熱・物質伝達 熱・物質伝達 相互交換作用 相互交換作用 ((Phase Phasecoupling) coupling) 物質・運動量・エネルギーの相間 の交換 Q& FD m& Exchange of mass, momentum and energy between phases 分散相 連続相 圧力(Pressure) 温度(Temperature) 速度(Velocity) 成分濃度 質量(Mass) 温度(Temperature) 運動量(Momentum) エネルギ (Energy) 速度(Velocity) 混合比(Loading) 粒径(Particle size) (Species concentration) ワンウエイ (One way coupling) : 流体 粒子 ツーウエイ (Two way coupling) : 流体 粒子 熱に関する用語の復習 熱に関する用語の復習 単位 kcal 単位 熱量 仕事 work quantity of heat J 1Nの力が1mの変位に際し てなす仕事 純粋な水 1kg を 1℃ だけ上昇させるに必要な熱量 1 kcal = 4185.5 J 熱の仕事当量 thermal equivalent of work ： 仕事率、動力 power 単位時間当たりの仕事 J s or N(m s ) 比熱 ： 1kg の物質の温度を1Kだけ上昇させるに要する熱量 エネルギー、energy W 単位（ワッ 単位 ：仕事をすることができる能力 熱伝導 heat conduction ト） ⎡ J ⎤ ⎢ kg ⋅ K ⎥ ⎣ ⎦ 温度を均一化する方向に熱エネルギーが移動する現象 熱伝導に関するフーリエの法則 q& = − k grad T 熱流束 heat flux 単 位: W m 2 １次元： q& = − k 熱伝導率（度） thermal conductivity 単 位: W (m ⋅ K ) dT dx 熱に関する用語の復習 熱に関する用語の復習 熱伝導 heat conduction 温度を均一化する方向に熱エネルギーが移動する現象 熱伝達 heat transfer 固体表面とそれに接触する流体の間の熱移動 熱流束(heat flux) （放射による熱移動も含める場合もあり） 単位面積、単位時間当りの熱移動量 Tc q& Td transfer : 越えて伝える q& = h × (T c−Td ) [ q& W m 2 熱伝達係数 (heat transfer coefficient) 単 位: ( W m2 ⋅ K ) ] q& = h × (T c−Td ) 対流熱伝達 熱伝達係数 h : W (m 2 ⋅ K ) kc : ヌッセルト数 Nusselt number ⎡h⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ kc ⎦ ⎣ m ⎦ 熱伝導率 W (m ⋅ K ) q& = − k c grad T 熱伝導 kc q& = Nu × × (T c−Td ) L D 単位時間当りの熱移動量 m cd dTd dt kc h = Nu × L 代表長さ [m] (continuous phase) ×π D2 （粒子の表面積） D ：粒子の直径 kc π D q& = Nu × π D × × (T c−Td ) D dTd mcd = Nu × π k c D × (T c−Td ) dt 2 2 粒子の運動方程式における抵抗係数と類似 ヌッセルト数 熱応答時間 熱応答時間 (Thermal (Thermalresponse responsetime) time) 粒子温度の方程式: m cd (Thermal conductivity of continuous phase) (specific heat of particle) Nu Re → 0 : →1 2 dTd (Tc − Td ) = τT dt dTd = Nuπ kc D(Tc − Td ) dt 連続相の熱伝導率 粒子の比熱 dTd Nu 1 (Tc − Td ) = 2 dt 2 ρ d cd D 12 kc Nussert number 1 2 Ranz-Marshall correlation Nu = 2 + 0.6Re Pr , (Re < 200) (1952) : Kemp et al.(1994) : 1 2 1 3 Nu = 2 + 0.5Re Pr + 0.02Re 熱応答時間の定義 : Tc = const t = 0 : Td = Td 0 1 3 τT = Td − Td 0 0.8 1 3 Pr , (200 < Re < 1500) ρ d cd D 2 12 kc ⎛ ⎜ 1 = (Tc − Td 0 )⎜ 1 − t ⎜ ⎝ eτT ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ρd D2 τV 2 kc 2 kc cc 18μ = = = τ T ρ d cd D 2 3 μ cd 3 μ cc cd Ex τT = ρ d cd D 2 12kc 標準大気中の水滴: 12kc D = 100μm Pr = τ T = 145ms For gas : 2 cc 1 = 3 cd Pr τV = O (1) τT Pr = O (1) For liquid : Pr = O (10 ) 2 τV = O (10 − 2 ) τT 気体中：速度平衡と温度平衡はほぼ同じ速さで到達 液体中：速度平衡は温度平衡よりきわめて早く到達 μ cc 連続相 の比熱 （定圧） kc Pr : Prandtl number プラントル数 プラントル数Pr Pr の復習 の復習 q& = − k grad T フーリエの式 ∂T ρ cp = k ∇ 2T ∂t 熱伝導方程式 密度 比熱 運動量の拡散率 ( 動粘度 ) Pr = a = ν k ρ cp = ρν c p k = μ cp k dT dx ∂T k = ∇ 2T ∂ t ρ cp 熱伝導率 r r ∂u = ν ∇ 2u ∂t 流体運動方程式 ν q& = − k 1 次元： ∂T = a ∇ 2T ∂t ⎡ m2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦ 熱拡散率 温度拡散率 thermal diffusivity Pr = μ cp k ⎡ m2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦ 物質伝達 物質伝達 Mass MassTransfer Transfer 蒸気の密度 vapor density 蒸気の速度 vapor velocity 表面積 surface area dm = − ρs w S dt r u w r n D 拡散係数 diffusion coefficient M& = ⎛ ρA ⎞ ∂⎜⎜ ⎟⎟ ρs ⎠ ∂ρ A ⎝ ρ s w = − Dν = − ρ s Dν ∂n ∂n 単位時間、単位面積当たりの物質伝達 Mass transfer per unit area per unit time : [kg (sm )] ω A,∞ : 成分Aの質量割合 mass fraction of species A in the mixture M& = hD × ρ c (ω A,∞ − ω A, s ) 2 M& ωA 物質伝達係数 Mass transfer coefficient 自由流における成分Ａの質量割合 Mass fraction of the species A in the free stream ω A,s : r v 表面における成分Ａの質量割合 Mass fraction of the species A at the droplet surface q& = h × (T c−Td ) 対流熱伝達 熱伝達係数 h : W (m 2 ⋅ K ) kc : Nusselt number ⎡h⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ kc ⎦ ⎣ m ⎦ 熱伝導率 W (m ⋅ K ) 熱伝導 ヌッセルト数 q& = − kc grad T kc h = Nu × L Dν : 物質伝達係数 Mass transfer coefficient 拡散係数 diffusion coefficient ∂ω A & M = − ρ s Dν ∂n [m] (continuous phase) M& = hD × ρ c (ω A,∞ − ω A, s ) hD : 代表長さ シャーウッド数 Sherwood number m s m2 s ⎡ hD ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ Dν ⎦ ⎣ m ⎦ Dν hD = Sh × L 代表長さ [m] 物質伝達 物質伝達 Mass MassTransfer Transfer [ ( )] M& kg sm 2 物質伝達 Mass transfer per unit area per unit time : ω A,∞ : ω A, s : 自由流における成分Ａの質量割合 Mass fraction of the species A in the free stream 表面における成分Ａの質量割合 Mass fraction of the species A at the droplet surface M& = hD × ρ c (ω A,∞ − ω A, s ) M& 物質伝達係数 代入 シャーウッド数 Sherwood number : Sh [-] Mass transfer coefficient hD L Sh = Dν 代表長さ Length scale 拡散係数 coefficient Diffusion Dν 2 & × π D M = Sh × × ρ c (ω A,∞ − ω A, s ) L D Dν 2 & 2 単位時間当りの物質伝達 π D M = Sh × π D × × ρ c (ω A,∞ − ω A, s ) Mass transfer per unit time : D dm dm = Sh × ρ c Dν πD × (ω A,∞ − ω A, s ) dt dt 物質伝達 物質伝達 Mass MassTransfer Transfer シャーウッド数 (Sherwood number) dm = Sh ρ c Dvπ D (ω A,∞ − ω A, s ) dt 自由流における成分の質量割合 (mass fraction of the species in the free stream) 液滴表面における成分の質量割合 (mass fraction of the species at the droplet surface) ω A, ∞ < ω A, s ω A, ∞ > ω A, s : 蒸発 (evaporation) : 凝縮 (condensation) 分子量 (molecular weight of the species) ω A, s = M A 18 ≈ M M 29 M A pA ⋅ MM p 液滴温度に対応する飽和圧力 saturation pressure corresponding to the droplet temperature 動粘度 混合物の分子量 (molecular weight of the mixture) 空気中の水蒸気の場合 シャーウッド 数： シュミット数 1 Sh = 2 + 0.6 Re r ⋅ Sc Schmidt number Re r = r r Du −v w ν v Prandtl number Pr = ν kinematic viscosity a Thermal diffusivity ν Dv 拡散係数 Sherwood number 相対速度に基づくレイノルズ数: 2 Sc = u D dm dTd = Sh ρ c Dvπ D(ω A,∞ − ω A, s ) mcd = Nu × π k c D × (T c−Td ) dt dt dTd = Nu × π k c D × (T c−Td ) + m& hL mcd dt 蒸発潜熱：液体が液相から気相へ相変化する際に単位質量当たりに 必要とされる熱量 ( latent heat of vaporization) dTd mcd = Nu × π k c D × (T c−Td ) + Shρ c Dν πD (ω A,∞ − ω A, s )hL dt エネルギー方程式 (energy equation) D２乗法則 D２乗法則 m = ρd DD2-law 2-law πD 3 6 ∴ dD dm π = ρd D2 dt 2 dt dm = Sh ρ c Dvπ D(ω A,∞ − ω A, s ) dt Sh ρ c Dv dD (ω A,s − ω A,∞ ) = −2 D ρd dt 右辺を一定と仮定し（一般に余り変化しない）、積分すると D = D0 − λ t 2 2 From D0 2 − λ t = 0 τm = D0 λ 2 λ= 4Sh ρ c Dv ρd (ω A, s − ω A,∞ ) 液滴の持続時間まはた蒸発時間が得られる。 Coupling equations • 物質交換mass coupling (蒸発evaporation, 凝縮condensation) • 運動量交換momentum coupling (力forces) • エネルギ交換energy coupling (熱伝達heat transfer) 質量交換 質量交換 ((Mass Masscoupling) coupling) Ex. 液滴が蒸発する場合 L U 分散相（液滴）から単位時 間当り生成される質量: ρc M& d = nL m& 3 単一の液滴からの蒸発量(evaporation rate) ρ d = nm M& c = ρ cUL2 M& d nL3 m& ρ d m& L nm m& L Π mass = = ⋅ = ⋅ 2 = & M c ρ cUL ρ c mU ρ c mU 質量流束 (Mass flux) : 質量交換パラメータ (Mass coupling parameter) ρ C= d ρc Π mass : m τm = 蒸発、燃焼、凝縮の特性時間 m& St mass 1 L τF Z C =C =C ≈ = τm U τ m St mass St mass Π mass << 1 One way coupling τ m 物質移動に関す = τ F るストークス数 C≈Z 運動量交換 運動量交換(Momentum (Momentumcoupling) coupling) n 粒子に働く流体抵抗 : Π mom π D 6 応答時間 ρd D2 τV = (Response time) 18μ Π mom L U ρc Mom = ρ cU 2 L2 運動量交換パラメータ : m = ρd (Number density) FD = nL3 3πμD(V − U ) 流体の運動量流束： 質量 (mass) : 数密度 nL3 3πμD(U − V ) = ρ cU 2 L2 3 m τV = ρd π D3 6 ρd D2 18μ = 3πμD L 1 ρ nmL ⎛ V ⎞ ⎛ V⎞ U d ⋅ = ⎜1 − ⎟ ≈ C ⋅ ⎜1 − ⎟ = StV ρ cτ V U ⎝ U ⎠ ρ c τ V ⎝ U ⎠ τ F = LU StV = ⎛ V⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ U⎠ τV τF Π mom 1 =C⋅ StV ⎛ V⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ U⎠ StV → 0 : V → U Π mom 0 → 0 ? 粒子の運動方程式 : dV (U − V ) = τV dt 仮定：粒子速度は流体速度に比例（速度比は一定） V φ = = const U StV = Π mom τV τF φ dU U = (1 − φ ) dt τ V StV = 1 (1 − φ ) =C⋅ StV dU U ≈ dt τ F τV 1 − φ = τF φ 1−φ φ Π mom C Z = ≈ StV + 1 StV + 1 エネルギー交換 エネルギー交換 (Energy (Energycoupling) coupling) n : Number density 粒子から流体への熱伝達 Heat transfer from particles to fluid Q& = nL3 Nuπ k c D (Td − Tc ) 流体のエネルギ流束 Energy flux of fluid through the volume E& = ρ c L2Uc pTc U Tc ρc 連続相の比熱 (Specific heat of continuous phase) エネルギー交換パラメータ (Energy coupling parameter) : Q& nL3 Nuπ kc D(Td − Tc ) ρ d L U ⎛ Td − Tc ⎞ Π ener = = ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜ 2 & E ρ c L Uc pTc ρ c τ T ⎝ Tc ⎠ Z ≈ Π mom ≈ Π ener ( ) St → 0 T StT + 1 L If Π mass << 1 Π mom << 1 Π ener << 1 数値モデルは one way coupling だけを考慮すれば よい。即ち、連続相に対する分散相の影響は無視し てよい。 熱い粒子 冷い気体 Td Td Tc Tc Uc Uc Ud Ud One way coupling Two way coupling 平衡状態にある二相流体の特性 (Properties of an equilibrium mixture) St → 0 の極限では粒子の速度、温度が搬送流体の速度、温度に漸近する。 この場合、二相流体は特殊な特性値を持つ単相流体として扱うことができる。 ρ d ud ρ d z= = =C ρ c uc ρ c 修正密度 : ρm = ρd + ρc = ρc z + ρc = (1 + z )ρ c = α c ρ c (1 + z ) α c ≈ 1 、且つ搬送流体が気体の場合、二相流体は修正された気体定数 (modified gas constant)を持つ１つの気体と見なすことができる。. 平衡状態の二相流体のエンタルピー (enthalpy) : ⎛ cd hm = ( ρ c cc + ρ d cd )T = ρ c cc ⎜⎜1 + z cc ⎝ cd cc 1+ z 1+ z 比熱 (Specific heat) : cm = cc ⎞ ⎟⎟T = ρ m cc ⎠ cd cc T 1+ z 1+ z cm
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