第5回 ディジタルPID制御:差分法によるディジタル化

日本工業出版㈱ web 講座
ゼロから学ぶ PID 制御(ディジタルコース)
第5回 ディジタル PID 制御:差分法によるディジタル化
1.差分法によるディジタル変換
∆MVn = MVn − MVn −1
連続(アナログ)系からディジタル系に変換する方法

∆t
= K P (e n − e n −1 ) + e n
TI

T

+ D (e n − 2 e n −1 + e n −2 )
∆t

の第2弾として、微分方程式から差分近似をして変換す
る方法を紹介する。(5.1)式に示す時間領域で表現され
たアナログ PID 制御基本式を差分法を用いてディジタ
ル PID アルゴリズムに変換する例について説明する。

1
de 
MV = K P  e + ∫ e dt + TD 
T
dt 

I
MVn = MVn −1 + ∆MVn
…(5.1)
…(5.6)
…(5.7)
この(5.6)式と(5.7)式の組合せが理想偏差 PID 制
MV:PID 制御出力、e:偏差(目標値−実際値)
御の速度形ディジタル演算式である。第 5.1 図にステッ
KP:比例ゲイン、TI:積分時間、TD:微分時間
プ偏差が発生した場合の理想偏差ディジタル PID 制御
(5.1)式において、積分は(5.2)式のように、また
出力の波形を示す。
微分は(5.3)式のように近似する。
…(5.2)
偏
差
e
e0
…(5.3)
微分項出力
ここで(5.2)式および(5.3)式を(5.1)式に代入
して整理すると(5.4)式を得る。


∆t n
T
MVn = K P e n + ∑ e i + D (e n − e n −1 )
T
∆
t
I i =1


t
操
作
出
力
MV
…(5.4)
理想偏差ディジタルPID制御出力
�t
積分項出力
この(5.4)式は、いわゆる「理想 PID 制御の位置形ディ
ジタル演算式」である。
比例項出力=KP×e0
時間t
2.速度形ディジタル演算式
第 5.1 図
速度形演算式を求めるためには操作信号 MVn を「今
ステップ偏差に対する理想偏差ディジタル PID 制御出力
回 値 MVn = 前 回 値 MVn − 1 + 変 化 分 ∆MVn」 と い う 形
にしなければならない。そこで、(5.4)式から前回値
3.不完全微分のディジタル演算式
MVn − 1 を求めると(5.5)式となる。

∆t n −1
MVn −1 = K P e n −1 + ∑ e i
TI i =1

T

+ D (e n −1 − e n −2 )
∆t

不完全微分をラプラス演算子 s を用いた(5.8)式で
表現されたアナログ演算式を出発点として、ディジタル
演算式に変換する過程を手順を追って説明する。
…
(5.5)
E(s)
変化分 ∆MVn は(5.4)式から(5.5)式を差し引いて
得られ、(5.6)式となる。
偏差
TD・s
1+�TD・s
出力
Y(s)
…(5.8)
【手順 1】まず不完全微分をラプラス演算子 s を用いて、
(5.9)式に示す伝達関数の形で表す。
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Y(s)
TD ⋅ s
=
E(s) 1 + ηTD ⋅ s
…
(5.9)
偏
差
e
e0
t
微分項
【手順 2】次にラプラス方程式を微分方程式に書き換え
実用偏差ディジタルPID制御出力
る。
(5.9)式の分母をはらって変形して、
(5.10)式とする。
Y(s) + ηTD ⋅ s ⋅ Y(s) = TD ⋅ s ⋅ E(s)
…
(5.10)
操
作
出
力
MV
�t
積分項出力
次に(5.11)式を微分方程式に変換すると、(5.11)
となる。
比例項=KP×e0
dy
de
y + ηTD
= TD
dt
dt
時間t
…(5.11)
第 5.2 図
ステップ偏差に対する実用偏差ディジタル PID 制御出力
【手順 3】近似して差分を用いた式に変換する。
(5.12)式のように近似して、これを(5.11)式に代
入し整理して(5.13)式を得る。
的広がりを持っており、微分面積が大きくなって操作端
…
(5.12)
yn =
ηTD
TD
y n −1 +
(e n − e n−1 )
∆t + ηTD
∆t + ηTD
にエネルギーを与えることができ、微分が有効に働くよ
うになっていることがわかる。
…(5.13)
5.実用測定値微分先行形ディジタル PID
この(5.13)式は制御周期ごとに出力の大きさを直
測定値微分先行形は目標値 SV 変化に対して、微分動
接計算するもので、不完全微分の位置形ディジタル演算
作が効かないようにして、目標値 SV 変化に伴うキック
式である。
をなくし、プロセスに与えるショックを抑制したもので
ある。これに対応するためには、微分演算部分のみに対
【手順 4】さらに(5.13)式に代数操作をして速度形ディ
して SVn = SVn − 1 = SVn − 2 として、他の部分は実用偏差
ジタル演算式に変換し、(5.14)式を得る。
 ηTD
y n = y n −1 + 
∆y n −1
 ∆t + ηTD
+

TD
(e n − 2e n−1 + e n−2 )
∆t + ηTD

PID の(5.15)式と同じ演算をすればよい。具体的には、
(5.15)式の微分演算の中の(en − 2en − 1 + en − 2)の部分
のみを(2PVn − 1 − PVn − PVn − 2)に置き換えればよい。
…(5.14)
6.実用測定値比例微分先行形ディジタル PID
これは前項の測定値微分先行形 PID に対して、さら
に目標値 SV 変化に伴う比例キックをなくしたものであ
4.実用偏差ディジタル PID
る。これに対応するためには、前期 5 項の処理にさら
以上の結果をまとめて、不完全微分を用いた実用偏差
に比例演算に対しても SVn = SVn − 1 として、
(5.15)式
PID 制御の速度形ディジタル演算式は(5.15)式になる。
の 比 例 演 算 の 中 の(en − en − 1) 部 分 を(PVn − 1 − PVn)
に置き換えることを追加すればよい。
…(5.15)
<参考文献>
⑴
広井:「プロセス制御を解剖する:第 25 回 ディジタル PID:
差分法によるディジタル変換」,『計装』Vol.43, No.8(2000.7)
⑵
第 5.2 図にステップ偏差が発生した場合の実用偏差
広井,宮田:『シミュレーションで学ぶ自動制御技術入門』,
CQ 出版 ㈱ 2004.10)
ディジタル PID 制御出力の波形を示す。第 5.1 図の理
想偏差ディジタル PID 制御出力の波形と比べると、P 動
作出力と I 動作出力は同じであるが、D 動作出力が時間
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