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7 第2講 数列の極限(ⅱ) 数学Ⅲ 【問題1】 次の極限を求めよ.

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第2講 数列の極限(ⅱ)
【問題1】
次の極限を求めよ.
lim
n ®¥
7
rn
1 + r +  + r n -1
数学Ⅲ
【問題2】
次の無限級数の収束発散を調べ,収束するものについては和を求め,発散するものにつ
いては,その理由を述べよ.
(
) (2 3)
(
)
(1) 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + …
2
n
n +1
(2) 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + n + 2 - …
2
8
2
3
n
n +1
n +1
【問題3】
a が実数の定数のとき,無限級数 å a n sin np について,次の各問いに答えよ.
2
n =1
¥
(1)この級数の収束・発散を調べよ.
(2)収束するとき,その和を求めよ.
9
第2講 数列の極限(ⅱ) 解答
数学Ⅲ
【問題1】
次の極限を求めよ.
lim
n ®¥
rn
1 + r +  + r n -1
《スタートライン》
「極限を求めよ」となっているが,実質的には無限等比級数の収束・発散を調べる問題
である.無限等比級数の問題の基本は,第 n 部分和を求め,その収束・発散を調べること
にある.本問においては,まず分母の和を先に考えることになるが, r の値に限定がない
ので r = 1, r ¹ 1 のときで場合を分ける必要があり,各々の場合によって分母の和が異なっ
てくる.さらに, r の値によって場合分けを行い極限を考えることになる.
解
答
rn
=1
1 + r +  + r n -1 n
\ 与式 = 0
r = 1 のとき
r n (1 - r ) r n - r n+1
rn
=
=
n -1
1 + r +  + r
1 - rn
1 - rn
ここで|r |<1 のとき
lim r n = 0, lim r n +1 = 0
r ¹ ±1 のとき
n ®¥
n ®¥
\ 与式 = 0
|r |> 1 のとき
r n - r n +1
= 1 - r より
1 -1
1 - rn
rn
与式 = r - 1
r = -1 のとき
n が奇数のときは
n が偶数のときは
以上より
rn
= -1
1 + r +  + r n -1
rn
の値は存在しない.
1 + r +  + r n -1
-1 < r ≦ 1 のとき, 0 に収束
r < - 1, 1 < r のとき, r - 1 に収束
r = -1 のとき, 発散
10
ü
ï
ý
ï
þ
【問題2】
次の無限級数の収束発散を調べ,収束するものについては和を求め,発散するものにつ
いては,その理由を述べよ.
(
) (2 3)
(
)
(1) 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + …
2
n +1
n
(2) 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + n + 2 - …
2
2
n
3
n +1
n +1
《スタートライン》
無限級数 a1 + a2 +  + an +  は実際には求めることが不可能なため, n 項目までの和(第
n 部分和) Sn = a1 + a2 +  + an を考え,数列 {Sn } の極限値 S を前記無限級数の和と定義する.
この定義から分かるように,無限級数の和は部分和の極限であり,数列の和 Sn を計算し,
極限値 lim
Sn を求めることでしか定められないため,勝手にカッコをつけたりすることは
n®¥
禁物である.したがって,
(2)を(1)と同じように勝手にカッコをつけて (1)=(2)
とするのは誤りである.(2)のような問題では第 n 部分和の末項が偶数番目か奇数番目
かになるかによってその係数となる符号が異なるので n = 2m - 1, 2m の場合で分けて考
えていかなければいけない.
解 答
初項から第 n 項までの部分和を Sn とする.
(
) (
)
(
)
Sn = 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 = 2 - n + 2
2
2 3
n
n +1
n +1
n ® ¥ のとき, Sn ® 1 より収束し,和は 1
(2) n = 2m - 1 ( m は自然数)のとき
Sn = 2 + - 3 + 3 + - 4 + 4 + … + - m + 1 + m + 1 = 2
2 2
3 3
m
m
n = 2m のとき
Sn = 2 + - 3 + 3 + - 4 + 4 + … + - m + 1 + m + 1 - m + 2 = 2 - m + 2
2 2
3 3
m
m
m +1
m +1
n ® ¥ のとき,ともに Sn ® 1 より収束し,和は 1
検 討
本問の背景には,有名な“ボルツァーノの級数”1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +  の議論がある.大
(1)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
昔の数学者はこの級数を
1 - 1 + 1 - 1 +  = (1 - 1) + (1 - 1) +  = 0 + 0 +  = 0
1 - 1 + 1 - 1 +  = 1 + ( -1 + 1) + ( -1 + 1) +  = 1 + 0 + 0 +  = 1
など考えていた.しかし,正しい考え方は,この部分和を Sn とすれば
n が偶数のとき Sn = 1 - 1 + 1 - 1 +  = (1 - 1) + (1 - 1) +  + (1 - 1) = 0
n が奇数のとき Sn = 1 - 1 + 1 - 1 +  = (1 - 1) + (1 - 1) +  + (1 - 1) + 1 = 1
つまり,m = 1, 2,  として S2m = 0 ,S2m-1 = 1 となり {Sn } は 1, 0, 1, 0,  と振動するから,
lim Sn は存在しないのである.
n®¥
11
【問題3】
a が実数の定数のとき,無限級数 å a n sin np について,次の各問いに答えよ.
2
n =1
¥
(1)この級数の収束・発散を調べよ.
(2)収束するとき,その和を求めよ.
《スタートライン》
n-1
与えられた無限等比級数の一般項は,n が偶数のとき 0 ,n が奇数のとき,a n ( -1) 2 と
な る . こ の よ う な 場 合 に は 部 分 和 を 奇 偶 で 分 け て S2m , S2m-1 を 別 々 に 求 め ,
S2m = S2m-1 (m ® ¥ ) となるかどうかで収束・発散を調べるとよい.
解 答
(1)
(2) 第 n 項までの和を Sn とおく. m が正の整数のとき
S2m-1= a - a3 + a 5 - a7 +  + ( -1)m-1 a 2m-1 =
1 - ( -a 2 )m
×a
1 - ( -a 2 )
0 ≦ a 2 <1 の場合
a
(m ® ¥ )
1 + a2
a 2 ≧1 の場合, S2m-1 は発散する.
S2m-1 ®
また, x n = a n sin np とおくと
2
S2m = S2m-1 + x2m = S2m-1 ( x2m = a 2m sin mp = 0)
であるから,その収束・発散は上と同様になる.
よって, 0 ≦ a 2 <1 の場合 lim
Sn =
n®¥
a 2 ≧1 の場合
a
1 + a2
発散
ゆえに,与えられた級数は
a
1 + a2
発散
-1 < a <1 のときは収束し, 和は
a ≦ - 1 または 1 ≦ a のときは
12
ïü
ý
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