工業数理基礎(J)［数学の基礎-三角関数］ ◎ 三平方の定理直角三角形の三辺の長さを図のように a,b,c とすると c (斜辺) b き、次の関係が成り立つ。 (高さ) = + a (底辺) ◎ 三角比上図の直角三角形で a=4, b=3 のとき、c=5 となる。 10 辺 a と b の長さをそれぞれ 2 倍にする(a’=8, b’=6)と辺 c’ 5 の長さは、10 になる。このように、三つの角度が同じ直角三角形では、一つの辺の長さが n 倍になれば、残 3 6 )θ 4 りの二つの辺の長さもそれぞれ n 倍になる。 8 シータすなわち、辺の長さの比は一定であるといえる。たとえば、角度 θ の直角三角形で底辺底辺と斜辺の比は、 = = = 0.8となる。辺の長さを 2 倍した三角形でも、底辺斜辺 = = = 0.8 斜辺となる。これを三角比(三角関数)といい、次の関係が成り立つ。高さ = sin θ , 斜辺底辺 = cos θ , 斜辺高さ = tan θ 底辺 ◎ 三角関数次の代表的な三角形の図を参考にして、三角関数の値を答えよ。答えは分数のままでもよい。電卓は使わないこと。 ① sin 30 ﾟ = 1/2 ② sin 45 ﾟ = 1/√2 ③ sin 60 ﾟ = √3/2 ④ cos 30 ﾟ = √3/2 ⑤ cos 45 ﾟ = 1/√2 ⑥ cos 60 ﾟ = 1/2 ⑦ tan 30 ﾟ = 1/√3 ⑧ tan 45 ﾟ = 1 ⑨ tan 60 ﾟ = √3 工業数理基礎(J)［数学の基礎-三角関数］数学の基礎練習問題 1 年次組番・氏名【1】次の直角三角形でについて答えよ。平方根は簡単にして答える(例 √20 = 2√5)。 (1) c b (3) = &8 + 6 = √64 + 36 = √100 = 10 (4) + = より、 ( =& , (5) + = より、 = 6, = 9 のときはいくらか。 = √81 ( 36 = √45 = 3√5 = 9, = 15 のときはいくらか。 = = 5 のときはいくらか。 ( = √25 ( 9 = √16 = 4 (6) = 5, = &5 + 5 = √25 + 25 = √50 = 5√2 = 3, = 5 のときはいくらか。 = = 4 のときはいくらか。 = &3 + 4 = √9 + 16 = √25 = 5 a = 8, = 6 のときはいくらか。 (2) = 3, ( , =& (7) = 6, = 12 のときはいくらか。 ( = √225 ( 81 = √144 = 12 = √144 ( 36 = √108 = 6√3 【2】次の三角比を求めよ。平方根は簡単にして答える(例 √20 = 2√5)。分数のままでよい。 c )θ (1) *+, - = b = 1, =2 *+, - = - = 30° (2) = 1, = 1, = √2 - = 45° (3) (4) = 1, *+, - = = √3, - = 60° = 4, = 3, =2 = 12, = 9, 1 √2 底辺 , 斜辺 .* - = .* - = √3 2 1 √2 / ,- = 高さ底辺 / ,- = 1 √3 / ,- = 1 √3 2 .* - = 1 2 / , - = √3 *+, - = 3 5 .* - = 4 5 / ,- = 3 4 *+, - = 9 3 = 15 5 .* - = 12 4 = 15 5 / ,- = 9 3 = 12 4 = 15 - = 36.87° 1 2 .* - = *+, - = =5 - = 36.87° (5) , 斜辺 a = √3, 高さ (4) (5)の三角形のイメージ同じ角度の直角三角形は辺の長さが違っても、二辺の比率は同じになる。工業数理基礎(J)［数学の基礎-三角関数］数学の基礎練習問題 2 c 年次 *+, - = b 高さ組番・氏名 , .* - = 底辺 , / ,- = 高さ )θ 斜辺斜辺底辺 a 角度がθの直角三角形では、辺の長さに関係なく、二辺の長さの比率は同じになる。この性質を利用すると、角度θの直角三角形で一辺の長さがわかれば他の二辺の長さが計算できる。例 - = 30° の直角三角形の場合。 *+, 30° = 1/2, .* 30° = √3/2, / , 30° = 1/√3。 ① 辺 = 10 のとき辺の長さは？辺と辺の比率は、 .* - である。この関係式を使って次のように求める。 .* 30° = √3 = より 2 10 a = 10 1 √3 = 5√3 2 ② 辺 = 10 のとき辺の長さは？辺と辺の比率は、 *+, - である。この関係式を使って次のように求める。 *+, 30° = 1 = より 2 10 = 10 1 1 =5 2 【1】次の辺の長さを求めよ。平方根は簡単にして答える(√20 = 2√5)。分数のままでよい。直角三角形 c b )θ - = 30° → *+, 30° = a - = 45° → *+, 45° = - = 30° → : : = √3: 1: 2 - = 45° → : : = 1: 1: √2 - = 60° → : : = 1: √3: 2 - = 60° → *+, 60° = (1) - = 30°, = 30 のときは? = 30 cos 30° = (3) - = 30°, = 30√3 = 15√3 2 = 30 のときは? 30 2 60 60 1 √3 60√3 = 30 1 = = = = 20√3 cos 30° 3 √3 √3 √3 1 √3 (5) - = 60°, = 30 のときは? = 30 cos 60° = (7) - = 45°, 30 = 15 2 = 30 のときは? = 30 tan 45° = 30 1 , 2 1 .* 30° = √3 , 2 , .* 45° = √3 , 2 .* 60° = √2 1 √2 1 , 2 / , 30° = , (4) - = 30°, / , 60° = √3 30 = 15 2 = 30 のときは? 30 = 30 1 2 = 60 sin 30° (6) - = 60°, = 30 のときは? = = 30 tan 60° = 30√3 (8) - = 45°, = = 30 のときは? 30 = 30√2 cos 45° √3 / , 45° = 1 (2) - = 30°, = 30 のときは? = 30 sin 30° = 1