日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 3（2015）算数教育における定義の概念的知識獲得を目的とした学習法の効果 The effect of the learning way which get the conceptual knowledge for its definition in arithmetic education 池田耕輔* 渡辺雄貴** 加藤浩*** Ikeda Kosuke* Watanabe Yuki** Kato Hiroshi*** 東京工業大学大学院社会理工学研究科* 東京工業大学教育革新センター** 放送大学教養学部*** Graduate School of Decision Sciences and Technology, Tokyo Institute of Technology* Center for Innovative Teaching and Learning, Tokyo Institute of Technology** Faculty of Liberal Arts, The Open University of Japan*** [要約] 本研究では、算数教育において、定義の概念的知識獲得を目的に、学習法の効果を検討した。都内公立小学校５年生と６年生に、分配法則計算の２種類の解法比較を行わせた。実験群の５年生には、図表活用方略とその方略を促すため、話し合いに聞き手と話し手という役割をもたせて、比較させた。ここで、分配法則の概念的知識獲得は、数学における分配法則の定義式を言語や図形を使って表現できることと定義し、式から言語、式から図形、図形から式を表現する３種類の問題で、概念的知識獲得の効果を測定した。その結果、実験群において、式を図形で表現する問題の事前、事後テストの差に、統計的な有意傾向がみられた。 [キーワード] 多様な解法概念的知識図表活用方略小学校算数分配法則 1. 求められている（文部科学省,2008）が、TIMSS はじめに算数や数学の国際的学力調査として、IEA（国のビデオ調査から、日本では、授業中の子ども際教育到達度評価学会）による TIMSS 調査やの言語活動は教師に比べて少なく、教師と生徒 OECD（経済協力開発機構）による PISA 調査によの発話回数の割合が８：２という結果が報告さって、日本の子どもの学力は、基礎基本的能力れている（Stigler and Hiebert,1999）。が国際的に見て高いが、応用力に課題があることころで、学習法の工夫に関して、1 つの問題とが明らかとなった（文部科学省,2008）。まに 1 つの解法ではなく、多様な解法を取りあげた、藤澤（2002）では、意味を考えず一時しのることが、古くから注目されているぎ的に答えや解法を丸暗記することや、学習法（Polya,1945）。多様な解法は、抽象的理解の深を工夫せず、反復的に学習する学習者の問題を化や問題解決力の獲得に効果的といわれておごまかし勉強としてまとめ、現代学力低下の要り、Rittle-Johnson and Star（2007）は、中学因となっていることを主張している。１年生２人１組のペアに、一次方程式の計算問このような学習上の背景から、算数や数学の題の解法を２つ並べて提示し、比較させること深い理解のために、暗記するのではなく、学んで、多様な解法の効果を示した。ここで提示さだ知識を言語や図、式を用いて表現する活動がれた解法の一つは、一般的な計算の解法で、も ― 59 ― 日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 3（2015）う一つは、計算の簡略化を意図した解法であっ 3. た。そのため、解法の差異の比較から、学習者１）図表活用法略は効率的な計算方法や状況に応じた使用方法を先行研究での問題点を踏まえ、本研究では、獲得したものと考えられる。多様な解法の式の比較に、概念的知識の獲得にこの実験では、計算の正答率で表される手続効果的とされる図表活用方略を用いることを考き的知識や、状況に応じた解法選択をできるかえた。植阪（2009）では、頭の中にある内的資どうかで表される手続き的柔軟性に、多様な解源だけでなく、図表などの外的資源を活用する法の効果があることを示したが、一次方程式の学習の重要性を主張し、濃度に関する問題解決抽象的な構造理解で表される概念的知識獲得への際、金属が水に溶けている様子を図で表し、の効果は、示されなかった。先行研究からは、概念理解を促進した。本研究でも、解法の異な多様な解法を単に比較するだけでは、概念的知る計算式をそれぞれ図で表し、式を単に数式の識獲得など、深い理解を促す学習には、不十分状態で比較するのではなく、図によって比較すであることが示唆された。る活動を行い、計算の概念的知識獲得を図っところで、数学における概念的知識獲得の定た。義は様々だが、Vinner(1991)は、数学の法則や２）話し合いの方法定義に関する概念の構造を概念的定義と概念的図表活用方略は、概念理解に効果的とされてイメージに分けて表現した。例えば、微分の概いる。しかし、図や表は、先生が説明すること念は、概念的定義が、数式で表される微分の定に役に立つだけで、自分が問題を解く際には役義式であり、概念的イメージは、接線の傾きをに立たないと考えている子どもが存在し、その表すグラフや図である。本研究でも、定義の概方略を知っていても自発的に利用しないことが, 念的知識の獲得は、数式で表現される概念的定報告されている（市川,1993,植阪,2000,植義と、その定義を図や言語の言い換えで表した阪,2002）。しかし、子ども同士の図表を使った概念のイメージの２つの獲得で、概念的知識の教え合いによって自発利用が促進されることも獲得とする。わかっている（Uesaka,2007）。したがって、本研究では、自然に図表を使った教え合いを行わ 2. 目的本研究で着目した学習方法せるために２人１組のペアに協同学習で使われ既存の学習法では、多様な解法を比較してもる聞き手と話し手という役割を与えた。また、計算問題では、概念的知識などの深い理解を促聞き手は、協力的な姿勢をもって説明を聞くよすことが難しい。したがって、本研究では、計うに指示し、話し手と聞き手の両方が実際に図算問題の多様な解法比較において、概念的知識を書いて説明するために役割を入れ替えることを獲得することを目的とする。また、この時のも行った。概念的知識の獲得は、計算に関する定義とそのイメージを図や言語を用いて表現できるとい 4. う、概念的定義と概念的イメージの獲得をもっ１）参加者と課題実験方法東京都内小学校５年生 34 名（男性 17 名、女性て、概念的知識の獲得と定義する。 ― 60 ― 日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 3（2015）図６事前テスト文章作成問題図１分配法則計算問題の比較課題１図７事前テスト図形配置問題図２分配法則計算問題の比較課題２図８事前テスト計算説明問題配法則の式で２通りに表し、それを並べて比較する問題２問を２人１組のペアで学習させた。２）条件別活動実験群（５年生）は２人１組の話し合いに聞図３面積図を使った比較活動き手と話し手の役割をもたせた。そして、片方だけの説明活動にならないようにその役割を問題１と問題２で入れ替えた。また、並べた式の比較においては、２つの式を面積図（図３）やおはじき図（図４）などの図形に変換することで比較する活動をおこなった。統制群（６年生）は計算の比較の際、それぞれの解法が正し図４おはじき図を使った比較活動いか確認した。その後、ペアで解法の比較をおこなった。特に、話し合いの方法は定めず、図形を使った式の比較も促さなかった。３）手続き実験群（５年生）統制群（６年生）ともに、事前テスト（20分）、事前学習（20分）、条件別活動（20分）、事後テスト（20分）の順で、45分図５分配法則の概念獲得モデル 17 名）と、同一小学校６年生 34 名（男性 18 名、２時間連続の授業内で実験をおこなった。女性 16 名）が参加した。４）事前・事後テストの構成課題は、図１、図２のように１つの文章題を分 ― 61 ― 事前・事後テストでは、分配法則の概念獲得日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 3（2015）表１文章作成問題評価項目計算式の細かな意味の記述あり計算式の細かな意味の記述なしレベル Level .1 Level.2 Level.3 Level.4 評価基準文章題を作問題とは違う文式の括弧の意味を捉えてい商品の個数や金額を工夫し文章題を作成。括弧を用いてまと成できない章題を作成するないが文章題を作成できるめられることに関しての記述もある表２図形配置問題評価基準計算効率の示唆あり図形を用いて計算効率の示唆なしレベル評価基準 Level.1 Level.2 Level.3 Level.4 図を配置できない図を配置できる図を配置し図にあった式を作れる計算効率を考えて図を配置し、式を作成できる表３計算説明問題評価基準計算方法の説明計算方法＋理由計算の概念的知識獲得レベル Level.1 Level.2 Level.3 Level.4 評価基準計算方法がわからない、計算のやり方を知っていて、そ図を使って、分配法則の等事前テストとは異なる図の説明をまたは、計算方法はわかの方法に、「簡単に計算できる式の意味を記述している獲得している。るが理由がわからないから」などの理由付けがあるを測るために、概念的定義を分配法則の式、概６）評価念のイメージを図や言語として図５のように表事前・事後テストの評価は、各問題１から３した。この分配法則の概念を元に、言語、式、に対して、４段階のルーブリックを作成し評価図形の関わりにおいて、式を言語で表す問題した。（表１から３を参照）問題１は、商品の個１、図形で式を表す問題２、そして、式を図形数や値段を工夫することで、分配法則の計算で表す問題３の３つから問題を構成した。なが、括弧を用いてまとめられることをあらわせお、言語から分配法則の式を表す宣言的知識のるかを評価項目として設定した。部分は概念的知識ではないため、問題から除外問題２では、長方形の図を回転し、組み合わした。せ、生じた図形から面積の式を作成できること５）事前・事後テストの問題や計算の簡略化を意識して、図を配置している問題１は、図６のように式からその式にあっかを評価項目として設定した。た文章題を作成する問題とした。問題２は、図問題３では、分配法則の計算を相手に説明す形の操作から式を表現する問題として、図７のる場合、単なる式変形の説明や簡略性に関するような問題とした。そして、問題３は、図８の理由をつけただけでなく、図を用いることで、ように分配法則を第三者に説明する際の図形使概念のイメージをより詳細に説明できている用を見るために作成した。か、また、事前テストとは異なった図形を事後 ― 62 ― 日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 3（2015）テストで用いているかなどを基準として評価項その結果、問題１の文章題作成問題の統制群、目を設定した。問題２の図形配置問題の実験群、問題３の計算説明問題の実験群において、帰無仮説を棄却す 5. る有意傾向がみられた（p<0.1）。分析結果実験群（５年生）と統制群（６年生）に対して、事前・事後で、問題１から３を実施し、４ 6. 段階の評価をおこなった。事前・事後における問題１の文章題作成問題について考察する。得点の推移の人数を図９から図 11 で示す。右下実験群ではなく統制群の事前事後テストの差にがりの対角線を基準に、対角線上の子どもは事有意な傾向がみられたが、特に、事前テストで前・事後で得点の伸びがなかったことを示す。 Level.１や Level.２であった統制群（６年また、右下がりの対角線よりも上側に位置する生）の子どもは、事後テストで、７人中６人の子どもは得点が上昇しており、逆に右下がりの子どもが Level.４に変化しており、多くの子対角線よりも下側に位置する子どもは、得点がどもが適切な文章題を作成できない段階からで下降していることを示す。きる段階に変化している。数字ではなく事前・事後テストでの子供のルーブリックの商品や値段などの言い回しを工夫する問題でレベル変化に差がないことを帰無仮説として、は、言語能力の影響が生じたと考えられる。ウィルコクソンの符号順位検定をおこなった。次に問題２の図形配置問題について考察す考察る。実験群（５年生）では、事前テストで Level.１や Level.２であった子どもが、事後テストでは、Level.４に上がるなど、条件別活動時の式を図に変換して比較しあう活動の効果が示唆された。しかし、統制群の Level.４の図９文章作成問題事前・事後レベルの推移人数が 34 人中 32 人とクラスの大半を占めているため、すべての子どもに一般化できる適切な実験群・統制群比較実験とはならなかった。今回は、５年生レベルの学力の子どもに効果的であるという結果に留まったといえる。最後に問題３の計算説明問題について考察す図 10 図形配置問題事前・事後レベルの推移る。図 11 をみると、元々説明に図を使う、事前テストから Level.３以上の子どもに関して、実験群では、４人中３人が事前テストとは別の図を使って説明するなど、式を色々な図に変えて説明することへの熟達が見られた。条件別活動時に、実験群では、おはじき図や面積図などの図 11 計算説明問題事前・事後レベルの推移図を使って式を図に表していたので、その効果 ― 63 ― 日本科学教育学会研究会研究報告 Vol. 30 No. 3（2015）があったことが考えられる。 Cognitive Studies Sep. 2009 In D.S. McNamara & J.G. Trafton (Eds.), 7. Proceedings of the 29th Annual 今後の課題本研究は、図形を使った多様な解法の比較 Cognitive Science Society, 677–682. が、分配法則の定義式を図形で表現することに Austin, TX: Cognitive Science Society, 影響し、分配法則の定義の概念的知識獲得に効 2007 植阪友理：認知カウンセリングによる学習スキ果があることがわかった。特に、今回の方法では、定義のイメージを言語で表すことの効果をルの支援とその展開−図表活用方略に着目し実証することはできなかったが、図形を使ったて−認知科学,16(3),313-332,2009 文部科学省：中学校学習指導要領解説数学編式の比較と図形を使わない式の比較において、教育出版,2008 話し合いがどのように異なるのかを質的に分析藤澤伸介：ごまかし勉強−学力低下を助長するシし、その時の会話が、定義に関するイメージをステム−新曜社,2002 言語や図形で表すことにどう関係しているのか Polya, G：How to solve it : A New Aspect of を調べることを今後の課題としたい。 Mathematical Method.Princeton, 謝辞 N.J.Princeton University Press,1945 Rittle-Johnson,Star：Does comparing 本研究を進めるにあたりご指導頂きました東京工業大学中山教授、栗山助教、CSCLゼミの皆 solution methods facilitate conceptual 様、研究にご協力頂いた小学校関係者の皆様に and procedural knowledge? An 厚く御礼申し上げます。 experimental study on learning to solve equations. Journal of Educational 参考文献 Psychology, 9,561-574,2007 Stigler,Hiebert：The teaching gap:Best 市川伸一:学習を支える認知カウンセリング−心理学と教育の新たな接点—ブレーン出 ideas from the world's teachers for 版,1999 improving education in the classroom.New York: The Free Press.湊三植阪友理：表やグラフを生かした比例関係の学習―道具としての表やグラフの利用を目指郎 (釈) 日本の算数数学教育に学べ米国がして―東京大学認知カウンセリング事例注目する jugyou kenkyuu,教育出版,2002 Vinner, S：The Roll of Definition in the 集,1–8,2002 teaching and learning of mathematics In 植阪友理：数学的問題解決の道具としての図表の利用を定着させる授業法の提案、学校臨 D。Tall(Ed),advanced mathematical 床研究 2 (1), 114–119,2003 thinking,Dordrecht Kluwer Academic Uesaka,Manalo：Peer instruction as a way of promoting spontaneous use of diagrams when solving math word problems。 332 ― 64 ― Publishers,65-81,1991