FICHE 1B Travail, énergie potentielle, cinétique, mécanique. I -Travail et puissance A- Travail d’une force En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d’application. Le travail d’une force constante F pour un déplacement rectiligne AB de son point d’application est égal au produit scalaire des vecteurs F et AB : WAB(F) = F x AB cosβ où β est l’angle formé par les deux vecteurs. Selon la valeur de l’angle β, avec 0 ≤β ≤ 180◦, le travail d’une force est positif (moteur), négatif (résistant) ou nul (force qui ne travaille pas ; β= 90°) : on dit que le travail est une grandeur algébrique, il s’exprime en Joule (J) dans le Système International, il a la dimension d’une énergie. Remarque 1 : si la force F est constante (direction, valeur et sens inchangés) et que le trajet AB est curviligne, alors la formule précédente reste valable ; on voit que le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi ; on dit alors que la force est conservative. Les forces de frottements, la force de tension d’un fil ne sont pas conservatives. Remarque 2 : si la force F n’est pas constante, alors la formule précédente ne s’applique plus ; on définit alors un vecteur déplacement élémentaire ⃗⃗⃗ ; on définit alors un travail élémentaire dW = ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; on doit alors intégrer pour calculer le travail total sur le trajet AB. Remarque 3 : a) on montre que le travail du poids s’écrit W = mgH, avec H dénivellation verticale positive entre A et B ; W est positif pour une descente, et négatif pour une montée. b) on montre que le travail d’une force électrique fe exercée sur une particule de charge q au cours de son déplacement de A vers B dans un champ électrique uniforme est W = qUAB, avec UAB tension entre A et B en V (Volt) et q en C (Coulomb), donc W en J. B- Puissance d’une force Par définition la puissance moyenne d’une force F qui effectue un travail W pendant une durée est : P= W F/ donc la puissance s’exprime en J.s-1 soit des Watt (W). C’est une énergie par unité de temps. On définit aussi la puissance instantanée : Pi = dW/dt soit la dérivée du travail par rapport au temps (toujours en W). II) Energies Energie cinétique de translation L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m, qui se déplace à la vitesse v est : Page 1 Ec = 1/2mv2, avec m en kg et v en m.s-1, donc Ec en J ( Joule). On dit que l’énergie cinétique est une énergie de mouvement car quand v = 0, cette énergie est nulle aussi. Théorème de l’énergie cinétique (hors programme mais utile aux concours qcm !) : La variation de l’énergie cinétique d’un système est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au système (Ecf – Eci = Σ W( ) ). a. Energies potentielles On définit l’énergie potentielle de pesanteur d’une masse m placée à la côte (l’altitude) z , par la formule Epp = mgz + cte, avec m en kg, z en m (mètre) et g intensité de pesanteur en m.s-2. On voit que l’énergie potentielle est une énergie de position, puisqu’elle dépend de l’altitude z ; elle s’exprime en J (Joule) comme toutes les énergies. La valeur de la constante dépend du choix de l’origine des énergies potentielles, appelée énergie potentielle de référence. Si cette origine coïncide avec l’origine des côtes, alors la constante est nulle. S’il n’y a pas coïncidence, on calcule la constante en fonction de l’altitude correspondant à l’énergie de référence. On définit l’énergie potentielle élastique d’un ressort par la formule : Epe = 1/2k(l – l0)2 + cte, avec k constante de raideur du ressort en N.m-1, l longueur du ressort (en m) et l0 longueur du ressort au repos (ni étiré ni comprimé) en m. On choisit une constante nulle (énergie nulle quand l = l0). Remarque : la variation d’énergie potentielle associée à une force conservative F appliquée à un système qui se déplace de A vers B est égale à l’opposé du travail de F ; on écrit donc EpB – EpA = - W AB( ). b. Energie mécanique L’énergie mécanique d’un système soumis à un ensemble de forces conservatives (poids, force de gravitation, force électrique…) est égale à la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles : Em = Ec + Epp + Epe (en J). Théorème de l’énergie mécanique : la variation de l’énergie mécanique d’un système en déplacement de A vers B, est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (dissipatives / frottement) qu’il subit sur ce trajet, soit EmB – EmA = ΣW AB( ). Remarque : d’après ce théorème, si le système ne subit que des forces conservatives, alors la variation est nulle ( Em = cte). Page 2 Exercice 1 : Modélisons un skieur par un mobile de masse m = 80,0 kg sur un banc à coussin d’air, incliné d’un angle α = 13,0°. Les forces de frottements sont considérées comme négligeables. Le skieur part sans vitesse du point S. 1) Calculez l’énergie cinétique puis la vitesse v du skieur lorsqu’il a parcouru une distance D =25,0 m, c’est-à-dire lorsqu’il arrive en I (g = 10 m.s-2) . 2) Dans une 2e expérience, depuis le point O, origine des abscisses (voir schéma), le skieur s’élance vers le sommet de la piste, avec une vitesse initiale vo égale à celle calculée dans la question précédente ; calculer l’abscisse atteinte par le skieur. 3) Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur en fonction de l’abscisse. 4) Que peut-on dire de l’énergie mécanique du skieur ? 5) Exprimer l’énergie cinétique en fonction de l’abscisse. Exercice 2 Une voiture de masse 1,1 tonne roule en ligne droite sur une autoroute horizontale, à la vitesse v = 72 km.h-1. 1) On assimile les forces de frottement à une force colinéaire au mouvement, de sens opposé à celui-ci, et de norme égale à 900N. Calculer le travail de cette force effectué en une seconde. 2) Calculer le travail du poids de la voiture pendant une seconde (g = 10 m.s-2). 3) Calculer la puissance développée par la force motrice pour maintenir cette vitesse constante. Exercice 3 : Un pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle m = 150g suspendue à un fil de masse négligeable de longueur L= 0, 80 m. 1) On écarte le pendule d’un angle θ = 40° par rapport à la verticale. L’énergie potentielle de référence correspond au niveau le plus bas atteint par la bille (g= 10 m.s-2). Calculer l’énergie potentielle du système (pendule-Terre). Page 3 2) On lâche le pendule sans vitesse initiale : que vaut alors son énergie mécanique ? 3) Si on néglige l’air, calculer la vitesse maximale de la bille au cours du mouvement. Exercice 4 : Dans un immeuble de 8 étages, le dénivelé entre 2 étages vaut 3,10 m. 1) Pour une masse m = 30 kg posée au 6e étage calculer l’énergie potentielle de pesanteur ;(niveau de référence le RDC ; g = 10 m.s-2) 2) Même calcul pour un niveau de référence au 8e étage. Page 4 Corrigé 1 : Appliquons le TEC (théorème de l’énergie mécanique) : EcI – EcS = W→= +mgh = +mgSIsinα 4,5.103 J. avec l’énergie cinétique nulle en S (vS=0) ,soit EcI = 80,0 La vitesse en I est donc : 1/2mv2= Ec soit v = √ =√ = 10,6 m.s-1. On applique encore le TEC entre le point O et le point d’abscisse maximale pour lequel la vitesse est nulle: 1/2mv2 – 1/2mvo2 = = W→= -mgh = -mgxsinα soit : – 1/2mvo2 = -mgxsinα donc : x = vo2/(2gsinα) = 10,62/(2 25 m. 3) Avec l’énergie de référence au bas de la piste, l’énergie potentielle de pesanteur s’écrit avec un axe des côtes vertical ascendant : Epp = mgz = mgxsinα = 80,0 10xsin13,0° = 1,8.102x J. 4) Deux forces s’exercent sur le skieur : le poids force conservative et la réaction normale de la piste qui ne travaille pas, donc l’énergie mécanique du système est constante. 5) Appliquons le TEC entre O et M point quelconque : EcM – 1/2mvo2 = = W→= -mgh = -mgxsinα soit EcM =1/2mvo2 -mgxsinα donc EcM = 0,5 4,5.103 . Corrigé 2 : Appliquons la formule du travail : W→= Fdcos(180°)= Fvtcos(180°) = 900 ( ) ( - 1,8.104 J. 2) La route est horizontale, donc il n’y a pas de dénivelé, donc le poids ne travaille pas ! 3) Appliquons le TEC : ΔEc = 0 = W→ + W→ donc les travaux sont opposés ! Le travail de la force motrice f vaut donc +1,8.104 J. Comme c’est le travail pour une seconde, la puissance (en W donc en J.s-1) vaut donc P→ = +1,8.104 W. Corrigé 3 : ( 1) On a EPP = mgz = mgL(1 – cosθ) = 0,150 2) L’énergie mécanique vaut 0,28 J, car l’énergie cinétique est nulle. Page 5 0,28 J. 3) La vitesse maximale correspond au passage par la verticale (Em = cte) quand l’énergie potentielle est minimale et que l’énergie mécanique est totalement sous forme cinétique, soit Ec = 1/2mv2 donc v = √ √ = = 1,9 m.s-1. Corrigé 4 : 1) On a : Epp = mgz = 30×10×(6×3,10) = 5, 58.103 J. 2) On a : Epp = mg(z – zréf) =30×10×(6×3,10 - 8×3,10) = - 1,86.103 J. L’énergie est négative car m est en dessous du niveau de référence. Page 6