ´energ´etique.
17
Exercice 473
Mines 13 Vincent
Formules trigonom´etriques fournies.
Un circuit ´electrique carr´e de cˆ
ot´e l et de r´esistance R se d´eplace selon Ox `a la vitesse c, tout en restant
perpendiculaire `
a Oz.
~ = Bo cos(ωt − ωx )~uz .
Il r`egne un champ magn´etique B
v
1) Quelle est la structure du champ ?
2) Etudier le mouvement du circuit ´electrique. (Force motrice ou r´esistante ? Comportement asymptotique ?)
Exercice 474
Centrale 07 Thiberville
On consid`ere une tige conductrice T de masse m reposant sur deux rails parall`eles horizontaux distants de a. Le
circuit est ferm´e par un g´en´erateur de fem e = eo cos(ωt). La tige est reli´ee `a un ressort de constante de raideur k
et de longueur `
a vide lo , dont l’autre extr´emit´e est fixe. L’ensemble est plong´e dans un champ magn´etique vertical
uniforme. La r´esistance totale du circuit est R constante.
(T)
a
(k, lo )
B
e(t)
1) Montrer que le mouvement de la tige est celui d’un oscillateur harmonique amorti en r´egime sinuso¨ıdal
forc´e. Donner les expressions de ωo et Q.
ω
Vm
en fonction de
o`
u Vm est
2) On donne le trac´e de
Vo
ωo
1.0
eo Ba
l’amplitude de la vitesse et o`
u Vo = √
= Xo ωo .
0.8
R mk
D´eduire du graphe la valeur de Q.
0.6
3) Les conducteurs sont en cuivre de conductivit´e γ =
6.107 S.m−1 . On souhaite que la r´esistance soit concentr´ee le
0.4
plus possible dans la tige. Faut-il une tige de petit ou de grand
0.2
diam`etre ?
4) On donne R = Rtige = 3Ω, a=4cm. Calculer la section
0
1
2
3
4
de la tige.
5) D´efinir la bande passante du syst`eme. Etablir un bilan ´energ´etique.
Exercice 475
Centrale 07 Rames + Centrale 08 Vic + Centrale 11 Plessis
AE, BF, DH, et CG sont des barres parfaitement conductrices parall`eles entre elles, et font
L
un angle α avec l’horizontale. T1 et T2 sont des
B
A
barres conductrices de r´esistance R.
Ce syst`eme est plac´e dans un champ magn´etique
~ permanent vertical.
B
On dispose de 2 fils pour relier des points de
T1
(ABCD) et de 2 fils pour relier des points de
C
D
(EFGH). Initialement T2 repose sur la but´ee.
1) Comment positionner les fils pour que T2
T2
quitte la but´ee quand on pose T1 ? Conditions sur
les diff´erents param`etres ? Le d´ecollement est-il
g
B
imm´ediat ?
2) On suppose les rails tr`es longs et que le
d´ecollement se produit. D´ecrire le mouvement des
barres au bout d’un temps tr`es long.
18
butée
E
F
H
G
Exercice 476
Centrale 12 Denimal + Drissi
R
On consid`ere des tiges pouvant glisser sans frottements sur
deux rails horizontaux dans un champ uniforme B. Toute la
r´esistance du circuit est mod´elis´ee par des r´esistances R.
1) Donner les ´equations diff´erentielles du mouvement Xj
de la tige (j).
2) R´ealiser le passage en continu et donner les ´equations
aux d´eriv´ees partielles v´erifi´ees par X(x,t) pour une position
initiale en x. A l’oral : quelle est cette ´equation ?
R
B
Exercice 477
Centrale 10 - Mauger
On cherche `
a v´erifier la loi de Faraday sur l’induction. On fait remonter
un aimant `
a travers une bobine plate grˆ
ace `
a une perceuse et on observe
0.5
la tension u(t) aux bornes de la bobine. Le profil observ´e est repr´esent´e
ci-contre.
-2
-1
On suppose que l’aimant remonte `
a vitesse constante ~v = v~ez suivant
l’axe de r´evolution de la bobine. La bobine est filiforme. L’aimant est assi-0.5
~ = M~ez qui g´en`ere un champ
milable `
a un dipˆ
ole magn´etique de moment M
µ
M
o
~ =
(2 cos θ~er + sin θ~eθ ) en coordonn´ees sph´eriques.
B
4πr3
1) A l’instant initial , u = 0. Quelle est la position de l’aimant `a cet instant ?
2) Pourquoi l’exp´erience ne correspond-elle pas exactement `a la r´ealit´e ?
Ct
3) Montrer que u(t) est de la forme
. A l’aide d’un logiciel, d´eterminer M et v.
(1 + Dt2 )5/2
1
2
Exercice 478
Centrale 10 - Hautbois
Soit un sol´eno¨ıde infini de rayon b parcouru par un
courant i(t) = Im cos(ωt). On y place une tige cylindrique creuse d’aluminium de mˆeme axe, de rayon a,
b
a
d’´epaisseur e << a et de longueur L >> a. Pour n´egliger
z
i(t)
les effets de bord, on ´etudie la tige entre les abscisses z1
z2
z1
~ 1 le champ magn´etique pour r ∈ [0, a[,
et z2 . On note B
~ 2 le champ magn´etique pour r ∈]a, b] et B et B les
B
1
2
L
grandeurs complexes associ´ees.
−7
−1
7 −1 −1
Donn´ees : µo = 4π10 H.m ; a=2 cm ; γ = 3, 8.10 Ω m .
1) Expliquer l’apparition de courants surfaciques orthoradiaux puis calculer la densit´e de courant surfacique
pour a >> e.
B
2) En d´eduire 2 . D´eterminer la pulsation de coupure. On mesure fc =28 kHz. En d´eduire e.
B1
3) Oralement : pouvait-on pr´evoir le type de filtre ?
Exercice 479
Centrale 13 R´egnard
On a un cerceau de rayon R centr´e sur l’axe Oz isolant, de masse m, sur lequel on a une charge Q uniform´ement
r´epartie. A l’instant t = 0, il est anim´e d’une vitesse Vo selon z.
2
~ = Bo (1 − z )~uz + Bo r z ~ur avec a une distance fix´ee (diff´erente de R)
Il est soumis au champ B
a2
a2
1) Montrer que le cerceau se met `
a tourner autour de l’axe, tout en restant perpendiculaire `a celui-ci (il a
beaucoup insist´e sur la d´emonstration pour montrer qu’il restait perpendiculaire `a l’axe). Exprimer la vitesse de
rotation ω en fonction du d´eplacement z du cerceau.
2) D´eterminer l’´equation du mouvement du centre du cerceau
3) R´esoudre cette ´equation `
a l’aide du logiciel de calcul formel.
Exercice 480
CCP 10 - Zannane
Soit une sph`ere de centre O et de conductivit´e ´electrique γ. Elle est plong´ee dans un champ magn´etique uniforme
~ o = Bo sin(ωt)~ez .
B
~ o . D´eterminer la densit´e de courant ~j.
1) On n´eglige le champ magn´etique induit devant B
2) D´eterminer PJoule .
3) D´eterminer le champ induit en O.
19
Exercice 481
Centrale 09 - Fr´eour
Un sol´eno¨ıde infini d’axe Oz et de centre O comporte n spires par unit´e de longueur. A l’int´erieur, en O, se trouve
une tige de longueur l, de masse m, de charge lin´eique λ, pouvant tourner autour de Oz qui lui est perpendiculaire.
ml2
Le moment d’inertie de la tige par rapport `
a Oz est J =
.
12
Le courant dans le sol´eno¨ıde passe de Io a` 0.
1) Expliquer pourquoi la tige initialement immobile se met en mouvement.
2) D´eterminer la vitesse finale.
3) Faire une application num´erique pour ´evaluer la vitesse finale. Commentaire ?
Exercice 482
Mines 09 - Bouacida
~ variable. Elle s’´echauffe.
1) Une plaque de cuivre de conductivit´e γ est travers´ee par un champ magn´etique B
Pourquoi ?
2) Citer une exp´erience de cours sur les courants de Foucault.
3) Influence sur la conception industrielle ?
Exercice 483
CCP 10 - Jumpertz
Soit un m´etal de conductivit´e γ = 6.107 Ω−1 m−1 . occupant le demi-espace y ≥ 0. Le champ pour y < 0 passe
~ o = Bo ~ux .
brusquement de ~0 `
aB
~ en ARQS ? (Oralement : loi de Maxwell et d´emonstration)
1) Equation v´erifi´ee par B
d2 B
dB
y
= f (Γ)
. Donner l’expression de f (Γ). (Oralement :
2) On pose : Γ = √ . Montrer que B v´erifie :
2
dΓ
dΓ
t
parall`ele avec l’´equation de la chaleur ?)
√
Z ∞
2
dB
π
3) Montrer que
= F exp(−α2 Γ2 ). En d´eduire B. Expliciter α et F . On rappelle que
.
e−x dx =
dΓ
2
0
Allure de B(t) a` y fix´e ?
4) Calculer la densit´e de courant ~j.
Exercice 484
TPE 09 - Bouacida
e
Une plaque est form´ee d’un empilement de lamelles rectangulaires (largeur e, longueur l), conductrices de r´esistance r, isol´ees entre elles sauf aux
extr´emit´es. Elle se d´eplace avec une vitesse ~v = v~ez Une portion carr´ee de
~ = B~ey
cˆ
ot´e a est soumise `
a un champ magn´etique B
1) Quelle est la tension aux bornes d’une lamelle ?
2) Quelle est l’intensit´e dans une lamelle ?
3) Que vaut la force de Laplace exerc´ee sur la plaque ? Commenter.
4) Que vaut la puissance ? Commenter.
Exercice 485
Mines 07- Perigaud
Un haut-parleur ´electrodynamique est compos´e d’un aimant cr´eant
~ radial dans un entrefer annulaire, d’une
un champ magn´etique B
bobine cylindrique comportant N spires dans l’entrefer. Toutes les
spires sont donc plong´ees dans le champ radial et en tout point de
~ est perpendiculaire `
chaque spire, B
a la spire et de mˆeme norme. La
r´esistance du circuit est R, son coefficient d’autoinductance est L.
Cette bobine peut subir de faibles d´eplacements axiaux selon Ox. La
bobine est solidaire d’une membrane qui peut osciller autour d’une
position moyenne grˆ
ace `
a un ressort de raideur k. La masse de l’ensemble (bobine+membrane) est m. La longueur totale du bobinage
est l.
L
z
y
x
a
l
i
R, L
B
i
x
E
B
1) On fait circuler un courant i(t) dans la bobine. La membrane subit de la part de l’air une force de frottement
dx
de mesure alg´ebrique −h
sur l’axe Ox, avec h > 0 et une force F~ = F ~ex . La bobine est reli´ee `a une source de
dt
tension de f.e.m. E(t). Ecrire les ´equations diff´erentielles coupl´ees v´erifi´ees par x(t) et i(t).
dU
2) Montrer qu’il existe une fonction U telle que
= F.v +Ei−hv 2 −Ri2 . Signification physique des diff´erents
dt
termes ?
20
UUUUU
Exercice 486
Centrale 13 Monnerie
On consid`ere un sismographe constitu´e d’un ressort
de raideur k et d’un amortisseur exer¸cant une force rez
lative f = h|v| o`
u v est la vitesse de ses extr´emit´es. Au
bout du syst`eme (ressort+amortisseur) est fix´e un cylindre de masse m qui est aussi un aimant : le cylindre
int´erieur est le pˆ
ole nord et le cylindre ext´erieur le pˆole
N
sud. On a N spires enroul´ees autour du cylindre int´erieur
constituant le circuit ´electrique. L’autre extr´emit´e du
syst`eme (ressort+amortisseur) est fix´ee au bˆ
ati. Les ondes
S
S
sismiques donnent au sol une acc´el´eration ~a = γo cos(Ωt)~ez
N
o`
u l’axe Oz est selon la verticale ascendante. Les lignes
FIGURE 2
de champ de l’aimant sont repr´esent´ees sur la figure 2.
FIGURE 1
La position d’´equilibre correspond `
a z = 0.
1) On suppose le circuit ouvert.
a) Montrer que l’´equation v´erifi´ee par z est de la forme z¨ + 2ξωo z˙ + ωo2 z = −γo cos(Ωt). On explicitera ξ et
ωo en fonction de h, k et m.
b) Donner la force ´electromotrice induite u. Donner la fonction de transfert complexe en r´egime harmonique :
u
K = . Quelles sont les caract´eristiques de K ? Qu’en pensez-vous ?
γo
2) Le circuit est d´esormais ferm´e sur une r´esistance R et parcouru par un courant i(t).
a) Quelle est la force que l’aimant exerce sur les spires ?
b) On supprime l’amortissement fluide. EtablirR la nouvelle ´equation du mouvement.
c) On ne mesure pas l’intensit´e en sortie mais i(t)dt grˆace `a un int´egrateur. Pourquoi ? (comparer avec le
cas pr´ec´edent))
Exercice 487
Centrale 12 - Chouteau
y
Une bobine de rayon a comportant N tours de fils, de
ω
r´esistance R, d’auto-inductance n´egligeable, se trouve `a une
−
→
distance x >> a d’un dipˆ
ole magn´etique M.
O
x
a
M
µo ia2
~ spire =
On donne le champ cr´e´e par la bobine B
~
e
x
z
2(r2 + x2 )3/2
~ M = µo M (2 cos θ~er + sin θ~eθ )
et par le dipˆ
ole B
4πr3
1) Calculer le flux du dipˆ
ole `
a travers la spire. Indication : On peut assimiler le dipˆole `a une spire de surface
s tr`es faible.
2) Calculer le courant induit dans la bobine quand l’aimant tourne `a une vitesse ω autour de Oz.
3) Montrer que le courant induit sur l’aimant un couple de freinage dont on donnera la valeur moyenne.
Exercice 488
Centrale 08 - Le Douget
b
Un cˆ
able de tr`es grande longueur, parall`ele `a Oz, est
C=10nF
parcouru par une intensit´e I uniform´ement r´epartie en
I
R=1kΩ
volume. Le rayon du cˆ
able est a = 1cm. On dispose un
+
D
cadre carr´e de cˆ
ot´e b = 5cm dans le plan xOz `a une
us
distance D du cˆ
able. Il est constitu´e de n = 100 spires
de fil de conductivit´e γ = 6.107 S.m−1 . On r´ealise le
montage ci-contre o`
u D >> a et D >> b :
1) D´eterminer la puissance consomm´ee dans le cˆable par unit´e de longueur lorsqu’on proc`ede `a chacune des
exp´eriences suivantes :
a) On retourne le cadre. A la fin de cette exp´erience us = u1 =5V.
3
b) A partir de cette position, on translate le cadre dans son plan d’une longueur L=10m. A la fin, us = u1 .
4
2) On donne les valeurs du champ magn´etique terrestre : composante verticale BT v = 58µT et composante
horizontale : BT h = 47µT. Celui-ci a-t-il une influence sur les mesures pr´ec´edentes ?
3) Supposons que le champ terrestre est du mˆeme ordre de grandeur que celui cr´e´e par le fil. Comment doit-on
orienter le cadre pour que le champ magn´etique terrestre n’influe pas sur les mesures ?
21
k=3
Exercice 489
Mines 10 Joubert (1))
y
Mines 09 - Leduc +
On consid`ere une bobine plate de N spires
(figure 1), de surface S, tournant autour de
l’axe Oz avec une vitesse angulaire ω 0 . Son
auto-inductance est L et sa r´esistance R.
n
ω’t
O
k=2
i3
Θ3
x
Θ2
O
figure 2
figure 1
i2
x
i1
k=1
2π
1) On consid`ere M sol´eno¨ıdes identiques parcourus par un courant ik = Io cos(ωt − (k − 1)), pour k ∈ [1, M ],
M
2π
~
(k − 1) avec Ox (figure 2). Montrer que le champ cr´e´e en O, B(O)
est une
et dont les axes font un angle θk =
M
champ tournant `
a la vitesse angulaire ω.
2) On se place dans le cas ω 0 6= ω et on note Ω = ω − ω 0 et φo = N B(O)S. Calculer la valeur moyenne < Γ >
du couple exerc´e sur la bobine et tracer la courbe < Γ >= f (ω 0 ). Quand le couple est-il moteur et quand est-il
r´esistant ? Justifier.
3) La bobine est soumise en plus `
a un couple r´esistant de frottement fluide de module |Γf | = α + βω 02 avec
0
α < (< Γ(ω = 0) >). Tracer la courbe |Γf | = f (ω 0 ) sur le graphe pr´ec´edent. Y a-t-il des positions d’´equilibre ?
Sont-elles stables ou instable ?
Exercice 490
z
Mines 08 - Raimbaud
Le moteur est constitu´e d’une partie fixe (stator) et d’une partie
mobile (rotor). Ce dernier est compos´e d’une bobine plate de surface
totale S, de r´esistance R, d’autoinductance L. La normale ~n `a la
bobine fait un angle ωt + α avec ~ux , α ´etant constant.
La bobine est parcourue par un courant i.
ω t +α
n
R = 10Ω, L=0,1H, S = 25m2 .
x
ωot
~
Le stator cr´ee un champ tournant B = Bo (cos(ωo t)~ux +sin(ωo t)~uy )
B
Bo = 5.10−2 T, ωo = 100rad.s−1 .
1) Calculer le couple ~Γ(t) induit par le champ magn´etique, puis sa valeur moyenne < Γ(t) >= Γm
2) Tracer Γm en fonction de ω.
3) On introduit un couple r´esistant −Γo ~uz . Quel est le comportement du moteur
- au d´emarrage ?
- au bout d’un temps tr`es long ?
Pourquoi le syst`eme est-il consid´er´e comme moteur ?
4) Calculer la puissance moyenne du moteur.
y
Exercice 491
ENSIIE 08 - Raimbaud
Une barre verticale AB se d´eplace sans frottement le long de deux rails horizontaux parall`eles conducteurs de
~ = dx ~ex , sa longueur AB=L.
r´esistance consid´er´ee comme nulle. La r´esistance de la barre est R, sa vitesse V
dt
1) Calculer la fem induite.
2) Calculer la force exerc´ee sur la barre. En d´eduire l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par V en consid´erant que
la barre n’est soumise qu’`
a cette force.
3) On note Vo = V (0) la vitesse initiale. Int´egrer l’´equation pr´ec´edente. De quelle distance D la barre s’est-elle
d´eplac´ee ?
4) Calculer l’intensit´e I(t). En d´eduire l’´energie dissip´ee par effet Joule. Interpr´etation ?
Exercice 492
X 07- Laurent
Une spire horizontale torique a un diam`etre D et une section de diam`etre d. Sa masse volumique est µ et sa
~ = Bo (1 + kz)~uz .
r´esistivit´e ρ. Elle tombe dans un champ magn´etique vertical B
D´eterminer la vitesse limite de la spire.
22
Exercice 493
X 11 - Fard
~ un dipˆ
Soit M
ole magn´etique centr´e en O restreint `a tourner selon l’axe Oz. On note
~ T = BT ~ux le vecteur champ magn´etique terrestre constant. On place autour du dipˆole
B
une spire de centre O dans le plan xOz.
~ Pulsation des petites oscillations (la spire ne joue
1) Position d’´equilibre de M.
aucun rˆ
ole ici) ?
2) On fait passer un courant I constant dans la spire. Mˆemes questions. Physiquement, `
a quoi correspond la position d’´equilibre stable ?
3) On n’impose plus de courant dans la spire. Qualitativement que va-t-il se passer ?
A quoi correspond le nouveau terme dans l’´equation du mouvement ?
y
M
O
z
BT
Exercice 494
X 12 - Berthou
On consid`ere une nappe de conductivit´e γ, d’´epaisseur e selon x, infinie selon y et z. En x → 0, on impose un
~ = Bo cos(ωt)~ez . Que se passe-t-il ?
champ B
Exercice 495
ENS 12 - Berthou
On consid`ere deux cylindres coaxiaux de rayons respectifs a et b, porteurs d’une charge Q et –Q. On installe
une bobine de rayon r (r quelconque) coaxiale `a ces deux cylindres, poss´edant n spires par unit´e de longueur et
parcourue par un courant i.
On fait varier i ; d´ecrire le comportement du syst`eme. Quand i tend vers 0, d´eterminer les caract´eristiques
cin´etiques du syst`eme `
a l’infini (dans le temps). Les moments cin´etiques sont-ils oppos´es ? Pourquoi ?
23
x

Document 5414113

TD 11

Document 5413612

Programmation - L`Autre Cinéma

télécharger le PDF

Les suites numériques

G GEC ALSTHOM TRANSPORT SA

Concours blanc MP - Type CCP Math´ematiques 2

ICE-VIBE

TD - 2014 - LOLB - M - Physique Chimie au lycée par Wahab Diop

Syllabus de latin - Athénée Léon Lepage

G R A ND AMPH I

TP PHP (/HTML/CSS/PostgreSQL)

Université Ibn Zohr Faculté Polydisciplinaire Ouarzazate, Maroc

Syllabus 2013-14 - Sites.uclouvain.be

Exercices types Algorithmique et simulation numérique

Olivier CHÉTELAT - Infoscience

Correction - TD n˚20 - Conversion électromécanique de puissance 1

Brochure Quick-Lock-Belge

Révisions pour les oraux Classe de MP, lycée Cézanne.