1 はじめに 2 この卒業論文では、ゼミで使用しているテキストと他のゼミ生のノートを参考にしながら、球面三角法と双曲三角法について勉強したこと、さらに双曲幾何学を理論づけたうちの１人「ヤーノシュ・ボヤイ」についてまとめた。双曲幾何学は、普通はありえないと思うような学問である。三角形の内角の和が１８０度よりも小さかったり、平行な直線を無限に引くことが出来たりする。私は、そんな世界の学問と出会い、興味がわき、少しでも勉強してみたいと思い、この卒業研究で触れることを決意した。また、ユークリッド幾何の第５公準を他の公準から証明しようとする（結局証明できないことが証明されるわけだが）過程で、何人もの人間が苦しみ死んでいった。そんな中で、第５公準が成り立たないと仮定するとどうなるのか、を研究し双曲幾何学を理論づけた人物がいた。私は、その人物について調べ、卒業研究として載せることにした。私は、双曲幾何学を理論づけたガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーの３人の中で、最も過酷な人生を送ったボヤイに注目した。そして彼の人生の中の輝きと苦しみが伝わるように参考文献 [3] をもとに出来るだけ詳しく２章でまとめた。３章では、ゼミ生の内野の発表と参考文献 [1],[2],[4] を参考にし、２つの双曲余弦定理の証明と正弦定理の証明を勉強しまとめた。４章では、ボヤイとは関係はないのだが、私がゼミを欠席し抜けてしまった部分である、球面三角法について参考文献 [1],[2],[4] をもとに卒業論文の中に加えて載せた。最後に５章では、平面、球面、双曲面上での三角法を比較した。 3 ヤーノシュ・ボヤイ最終的に第５公準の役割を明確にし、非ユークリッド幾何学を編み出したのは、ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス（１７７７∼１８５５）、ニコライ・イワノヴィッチ・ロバチェフスキー（１７９２∼１８５６）、ヤーノシュ・ボヤイ（１８０２∼１８６０）の３人である。私は、ヤーノシュ・ボヤイが生まれる前までさかのぼり、彼がどんな人生を送ったのかを調べた。 (非ユークリッド幾何学とは、ユークリッド原論の第１∼５公準のなかの第１∼４公準はそのままとして第５公準を否定しても矛盾なく成り立つ学問である。ここで、ユークリッド原論の第５公準とは「一つの直線が２直線と交わり、同じ側につくる内角の和が２直角より小さいならば、これらの２直角を延長すれば、２直角より小さい角のある側で交わること。」である。）ヤーノシュの父であるハンガリー出身のファルカシュ・ボヤイ（１７７５∼１８５６）は、ゲッティンゲン大学でガウスと出会った。ファルカシュは、かつては裕福であったが、いまは凋落の一途をたどる、トルコ人との長い戦い歴史を持つ家系に生まれた。ファルカシュの父親はわずかな私有地にしがみついていたが、家の金はとうに尽きていた。ファルカシュは１２歳で学校をやめた。大学に通うことが出来たのは、ケメニ男爵の息子である８歳のシモン・ケメニの家庭教師として雇われたからだった。ファルカシュはシモンの大親友になり、男爵はファルカシュとシモンをゲッティンゲン大学に通わせた。ファルカシュとガウスは、第５公準に大きな関心を抱いていた教授の講義に登録した。ガウスはそこで講義の内容が簡単すぎるとして教授をからかっていた。このころからガウスは天才的な頭脳と嫌味な性格を持ち合わせていたようである。講義が終わると２人はユークリッドの公理、平行線公準の独立性、その他の数学の問題について議論した。ファルカシュは第５公準に魅せられ、一方、ガウスは第５公準に関する関心を一生抱き続けることになった。ファルカシュとガウスは１７９８年に大学を卒業し帰郷した。ガウスは小惑星の軌道を自らの手法で計算し、実際に予測した場所と時間に小惑星が現れたことによって、一躍有名となった。そして、ゲッティンゲン大学に就職し、結婚もし満足な生活を送っていた。それにひきかえ、ファルカシュの運命は過酷だった。支援者であった男爵は経済的な苦境に陥り、息子のシモンにしか帰国の費用を送金することが出来なかった。一文無しになったファルカシュは、借金と友人に頼って１年間ゲッティンゲン大学に留まった。最終的には、友人からの送金で借金を返済し、徒歩でハンガリーまで帰った。故国では、不本意ながら、薄給で長時間拘束されるが安定した仕事に就き、大学で数学、物理、化学を教えることになった。１８０１年に結婚し、翌年の１８０２年１２月に息子のヤーノシュが生まれた。妻は極度の不安神経症を患っていた。ファルカシュは少ない収入を補うために、いくつもの副業を 4 し、そのかたわら、暇を見つけては数学の研究を続けた。ファルカシュは、頭脳明晰な息子を数学者にすることを目論み、息子の教育に力を注いだ。ヤーノシュが９歳になるまで大学の教え子を家庭教師につけて教育し、大学進学のための予備校に入ってからはファルカシュ自ら数学を教えた。ヤーノシュは、１３歳のころにはプロ並みにバイオリンを弾きこなし、微積分と解析力学に精通し、数ヶ国語をマスターしていた。しかし、ファルカシュには、ヤーノシュを一流大学に通わせるだけの金がなかった。１８１６年にガウスの家で数学を勉強させてほしいとファルカシュは頼んだが、ガウスは聞き入れなかった。しかたなく、ヤーノシュはウィーンの王立工科大学にすることにした。７年間の工兵学の課程を４年で卒業した後、１１年にわたって、ハンガリー帝国陸軍に勤務し、剣術とダンスの腕前にかけては帝国陸軍で右に出る者がいないと評判をとった。しかし、ヤーノシュは陸軍で勤務しながらも数学を勉強し続け、１８２０年に、自分は第５公準を研究していることを父に伝えた。それを知って心配した父は、研究を思いとどまらせようと次のような手紙を書いた。「平行線の理論を究めようという試みは是非とも断念してほしい。一生を棒に振ることになるぞ。お前の言っている方法でも、他のいかなる方法でも、試みてはいけない。すべての光を呑み込み、人生のあらゆる喜びを奪ってしまうその深い闇を私自身が通ってきたからこそ、そう言えるのだ。一生のお願いだから、なんとしてもあきらめてくれ。このテーマは、肉欲と同じくらい恐ろしいものと心得よ。すべての時間を奪い、健康も、心の平安も、幸福な人生も損ねるおそれがあるからだ。」この強い言葉には、長年第５公準を研究しても明らかにできないという苦い経験からきている。しかしヤーノシュは、当初、ユークリッドの公準を他の公準から導き出せる別の記述に置き換えようと試みた。その試みは１年以内で諦めたが、父の懇願を無視した。次に、第５公準が成り立たないとするとどうなるかを真剣に考え始めた。ヤーノシュのノートは、現在の「双曲幾何学」と呼ばれている理論をその時彼が考え始めたことを示している。１８２３年に、ヤーノシュは父への手紙に、「まったく新しい別の世界をゼロから作っている最中です。」と書いている。１８２４年にはその研究が完了したものと思われる。当初やや懐疑的だった父も最終的には息子の研究の価値を確信した。父は１８３１年に出版する自分の著書の付録で研究成果を発表するように説得した。そして父はその付録をガウスに送った。ガウスの返事を要約すると、「その論文を称賛することはできない。なぜなら自分自身を称賛することになるからだ。私が３０∼３５年前に発見した結果と一致しているのである。死ぬ前にまとめて書き残そうと思っていたが、息子さんが発表してくれたおかげで面倒な作業をやらなくて助かった。」である。ファルカシュはこの返事に満足したが、ヤーノシュは立ち直れないほどの衝撃を受けた。ヤーノシュの精神状態は悪化し始めた。苛立ちやすくなり、精神の安定を失い始め、１８３３年には軍隊を退職した。さらに、まだ苦しみが足りないとでも言わんばかりに、ヤーノシュに先駆けて同じ研究成果を発表したロバチェフスキーという人物がいることがわかった。ヤーノシュは１８３３年に引退し、父方の祖母が一家に遺した屋敷で暮らし始めた。その後、ヤーノシュは父が交際を認めなかった女性と婚約し、父と子の関係は悪化した。ヤーノシュは引き続き数学の研究を続けたが、数学の主流からは遠いところにあった。ガウスから父にロバチェフスキーの１８２９年に発表された論文を知らされて、その影響で１８４６年にヤーノシュもロバチェフスキーの論文の存在を知った。そのときのヤーノシュの苦悩の想いがメモとして残っている。「ロバチェフスキーなどという人物は存在せず、すべてガウスがヤーノシュの功績を横取りするために仕組んだ茶番だ」いかにロバチェフスキーの論文を高く評価していたか、苦しんでいたかを物語っている。ヤーノシュは、ハンガリー独立宣言後、婚約していた女性と１８４９年に結婚したが、１８５２年に離婚した。その頃、彼の関心の対象は、数学から一般認識論の確立へ移っていた。そして、ヤーノシュは１８６０年１月２７日、肺炎のため５７歳で亡くなった。父親の著書の付録以降、ヤーノシュが論文を発表することはなかったが、２万枚を超える数学の草稿を残した。その後、非ユークリッド幾何学は脚光を浴び、ボヤイの業績は数学の主流に組み込まれていった。 5 6