Energie (Ex)

PCSI 2
Energie
ENERGIE
I Un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'une tige OM de longueur a, de
masse négligeable, mobile sans frottement autour d'un axe horizontal passant par O.
Soient OA et OB les positions d'équilibre stable et instable de OM.
1) La tige est abandonnée sans vitesse, M étant très légèrement à gauche de B.
Quelle est la vitesse vA de M à son passage en A en fonction de g (accélération de la
pesanteur) et a ?
2) Au passage en A, M se détache de la tige et se met à glisser sans frottement sur une
demi - sphère de centre 0 et de rayon a.
a) Etablir l'équation différentielle du mouvement de M sous la forme :
(dθ/dt)2 = 2 ω2 ( 1 + cos θ ) en précisant la valeur de ω2 en fonction de g et
a.
b) Résoudre cette équation différentielle pour obtenir la loi du mouvement de M sur
la sphère sous la forme ω t = f(θ) en précisant l'expression de la fonction f(θ).
On rappelle les formules suivantes :
dx
x π
= Ln tan( + ) .
cos 2 x = 2 cos 2x - 1
et
cos x
2 4
3) Calculer la réaction R de la sphère en M en fonction de θ.
Montrer qu'en un certain point C, M quitte la sphère. Calculer l'angle correspondant θC, la vitesse de M en C et exprimer
numériquement en fonction de To = 2π/ω la durée T qui sépare les passages en A et en C.
€
4) Décrire brièvement le mouvement ultérieur de M.
∫
Réponse : vA = 2 ga ; ω =
x π
g
; f(θ) = Ln tan( + ) ; R = m g ( 2 + 3 cos θ ); vC =
2 4
a
2ga
; T = 0,246 To.
3
II L'objet
€ de ce problème consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation (changement du
€ d'équilibre,
€
€ de la position d'équilibre stable, ...).
nombre de positions
On s'intéresse au système mécanique suivant : un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide lo
et de constante de raideur k. La masse peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige (figure 1). On repère la position de la
masse m sur cette tige par l'abscisse x dont l'axe est confondu avec la tige, et dont l'origine O est située sur la même verticale que le
point d'attache R fixe du ressort.
La tige se trouve à une distance l du point R : OR = l.
k
On posera ωo =
.
m
y
€
R
g
Figure 1
M
O
x
m
A. Positions d'équilibre
1) Initialement le point matériel M se trouve en O et OR = lo. Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de
positions d'équilibre et la stabilité de celles-ci suivant qu'on rapproche la tige du point R (c'est-à-dire l < lo) ou qu'on éloigne la tige
du point R (l > lo).
2) On considère maintenant OR = l (quelconque). Déterminer l'énergie potentielle élastique Ep(x) en fonction de k, lo, l et x. On
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prendra Ep(0) = 0.
3) Expliquer dans le cas général où l'énergie potentielle Ep d'un point matériel de masse m ne dépend que d'un seul paramètre (dans
ce problème, il s'agit de x), quelles sont les conditions sur Ep en un point d'équilibre stable. On dessinera l'allure de Ep(x) pour un
équilibre stable et un équilibre instable.
4) Déterminer en utilisant les questions 2 et 3, les positions d'équilibre xe de la masse m en distinguant les cas l > lo et l < lo. Dans
chaque cas, préciser si la position d'équilibre est stable ou non.
5) Tracer, sur un même graphe, xe en fonction de la distance OR = l. On précisera sur le graphe la nature de l'équilibre (stabilité ou
instabilité). Pouvez-vous justifier alors le nom donné à la bifurcation (existant en l = lo) : bifurcation fourche.
B. Pulsation autour d'une position d'équilibre stable
On cherche maintenant à déterminer les pulsations des oscillations autour des positions d'équilibre stable.
1) En écrivant le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel de masse m, montrer que la pulsation s'exprime
sous la forme générale :
2
1 d Ep
ω2 =
(
)(x=xe )
m dx 2
On pourra écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le cas général où la force dérive d'une énergie potentielle Ep en
développant celle-ci à l'ordre 2 en ε = x - xe au voisinage proche de la position x = xe d'équilibre.
2) Pour le système étudié, exprimer maintenant ω2€
en fonction de k, m, l et lo. On distinguera les cas l > lo et l < lo.
2
3) Tracer ω en fonction de l.
4) Montrer qu'au voisinage de l = lo, on peut écrire la pulsation sous la forme :
l > lo : ω = a ( l - lo )α
l < lo : ω = b (lo - l )α'
Déterminer les exposants, dits critiques, α et α' ainsi que les coefficients a et b.
5) On s'intéresse au cas limite où l = lo. On lâche la masse m sans vitesse initiale, écartée d'une distance x(0) = xo.
a) Montrer graphiquement que le mouvement est périodique.
b) Par une méthode énergétique, exprimer la vitesse de la masse en fonction de x, xo, k, m et lo.
1
c) Exprimer la période des oscillations en fonction de ωo, xo, lo et de l'intégrale I =
∫
0
du
1− u 4
dans l'hypothèse où xo est très
petit devant lo.
d) Peut-on dire que cet oscillateur est harmonique ?
€
C. Discussion
1) Le point matériel M est également relié à un autre ressort identique au premier, fixé lui aussi sur l'axe Oy à une distance l de la
tige mais symétriquement à R par rapport à l'axe Ox. Qu'est-ce qui change par rapport à l'étude précédente ?
2) M n'est attaché qu'à un seul ressort, mais la tige Ox n'est pas tout à fait horizontale : elle est inclinée d'un petit angle θ. Y-a-t'il un
terme nouveau dans l'énergie potentielle ? Dessiner l'allure de Ep(x) pour l < lo dans ce cas. Quelle est la conséquence principale
sur les positions d'équilibre ?
1
k ( x2 - 2 lo x 2 + l 2 + 2 l lo ); xe = 0 existe toujours et stable si l > lo; xe = ±
2
k
l2
2
ω
k
l
ω2 =
et α' = 1/2;
(1− 0 ) si l > lo; ω2 = (1− ) si l < lo; a = 0 et α = 1/2; b = ωo
m
l0 2
lo
m
l
l0
€
€
8l0 I
k€
2
2
2
2
2
2
1/2
v=
[ ( (l0 + x 0 - lo ) - ( (l0 + x - lo ) ] ; T =
.
ω0 x0
m
€
€
€
€
Réponse : Ep(x) =
€
III€Au tri postal
€
(l0 2 − l 2 si l < lo et stable;
€
On étudie un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal.
1) Les colis sont d’abord déchargés par un tapis roulant à la vitesse vA. Les colis glissent ensuite sur un plan de hauteur h incliné
d’un angle α par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement solide entre les colis et le plan incliné est f. Les colis sont
ensuite pris en charge au niveau du point B par un nouveau tapis roulant. Ce tapis avance à la vitesse vB. Le convoyeur fonctionne
correctement si les colis arrivent au point B avec la vitesse du deuxième tapis roulant.
a) Donner l’expression littérale de l’angle α qui permet un bon fonctionnement du convoyeur.
b) Application numérique : vA = 5 m.s-1 ; vB = 4 m.s-1 ; g = 10 m.s-2 ; h = 2 m ; f = 0,1. Calculer α en degrés.
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A
ey
ex
α
ey’
h
ex’
α'
B
C
2) A l’issue de leur trajet sur le deuxième tapis, les colis arrivent avec la vitesse vC (vC = vB) sur un nouveau plan incliné (angle α’
par rapport à l’horizontale, coefficient de frottement f) afin d’être récupérés.
a) Quelle est l’expression littérale de la distance D parcourue par le colis avant qu’il ne s’arrête ?
b) A quelle condition sur α’ le colis reste-t-il ensuite immobile ?
c) Dans le cas contraire, quelle est l’expression littérale de l’accélération γx’ du colis lors de sa redescente ?
d) Application numérique : α’ = α puis α’ = 10°. Calculer dans les deux cas la valeur numérique de D, et de γx le cas échéant.
f
Réponse : tan α =
1−
vB 2 − vA 2
2gh
; α = 4,7° ; D =
avec γx’ = -0,75 m.s-2.
€
€
vo2
; tan α’ < f ; γ x' = −g cos α ' ( tan α ' − f ) ; D = 4,4 m ; D = 2,9 m
2g(sin α ' + f cos α ')
€
€ On assimile à un point matériel M de masse m un petit anneau
IV
z
susceptible de coulisser sans frottement le long d'un cercle fixe de
centre C et de rayon a contenu dans le plan vertical. Porteur d'une
A (Q)
charge q, M subit l'action d'une charge Q fixée au point A du cercle
de cote maximum. Il subit donc entre autres une force électrique
!
qQ AM
s’écrivant F =
, qui dérive de l’énergie potentielle
4 πε o AM 3
g
qQ
θ/2
électrique E pe =
.
4 πε o AM
I
On
se
propose
d’étudier
les
mouvements
possibles
de
M
en
utilisant
€
C
la méthode énergétique.
1) Effectuer le bilan des forces s’exerçant sur le point M.
€ 2) Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur
rayon a
E pp du point M
θ
a) en fonction de m, g (accélération de la pesanteur) et z cote
H
du point M). L’axe Oz est pris vertical, ascendant, avec
M (m, q)
origine en O (point du cercle de cote minimum). La
référence de cette énergie potentielle sera prise en O.
b) en fonction de m, g, a et θ.
O
3) Exprimer l’énergie potentielle électrique E pe en fonction de
θ
l’angle θ, où plutôt en fonction de
. On pourra pour cela
2
utiliser avantageusement la figure, et en particulier le point I, projection orthogonale du centre C du cercle sur le segment AM.
€ l’énergie potentielle réduite totale du point M, quantité sans dimension, définie par la relation
4) Déduire des questions précédentes
Ep
E pp + E pe
€ .
suivante : u =
=
mga
mga
4 λ3
Montrer qu’elle se met sous la forme u(θ ) = −
+ 1− cos θ , en précisant l’expression de λ3.
θ
cos
2
€
Justifier rapidement le fait que la constante λ soit sans dimension à partir de son expression.
⎛
⎞
du(θ )
θ ⎜
θ
λ3 ⎟
5) Montrer que u' (θ ) =
€ = 2sin ⎜ cos −
⎟ .
dθ
2 ⎜
2 cos 2 θ ⎟
⎝
2 ⎠
6) Chercher la(les) position(s) d’équilibre possible(s) pour le point M dans les trois cas suivants (le dispositif étant symétrique par
€
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rapport à la verticale OA, on se limitera au domaine [0, π[ pour θ) :
(α) : λ < 0 ;
(β) : 0 < λ < 1 ;
(γ) : λ > 1.
7) A l’aide de l’étude précédente, on trace la fonction u(θ ) dans les trois cas précédents :
€
(α) : λ < 0
€
(β) : 0 < λ < 1
(γ) : λ > 1
Reproduire l’allure de ces courbes. Indiquer dans chaque cas sur le graphe les positions d’équilibre, en précisant leur nature (stable
ou instable).
Indiquer qualitativement la nature du mouvement du point M quand il est lancé du point O avec une vitesse initiale.
8) Dans le cas où θ = 0 est une position d'équilibre stable, on cherche à déterminer la période T des petites oscillations au voisinage
de cette position.
dθ
a) Exprimer l’énergie cinétique Ec de M en fonction de m, a et θ˙ =
.
dt
b) Effectuer un développement limité de u à l’ordre 2 en θ.
On pourra utiliser certaines des formules suivantes :
€β
ε2
(x − x o ) 2
cos ε ≈ 1−
et (1 + ε ) ≈ 1 + βε pour ε << 1; formule€de Taylor f (x) = f (x o ) + ( x − x o )[ f ' (x)] x +
[ f " (x)] x o + ... .
o
2
2
c) En déduire l’expression de l’intégrale première de l’énergie. Justifier rapidement le fait que l’énergie mécanique du système
soit constante au cours du mouvement.
d) En déduire
l’équation différentielle du mouvement au voisinage de θ = 0.
€
€ en fonction de a, g et λ, puis en fonction de λ et T (période propre
e) En déduire la période T des petites oscillations, d’abord
o
du pendule simple de longueur a).
Réponse : λ3 = −
qQ
;T=
32πε o mga 2
T0
1− λ3
.
V Interaction entre atomes de gaz nobles
€ veut comprendre l’évolution
€
On
de quelques propriétés physiques des gaz nobles de la dernière colonne de la classification périodique
des éléments : hélium, néon, argon, krypton et xénon, notés par la suite par leurs symboles chimiques : He, Ne, Ar, Kr et Xe. Ces corps
sont sous forme gazeuse à pression et température ambiante et liquide à des températures très basses. Le tableau ci-dessous récapitule
certaines de leurs caractéristiques :
Atome
Masse molaire (g.mol-1)
Masse volumique (kg.m-3)
Température d’ébullition (K)
σ (Å)
ε/kB (K)
He
4,00
125
4,20
2,63
5,46
Ne
20,0
1,21.103
27,1
2,77
36,8
Ar
40,0
1,39.103
87,3
3,40
117
Kr
83,8
2,41.103
120
3,60
165
Xe
131
3,06.103
165
4,06
218
Pour modéliser l’interaction entre deux atomes d’un gaz noble, on utilise le potentiel de Lennard-Jones (1929) dont l’expression est :
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⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞6 ⎤
E p = 4ε⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥
⎝ r ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝ r ⎠
où r représente la distance entre les atomes. Les valeurs de ε et de σ sont regroupées dans le tableau précédent. On a l’habitude de
donner les valeurs de σ en Å = 10-10 m (Ångström) et celle de ε sous la forme ε/kB qui s’exprime en Kelvin avec kB = 1,38.10-23 J.K-1 la
constante de Boltzmann. Dans ce potentiel, le€ terme en 1/r6 correspond aux interactions de Van der Waals ; le terme en 1/r12 est un
potentiel empirique qui traduit le fait que les atomes ne peuvent pas s’interpénétrer. On veut exploiter ce potentiel pour comprendre
l’évolution de quelques propriétés physiques des gaz nobles. Pour cela, on considère le modèle suivant :
• l’interaction entre deux plus proches voisins dérive de l’énergie potentielle de Lennard ; • un atome M de masse m est en interaction avec ses plus proches voisins. Pour simplifier le traitement mathématique, on ne considère que le plus proche voisin distant de r ; • en phase liquide, les atomes sont mobiles mais ne peuvent sortir du puits de potentiel créé par son plus proche voisin ; • en phase gazeuse, les atomes sont mobiles et libres de s’éloigner indéfiniment ; 3
• l’énergie cinétique des atomes est reliée à la température par la relation Ec = k BT . 2
On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : Na = 6,02.1023 mol-1.
1) Etude de la courbe d’énergie potentielle
€
a) La courbe d’énergie potentielle admet
! un minimum. Déterminer sa position rmin et sa valeur Emin.
b) Déterminer la force d’interaction f qui dérive de cette énergie potentielle.
c) Dans quel domaine de distance cette force est-elle attractive, répulsive, nulle ?
2) Etude de la température d’ébullition
€ 3
a) Exploiter la relation Ec = k BT pour estimer la température T1 permettant l’atome étudié de sortir de son puits de potentiel.
2
b) Justifier que cette température est une bonne estimation de la température d’ébullition. La calculer pour chacun des corps
considérés. Conclure.
€ volumique
3) Etude de la masse
a) Justifier que la distance inter-atomique est proche de rmin en phase
liquide. En déduire le nombre n* d’atomes par unité de volume en phase
liquide.
b) En déduire la masse volumique ρ de la phase liquide de chacun des corps
considérés. Conclure.
4) Etude qualitative de l’évolution de la masse volumique avec la température
On donne le portrait de phase d’une particule mobile dans le potentiel de
Lennard-Jones sur la figure ci-contre.
a) Décrire l’évolution des courbes lorsque l’énergie mécanique du système
augmente.
b) A quel type d’état correspondent les courbes fermées ? ouvertes ?
c) Dans le cas de courbes fermées, comment évolue la distance moyenne du
système à son plus proche voisin avec son énergie.
d) En utilisant la relation énergie cinétique – température donnée
précédemment, quelle prédiction qualitative peut-on faire sur l’évolution de
la distance moyenne entre atomes dans un liquide en fonction de la
température ?
e) En déduire l’évolution qualitative de la masse volumique de la phase
liquide avec la température prédite par ce modèle ?
7
6
⎤!
!
M
2 ε
1
ε ⎛ σ ⎞ ⎡ ⎛ σ ⎞
Réponse : rmin = 21/ 6σ ; Emin = −ε ; f = 24 ⎜ ⎟ ⎢ 2⎜ ⎟ − 1⎥er ; T1 =
; n* = 3 ; ρ =
.
3 kB
σ ⎝ r ⎠ ⎢⎣ ⎝ r ⎠
rmin
N a 2σ 3
⎥⎦
€
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€
€
€
€
€
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VI Etude d’un lance-pierres
1) Définir l’énergie potentielle d’une force ; est-ce toujours possible ? Établir l’expression de l’énergie
potentielle correspondant à l’allongement (à définir) d’un ressort ou d’un élastique de raideur k.
2) On fabrique un lance-pierres avec deux élastiques identiques. Ceux-ci se comportent comme des
ressorts de longueur à vide L0 et de raideur k, à condition que leur allongement soit positif. Pour lancer
un projectile P de masse m, on le serre dans un petit morceau de cuir fixé entre les deux élastiques qu’on
allonge symétriquement jusqu’à ce qu’ils aient une longueur L = 2L0, puis on lâche (voir figures cicontre : perspective et vue de dessus).
On précise que AB = L0 et on néglige l’épaisseur de P.
a) On envisage un tir horizontal : quelle est la longueur des élastiques quand ils cessent de pousser le
projectile P ? En déduire la vitesse à laquelle celui-ci est lancé ; faire l’application numérique.
b) Déterminer en fonction de k et L0 la force (quasi horizontale) à exercer pour tendre les élastiques
selon la description ; faire l’application numérique.
c) Un individu tire horizontalement depuis le bord d’une falaise avec la vitesse initiale v0 ; son
projectile subit une force de frottement fluide : F = −α v .
Déterminer et interpréter la loi d’évolution du vecteur vitesse.
En déduire la distance horizontale atteinte en supposant la falaise suffisamment élevée.
Pour les applications numériques (A.N.), on prendra : L0 = 10 cm ; m = 10 g ; k = 200 N/m.
Réponse : v o = Lo
€
!
! ! !
!
!
! mg
2k
m
mv o
; F = 2kLo cos θ ; v = ( v o − v∞ )e−t / τ + v∞ avec τ =
et v∞ = τg =
; portée x∞ = τv o =
.
m
α
α
α
VII Mouvement
une piste
€ d’un palet sur €
€
€
€
€
Un palet M de masse m = 5,0 kg, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d’une portion rectiligne AB et inclinée
d’un angle α = 30° par rapport à l’horizontale, et d’une portion circulaire BC, de rayon R = 2,0 m et d’angle BOC = π/2 + α (cf. figure
ci-contre). Le palet, initialement lancé depuis A avec la vitesse VA glisse sans frottement sur la piste. On désigne par g = 10 m.s-2
l’intensité du champ de pesanteur.
z
θ
B
α
VA
α
A
O
C
1) Déterminer l’expression de la vitesse VB au point B en supposant que ce point est atteint.
2) Afin que B soit effectivement atteint par le palet, il est nécessaire que VA > VA,l. Evaluer la valeur numérique de VA,l.
Pour les questions suivantes, on suppose la condition précédente vérifiée.
3) Déterminer l’expression de la durée τ de parcours de la portion AB
4) Déterminer l’expression de la réaction normale RN du support sur M lors de la phase du mouvement sur l’arc BC en fonction de
θ qui est l’angle entre OM et la verticale, θ˙ , m, g et R.
5) A quelle condition sur VA n’y aura-t-il pas de décollage avant le sommet ?
6) Déterminer l’expression de θd, valeur de θ pour laquelle le palet quitte la piste.
€
2
Réponse : VB = VA − 2gR cos α ; VA,l = 5,9m.s −1 ; τ =
θ d = arccos
€
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VA 2
.
3gR
€
€
VA − VA 2 − 2gR cos α
; RN = m g cos θ − Rθ˙ 2 ; VA < 3gR cos α ;
g sin α
(
€
)
€
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Energie
VIII Tige avec ressort
On considère une tige fixe, dans le plan vertical xOz, faisant l’angle α avec l’axe Oz.
Un anneau M, de masse m, est enfilé sur la tige et astreint à se déplacer sans
frottement le long de celle-ci. Cet anneau est également relié à un ressort de constante
de raideur k et de longueur à vide L0 dont l’autre extrémité est fixée en O. On repère
la position de M par OM = X.
z
g
X
M (m)
α
1) Donner l’expression de l’énergie potentielle Ep des forces conservatives
appliquées à M en fonction de X ; on prendra la référence d’énergie potentielle de
pesanteur pour X = 0 et celle de l’énergie potentielle élastique pour X = L0.
(k, Lo)
2) Déterminer la position d’équilibre Xe du point M.
A quelle condition reliant les paramètres caractéristiques du système cette
position existe-t-elle ? Cette position est-elle stable ?
O
3) Etablir l’équation différentielle du mouvement de M à partir du théorème de l’énergie mécanique.
4) On communique au point M une énergie mécanique Em = 4,0.10-3 J à l’instant t = 0 avec les conditions initiales suivantes :
X(0) = Xe et X˙ ( 0) = V0 .
On souhaite étudier graphiquement le mouvement du point M. On trace la courbe Ep(X) pour les valeurs suivantes :
m = 7,1 g ; g = 10 m.s-2 ; α = 45° ; k = 1,0 N.m-1 et L0 = 10 cm.
€
Ep(X)
0,0065 0,006 0,0055 0,005 0,0045 0,004 0,0035 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 a) Donner la valeur numérique de Xe.
b) Déterminer la valeur numérique de V0.
c) Montrer que le mouvement se fait entre deux positions extrêmes X1 et X2 dont on indiquera la valeur numérique. Quelle est la
nature de ce mouvement ?
Préciser la valeur maximale V0max de V0 permettant ce type de mouvement. Est-ce réalisable en pratique ?
d) Déterminer la fonction X(t) avec t en s et X en cm.
1
mg cos α
mg cos α ˙˙ k
k
2
(stable) si L0 ≥
; X + X = X e ; Xe = 5,0 cm ;
k ( X − L0 ) ; X e = L0 −
2
k
k
m
m
V0 = ± 27 cm.s-1 ; X1 = 2,8 cm et X2 = 7,2 cm ; oscillations avec X1 ≤ X ≤ X2 ; V0max = ± 59 cm.s-1 ; X(t) = 2,2 sin(12t).
Réponse : E p = mgX cos α +
€
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€
€
€
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IX Tour d’usinage.
image 1
image 2
Un tour d’usinage est une machine-outil permettant la fabrication de pièces mécaniques ayant une symétrie de révolution (image 1). Il
comporte notamment un mandrin (image 2) servant à maintenir la pièce à usiner et à l’entraîner en rotation.
θ A partir de l’instant t = 0 de démarrage, la vitesse angulaire ω(t) du mandrin évolue selon une loi
de forme :
ω(t) = ω1.(1 – exp(-t/τ)) avec ω1 = 2,0.10 3 tr.min-1 (tours par minute) et τ = 0,23 s.
On étudie le mouvement d’un point M situé dans un plan orthogonal à l’axe (Oz) de rotation de
la machine. On note 𝑒𝑟;𝑒𝜃 la base polaire, R étant la distance entre M et l’axe(Oz). La position
de M en rotation autour de (Oz) est repérée par l’angle θ.
(Oz) M 1) Donner la valeur numérique de ω1 en rad.s-1.
2) Tracer une allure de ω(t). Au bout de quelle durée Δt la vitesse angulaire ω(t) aura-t-elle atteint au moins 99% de sa valeur
finale ?
3) Déterminer la vitesse v(t) du point M situé à la périphérie du mandrin, à distance R = 0,15 m de l’axe de rotation. Calculer
numériquement sa valeur à t = τ.
4) Expliciter l’accélération de M en fonction du temps sur la base polaire. Distinguer dans les termes obtenus les composantes
tangentielles et normales de l’accélération. Calculer numériquement leurs valeurs à t = τ.
5) Un opérateur utilisant la machine laisse malencontreusement la clé de mandrin engagée dans son logement et lance la machine
(cet outil permet le serrage du mandrin sur la pièce à usiner, voir image 2).
A l’instant t = 0, l’angle θ repérant la position de la clé est θ = 0. La clé est éjectée à la mise en rotation au bout d’une durée τ.
Déterminer la position angulaire θéj de la clé à l’instant de l’éjection.
6) La précision des données ne permet pas de déterminer la valeur de θéj de façon sûre. On suppose que la clé est en fait éjectée
pour un angle θéj = -60°, à l’instant t = τ, avec une vitesse de module 20 m.s-1. Exprimer le vecteur-vitesse de l’objet lors de son
! !
éjection. On explicitera ce vecteur sur une base cartésienne ex , ey ; l’axe (Cx) étant horizontal et orthogonal à l’axe de rotation et
(
)
!
l’axe (Cy) étant vertical ; C étant le point d’éjection de la clé. On réfléchira en particulier à l’angle existant entre l’unitaire ex et le
vecteur-vitesse au moment de l’éjection.
€
7) Etudier la trajectoire de la clé pour t > τ, et calculer la hauteur atteinte par l’objet, si l’on suppose le toit de l’atelier suffisamment
€ à une hauteur
haut pour ne pas interrompre sa trajectoire. On posera t’ = t – τ. On supposera que la clé se désolidarise du mandrin
de 1 mètre par rapport au sol.
L’accélération de la pesanteur vaut g = 9,8 m.s-2.
8) Le toit de l’atelier est à une hauteur de 8 mètres par rapport au sol. La clé a une masse de 0,5 kg. Evaluer l’énergie cinétique de
l’outil lors de son impact contre la toiture.
Comparer à l’énergie cinétique d’une balle de pistolet (m = 5 g, v = 200 m/s).
Réponse : ω1 = 2,1.102 rad.s-1 ; Δt = 1,1 s ; v(τ) = 20 m.s-1 ; at(τ) = 50 m.s-2 et an(τ) = 2,6.103 m.s-2 ; θéj = 3,0.102 rad ; 16 m ;
66 J ; 1,0.102 J.
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Energie
X C’est la fête !
L’ensemble du problème sera traité dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen.
A - Manège pendulaire.
Un manège est constitué de bras horizontaux de longueur L,
placés à une hauteur h au-dessus du plateau, auxquels sont
liées des nacelles par une attache de longueur d et de masse
négligeable. Les nacelles sont modélisées comme des points
matériels de masse m. On note g l’intensité du champ de
pesanteur.
Le manège est entraîné en rotation à une vitesse angulaire ω
par rapport au référentiel terrestre. On considère dans toute
la suite que cette vitesse angulaire est constante.
La fixation permet aux nacelles de basculer dans un plan
vertical contenant le bras suspenseur, l’attache faisant alors
un angle α avec la verticale.
! ! !
On note (er , eθ , ez ) la base cylindrique d’axe (Oz).
€
z
L
d
ω
α
h
m
O
1) Expliciter le vecteur-position OM sur la base cylindrique, M étant la position du point matériel représentant la nacelle. En
déduire l’expression de la vitesse de M dans le référentiel terrestre dans le cas général où a priori α peut évoluer avec le temps.
2) L’angle α est maintenant supposé invariant. Quelle est alors la trajectoire décrite par la nacelle dans le référentiel terrestre ?
Exprimer la vitesse puis€l’accélération de la nacelle de masse m en fonction de L, d, ω et α sur la base cylindrique d’axe (Oz).
3) Pour une vitesse ω donnée, la nacelle reste avec une inclinaison α en régime permanent.
a) Inventorier les actions exercées sur la nacelle. Exprimer le module T de la tension de l’attache reliant la nacelle au bras en
fonction de m, g et α.
b) Etablir l’équation reliant α et ω. La mettre sous la forme : a(1+b.sinα) = tan α et identifier les quantités a et b.
Expliquer qualitativement pourquoi la masse m n’intervient pas.
c) Proposer une solution graphique permettant de déterminer α en fonction de a et b, donc de ω, g, d et L.
Montrer que l’on obtient deux solutions sur α dont les valeurs α1 et α2 sont comprises respectivement sur les intervalles [0, π/2]
et [π, 3π/2]. Discuter très brièvement la nature stable ou instable de ces solutions (on attend simplement une approche intuitive).
d) On donne L = 10 m ; d = 4,0 m ; g = 9,8 m.s-2. Quelle est la valeur de vitesse angulaire ω amenant α = 30° ? Donner cette
valeur en rad.s-1 puis en tours par minute (tr.min-1).
Quelle serait alors, exprimée en « g », l’accélération subie par les passagers ?
B - Les montagnes russes.
1) Un véhicule et ses passagers, de masse totale m = 800 kg, circule sur des rails. La première phase consiste à hisser le véhicule à
une hauteur donnée en le tirant sur une rampe, au moyen d’un système d’entraînement mécanique appliquant une force tractrice
dirigée parallèlement aux rails. La rampe fait un angle δ avec l’horizontale. Les frottements solides sont pris en compte selon le
modèle de Coulomb : la réaction du support se décompose en deux termes
et
, respectivement tangentiel et normal au
support, avec la relation entre leur norme RT = f.RN où f est le coefficient de frottement.
a) Représenter le problème sur un schéma en faisant apparaître le bilan des forces.
b) Calculer la valeur F de la norme de la force tractrice nécessaire pour permettre au véhicule de monter à vitesse constante. On
donne g = 9,8 m.s-2 , δ = 30° et f = 0,30.
c) Quelle puissance mécanique est-elle mise en jeu pour obtenir une vitesse v du véhicule ? L’entraînement mécanique est
réalisé par un treuil électrique dont le rendement électro-mécanique est ρ = 0,80. Quelle puissance électrique consommera-t-il si
le véhicule est tracté à la vitesse de 2,0 m.s-1 ?
2) Le véhicule va maintenant dévaler une pente faisant un angle ε avec l’horizontale, sous
l’effet de son poids. On néglige tous frottements. Il est lâché à l’instant t = 0 sans vitesse
au point A situé au sommet de cette pente.
a) A partir de l’équation du mouvement, établir les lois v(t) et x(t) décrivant
l’évolution dans le temps de sa vitesse v(t) et de son abscisse x(t).
A
L
x
h
ε
B
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Energie
b) On note h la dénivellation entre A et B et L la distance qui les sépare. Déterminer l’instant tB de son passage au point B, en
fonction de L, ε et g, puis de h, ε et g. Calculer la vitesse atteinte lors du passage au point B. Commenter.
3) Après avoir subi diverses évolutions, le véhicule aborde maintenant un virage relevé. Il s’engage dans la courbe à une vitesse vo
= 15 m.s-1 et cette vitesse sera supposée constante pendant toute la suite du mouvement. Le virage se déroule dans un plan
horizontal, avec un rayon de courbure RC = 25 m.
a) Calculer l’accélération subie par le mobile dans ces conditions.
b) Les rails sont disposés avec un profil en travers présentant une inclinaison d’angle ϕ par rapport à l’horizontale, (voir vue en
coupe ci-contre), afin que la réaction des rails ne comporte pas de composante tangentielle, mais seulement une composante
normale.
Déterminer la valeur de l’angle ϕ .
!
ez
!
eθ
Rc
!
er
ϕ
€
€
€
C - Le trampoline à élastiques.
Un enfant de masse m est attaché au moyen d’un harnais à deux filins élastiques.
Sa position est repérée par celle de son centre d’inertie G. Le système est réglé
de façon à ce que la tension des filins compense le poids de l’utilisateur lorsqu’il
se trouve au niveau du tapis de sol. (voir figure).
Les filins élastiques sont modélisés comme des ressorts de raideur k, de longueur
à vide d.
z
d
z=0
L1
1) Calculer la raideur k, à partir des données suivantes :
d = 2,0 m ; L1 = 8,0 m ; g = 9,8 m.s-2 ; m = 30 kg.
2) Former l’équation différentielle décrivant le mouvement.
G
3) Cette équation différentielle n’étant pas linéaire, son intégration n’est pas
envisageable sans méthode numérique.
Montrer qu’elle se linéarise sous la forme :
Discuter la validité de cette approximation.
si l’on néglige d dans l’expression.
4) L’enfant, reposant sur le tapis de sol, donne une impulsion qui lui communique quasi instantanément une vitesse vi dirigée vers
le haut. A partir de l’équation différentielle obtenue en 3), déterminer la loi horaire z(t). A quel instant th l’enfant atteint-il le point
le plus haut ? Calculer alors l’altitude maximale atteinte zh.
5) Exprimer l’énergie potentielle du système. Comment calculer sans l’approximation du 3), et sans recourir à une intégration
numérique, la valeur de zh ?
N.B. : On demande de construire l’équation vérifiée par zH, mais pas de la résoudre.
!
!
!
!
!
!
Réponse : OM = ( L + d sin α )er + ( h − d cos α )ez et v = dα˙ cos αer + ( L + d sin α )θ˙eθ + dα˙ sin αez ;
!
!
!
!
ω 2L
mg
d
v = ( L + d sin α )ωeθ et γ = −( L + d sin α )ω 2er ; T =
; a=
et b = ; γ = 0,6 g ; F = mg(sin δ + f cos δ ) ; Pélec = 15 kW ;
g
cos α
L
⎞
2
⎛ v ⎞
€
€
mg
2k ⎛
dz
1
⎜ z −
⎟ = −g ;
; ˙z˙ +
x(t) = gt 2 sin ε et v B = 2gh ; γ = 9,0 m.s-2 ; ϕ = arctan⎜
⎟ ; k =
⎛
⎞
2
2 ⎟
gRC ⎠
m ⎜⎝
2
⎝
d
+
z
⎠
dL
€
€ 1
⎟
€
€
2⎜ L1 −
€
2
⎜
d 2 + L1 ⎟⎠
⎝
€
⎛ 2k ⎞ mg
m
⎛
m mg
2 ⎞
⎟ .
z(t) = v i
sin⎜⎜
t ⎟ −
; z h = v€i
; E p = mgz + k ⎜ z 2 − 2d d 2 + z €
−
⎝
⎠
2k ⎝ m ⎟⎠ 2k
2k 2k
€
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€
€
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