Terminale S / Annales sur le produit scalaire et les plans

Terminale S / Annales sur le produit scalaire et
A. Droites et plan :
d. Dans cette question, toute trace de recherche, même
incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ?
Exercice 4046
On considère un cube ABCDEF GH d’arête de longueur 1.
On désigne par I le milieu de [EF ] et par J le symétrique de
E par rapport à F .
H
G
I
E
J
F
Exercice 3248
On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un
des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la
face opposée à ce sommet.
Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont
concourantes.
Partie A
D
A
C
On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté
orthogonal du point A sur le plan (BCD).
B
Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère ortho(
−−→ −−→ −→)
normal A ; AB ; AD ; AE ).
1.
a. Déterminer les coordonnées des points I et J.
−→
b. Vérifier que le vecteur DJ est un vecteur normal au
plan (BGI).
c. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).
d. Calculer la distance du point F au plan (BGI).
2. On note (∆) la droite passant par F et orthogonale au
plan (BGI).
a. Donner une représentation paramétrique de la droite
(∆).
b. Montrer que la droite (∆) passe par le centre K de la
face ADHE.
c. Montrer que la droite (∆) et le plan (BGI) sont séã
Å
2 1 5
; ;
.
cants en un point, noté L, de coordonnées
3 6 6
Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des
points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une
hauteur du triangle BCD.
Partie B
Dans
l’espace
muni
d’un
repère
(
→
− →
− −
→)
O ; i ; j ; k , on donne les points :
(
)
(
)
A 3 ; 2 ; − 1 ; B −6 ; 1 ; 1
(
)
(
)
C 4 ; − 3 ; 3 ; D −1 ; − 5 ; − 1 .
1.
orthonormal
a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD)
est :
−2x − 3y + 4z − 13 = 0
b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
−−→ −−→
c. Calculer le produit scalaire BH · CD
d. Le tétraèdre ABD est-il orthocentrique ?
(
) (
)
(
)
2. On définit les points I 1 ; 0 ; 0 , J 0 ; 1 ; 0 , K 0 ; 0 ; 1 .
Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?
B. Distance a un plan :
tion cartésienne x + 2y − 7 = 0
Exercice 3153
(
−
→ −
→ →
−)
L’espace est muni d’un repère orthonormal O ; i ; j ; k .
(
)
1. On considère le plan P passant par le point B 1 ; − 2 ; 1
)
−
→(
et de vecteur normal n −2 ; 1 ; 5 et le plan R d’équa-
a. Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.
b. Démontrer que l’intersection des
( plans P et
) R est la
droite ∆ passant par le point C −1 ; 4 ; − 1 et de vec)
→
−(
teur directeur u 2 ; − 1 ; 1 .
Terminale S - Annales sur le produit scalaire et les plans - http://chingatome.net
(
)
c. Soit le point A 5 ; − 2 ; − 1 . Calculer la distance du
point A au plan P puis la distance du point A au plan
R.
d. Déterminer la distance du point A à la droite ∆.
2.
a. Soit, pour
tout nombre
(
) réel t, le point Mt de coordonnées 1 + t ; 3 − t ; t .
Déterminer en fonction de t la longueur AM . On note
φ(t) cette longueur. On définit ainsi une fonction φ de
R dans R.
b. Etudier le sens de variations de la fonction φ sur R ;
préciser son minimum.
c. Interpréter géométrique la valeur de ce minimum.
Exercice 3172
(
−
→ −
→ →
−)
L’espace est muni d’un repère orthonormal O ; i ; j ; k .
Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de
connaissances)
(
)
Soit a, b, c et d des réels tels que (a ; b ; c) ̸= 0 ; 0 ; 0 .
Soit P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0.
On considère le point I de coordonnées (xI ; yI ; zI ) et le vec−
→
teur n de coordonnées (a ; b ; c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I
au plan P est égale à :
axI + byI + czI + d
√
a2 + b2 + c2
1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer, en fonction de a, b, c, xI , yI et zI , un système d’équations paramétriques de ∆.
2. On note H le point d’intersection de ∆ et P.
−→
−
→
a. Justifier qu’il existe un réel k tel que IH = k n .
b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d,
xI , yI et zI .
axI + byI + czI + d
√
c. En déduire que IH =
a2 + b2 + c2
Partie B
Le plan Q d’équation x − y + z − 11 = 0 est tangent
à )une
(
sphère S de centre le point Ω de coordonnées 1 ; − 1 ; 3 .
1. Déterminer le rayon de la sphère S .
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la
droite ∆ passant par Ω et orthogonale au plan Q.
3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la
sphère S et du plan Q.
C. Géométrie plane, barycentre :
H
G
Exercice 3186
On considère le cube ABCDEF GH représenté sur la feuille
annexe. Dans(tout l’exercice, l’espace
est arapporté au rep‘ère
−−→ −−→ −→)
orthonormal A ; AB ; AD ; AE .
Å
ã
1
On note I le point de coordonnées
;1;1 .
3
1. Placer le point I sur la figure.
E
F
D
C
2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer
que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
3. On note R le projeté orthogonal de I sur la droite (AC).
a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
−→
−→
i. Il existe un réel k tel que AR = k AC
−→ −→
ii. IR · AC = 0
b. Calculer les coordonnées du point R.
A
B
Exercice 3194
ABCDEF GH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille
annexe qui sera complétée et rendue( avec la copie. L’espace
−−→ −−→ −→)
est rapporté au repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE .
Partie A. Un triangle et son centre de gravité
c. En
√ déduire que la distance IR s’exprime par IR =
11
.
3
(
)
→
−
4. Démontrer que le vecteur n de coordonnées 3 ; − 3 ; 2
est normal au plan (ACI).
En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).
5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est
5
√ .
22
1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.
2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
a. Calculer les coordonnées de I.
−
→
1 −→
b. Démontrer que AI = AG. Que peut-on en déduire
3
pour les points A, I, G ?
3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan
(BDE).
Partie B. Une droite particulière
Terminale S - Annales sur le produit scalaire et les plans - http://chingatome.net
Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk ,
ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :
−−−→
−→
Mk est le point de la droite (AG) tel que AMk = k AG ;
Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan
(BDE) ;
Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite
(BC).
1. Identifier P 1 , M 1 et N 1 en utilisant des points déjà dé3
3
3
finis. Calculer la distance M 1 N 1 .
3
3
2. Calcul des coordonnées de Nk .
a. (
Calculer les coordonnées
de Mk dans le repère
−−→ −−→ −→)
A ; AB ; AD ; AE .
Exercice 3233
L’espace E est rapporté à un repère orthonormal
(
→
− −
→ →
−)
O ; i ; j ; k . On( considère
) (les points
) A,(B et C de) coordonnées respectives 1 ; 0 ; 2 , 1 ; 1 ; 4 et −1 ; 1 ; 1 .
1.
a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
(
)
→
−
b. Soit n le vecteur de coordonnées 3 ; 4 ; −2 .
−
→
Vérifier que le vecteur n est orthogonal aux vecteurs
−−→ −→
AB et AC.
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives :
2x + y + 2z + 1 = 0 ; x − 2y + 6z = 0
b. Déterminer une équation du plan Pk dans ce repère.
a. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une
droite D dont on déterminera un système d’équations
paramétriques.
c. En
( déduire )que le point Nk a pour coordonnées
1 ; 3k − 1 ; 0 .
b. La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien
parallèles ?
3. Pour quelles valeurs de k la droite (Mk Nk ) est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?
3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients
respectifs 1, 2 et t.
4. Pour quelles valeurs de k la distance Mk Nk est-elle minimale ?
5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube
par le plan P 1 .
2 (
)
Tracer la droite M 1 N 1 sur la même figure.
2
2
E
F
H
b. Montre que l’ensemble des points G lorsque t décrit
l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privée du point C.
Pour quelle valeur de t, le milieu J du segment [IC]
coïncide-t-il avec G ?
G
A
B
a. Justifier l’existence du point G pour tout réel positif
t.
Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées
du point I.
−→
−→
Exprimer le vecteur IG en fonction du vecteur IC.
D
C
D. QCM :
Exercice 3140
Dans
l’espace) rapporté à un repère
(
−
→ →
− →
−
O ; i ; j ; k , on considère les points :
(
)
A de coordonnées 3 ; 1 ; − 5 ;
(
)
B de coordonnées 0 ; 4 ; − 5 ;
(
)
C de coordonnées −1 ; 2 ; − 5 ;
(
)
D de coordonnées 2 ; 3 ; 4 .
orthonormal
Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle
est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée. Le
candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question
et la mention “VRAI” ou “FAUX”. On attribue 0,5 points par
réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse in-
correcte.
L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total
négatif est ramené à 0.
1. Les points A, B et D sont alignés.
2. La droite (AB) est contenue dans le plan d’équation cartésienne : x + y = 4.
3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est :
18x − 9y − 5z + 11 = 0
4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.
5. Une représentation paramétrique de la droite (BD) est :
Terminale S - Annales sur le produit scalaire et les plans - http://chingatome.net

x = 1 − 2k



7
y =
+ k
2


1
 z = − − 9k
2
question, il est compté un point si la réponse est exacte et
zéro sinon.
où k ∈ R
1. Une équation du plan (ABC) est :
2x + 2y − z − 11 = 0
2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan
(ABC).
Exercice 3195
(
−
→ −
→ −
→)
Soit O ; i ; j ; k un repère orthonormal de l’espace.
On considère les points :
(
)
(
)
A 2;4;1
; B 0;4; − 3
(
)
D 1;0; − 2 ;
(
)
E 3;2; − 1
3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

 x = −1 + 2t (
y = −1 + t
(CD)
t ∈ R)

z = 1 − t
(
)
5. Le point I est sur la droite AB .
(
)
; C 3;1; − 3
ã
Å
3
9
; I
;4; −
5
5
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le
justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque
Z. Exercices non-classés :
Exercice 3149
Première partie
(
−
→ →
− →
−)
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O ; i ; j ; k . On considère :
(
)
(
)
(
)
(
)
Les points A 0 ; 0 ; 3 , E 2 ; 0 ; 4 , C −1 ; 1 ; 2 et D 1 ; − 4 ; 0 .
les plans (P1 ) : 7x + 4y − 3z + 9 = 0 et (P2 ) : x − 2y = 0.
Les droites (∆1 ) et (∆2 ) définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs :


 x = 7 + 2t′
 x = −1 + t
y = 8 + 4t′
y = −8 + 2t t ∈ R
t′ ∈ R


′
z =8− t
z = −10 + 5t
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question
et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le
total est négatif, la note est ramenée à 0.
a.
b.
le plan (ABC)
c.
1.
Le plan (P1 ) est
2.
La droite (∆1 ) contient le point A
3.
Position relative
(P1 ) et de (∆2 )
de (∆1 ) est strictement (∆1 ) est incluse dans
parallèle à (P1 )
(P1 )
(∆1 ) coupe (P1 )
4.
Position relative
(∆1 ) et de (∆2 )
de (∆1 ) est strictement (∆1 ) et (∆2 )
parallèle à (∆2 )
confondues
5.
L’intersection de (P1 )
et de (P2 ) est une
droite dont une représentation paramétrique
est

t

 x =
1
y = −2 + t

2

z =
3t
d.
le plan (BCD)
le plan (ACD)
le plan (AED)
le point B
le point C
le point D

2t
 x =
y =
t

z = 3 + 6t
sont (∆1 ) et
sécantes
(∆2 )

5t
 x =
y = 1 − 2t

z =
t
(∆1 ) est orthogonal à
(P1 )
sont (∆1 ) et (∆2 ) sont non
coplanaires.

 x = −1 + t
y = 2 + t

z =
− 3t
Deuxième partie
(
(
)
−
→ −
→ −
→)
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O ; i ; j ; k . On considère la droite (D) passant par A 0 ; 0 ; 3 et dont un
)
(
)
)
→
−(
−
→(
vecteur directeur est u 1 ; 0 ; − 1 et la droite (D′ ) passant par B 2 ; 0 ; 4 et dont un vecteur directeur est v 0 ; 1 ; 1 .
L’objectif est de démontrer qu’il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D′ ), de la déterminer et de dégager
une propriété de cette droite.
−−−→
−−→
−
→
−
→
1. On considère un point M appartenant à (D) et un point M ′ appartenant à (D′ ) définis par AM = a u et BM ′ = b v , où
Terminale S - Annales sur le produit scalaire et les plans - http://chingatome.net
a et b sont des nombres réels.
−−−→
Exprimer les coordonnées de M , de M ′ puis du vecteur M M ′ en fonction de a et de b.
(
)
2. Démontrer que la droite (M M ′ ) est perpendiculaire à (D) et à (D′ ) si, et seulement si, le couple a ; b est solution du
système
ß :
2a + b = 1
a + 2b = −1
′
3. Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points M et M ′ , que nous
√ noterons ici H et H , tels
′
′
′
que la droite (HH ) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D ). Montrer que HH = 3 unités de longueur.
4. On considère un point M quelconque de la droite (D) et un point M ′ quelconque de la droite (D′ ).
a. En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1. , démontrer que :
M M ′ = (a + b)2 + (a − 1)2 + (b + 1)2 + 3
b. En déduire que la distance M M ′ minimale lorsque M est en H et M ′ est en H ′ .
d. La droite ∆ est incluse dans le plan P.
Exercice 6048
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune
justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une
seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence
de réponse n’ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro de la question et la réponse choisie.
π
π
√
√
1. Soit z1 = 6·ei 4 et z2 = 2·e−i 3 . La forme exponentielle
z1
de i· est :
z2
π
7π
√ i 19π
√
√
√ 13π
a. 3e 12
b. 12e−i 12
c. 3·ei 12
d. 3ei 12
2. L’équation −z = z, d’inconnue complexe z, admet :
Exercice 6050
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si
elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifié. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une
abscence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie
l’égalité |z−i|=|z+1| est une droite.
√ )4
(
2. Proposition 2 : Le nombre complexe 1+i· 3 est un
nombre réel.
3. Soit ABCDEF GH un cube.
a. une solution
Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.
b. deux solutions
c. une infinité de solutions dont les points images dans le
plan complexe sont situés sur une droite.
d. une infinité de solutions dont les points images dans le
plan complexe sont situés sur une cercle.
3. Dans
on(considère) les trois points
( un repère
)
( de l’espace,
)
A 1 ; 2 ; 3 , B −1 ; 5 ; 4 et C −1 ; 0 ; 4 . La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour
représentation paramétrique :


 x = −2t − 1
 x = −1
y = 3t
y = 7t
a.
, t∈R
b.
, t∈R


z =
t+4
z = 7t + 4


 x = −1 − 2t
 x = 2t
y = 5 + 3t , t∈R
y = −3t , t∈R
c.
d.


z = 4+ t
z = −t
4. Dans un repère orthonormé de (l’espace, )on considère le
plan P passant par le point D −1 ; 2 ; 3 et de vecteur
)
−
→(
normal n 3 ; − 5 ; 1 , et la droite ∆ de représentation
paramétrique :

 x = t −7
y = t + 3 , pour tout t∈R

z = 2t + 5
a. La droite ∆ est perpendiculaire au plan P.
b. La droite ∆ est parallèle au plan P et n’a pas de point
commun avec le plan P.
c. La droite ∆ et le plan P sont sécants.
H
E
G
F
D
A
C
B
4. L’espace
est
muni
d’un
repère
orthonormé
(
→
− −
→ →
−)
O ; i ; j ; k . Soit le plan P d’équation cartésienne :
x + y + 3z + 4 = 0.
(
)
On note S le point de coordonnées 1 ; −2 ; −2 .
Proposition 4 : La droite (d) qui passe par S et qui
est perpendiculaire au plan P a pour représentation paramétrique
:

 x = 2 + t
y = −1 + t , pour tout t∈R.

z = 1 + 3t
Exercice 6051
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer
si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Terminale S - Annales sur le produit scalaire et les plans - http://chingatome.net
Dans les questions 1. et 2. , le plan est rapporté au repère
(
→
− −
→)
orthonormé direct O ; u ; v . On considère les points A,
B, C, D et E d’affixes respectives :
√
√
a = 2 + 2i ; b = − 3 + i ; c = 1 + i 3
√
√ )
(
3
d = −1 +
i ; e = −1 + 2 + 3 i
2
1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
2. Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à
un même cercle de centre E.
3. Dans cette question, l’espace est muni d’un repère
(
−
→ −
→ −
→)
O; i ; j ; k .
On( considère
:)
) les points
(
(
)
1;0;0 ; J 0;1;0 ; K 0;0;1
b. Donner une représentation paramétrique de la droite
(DF ).
c. Déterminer une équation cartésienne du plan P.
d. Calculer les coordonnées du point H.
’ est un angle droit.
e. Démontrer que l’angle EHG
2. On désigne par M un point de la droite (DF ) et par t le
−−→
−−→
réel tel que DM = t·DF .
On note α la mesure en radians de l’angle géométrique
÷
EM
G.
Le but de cette question est de déterminer la position du
point M pour que α soit maximale.
a. Démontrer que :
3 : la droite D de représentation paramé-
Affirmation
trique
 :
 x = 2
y = 6

z = −2
− t
− 2t
+ t
c. Justifier
( α ) que α est maximale si, et seulement si,
sin
est maximal.
2
En déduire que α est maximale si, et seulement si,
M E 2 est minimal.
Å
ã
1
1
coupe le plan (IJK) au point E − ; 1 ;
2
2
4. Dans le cube ABCDEF GH, le point T est le milieu du
segment [HF ].
d. Conclure.
G
Exercice 6265
(
−
→ −
→ −
→)
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; i ; j ; k ,
on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour
coordonnées :
(
Ä
ä
Ä √
ä
√
√ )
(
)
A 1 ; − 3 ; 0 ; B 1 ; 3 ; 0 ; C −2 ; 0 ; 0 ; D 0 ; 0 ; 2 2
T
E
3 2 5
5
·t − ·t +
2
2
4
b. Démontrer que le triangle M EG est isocèle en M .
(α)
1
= √ .
En déduire que : M E· sin
2
2· 2
où t∈R
H
M E2 =
F
D
C
1. Démontrer que
√ le plan (ABD) a pour équation cartésienne 4x+z 2 = 4
A
B
Affirmation 4 : les droites (AT ) et (EC) sont orthogonales.
2. On note D la droite dont une représentation paramétrique
 est :
 x =t
y = 0√ ,t∈R

z =t 2
Exercice 6261
a. Démontrer que D est la droite qui est parallèle à (CD)
et passe par O.
Dans l’espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces
ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles
en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des
côtés [AB], [BC] et [CA].
On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le
(
−−→ −→ −−→)
repère orthonormé A ; AB ; AC ; AD de l’espace.
1. On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF ).
On note H le point d’intersection du plan P et de la
droite (DF ).
a. Donner les coordonnées des points D et F .
b. Déterminer les coordonnées du point G, intersection
de la droite D et du plan (ABD).
3.
a. On note L le milieu du segment [AC].
Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et
est orthogonale à la droite (AC).
b. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son centre circonscrit.
4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier, c’est-àdire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
Terminale S - Annales sur le produit scalaire et les plans - http://chingatome.net

Download Report