1．数学の基礎知識

物理学 2007
1．数学の基礎知識
1．数学の基礎知識
§ 1.1 三角関数
1. 三角比
三角比の定義
直角三角形の、直角でない角度 θ について、a を底辺、b を対辺、c を斜辺と
いう (右図)。これらの辺の比を三角比といい、次のように定義する。
サイン
sin θ =
c
コサイン
タンジェント
b
a
b
、 cos θ = 、 tan θ =
c
c
a
b
(1.1)
θ
さらに、その逆数についても、以下のように定義する。
セカンド
コタンジェント
c
c
a
cosec θ = 、 sec θ = 、 cot θ =
b
a
b
a
コセカンド
(1.2)
Fig.1.1
三角比の基本公式
tan θ =
sin θ
cos θ
、 cot θ =
cos θ
sin θ
(1.3)
sin2 θ + cos2 θ = 1 (ピタゴラスの定理)
(1.4)
1 + tan2 θ = sec2 θ 、 1 + cot2 θ = cosec2 θ
(1.5)
2. 三角関数
関数としての三角比
角度 θ を変化させると、(1.1) 式、(1.2) 式の三角比もそれに応じて変化する。これよりこれらの三角比
は、角度 θ を独立変数とする関数と考えることができる。この意味でこれらを三角関数という。
弧度法
角度の単位としては、日常的には 60 進法による度、分、秒が使わ
れるが、数学的にはこれらは不便なので、弧度法によりラジアンと
y
いう単位で表すことが多い (Excel などのソフトもこの単位で表されて
θ
いる)。
弧度法とは右の図で、角度 θ の値を、半径 1 の円の θ の角に対する
θ
1 x
弧の長さによって表すものである。角度をラジアンで表したときの値
x と、度を単位として表したときの値 X の間には、
Fig.1.2
X
x
=
π
180
(1.6)
の比例関係がある。この教科書では、特に断らない限り、角度は全てラジアンで表す。
三角関数の加法定理
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β 、
tan(α ± β ) =
cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan α ± tan β
(以上複号同順)
1 ∓ tan α tan β
1- 1
(1.7)
(1.8)
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§ 1.2 ベクトル
1. ベクトルの定義
スカラーとベクトル
3, x2 のような大きさだけを持つ量をスカラーといい、大きさと方向を持つ量をベクトルという。ベク
トルは n 次元空間 (n = 1, 2, · · · ) での矢印で表され、その元を始点、先を終点という。∗1
ベクトルの相等
2 つのベクトルの大きさ、向きがともに等しいとき、両者は相等しいという。このとき、片方のベクト
ルを平行移動してもう一つのベクトルに重ねることができる。
単位ベクトル
大きさ 1 のベクトルを単位ベクトルという。
2. ベクトルの和とスカラー倍
ベクトルの和
2 つのベクトル ~x、~y を、始点が同じ点 O になるように平行移動させ、こ
の 2 ベクトルが 2 辺となるような平行四辺形の対角線ベクトルを、ベクトル
~x、~y の (ベクトル) 和といい、~x +~y と書く (図 1.3)。
ゼロベクトルと逆ベクトル
大きさが 0 で方向のないベクトルをゼロベクトルといい、~0 あるいは単に
0 で表す。また、あるベクトル ~x に対し、大きさが同じで方向が逆であるベ
クトルを逆ベクトルといい −~x で表す。明らかに、
~x +~y
»
~y »»»
¤
»»
¤
¤
¤
¤
:
~x
O
Fig.1.3
~x + (−~x) = ~0
である。
ベクトルの差
ベクトル ~x と ~y の逆ベクトル −~y とのベクトル和を、ベクトル ~x からベクトル ~y を引いた (ベクトル) 差
といい、~x −~y と表す。
ベクトルのスカラー倍
ベクトル ~x と同じ向きで、その大きさだけが α (∈ R) 倍であるベクトルを、~x
のスカラー倍といい、α~x と書く (図 1.4)。α < 0 のときの α~x は、ベクトル |α |~x
と大きさが同じで向きが逆、すなわち逆ベクトルとなる。
©
*
©©
* α~x
~
x
r
Fig.1.4
3. ベクトルの成分表示
位置ベクトルと相対ベクトル
n 次元空間内のベクトルに対して、原点と n 個の座標軸 X1 , X2 , · · · Xn を設定する。ベクトルをその大き
さと向きとを変えずに、始点を原点に持ってきたものを位置ベクトルという。それ以外のベクトルを位
置ベクトルと区別するときには、相対ベクトルともいう。
∗1
この表現は直感的な理解のために使われる。物理の世界では、座標系を回転させても、表現が変わらない量を、向きを持た
ない量あるいはスカラー量という。これに対して、座標系を回転させるとその表現が変化する量を、一般にテンソル量とい
う。そして 1 階のテンソル量のことを、ベクトル量という。
1- 2
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このとき位置ベクトル ~x の終点の座標 x1 , x2 , · · · xn をベクトルの成分といい、次のように表す。
 
x1
 
 x2 
 
~x =  . 
 .. 
 
xn
(1.9)
n をそのベクトルの次元という。また、n 個の成分からなるベクトルを n 次 (元) ベクトルという。
ベクトルの和の成分表示
ベクトルの和を成分で書き表すと、次の式のように書ける。



x1


y1
x1 + y1

    

 x2   y2   x2 + y2 
    
 −−→
~x +~y =  .  +  .  =  .  = x + y
 ..   ..   .. 
    

xn
yn
xn + yn
(1.10)
ベクトルのスカラー倍の成分表示
同様に、ベクトルのスカラー倍を成分で書き表すと、次の式のように書ける。



x1
α x1

  

 x2   α x2 
  
 −
→
α~x = α  .  =  .  = α x
 ..   .. 

  
xn
α xn
(1.11)
ベクトルの大きさ
n 次元ベクトル ~x の大きさを |~x | と書く。これは成分により次の式で表される。
q
|~x | = x12 + x22 + · · · + xn2
(1.12)
ベクトルの向き
xi
n 次元ベクトル ~x と、各座標軸 Xi のなす角度をそれぞれ θi とし、その余弦 li = cos θi =
を並べた、
|~x |
¡
¢
l1 , l2 , · · · , ln は正負も含めたベクトルの方向を表す。これを方向余弦という。
このとき (1.12) 式より次の式が成り立つ。
n
∑ li2 = l12 + l22 + · · · + ln2 = 1
(1.13)
i=1
ベクトルの時間微分
(直角座標での) ベクトルの時間微分は、それぞれの成分について微分したものを成分とするベクトルと
なる。


d x(t)

 dt 
x(t)


~


 d y(t) 
d
r(t)
~


 と表される。

r(t) = y(t) のとき、その時間微分は、 =

dt
d
t




z(t)
d z(t)
dt

1- 3
(1.14)

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