iii まえがき本書は，経済学の論文を読むのにいまや不可欠になった基本的な数学的手法を学ぼうとされる経済学部の学生のために書かれたものである。不幸にして，多くの学生にとって数学を学習することは苦い薬を飲むのと似て，絶対に必要であるが非常に不快である。そのような状況は「数学嫌い」といわれるが，その原因についてわれわれは，数学の提示の仕方が良くなかったのではないかと考える。簡潔性は上品さを意味するという考えから，しばしば説明があまりにも短すぎ，その結果，学生を当惑させ，自分は数学に不向きではないかという間違った考えを植えつけることになった。数学があまりにも形式的な形で示されると，もし直観的な説明やその「意味づけ」がなされなければ，学習の動機づけを損なうことになる。また教材のレベルが急に高まると，数学的なトピックスが実際よりもむずかしく見える可能性がある。最後に過度に複雑な練習問題は，学生の思考を促進するよりもむしろ自信を失わせる危険がある。それらのことを考えて，われわれは数学嫌いにさせるような要因を最小限にするように懸命な努力をした。神秘的な説明ではなく，可能な限り忍耐強く説明を繰り返した。形式的なスタイルにとらわれるのではなく，「読者の立場に立って」説明している。当然のことながら，学生が本書を読まれる過程で疑問に思われそうな点を予想し，それに答えるようにしている。経済学における数学の重要性が理解できるように，経済学者の分析上の必要性がそれに関連する数学的な手法の研究を促進していることを明らかにし，また数学的な手法を適切な経済モデルを用いて説明している。さらに数学的な道具は段階的なスケジュールに沿って示しており，まず基本的な分析手法を踏み石として先に示し，より上級な手法は後のほうで議論する。必要な場合には，図による説明によって代数による結果を補強している。練習問題は理解を高め自信をつけることになるようなドリルとして位置づけ，初心者を不当 iv に失望させたり脅したりしないように工夫している。本書では経済分析の次のような主要なトピックスが扱われている。すなわち静学（均衡分析），比較静学，（静学の特別なタイプとしての）最適化問題，動学，および動学的最適化である。これらの問題を扱うために，それに対応して次のような数学的手法が導入される。すなわち，行列代数，微積分，微分方程式，差分方程式，および最適制御理論である。マクロ・ミクロ両方の解説的な経済モデルがかなり多く登場するので，本書はすでに数学的な訓練を受けているが，数学の領域から経済学の領域に関心を向けられるようになった人々にとって，1 つの案内役として有用である。同じ理由から，本書は数学的手法を扱うコースのテキストとして役立つだけでなく，ミクロ経済学，マクロ経済学，経済成長論や経済発展論のコースの補完的な文献としても有用である。この版でもこれまでの版の基本的な目的とスタイルは維持している。しかし，この版ではいくつかの点で大きな変更を行った。数理計画に関する題材は「最適化のさらなるトピックス」というタイトルで，新しく第 13 章として本書の前のほうに入れている。この章は 2 つのテーマをもつ。すなわち，不等式制約下の最適化と包絡線定理である。最初のテーマでは，クーン-タッカー条件が前版と同様な方法で展開されている。しかし扱っているトピックスは，ピークロード・プライシングや消費者配給制などを含むいくつかの新しい応用例を入れて拡張している。2 番目のテーマは包絡線定理の展開，最大値関数，および双対性の概念に関連している。包絡線定理をさまざまな経済モデルに適用することによって，ロイの恒等式，シェパードの補題，およびホテリングの補題のような重要な結果を導く。いま 1 つの重要な追加分は，最適制御論を扱った新しい第 20 章である。この章の目的は，最適制御の基礎を提供し資源経済学や最適成長論などからの例を含めて，それがどのように経済学に応用されるかを示すことである。この章の題材の多くは，Alpha. C. Chiang の Elements of Dynamic Optimization （McGraw-Hill, 1992, 現在は Waveland Press Inc. から出版。小田正雄・仙波憲一・高森寛・平澤典男訳『動学的最適化の基礎』シーエーピー出版，2006 年）の最適制御理論の議論にもとづいている。なお，この書物では最適制御とその前身である変分法の両方について詳しい説明を行っている。まえがき v これらの新しい 2 章以外にも，この版ではいくつかの重要な追加や改善を行っている。第 3 章では，高次の多項式を解く問題を因数分解によって展開している（3.3 節）。第 4 章では，マルコフ・チェインに関する新しい節が加えられている（4.7 節）。そして第 5 章では，階段行列によって行列の階をチェックしており（5.1 節），レオンチェフの投入・産出モデルとの関連でホーキンズ-サイモン条件を導入している（5.7 節）。経済への適用では，新しい例がつけ加えられており，また既存の例のいくつかについても補強されている。モデルの線形モデルが 5.6 節に取り入れられており，8.6 節のモデルのより一般的な形が閉鎖経済と開放経済の両方を含むように拡張され，それによって比較静学の一般的な関数モデルへの適用がより豊かになっている。その他追加されたものとしては，期待効用と危険選好（9.3 節），コブ-ダグラス生産関数を組み込んだ利潤最大化モデル（11.6 節），2 期の異時点間選択モデル（12.3 節）である。最後に，練習問題も改訂，拡充されており，学生がその技術を磨けるようにしている。 vi 謝辞本書は多くの人々の恩恵によってでき上がっている。まずすべての数学者と経済学者に多くを負っており，その先駆的なアイデアが本書の基になっている。第 2 に，長年にわたって接した多くの学生諸君があり，彼らから受けた努力と質問が本書の哲学とアプローチをつくり上げている。これまでの本書の 3 回の改訂版では，次の方々からコメントと助言を得た（アルファベット順）。Nancy S. Barrett, Thomas Birnberg, E.J.R. Booth, Charles E. Butler, Roberta Grower Carey, Emily Chiang, Lloyd R. Cohen, Gary Cornell, Harald Dickson, John C.H. Fei, Warren L. Fisher, Roger N. Folsom, Dennis R. Heffley, Jack Hirshleifer, James C. Hsiao, Ki-Jun Jeong, George Kondor, William F. Lott, Paul B. Manchester, Peter Morgan, Mark Nerlove, J. Frank Sharp, Alan G. Sleeman, Dennis Starleaf, Henry Y.Wan, Jr., および Chiou-Nan Yeh。今回の改訂にあたって次の方々からいただいた助言とアイディアに対して，心からの謝意を表したい。Curt L. Anderson, David Andolfatto, James Bathgate, C.R. Birchenhall, Michael Bowe, John Carson, Kimoon Cheong, Youngsub Chun, Kamran M. Dadkhah, Robert Delorme, Patrick Emerson, Roger Nils Folsom, Paul Gomme, Terry Heaps, Suzanne Helburn, Melvin Iyogu, Ki-Jun Jeong, Robbie Jones, John Kane, Heon-Goo Kim, George Kondor, Hui-wen Koo, Stephen Layson, Boon T. Lim, Anthony M. Marino, Richard Miles, Peter Morgan, Rafael Hernández Núñez, Alex Panayides, Xinghe Wang, および Hans-Olaf Wiescmann。われわれはとくに Sarah Dunn に感謝したい。彼女はタイピストとして，ゲラのチェック者として，そして研究助手として非常に有益で献身的な貢献を果たしてくれた。本書の出版にあたって，Denise Potten からいただいた協力と着実な仕事にとくに多く負っている。最後に原稿の作成過程でいただいた忍耐と努力について，McGraw-Hill の Lucille Sutto，Bruce Gin，およ謝辞 vii び Lucy Mullins に心からの謝意を表したい。この最終財になお残っているかもしれないミスについての責任は，すべてわれわれにある。本書の使用についての助言本書の構成は数学的な分析手法が次第に積み上げられる形になっているので，理想的な学習方法は最初から順番に読んでいくことである。しかしもちろん変更は可能である。1 階の微分方程式（第 15 章）が終われば，最適制御論（第 20 章）に直接進むことができる。しかしもし第 15 章から直接第 20 章に行くとしても，2 変数の位相図を扱う 19.5 節を一読されることが望ましい。もし比較静学が主要な関心の対象でなければ，一般関数モデル（第 8 章）の比較静学分析をスキップして，第 7 章から第 9 章に移ってもよい。しかしその場合は，11.7 節，12.5 節の比較静学の部分，および第 13 章の双対性の議論も省略する必要がある。 Alpha C. Chiang Kevin Wainwright ix 目次まえがき ······························································································iii 第1部序第1章論数理経済学の基礎 ·····································································3 1.1 数理経済学と非数理経済学 ························································3 1.2 数理経済学と計量経済学 ··························································· 5 第2章経済モデル ···············································································7 2.1 数学的モデルの諸要素 ······························································ 7 2.2 実数体系 ················································································ 10 2.3 集合の概念 ·············································································12 2.4 関係と関数 ·············································································21 2.5 関数のタイプ ··········································································28 2.6 2 個ないしそれ以上の独立変数をもつ関数 ································ 35 2.7 一般性の程度 ··········································································37 第 2 部静学（あるいは均衡）分析第3章経済学における均衡分析 ························································· 41 3.1 均衡の意味 ·············································································41 3.2 部分市場均衡 —– 線形モデル ··················································· 42 3.3 部分市場均衡 —– 非線形モデル ················································47 3.4 一般市場均衡 ··········································································55 3.5 国民所得分析における均衡 ····················································· 62 x 第4章線形モデルと行列代数 ·····························································65 4.1 行列とベクトル ······································································ 66 4.2 行列演算 ················································································ 69 4.3 ベクトル演算について ·····························································80 4.4 可換法則，結合法則，および分配法則 ······································91 4.5 単位行列とゼロ行列 ································································96 4.6 転置行列と逆行列··································································100 4.7 有限マルコフ・チェーン ························································108 第5章線形モデルと行列代数（つづき） ···········································113 5.1 行列の非特異性のための条件 ················································· 113 5.2 行列式による非特異性のテスト ··············································122 5.3 行列式の基本的性質 ······························································ 130 5.4 逆行列の求め方 ·····································································137 5.5 クラーメルの公式··································································142 5.6 市場モデルと国民所得モデルへの応用 ···································· 148 5.7 レオンチェフの投入産出モデル ··············································154 5.8 静学分析の限界 ·····································································167 第3部第6章比較静学分析比較静学と導関数の概念 ························································171 6.1 比較静学の性質 ·····································································171 6.2 変化率と導関数 ·····································································172 6.3 導関数と曲線の傾き ······························································ 176 6.4 極限の概念 ··········································································· 177 6.5 不等式と絶対値について ························································187 6.6 極限定理···············································································192 6.7 関数の連続性と微分可能性·····················································195 第7章微分法とその比較静学への適用 ··············································205 7.1 1 変数の関数の微分法 ····························································205 目次 xi 7.2 同じ変数による 2 つまたはそれ以上の関数を含む場合の ·········· 微分法 ··············································································210 7.3 異なる変数を含む関数の微分法 ··············································223 7.4 偏微分 ··················································································228 7.5 比較静学分析への適用 ···························································234 7.6 ヤコービ行列式についての覚書 ··············································241 第8章一般関数モデルの比較静学分析 ··············································245 8.1 微分 ··················································································247 8.2 全微分 ··················································································254 8.3 全微分の法則 ········································································257 8.4 全導関数···············································································260 8.5 陰関数の導関数 ·····································································266 8.6 一般的な関数モデルの比較静学 ··············································281 8.7 比較静学の限界 ·····································································298 第4部第9章最適化問題最適化 —– 均衡分析の 1 つの側面···········································303 9.1 最適値と極値 ········································································304 9.2 相対的最大値および最小値 —– 1 次導関数テスト ·····················305 9.3 2 次および高次の導関数 ························································ 313 9.4 2 次導関数テスト ·································································· 322 9.5 マクローリン級数とテーラー級数 ···········································334 9.6 1 変数関数の相対的極値に関する N 次導関数テスト ················ 346 第 10 章指数関数と対数関数 ···························································· 353 10.1 指数関数の性質 ···································································354 10.2 自然指数関数と成長の問題 ···················································360 10.3 対数 ················································································370 10.4 対数関数 ·············································································376 10.5 指数関数と対数関数の導関数················································382 xii 10.6 最適なタイミング ································································390 10.7 指数と対数の導関数のその他の適用例···································395 第 11 章選択変数が 2 つ以上ある場合 ··············································· 403 11.1 最適化条件の微分表現 ························································· 404 11.2 2 変数の関数の極値 ·····························································407 11.3 2 次形式 —– 少しハードな“遠足” ······································ 417 11.4 3 変数以上をもつ目的関数 ··················································· 433 11.5 凹性と凸性との関連での 2 階の条件······································439 11.6 経済学への適用 ···································································459 11.7 最適化の比較静学的側面 ······················································475 ［下巻目次］第4部最適化問題（つづき）第 12 章等式制約下の最適化第 13 章最適化にかかわるさらなるトピックス第5部動学分析第 14 章経済動学と積分法第 15 章連続型の時間 —– 1 階微分方程式第 16 章高次微分方程式第 17 章離散型の時間 —– 1 階差分方程式第 18 章高階差分方程式第 19 章連立微分・差分方程式第 20 章最適制御理論ギリシャ文字数学記号簡単な文献リスト練習問題の解答索引訳者あとがき