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Série:
Etudes de fonctions
Niveau :
4èmeSc
Proposée par :
Boukadida Tahar
Exercice 1 :
Soit la fonction f définie sur IR par
On désigne par Cf sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé (o, i, j )
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Déterminer la nature des branches infinies de Cf au voisinage de −∞ et +∞
Montrer que le point I(1,1) est un centre de symétrie de Cf
Montrer que f est continue et dérivable en 1.
Donner une équation de la tangente T en I à Cf .
Montrer que I est un point d’inflexion de Cf.
Déterminer la position relative de T et Cf .
Exercice 2 :
Soit la fonction f définie sur IR par :
On désigne par Cf sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé (o, i, j )
1)
2)
3)
4)
5)
Montrer que f est continue en -1.
Etudier la dérivabilité de f en -1. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Déterminer la nature les branches infinies de Cf au voisinage de −∞ et +∞
Dresser le tableau de variation de f
Soit h la restriction de f à l’intervalle ∞
a) Vérifier que g réalise une bijection de
∞
sur un intervalle J que l’on précisera.
−1
b) Calculer
(-3) puis exprimer g (x) pour x ∈ J
6) Tracer dans le même repère les courbes Cf et Cg−1
Exercice 3 :
Soit la fonction f :x⟼
1) Déterminer Df l’ensemble de définition de f.
2) Montrer que la droite d’équation x=
est un axe de symétrie de Cf
3) Etudier les branches infinies de Cf la courbe de f dans un repère orthonormé (o, i, j )
4) Justifier la dérivabilité de f sur IR calculer f ’(x).
5) Dresser le tableau de variation de f.
6) Soit g la restriction de f à l’intervalle [
a)Vérifier que g réalise une bijection de [
, +[
, +  [ sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Calculer
(2) puis exprimer g−1(x) pour x ∈ J
7)Tracer dans le même repère les courbes Cf et Cg−1 .
Exercice 4 :
Soit f la fonction définie sur [ 1,  [ par f(x) = 1+ x  1 .
Soit ( ) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé (o, i, j )
1) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter graphiquement le résultat obtenu
b) Prouver que f est dérivable sur ]1,   [ et calculer f ’(x).
2) a) Dresser le tableau de variation de f
f ( x)
b) Calculer lim
. Interpréter le résultat obtenu puis tracer ( )
x  
x
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3) a) Montrer que f réalise une bijection de [ 1,  [ sur un intervalle J que l’on déterminera. note
b) Déterminer le domaine de continuité de f -1 et son sens de variation et calculer f -1(3).
c) Montrer que f -1 est dérivable en 3 et calculer (f -1)’(3).
d) Ecrire une équation de la tangente T à la courbe ( ' ) de f -1au point d’abscisse 3.
e) Tracer ( ' ) dans le même repère que ( )
Exercice 5 :
1 ) Soit f la fonction définie sur ] 1 , +  [ par : f ( x)  1 
a) Calculer lim f ( x) et
x 1
2x  1
x²  x
lim f ( x) . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
x 
1
b) Vérifier que pour tout réel x on a : f ' ( x) 
2( x ²  x) x ²  x
c) Etudier les variations de f et en déduire que pour tout x : f(x) > 0.
1
2) Soit g la fonction définie sur [ 1 , +  [ par : g(x) = 1 - x + x²  x et ( g ) sa
2
courbe représentative dans un repère orthonormé (o, i, j )
a) Etudier la dérivabilité de g à droite en 1 . Interpréter graphiquement ce résultat
1
b) Vérifier que pour tout x  ] 1 , +  [ on a : g’(x) = f(x).
2
c) Dresser le tableau de variation de g.
1
1
d) Montrer que la droite D : y = x + est une asymptote de ( g ) .
2
2
3) a) Vérifier que g réalise une bijection de [ 1 , +  [ sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Calculer ( g 1 )’( 1 ). ( g 1 étant la fonction réciproque de g)
4) Tracer D, ( g ) et ( g 1 ) : la courbe représentative de g 1 dans le repère (o, i, j ) .
Exercice 6 :
Soit f la fonction définie sur
1) Montrer que lim
x 
∞
∈
par
∈
.
∞
2) a) Vérifier que f est continue en 0.
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat
3) On désigne par g la restriction de f à l’intervalle
∞.
a) Montrer que g réalise une bijection de
b) Expliciter
pour x ∈ I.
∞ sur un intervalle I que l’on précisera.
4) On désigne par h la restriction de f à l’intervalle
.
a) Montrer que h réalise une bijection de
b) Montrer que
est dérivable sur
c) Montrer que pour tout x ∈
5) Soit φ la fonction définie sur
sur
∞
∞ .
∞ , on a :
∞
par :
φ
φ
a) Montrer que φ est continue à gauche en 0.
b) Montrer que φ est dérivable sur
∞ et calculer φ’(x) pour tout réel x < 0.
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