1 2016 年 5 月 2 日（5 月 7 日）第 3 部：完備情報下の動学ゲーム第 6 章：完備情報下の動学ゲーム静学ゲーム：同時手番（Simultaneous Moves）動学ゲーム：逐次手番（Sequential Moves）：プレーヤーは順番に行動選択（先手後手など）完全情報、不完全情報：プレーヤーは過去の相手の選択や自然現象についてどの程度知っているか 1 2 標準形ゲーム：三種の神器 ( N , S , u) （プレーヤー集合、戦略プロファイル集合、利得関数プロファイル）静学ゲームには適している表現形式しかし動学ゲームには不十分：逐次手番と情報について詳しい内容を盛り込んだ表現形式が必要 ∴ 「展開形ゲーム」プレーヤーはいつ何時でも「（逐次）合理的」動学ゲームのメインテーマ：展開形ゲーム（Extensive-Form Game）：逐次合理性（Sequential Rationality）：本章次章 2 3 6.1. 展開形ゲーム：例による解説 Battle of Sexes：同時手番女性ラブコメ（L）ホラー（H）男性ラブコメ（L） 2 1 0 0 ホラー（H） 0 0 1 2 二つの純粋戦略ナッシュ均衡：（L、L）（H、H） 3 4 Battle of Sexes の動学ヴァージョン：逐次手番女性先手、男性後手：女性が先に映画館に赴き、携帯で男性に居場所を知らせる女性は場所にコミットメント（「ゲームのルール」は変わった！） L 男性（2, 1） H L （0, 0）女性 H （0, 0） L 男性 H （1, 2）女性の手番はひとつ、男性の手番はふたつ女性の戦略： 2 通り： L or H 男性の戦略： 4 通り： Why? 4 5 戦略とは「行動の計画（Complete Contingent Plan of Action Choices）」のこと男性の戦略：「女性が L を選択したならば「女性が H を選択したならば L or H」 L or H」 ∴ ２×２＝４通りある！ 5 6 動学ゲームを標準形ゲームに還元する女性 L H （L、L） 2 1 0 0 （L、H） 2 1 1 2 男性（H、L） 0 0 0 0 （H、H） 0 0 1 2 純粋戦略ナッシュ均衡は三つある：（L、（L、L））：ラブコメ映画へ（L、（L、H））：ラブコメ映画へ（H、（H、H））：ホラー映画へしかし（L、（L、H））のみが「理にかなった」ナッシュ均衡といえる：Why? 6 7 逐次合理性（Sequential Rationality）プレーヤーは「どの時点においても」常に合理的にふるまうとする仮定 L 男性（2, 1） H L （0, 0）女性 H （0, 0） L 男性 H （1, 2）男性の戦略は（L、H）である場合にのみ逐次合理性をみたす：（L、L）：（H、H）：（H、L）：女性が H を選んだのに L を選ぶのは非合理的女性が L を選んだのに H を選ぶのは非合理的女性が L を選んだのに H、さらに女性が H を選んだのに L、を選ぶのは非合理的 7 8 逐次合理性をみたす唯一のナッシュ均衡は（L、（L、H）） L 男性（2, 1） H L （0, 0）女性 H （0, 0） L 男性 H （1, 2） 8 9 逐次合理性をみたすナッシュ均衡を導く案：後方帰納法（Backward Induction、「後ろから解け」）あるいは二つの「部分ゲーム（Subgames）」：部分ゲームから解け L 男性（2, 1） H （0, 0）（0, 0） L 男性 H （1, 2） 9 10 逐次合理性は「からおどし（Incredible Threat）」を排除する（H、（H、H））：ナッシュ均衡だが逐次合理性をみたさない男性のおどし：「ラブコメ」を選ぶと「ホラー」を選ぶぞしかしこれは「からおどし（Incredible Threat, 実行されないおどし）」逐次合理性をみたさない時間非整合性（Time Inconsistency）：前もって計画したことがその場になると実行されない逐次合理性：「実行力ある脅し（Credible Threat）」だけを考慮時間整合性（Time Consistency） 10 11 問１：前述の Hawk-Dove Game の例について、プレーヤー１が先手である場合の逐次合理性をみたすナッシュ均衡を、同様にしてもとめよ。問 2：前述の Stag-Hunt Game の例について、プレーヤー１が先手である場合の逐次合理性をみたすナッシュ均衡を、同様にしてもとめよ。 11 12 完全情報と不完全情報完全情報（Perfect Information）：女性がどっちの映画館に行ったかが男性に伝わる不完全情報（Imperfect Information）：伝わらない（携帯がつながらない） L 男性（2, 1） H L （0, 0）女性 H （0, 0） L 男性 H （1, 2）情報集合（Information Set）：男の手番ではどちらの Nodes（節）にいるか区別できないどちらの Node でも同じ選択（どっちも L、どっちも H）にならざるを得ない 12 13 不完全情報の動学ゲームを標準形ゲームに還元する女性 L H 男性 L 2 1 0 0 H 0 1 0 2 この場合は静学ゲーム（同時手番）と同じ標準形ゲーム「同時手番」「女性先手男性後手の不完全情報ゲーム」「男性先手女性後手の不完全情報ゲーム」みな同じ標準形ゲーム：区別しない先に「ラブコメ映画館」にいっても、男性にそれが伝わらなければ効果がない！（ゲームのルールは変わらない） 13 14 偶然手番（Chance Move, Nature’s Move）がある展開形ゲーム確率 p  [0,1] 携帯がつながる携帯がつながらない確率 1  p  [0,1] 女性は携帯がつながるかどうか知らない男性の手番では、男性は携帯がつながるかどうか知ることができる： L 男女 H L 確率 p H L 男 H Nature 確率 1-p L 男 H L Think why. （2, 1）（0, 0）（0, 0）（1, 2）（2, 1）（0, 0）女（0, 0） H L 男 H （1, 2） 14 15 戦略プロファイル：女性 L、男性（L,H,L）（必ずラブコメが実現）は確率 p に関係なく逐次合理性をみたすナッシュ均衡 L 男女 H L 確率 p H L 男 H Nature 確率 1-p L 男 H L （2, 1）（0, 0）（0, 0）（1, 2）（2, 1）（0, 0）女（0, 0） H L 男 H （1, 2） 15 16 戦略プロファイル：女性 H、男性（L,H,H）（必ずホラーが実現）は確率 p  1 2 ならば逐次合理性をみたすナッシュ均衡：Think why L 男女 H L 確率 p H L 男 H Nature 確率 1-p L 男 H L （2, 1）（0, 0）（0, 0）（1, 2）（2, 1）（0, 0）女（0, 0） H L 男 H （1, 2） p  1 なら「ラブコメ」の均衡だけが逐次合理的になる 2 女性に有利にゲームのルールを変更できた！ 16 17 問 3：前述の Hawk-Dove Game の例について、プレーヤー１が先手である場合の完全情報動学ゲームと不完全情報動学ゲームに偶然手番のあるケースについて、逐次合理性をみたすナッシュ均衡を、同様にしてもとめよ。問 4：前述の Stag-Hunt Game の例について、プレーヤー１が先手である場合の完全情報動学ゲームと不完全情報動学ゲームに偶然手番のあるケースについて、逐次合理性をみたすナッシュ均衡を、同様にしてもとめよ。 17 18 展開形ゲームは様々な動学ゲームの状況をあまねく記述できる表現形式である次節にて「一般的かつ数学的な、展開形ゲームの表現形式」を解説するただし標準形ゲームに比べて複雑：数学的表現にこだわりすぎるのは実用的でない（後述） 18 19 宿題６：問１，２，３，４をもとめよ。 19