機械工学基礎 I 補充問題その 1(三角比とベクトル) 解答例 1-1. △OAP は題意より直角三角形であるので，従って，同様に， OP cos 30◦ = OA (1) √ OA 2 200 3 OP = = 100 × √ = cos 30◦ 3 3 (2) √ OB 2 100 3 OQ = = 50 × √ = cos 30◦ 3 3 (3) △OPQ を考えると，̸ POQ= 60◦ であり，式 (2)，(3) より OP:OQ=2:1 なので， √ △OPQ は OP:OQ:PQ= 2 : 1 : 3 の直角三角形である．従って，PQ= 100m である． 1-2. 頂点 D を通り辺 AB に平行な線が辺 BC と交わる点を E とする．ABED は平行四辺形であるので，ED= 6，EC= 15 − 10 = 5，̸ DEC= θ である．従って，より， CD2 = ED2 + EC2 − 2ED · EC cos θ (4) 1 62 + 52 − 72 cos θ = = 2×6×5 5 (5) 0 < θ < π なので， √ sin θ = 1 − cos2 θ = √ √ 1 2 6 1− 2 = 5 5 (6) 台形 ABCD の面積は √ √ 1 1 2 6 (BC + DA)AB sin θ = × (15 + 10) × 6 × = 30 6 2 2 5 (7) → → 1-3. ベクトル − a の大きさ |− a | は， → |− a|= √ √ (−3)2 + (−3 3)2 = 6 1 (8) − である．従って，ベクトル → a の x 成分を ax ，x 軸の正の向きとのなす角を θ とすると， ax −3 1 cos θ = − = =− → |a| 6 2 (9) これより，θ = 120◦ である． → 同様に，ベクトル − a の y 成分を ay ，y 軸の正の向きとのなす角を ϕ とすると， √ √ ay −3 3 3 cos ϕ = − = =− → |a| 6 2 (10) これより，ϕ = 150◦ である． 1-4. それぞれ以下の通り． √ ay 2 + az 2 tan θ = ax √ ax 2 + az 2 tan ϕ = ay √ ax 2 + ay 2 tan ψ = az (11) (12) (13) 1-5. AP の延長が辺 BC と交わる点を Q とする．より， −→ −→ −→ PB + 2PC = −5PA (14) 1 −→ 2 −→ 5 −→ PB + PC = AP 3 3 3 (15) 5 AP である．従って， 3 5 △PBCの面積は，△ABC の面積のである．同様にして，△PCAの面積は △ABC 8 1 1 の面積のであり，△PABの面積は，△ABC の面積のである．以上より，面積 8 4 の比 △PBC:△PCA:△PAB = 5 : 1 : 2 である．なので，点 Q は辺 BC を 2:1 に内分する点であり，PQ= 1-6. 問題文は次の通り．「図 D に示された 4 つの力の合力の大きさと向きを作図で求めよ．」図 D に示された 4 つの力の大きさを正しく作図し直すと，図 D-1 の通りとなる． 2 Fig. D-1 図 D-2 に示す通り力を順に合成して行き，最終的に大きさ 418[lb]，向き θ = 61.75◦ を図 D-3 より得る． Fig. D-2 Fig. D-3 3