正規分 布
5-1
正規 分 布
Xの
正規分布
確率密度関数が
7(一 ∞ <可
/1rl号 訂〆
<χ
で与 え られ る とき,こ の分 布 を正規 分 布 とい う。式 の 中 の 定数 μ と σ2は 正 規
2)で し
2の
分布 の平 均 と分 散 で あ る。平均 μ,分 散 σ 正 規 分布 を Ⅳ (μ ,σ
表 ,X
が正 規分布 N(μ ,σ 2)に 従 う ことを
χ ∼Ⅳ (μ ,σ 2)
と書 く
.
μ=0,σ =1の 特 別 な正規 分布 N(0,1)を 標 準 正規分 布 と
標 準 正規分 布
い う.そ の確率密度関数 は
か芳 〆
ば
で 与 え られ る
標準化
(-oo<-r<oo)
.
χ ∼ Ⅳ (μ ,`σ 2)の とき
,
︱︱︱︱︱ＩＬ
Z=χ
は標 準 正 規 分 布
N(0,1)に 従 う。χ
μ
σ
か ら Zへ の この 変 換 を標 準 化 とい い ,Z
を標 準 化 変量 とい う
.
正規 分 布 の 平 均 と分 散
E(χ )=μ
7(x)=σ 2
65
66
5正
正規分布表
Zが
規 分布
Ⅳ (0,1)に 従 う とき,Zの 累積分布 関数
αかズZ<か Ii芳 〆″
の値 を z(>0)の 各値 に対 して表 にした ものを正規分布表 とい う
(図
1参 照).
一zに 対す る α z)の 値 は
,
の(一 z)=1-0(z)
か ら求 まる (図 2参 照 )。
ψ )=蔵 ο
(χ
0
0
図
図 2
1
2項 分布 の正規近似
χ が 2項 分布 B(π ,夕 )に 従 う とき,π が 十分大 きい
な らば,Xの 分布 は正規 分布 N(π 夕,″ α)で 近似 され る.し たが つて,π が大
きい な らば
Z=
の分布 は N(0,1)で 近似 され る
.
実際 には, 多 と 夕が
り
>5か つ
πα>5
を満 たす とき,2項 分布 の正規分布 へ の近 似 は十分 とされ る。
5-2 半 整 数補 正
Xは 整数値 のみ を とる離散 型確率変数 で,yは 連続型確率変数 とす る。2項
yの
分布 を正規 分布 で近似 す る ときの ように,離 散変量 Xの 分布 を連続変量
分布 で 近似 して確 率 の計 算 をす る とき
,
P(χ =″ )笙
P(″ -0。
5<y<″ +0.5)
67
その他の連続型分布
P(χ ≦″)笙
P(y<∬ +0.5)
P(χ ≧χ)笙
P(y>″
-0。 5)
の ように近似 す る ことを半整数補 正
(ま
た は連続性 の補 正 )と い う。
５
連 与 布 連
で 分
αtt
μ=
2
b
♂=
指 数分 布
Xの
確 率 密 度 関数 が
期=Flに
1琉 冨
で与 えられるとき,こ の分布 を母数 θの指数分布 とい う。
μ σ
θ７
．
一
．
２
．
指数分布 の平均 と分散
5正
68
例
規分布
題
(正 規分布表 の使 い方 )
Zが N(0,1)に 従 う とき,正 規 分布 表 に よって次 の値 を求 め よ
(a) P(Z<1)
(b) P(Z<1。 24)
(C) P(Z<-0.5)
(d) P(-1<Z<0.5)
(e) P(1.51<Z<2。 16)
(f) P(-1.64<Z<-0。 8)
(g) P(Z<ε )=0。 65を 満 たす εの値
(h) P(Z>ε )=0。 42を 満 た す εの値
.
解
い
正 規 分布表 を正確 に使 うた めには,必 要 に応 じて図 をかいてみ るのが よ
.
以下 にお いて の(π )は
Zの 累積 分布 関数 を表 す 。す なわ ち
0(z)=P(Z≦ z)=P(Z<z)
,
正 規 変 数 の 確 率 計 算 で は ,不 等 式 に 等 号 が あ つて もな くて も同 じ値 とな るの
で ,本 書 で は等号 を つ けて い な い。
(a)
(b)
(C)
(d)
P(Z<1)=0(1)=0。 8413
P(Z<1.24)=0(1。 24)=0。 8925
P(Z<-0.5)=0(-0.5)=1-0(0.5)=1-0.6915=0。
P(-1<Z<0.5)=P(Z<0.5)一 P(Z<-1)
3085
=の (0.5)一 {1-0(1)}
=0.6915+0.8413-1=0。 5328
(e) P(1。 51<Z<2.16)=の
(2.16)一 の(1。 51)
=0.9846--0。 9345==0。 0501
(f)P(-1.64<Z<-0.8)=P(0.8<Z<1。 64) (分
=0(1。 64)-0(0.8)
=0。
(g) P(Z<ε
9495-0。 7881=0。 1614
)=0.65を 満 た す εは ,正 規 分布 表 よ り
の(0。 38)=0.6480,
で あ るか ら,補 間 に よ って
の(0。 39)=0.6517
布 の 対 称 性 よ り)
例
69
題
ε=剛
+
0"一
)3勁
=0.38+0。 005=0。 385
(h) P(Z>ε
)=0.42
P(Z<ε )=0.58
表 より
の(0。 20)=0.5793,
で あ るか ら,補 間 に よ って
の(0.21)=0◆ 5832
,
ε=剛
+
m―
囲
=0。 202
(正 規分 布 表 の使 い 方 )
χ が Ⅳ (10,22)に 従 う と き 次 の値 を求 め よ
.
,
(a)P(χ <13)
(b)P(χ >11)
(C)P(χ >8)
(d)P(χ <7)
(e)P(9<χ <12)
(f)P(7.8<χ <9◆ 6)
(g) P(χ <ε )=0。 85を 満 たす εの値
(h) P(χ くε)=0。 3を 満 たす εの値
解 χ ∼ Ⅳ (10,22)ょ り
Z=ザ
∼ Ⅳ Q⊃
い)ス X<R卜 くZ<ザ )=は
(b) P(χ >11)=1-P(χ <11)
=1-P(Z<り
"‐
9332
)
=1-0(0。 5)=1-0.6915=0。 3085
")庫 刈
=ズ
Z>ザ
)
5正
70
=P(Z>-1)
=1-P(Z<-1)=1-φ (-1)=φ (1)=0。 8413
(d)
P(χ <7)=P(Z<二
も￨≧ )
=P(Z<-1.5)
=の (-1。 5)
=1-ω (1.5)=1-0。 9332=0。 0668
(e)
<Z<り
P(9<χ <12)=P(ザ
)
=P(-0。 5<Z<1)
=P(Z<1)一 P(Z<-0.5)
=の (1)一 の (-0。 5)
=の (1)+の (0.5)-1
=0.8413+0.6915-1=0。 5328
(f)
48<χ <)0=P( <Z< )
=P(-1.1<Z<-0.2)
=P(0.2<Z<1.1) (分 布 の 対 称 性 よ り
)
=P(Z<1.1)一 P(Z<0.2)
=の (1.1)-0(0.2)
=0。 8643--0。 5793==0。
(g)
P(」 て<ε
10)=0(―
)=PIZ<ε
・
2850
上
毛手 )
より
≧
ο(≦ ≧
≡
1塁 )=0085
を満 たす εを求 めれ ば よい。正 規 分布表 よ り
0(1.03)=0.8485,
補 間 に よって
の(1。 04)=0。 8508
,
ザ
=1。
03+
0.85--0。
8485 ×
0。 01≒ 1.037
8485
0.8508--0。
ε=10+2× 1.037≒
12。 07
は
い)ズ χ<の =0(正・
モ
チ)よ 先ε
の
(ザ
)=0・
3
規分布
例
題
さいか ヽ 相
よリ
中
ザ
は負 にな な
よって,0(z)(z>0)の 表 を使 うには,図 か
らわか るように,上 の式 に代 って
)=0・
7
﹄
一２
(午
剌
一２
ο
か ら cを 求 めね ばな らな い。
0(0.53)=0.7019で あるか ら補 間 に よって
表 よ り,の (0.52)=0.6985,
=0.52+
与
0。
7--0.6985
0.7019--0。
6985
×0。 01≒ 0.5234
ε=10-2× 0.5234≒ 8。 953
(正 規分布 の応用 )
測 定 器 具 で あ る物 の 長 さ を測 る とき の 誤 差 は,平 均 0,標 準 偏 差
mmの 正規分布 に従 う.こ の器具 による 1回 の測定 の誤差 が
(a)0.5mm以 上
(b)0.3mm以 内
,
とな る確 率 を求 め よ。
解
測 定値 の 誤 差 を χ とす る と
χ ∼ N(0,0.22)
で あ るか ら
,
(a)P(lχ l>0.5)
=2P(X>0.5) (正
=2P(Z>零
規 分布 の 対 称 性 よ り)
)
=2P(Z>2.5)
=2(1-P(Z<2.5))
=2(1-0(2。 5))=2(1-0。 9938)=0。 0124
(b)P(lχ
l<0.3)
=P(-0.3<χ
=P(
<0。 3)
<Z<」 需t評L)
=P(-1。 5<Z<1.5)
0。
2
5正
=0(1.5)一 の(-1.5)
=2の (1。 5)-1=2×
0。
9332-1=0。 8664
(正 規分布 の応用 )
IQが Ⅳ (100,225)に 従 うとき,IQが
(a)85以 下,(b)90か ら 120の 間,(C)130以 上
の人の割合 を求めよ.ま た,上 位 10%に ある IQの 最小値 を求めよ
.
IQを
解
χ とす る と
χ ∼ N(100,152)
よ って
餡)Rχ <詢 =く Z<
)
=0(-1)=1-ω (1)=1-0.8413=0。
6)H∞
1587
<χ <2の =P( <Z< )
=0(1。 33)一 の (-0.67)
=の (1.33)+の (0.67)-1
=0。 9082+0.7486-1=0。 6568
(C)P(χ >130)=1-P(χ <130)
=1-P(Z<
)
=1-ω (2)=1-0。 9772=0.0228
上位 10%の IQの 最小値 は右の図の cの 値 を求めればよいか ら
0。
10=P(χ >ε
)
=P(Z>≦ ≧長罪生)
=1-ο (≦ 1提
よって
上
半
)
,
の 2111聾 ≧
(≦
)==0・
90
c-100
15
正 規分布表 よ り
の(1.28)=0.8997,
で あるか ら,補 間 に よって
の (1.29)=0.9015
規分布
例
73
題
≦
■
=朗 十
1提 器
×
剛≒
L器
2
ε=100+15× 1.282=119。 2
(正 規分布 の応用 )
高校 3年 生 の男子 の 身長 の分布 は正 規 分布 に従 う こ とが知 られ て い る
.
これ ら生 徒 の 10%は その 身長 が 176 cmを 超 え,15%は 165 cm以 下 で あ
る.男 子高校 3年 生 の身長 の平均 と標準偏差 を求 め よ。
解
高校
3年 生 の 男 子 の 身長 を χ とし,そ の平均 と標準偏 差 を μ と σで表
X∼
Ⅳ (μ ,σ 2)
すと
,
与 え られ た 条件 よ り
P(χ >176)=0.10
P(Z>ヤ
)=0・
P(Z<7)=0・
10
90
正 規 分布 表 よ り
ヤ
=璃 2…
に
)
もう 1つ の条件 か ら
P(χ <165)=0.15
P(Z<ヤ
)=0015
正 規分布表 よ り
165- tt
o
(1),(2)よ り
tt*I.282o -176
p-
1.037o- 165
これを解 いて
tt:169.9 (cm)
o-
4.7 (cm)
5正
規分布
(正 規分 布 の 応 用 )
300人 の学生 の「統計学」の試験 の結果 か ら,そ の得点分布 は近 似的 に平
均 55点 ,標 準偏差 10点 の正規分布 に従 うとみな された
(a)こ の試験 で得点 が 60点 か ら 70点 までの人数 は約何人 い るか。
.
(b)成 績 が上 位 の もの 20%に `優 'を つ ける とき,何 点以 上 が優 にな る
か
.
得 点 を χ とす る と,X∼ N(55,102)。
解
よ って
鮨
)P160<χ <η 卜 P(7<Z<7)
=0(1.5)一 の(0.5)=0。 9332+0。 6915=0.2417
300× 0.2417=72.51.よ って 約 73人 .
(b)求
￨
め る点 数 を cと す る と
P(X>ε )=0.2
P(χ <ε )=0.8
P(Z<イ
)=0・
8
の(0.84)=0.7995,
５
５一
０
・︲
正 規 分布 表 よ り
0(0。 85)=0.8023
よって ,補 間 に よ り
ギ
=剛
×剛
十
≒ )譴 2
ε=55+10× 0.842=63.42
ゆ え に ,64点 以 上 が 優 で あ る 。
(正 規分 布 の応 用 )
あ る走 り幅 跳 び選 手 の飛距 離
Xは 平均 5m,標 準偏 差 0.2mの 正規
6。
分布 に従 う。(a)こ の選手 の 1回 の飛距 離 が 6.9mを 超 え る確 率 を求 め
よ。(b)こ の選手が 3回 跳 ぶ とき,3回 中 1回 だ け飛距離 が 6.9mを 超 え
る確 率 を求 め よ。(C)100回 に 1回 ,こ の選手が超 える と期 待 され る飛距
離 はい くらか。
解
χ ∼ Ⅳ (6.5,0.22)
例
題
75
(a) P(χ >69)=1-P(χ <6.9)
=1-PIZ<重 ギ話′亜L)
=1-ω (2)=1-0.9772=0。
0228
(b) P(3回 中 1回 ,χ が 6.9を 超 え る )=3Cl(0.0228)(0.9772)2=0。
(C)期 待 され る値 を ε とす る と
0653
P(χ >ε )=0。 01
P(χ <ε )=0.99
P(Z<げ
ω
(ザ
)=0099
)==0099
正 規 分布 表 よ り
,
の(2.32)=0.9898,
の(2.33)=0。 9901
よって 補 間 に よ り
,
げ
=22+
×0。 01≒ 2.327
ε=6.5+0.2× 2.327≒
6。
97(m)
(正 規分 布 の応 用 )
時刻 表 に よ る と,毎 日あ る駅 に 午前 9時 30分 に刻 着 す る列 車 が あ る。
延 べ 10日 間 にわた って,こ の列車 の定刻 か らの遅 れ (分 )を 調 べ ,次 の結
果 を得 た。
3,0,10,-1,6,8,-2,5,0,1
この列車 の 到着時刻 の平均 と標準偏差 を求 め よ。列車 の 到着 時刻 は これ
と同 じ平 均 ,同 じ標準偏差 の正 規 分布 に従 うと仮定 して,あ る日,列 車 が
(a)定 刻 よ り 10分 以上遅 れ る確率
(b)定 刻 よ り早 く到着 す る確率
,
を求 め よ。
解
到着時刻 の平均 を ∬,標 準偏差 を sと す る と
χ
=
3+0+10-1+6+8-2+5+0+1
10
=3(分
32+02+102+(_1)2+62+82+(_2)2+52+02+12
)
=涯
≒3。 87(分 )
5正
76
規分布
この 列 車 の駅 へ の到 着 時刻 を Xと す る と,仮 定 よ り
χ ∼ N(3,15)
よって
(a)P(定 刻 よ り 10分 以上 遅 れ る
=P(X>10)
=P(Z>精
)
)
=P(Z>1。 81)
=1-0(1。 81)=1-0。 9649=0。 0351
(b)P(定 刻 よ り早 く到 着 す る
)
=P(χ <0)
=P(X<号
孝))
=P(X<-0.77)
=の (-0。 77)=1-0(0.77)=1-0.7794=0.2206
(2項 分布 の正規近似 )
硬貨 を 400回 投 げる とき,お もてが 180回 か ら 210回 まで 出 る確率 を求
め よ。
Xを お もての出 る数 とす る と,X∼
η=400は 十 分 大 き い か ら
０
４
０ 布
２
2夕 =π α=400
は ダヽ
π=400,
B(400,÷
５， ÷鳴
解
,
)
×=100
π
=400×
α
夕
正規分布N(200,102)で
÷
)は
1曇
近 似 で きる。
yを 平均が 200で ,分 散が 102の 正規変量とすると
-200、 A<0, 1)
,
z=_∠
10
よ っ て 求 め る確 率 は ,半 整 数 補 正 に よ り
P(180≦ χ ≦210)≒ P(179.5<y<210.5)
=P(
<z<210.5-200)
=P(-2.05<Z≦
1. 05)
1曇
例
77
題
=0(1.05)+ω (2。 05)-1
=0.8531+0.9798-1=0。 8329
例題
10 (2項 分布 の正規近似
)
ー
ム
ー
ム
。
に
る
ゲ
する
がある
る
ゲ
人
確
率を÷と
あ
勝つ
確率を
÷,負 け
に勝 てば 1000円 得 をし,負 ければ 250円 損 をす る。この人が この ゲーム
を 20回 行 うとき,少 な くとも3000円 の得 をする確率 を求めよ
.
解
この 人 が ゲ ー ム に勝 つ 回数 を ″ とす る と,20回 の ゲ ー ム に よ る この 人
の 不U益 は
1000″
-250(20-″
)
で , これ が 3000よ り大 きい こ とか ら
1000″
-250(20-χ
)≧ 3000
∬≧6。 4
よって ,少 な くと も 3000円 の 得 をす る に は ,20回 中 7回 以 上 ゲ ー ム に勝 た ね
ばな ら
年
い .そ の 確 率 は 多=20,夕 =÷ の 2項 分希 ょ り
220C″ (÷ )″ (÷ )20-κ
この確率 の計算 には 2項 分布 の正規近似 を使 う
.
≒
=″ =20× ÷
μ
6.67,
≒ 2。 11,
=― 剛
"・
,
#=a"
で あるか ら
,
P(χ
≧
7)=Σ
(÷ (÷
ザ
≒
″≒
αttH"2
II芳 グ
20C″
)″
)20-″
5正
規分布
(正 規分布 とポアソ ン分布 )
郵便 配 達 員 が 月曜 日の朝 ,あ る家 に配 達 に行 く時刻
Tは ,平 均 午 前 9
時 50分 ,標 準偏 差 10分 の正 規 分布 に従 い,配 達 す る郵便 物 の 数 χ は平
均 3の ポア ソン分布 に従 う。この とき,次 の確率 を求 め よ
.
(a)こ の家 が月曜 日の朝 1通 の郵便物 を受 け取 る
(b)こ の家 の主人 が午前 10時 に家 を出た後 に配達員 が くる。
(C)配 達員 が 午前 8時 50分 か ら午前 9時 55分 の 間 に,そ の家 に 3通
.
以上 の郵便物 を届 ける
.
与 え られ た情 報 か ら
解
,
T∼ N(9:50,102)
χ∼庫 =→ =禁
よ って
しも 相
,
(a)P(χ
3=0。
=1)=3θ
15
0)″ >Ю 』ω=く Z>
)
=P(Z>1)
=1-の (1)
=1-0.8413=0。 1587
(C)P{(8:50<T<9:55)∩ (χ ≧3)}
(Tと
=P(8:50<T<9:55)P(χ ≧3)
=P(
<Z<
-3_3θ
=P(-6<Z<場う
(1-θ
χ は独 立 だ か ら )
m)_PttD
ズの一
トー
3_4.5θ 3)
=0.6915(1-0.423)=0。 399
12 (指 数分布 の平均 と分散
指 数 分布
θ ＞
＞
〓
∩Ｕ
．
′︶ ａυ
.
″
／
の平均 と分散 を求 め よ
)
創柳
例題
例
題
―
θ
″
θ
″
解E(χ )=θ f∞ ″
―
θ
″
二輩:+ズ ∞
=θ
θ
″ (部 分
よ
る
分に
積
[三『 」
―
θ
″,=[一―
翌L]:=÷
IFθ
∞
θ
″
E(χ 2)=θ
″
ズ″―
=θ
θ″
″ (部 分
よ
る
分に
積
[
]:+2f∞ ″
)
=0+‐
6歳
1夕
2θ
θ
)
=0+争 α)=多
よ って
,
7(χ )=E(χ 2)_{E(χ )}2
θ22
例題
13 (連 続型―様分布
1
1
2 θ2
θ
)
長 さ αの線分 上 で ランダムに 1点 を選 ぶ .短 かい方の線 分 と長 い方 の線
い
の
の
が÷よ
分
よ
比
長さ
り
小さ
確
求め
率を
.
χ
を
の で
Ｏ
陣
翡
丁
ｔ
．
嗣
る
枷あ
さ
麟ザ
ら
た α
れ は
え 長
与 の
分
解 部
の
とす る と,残 り
に従 う。ところで
<子
χ<者 のと
き
,α _χ <÷ ⇒χ
単
<÷ ⇒χ
>÷ α
χ>子 のと
き
,二衰
とな るか ら,短 い 方 の 線 分 と長 い 方 の線 分 の 長 さの比 を Rと す る と
P(R<÷ )=P(χ <サ )P(χ <子 lχ <サ )+P(χ >サ )P(χ >毛―αlχ >サ )
こ とで
5正
80
P(χ <三
同様 に して
[lχ
<考
争
)=
P{(二 F<ぜ ￨)∩
P(二r<篭
P(」Fkぜ ￨)
<ぢ ￨)}
P←
￨)
「
<考
χ
)
,
P(X>毛 Tα
P(χ >÷ α
lχ
>サ
)
)=
,
P(`χ >ぢ￨)
３
一４
α
＞
χ
Ｐ
＋
＜
１
２
一
〓
１ 一α
＋
１ 一α
〓
二４
χ
〓
一
３
Ｐ
１
Ｐ
＜
Ｒ
二４ 二４
よ って
(χ
規分布
5章 の 問 題
5。
l Zが
Ⅳ (0,1)に 従 う とき,正 規 分布 表 に よ って 次 の 値 を求 め よ。
(a)P(Z<1.64).
(b)P(Z>1.15).
(C)P(Z<-0.34).
(d)P(-1<z<o◆
5)。
(e)P(1.24<Z<2.16).
(f)P(Z>-2.19).ヽ
(g)P(Z>ε
(h)P(Z<ε
)=0.38を 満 た す εの値
)=0.19を 満 たす εの値
.
.
2 Xが N(3,1)に 従 う とき,次 の値 を求 め よ。
(a)P(χ <3).
(b)P(χ <4。 93).
(C)P(X>3。 06).
(d)P(1<χ <4.2)。
(e)P(1.5<χ <2。 5).
(f)P(lχ -21<1).
(g)P(X>ε )=0.1を 満 た す εの値 。
(h)P(χ <ε )=0.2を 満 た す εの値
5。
.
81
5章 の問題
5。
3
ある種 の電 球 の寿命 χ は,過 去 の経験 か ら平均 1500時 間,標 準偏 差
25時 間 の正 規分布 に従 う ことが知 られて い る。寿命
Xが
(a)1530時 間以上
(b)1480時 間未満
(C)1475時 間 か ら 1550時 間 の 間
,
,
に ある電球 の割合 を求 め よ
.
5。
4
軍隊 で使 われ る靴下 の 寿命 は平均 55日 ,標 準偏 差 8日 の正 規 分布 に
従 うとい われて い る。ある日,5000人 の兵士 に靴下 を与 えた とき,45日 以 内 に
は何足 を補給 しなけれ ばな らな いか。また,61日 以 内で は どうか。
5。
5
あ る機 械 が 作 る部 品 の 長 さは標 準 偏 差 が 2cmの 正 規 分布 に従 う
.
(a)こ れ ら部 品 の 97。 5%は
その 長 さが
7。
5cm以 下 で あ る とき,部 品 の 長 さ
の平 均 を求 め よ.ま た,(b)こ の 機 械 が 作 る部 品 の 長 さが 5.4cmか ら 5。 5
cmの 間 にある確率 を求 め よ
.
5。
6
自動充填機 によって ある食 品 を正味 50g入 りと書 かれた袋 に詰 め る
.
機械 が 1袋 に詰 め る実際 の重 さは平均 52.5g,標 準偏差 1.6gの 正 規 分布 に従
う こ とが わか ってい る とき,(a)袋 の 中 の食 品 の重 さが 50gを 下 回 る確 率 は
い くらか。(b)こ の確 率 を 1%以 下 にす るには,機 械 が 詰 め る食 品 の重 さの
平均 をい くらに定 めれ ばよいか 。
5.7
以下 の数値 は ある生徒 の 10日 間 の通学 時間 (分 )を 示 した もので あ
る
.
36
32
26
22
44
38
34
32
42
34
通学時間の平均 と標準偏差 を求 め よ。
この生徒 の通学 時間 は これ ら平 均 と標 準偏差 を もつ正 規 分布 に従 う として
,
(a)生 徒 の あ る 日の通学 時 間が 38分 以上 とな る確 率 を求 め よ。(b)通 学 時
間 が あ る時 間 を超 え る こ とは高 々 10回 に 1回 に した い とすれ ば,そ の 時 間 は
何分 か
.
5.8
正規分布の密度関数
0沸
θ P (_∞
_C― μ
の変曲点 の ″座標 は μ±σで ある こ とを 示 せ 。
<″ <∞ )
82
5正
規分布
9 硬貨 を 12回 投 げる とき,お もてが 9回 以上 出 る確率 を
(a)2項 分布 を用 い て
(b)2項 分布 の正規近似 を用 い て
5。
,
求めよ
.
5.10 Xが
3(50,0.4)に 従 う とき,次 の確率 を求 め よ
.
(a)二 r=20
(b)15≦ χ ≦25
5。
11
過去 の経験 か ら,あ る レス トラ ンで はテーブル予 約客 の 8人 に 1人
は 当 日現 れ な い とい う。この レス トラ ンの収 容 定 員 は 45人 で あ るが ,毎 晩 50
人 までの予 約 を受 けつ けて い る。この レス トラ ンが 当 日現 れた客 のす べ て を収
容 で きる確 率 を求 め よ
.
旨号
(b)
Ｐ Ｐ
(a)
一
χ
5.13
Ⅳ (0,σ 2)に 従 うとき,IXIの 平均 と分散 を求 め よ
測﹁ 翻
ｘは レ
5.12 Xが
.
1で 一様 分布 をす る とき,次 を求 め よ。
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