第２講数列の極限（ⅱ）【問題１】次の極限を求めよ． lim n ®¥ 7 rn 1 + r +  + r n -1 数学Ⅲ 【問題２】次の無限級数の収束発散を調べ，収束するものについては和を求め，発散するものについては，その理由を述べよ． ( ) (2 3) ( ) （１） 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + … 2 n n +1 （２） 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + n + 2 - … 2 8 2 3 n n +1 n +1 【問題３】 a が実数の定数のとき，無限級数 å a n sin np について，次の各問いに答えよ． 2 n =1 ¥ （１）この級数の収束・発散を調べよ．（２）収束するとき，その和を求めよ． 9 第２講数列の極限（ⅱ）解答数学Ⅲ 【問題１】次の極限を求めよ． lim n ®¥ rn 1 + r +  + r n -1 《スタートライン》「極限を求めよ」となっているが，実質的には無限等比級数の収束・発散を調べる問題である．無限等比級数の問題の基本は，第 n 部分和を求め，その収束・発散を調べることにある．本問においては，まず分母の和を先に考えることになるが， r の値に限定がないので r = 1, r ¹ 1 のときで場合を分ける必要があり，各々の場合によって分母の和が異なってくる．さらに， r の値によって場合分けを行い極限を考えることになる．解答 rn =1 1 + r +  + r n -1 n \ 与式 = 0 r = 1 のとき r n (1 - r ) r n - r n+1 rn = = n -1 1 + r +  + r 1 - rn 1 - rn ここで|r |＜1 のとき lim r n = 0, lim r n +1 = 0 r ¹ ±1 のとき n ®¥ n ®¥ \ 与式 = 0 |r |＞ 1 のとき r n - r n +1 = 1 - r より 1 -1 1 - rn rn 与式 = r - 1 r = -1 のとき n が奇数のときは n が偶数のときは以上より rn = -1 1 + r +  + r n -1 rn の値は存在しない． 1 + r +  + r n -1 -1 ＜ r ≦ 1 のとき, 0 に収束 r ＜ - 1, 1 ＜ r のとき, r - 1 に収束 r = -1 のとき, 発散 10 ü ï ý ï þ 【問題２】次の無限級数の収束発散を調べ，収束するものについては和を求め，発散するものについては，その理由を述べよ． ( ) (2 3) ( ) （１） 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + … 2 n +1 n （２） 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 + n + 2 - … 2 2 n 3 n +1 n +1 《スタートライン》無限級数 a1 + a2 +  + an +  は実際には求めることが不可能なため， n 項目までの和(第 n 部分和) Sn = a1 + a2 +  + an を考え，数列 {Sn } の極限値 S を前記無限級数の和と定義する．この定義から分かるように，無限級数の和は部分和の極限であり，数列の和 Sn を計算し，極限値 lim Sn を求めることでしか定められないため，勝手にカッコをつけたりすることは n®¥ 禁物である．したがって，（２）を（１）と同じように勝手にカッコをつけて（１）=（２）とするのは誤りである．（２）のような問題では第 n 部分和の末項が偶数番目か奇数番目かになるかによってその係数となる符号が異なるので n = 2m - 1, 2m の場合で分けて考えていかなければいけない．解答初項から第 n 項までの部分和を Sn とする． ( ) ( ) ( ) Sn = 2 - 3 + 3 - 4 + … + n + 1 - n + 2 = 2 - n + 2 2 2 3 n n +1 n +1 n ® ¥ のとき， Sn ® 1 より収束し，和は 1 （２） n = 2m - 1 ( m は自然数)のとき Sn = 2 + - 3 + 3 + - 4 + 4 + … + - m + 1 + m + 1 = 2 2 2 3 3 m m n = 2m のとき Sn = 2 + - 3 + 3 + - 4 + 4 + … + - m + 1 + m + 1 - m + 2 = 2 - m + 2 2 2 3 3 m m m +1 m +1 n ® ¥ のとき，ともに Sn ® 1 より収束し，和は 1 検討本問の背景には，有名な“ボルツァーノの級数”1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +  の議論がある．大（１） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 昔の数学者はこの級数を 1 - 1 + 1 - 1 +  = (1 - 1) + (1 - 1) +  = 0 + 0 +  = 0 1 - 1 + 1 - 1 +  = 1 + ( -1 + 1) + ( -1 + 1) +  = 1 + 0 + 0 +  = 1 など考えていた．しかし，正しい考え方は，この部分和を Sn とすれば n が偶数のとき Sn = 1 - 1 + 1 - 1 +  = (1 - 1) + (1 - 1) +  + (1 - 1) = 0 n が奇数のとき Sn = 1 - 1 + 1 - 1 +  = (1 - 1) + (1 - 1) +  + (1 - 1) + 1 = 1 つまり，m = 1, 2,  として S2m = 0 ，S2m-1 = 1 となり {Sn } は 1, 0, 1, 0,  と振動するから， lim Sn は存在しないのである． n®¥ 11 【問題３】 a が実数の定数のとき，無限級数 å a n sin np について，次の各問いに答えよ． 2 n =1 ¥ （１）この級数の収束・発散を調べよ．（２）収束するとき，その和を求めよ．《スタートライン》 n-1 与えられた無限等比級数の一般項は，n が偶数のとき 0 ，n が奇数のとき，a n ( -1) 2 となる．このような場合には部分和を奇偶で分けて S2m , S2m-1 を別々に求め， S2m = S2m-1 (m ® ¥ ) となるかどうかで収束・発散を調べるとよい．解答（１）（２）第 n 項までの和を Sn とおく． m が正の整数のとき S2m-1= a - a3 + a 5 - a7 +  + ( -1)m-1 a 2m-1 = 1 - ( -a 2 )m ×a 1 - ( -a 2 ) 0 ≦ a 2 ＜1 の場合 a (m ® ¥ ) 1 + a2 a 2 ≧1 の場合， S2m-1 は発散する． S2m-1 ® また， x n = a n sin np とおくと 2 S2m = S2m-1 + x2m = S2m-1 ( x2m = a 2m sin mp = 0) であるから，その収束・発散は上と同様になる．よって， 0 ≦ a 2 ＜1 の場合 lim Sn = n®¥ a 2 ≧1 の場合 a 1 + a2 発散ゆえに，与えられた級数は a 1 + a2 発散 -1 ＜ a ＜1 のときは収束し, 和は a ≦ - 1 または 1 ≦ a のときは 12 ïü ý þï