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正十二面体の体積

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問題
一辺の長さが 1 の正十二面体の体積を求めよ。
ここから問題を解法を限定して求める手順を具体化します。
問題
1. cos 72◦ , cos 36◦ を求めよ。
2. 一辺の長さが 1 の正五角形の面積を求めよ。
3. 正十二面体の隣り合う面の成す角を求めよ。
4. 一辺の長さが 1 の正十二面体の向かい合う面の距離を求めよ。
5. 一辺の長さが 1 の正十二面体の体積を求めよ。
1
1 正五角形から求まる三角比
右図の二等辺三角形を考える。このとき、頂角が 36◦ の二等辺三角形の辺の長さ
の比を 1 : 1 : x とすれば、辺の長さは右図のようになる。よって
1 = x + x2
36°
を解いて
−1 +
x=
2
√
5
x
1
x
であるから、
72°
36°
√
−1 + 5
cos 72 =
4
( = sin 18◦ )
72°
36°
◦
x
であり、
√
1 + cos 72◦
cos 36◦ =
=
2
( = sin 54◦ )
√
√
√
3+ 5
1+ 5
=
8
4
となる。ここでは以下の等式を用いた。
1 + cos 72◦
2
1 − cos 72◦
2
◦
sin 36 =
2
cos2 36◦ =
2 正五角形の面積
一辺の長さが 1 の正五角形の対角線の長さ α は
1
α = 2 cos 36◦
であるので、正五角形の面積 S は
36°
36°
36°
108°
1
1
S = 2 · α sin 36◦ + α2 sin 36◦
2
2
= 2 sin 36◦ cos 36◦ + 2 sin 36◦ cos2 36◦
1
= 2 (1 + cos 36◦ ) sin 36◦ cos 36◦
36°
36°
36°
2
x2
72°
36°
72°
3 正十二面体の隣り合う面の成す角
正五角形の高さを β とすると、
β=
1
tan 72◦
2
であり、正十二面体のある面を底面とし、右上図のように切断した
切断面は右中図のようになる。立体の対称性を考えると、切断面は
長方形と二等辺三角形の組み合わせになっている。正十二面体の各
面の成す角は右中図における θ である。そこで、この図における θ
を求める。
(あたりまえのことだが、この立面図から θ は求まらない。)
β
この θ を求めるために、次のページの図を考える。
1
ここで一次独立な基準のベクトルを a, b, c とし、
θ
β
|a| = |b| = |c| = 1
a · b = b · c = c · a = cos 108◦
β
とする。
1
β
2 面の成す角を求めるため、a と垂直でそれぞれの面内にあるベ
クトル p, q を考えると、
p = ka + lb
とおき、p · a = 0 より、
k|a|2 + la · b = 0
b
p
∴ k = −l cos 108◦
a
ここで、l = 1 とすれば
c
◦
p = − cos 108 a + b
同様にして
q = − cos 108◦ a + c
よって
p · q = (− cos 108◦ a + b) · (− cos 108◦ a + c)
= cos2 108◦ |a|2 − cos 108◦ (a · b + a · c) + b · c
= (1 − cos 108◦ ) cos 108◦
3
q
また、
|p|2 = | − cos 108◦ a + b|2
= cos2 108◦ |a|2 − 2 cos 108◦ a · b + |b|2
= (1 − cos 108◦ )(1 + cos 108◦ )
ここで、|p| = |q| とすれば、
p · q = |p|2 cos θ
(1 − cos 108◦ ) cos 108◦ = (1 − cos 108◦ )(1 + cos 108◦ ) cos θ
)
(
cos 108◦
1
√
∴ cos θ =
=
−
1 + cos 108◦
5
4 正十二面体の向かい合う面の距離
前項より
β
√
1
1
1 − cos θ
=√
=√
◦
2
2(1 + cos 108 )
2(1 − cos 72◦ )
1
=
2 sin 36◦
√
√
√
θ
1 + cos θ
1 + 2 cos 108◦
1 − 2 cos 72◦
cos =
=
=
2
2
2(1 + cos 108◦ )
2 sin 36◦
θ
sin =
2
=
1
θ
β
β
1
β
cos 72◦
sin 36◦
√
ここで、1 より x = 2 cos 72◦ が方程式 1 = x + x2 を満たすことから、 1 − 2 cos 72◦ = 2 cos 72◦ であること
を用いた。いま、向かい合う面の距離を 2h と置くと
( )
θ
2
( )
( )
( )
1
θ
θ
θ
= tan 72◦ · 2 sin
cos
+ sin
2
2
2
2
{
( )
}
( )
2 sin 36◦ cos 36◦
θ
θ
=
cos
+
1
sin
cos 72◦
2
2
(
)
2 sin 36◦ cos 36◦ cos 72◦
1
=
+
1
·
◦
◦
cos 72
sin 36
2 sin 36◦
◦
2 cos 36 + 1
=
2 sin 36◦
2h = β sin θ + sin
4
5 正十二面体の体積
よって体積は
1
V = 12 · Sh
3
2 cos 36◦ + 1
4 sin 36◦
= 2 (1 + cos 36◦ ) cos 36◦ (2 cos 36◦ + 1)
(
)
√ )
√ (
√
1+ 5
1+ 5
1+ 5
=2 1+
·
· 2
+1
4
4
4
√
15 + 7 5
=
4
= 4 · 2 (1 + cos 36◦ ) sin 36◦ cos 36◦ ·
ちなみに、解法は他にもいっぱいあります。座標空間を設定して回転対称性を利用して解く方法もあるし、
補助線を引いて(?)補助立体を使う方法もあります。が、ここでは「もし大学入試で遭遇したら」という仮
定で、自分がやるだろう方法でやってみました。結果、時間がかかりすぎてアウトでしたが。
みなさんも色々考えてみてください。
5
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