経済数学入門—論理その4—

経済数学入門—論理その 4—
丹野忠晋∗
2001 年 6 月 7 日 (8)
今までは命題や述語について論理記号
¬
∧
∨
=⇒
⇐⇒
∀
∃
ではない
かつ
または
ならば
同値である
すべての
存在する
を組み合わせて表現したり，その真偽を考えてきました．今回は正しい推
論や定義について勉強します．
1
推論
例えば，ある事件が起って銭形警部は次のような推論をしました．
「犯人
は赤いジャケットを着ていた」そして「ルパンは赤いジャケットを着てい
る」という事実から「ルパンが犯人である」と結論づけました．この推論
は正しいでしょうか．
その前に推論の定義を言っておきます．真の命題 p1 , p2 , . . . , p n から命題
q を導くことを推論といいます．そして，正しい推論を妥当な推論とよび
ます．
銭形警部の推論はベン図を書くと良く分かります．ルパンが a にいれば，
彼は無罪です．一方，b にいればやはり彼は犯人です．
q
p
a
b
p = 犯人である
q = 赤いジャケットを着ている
∗
東洋大学非常勤講師 & 一橋大学大学院経済学研究科. [email protected]
http://www.geocities.co.jp/WallStreet/6613/
1
必ずしもこの証拠からルパンを犯人と決定付けることはできませんので，銭
形警部はルパンを有罪とすることはできません．つまり彼の推論は妥当で
はありません．
では次の推論はどうでしょうか．含意 p =⇒ q と q =⇒ r から p =⇒ r を
導く論法です．例えばつぎのような命題を意味しているとします．
p = アリストテレスは人間である
q = アリストテレスは生物である
r = アリストテレスはいつかは死ぬ
結論 p =⇒ r は「アリストテレスは人間であるならば，彼は死ぬ」ことを
意味します．
r
r
r = 死すべき
q
p = 人間である
p
q = 生物である
人間は死すべき
p
これはベンから妥当な推論と言えそうです．このような論法を三段論法と
いいます．また，p と p =⇒ q から q を導く論法も三段論法といいます．
他に良く用いられる妥当な推論に背理法があります．背理法とは，命題 p
と矛盾 ⊥ から命題 ¬p を導く論法です．矛盾とはどんな真理値を与えても
偽となるような命題でしたね．実際の数学の証明では，仮定 p から結論 q
を導く定理である場合には，仮定 p と結論の否定 ¬q から矛盾が生じれば，
つまり ⊥ が出てくれば，p =⇒ q が証明されたことになります．
これを証明してみましょう．
p ∧ ¬q
⊥
(背理法)
¬(p ∧ ¬q)
¬p ∨ q
p =⇒ q
(ド・モルガン)
(前々回の講義)
となります．こうして正しい仮定から妥当な推論を用いて導き出すことが
できる結論を定理とよびます．そして，仮定や公理を用いて結論まで辿り
つく過程を証明といいます．では数学的な証明を行うためには妥当な推論
を一々覚えなくてはならないのでしょうか？実は命題の正しさ，トートロ
ジーと妥当な推論は密接な関係にあります．
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定理 1 前提 p1 , p2 , . . . , p n から結論 q を導く論証が妥当であることは命題
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn =⇒ q がトートロジーとなることである．その逆も成り立
つ．
よって，
「ならば」のトートロジーを調べることによって正しい推論を発見
することができます．前々回の問いにも出しましたがもう一度チェックしま
しょう．
問い次の命題がトートロジーとなることを確かめて下さい．
(1) p ∧ (p =⇒ q) =⇒ q
(三段論法)
(三段論法)
(2) (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r)
(3) (p =⇒ q) ∧ (p =⇒ ¬q) =⇒ ¬p
(背理法)
問い次の推論は妥当か確かめて下さい．
(1) 「魚は卵を産む」と「イルカは卵を産まない」から「イ
ルカは魚ではない」を結論する．
(2) 「魚は卵を産む」と「コオロギは卵を産む」から「コオ
ロギは魚である」を結論する．
問い次の p, q, r が次のように定義されいるとき，1 から 3 を記
号化して下さい．
p = ルパンが犯人である
q = 不二子が犯人である
r = 五右衛門が犯人である
(1) ルパン，不二子，五右衛門のうち少なくとも一人は犯人
である．
(2) 不二子が盗みをするときは必ずルパンに助けてもらう．
(3) 犯行時にルパンは行き付けのスナックで酒を飲んでいた．
銭形警部は上の 1 から 3 の証拠を握ったとするならば，彼は
誰が犯人とするのが妥当だろうか．真理値表を用いて判断し
て見て下さい．
問い「無差別曲線は交わらない」を背理法を用いて証明して下
さい．
問い次の同値を証明して下さい．十分性 (⇐=) は明らかなので，
必要性 (=⇒) を背理法で証明して下さい．
xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0
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2
定義
定義 Definition とはある概念をはっきりと述べたものです．定義の数学
的な構造を見てみましょう．ネコの定義を例えば，ニャーとなく人間のペッ
トである，としましょう．そうすると，当たり前ですが，
ある動物がネコならば，それはニャーとなく人間のペットです．
反対に
ある動物はニャーとなく人間のペットであるならば，それはネ
コです．
これはネコにたいして両方の含意 (⇐⇒) が成り立っています．つまり定義
では逆も真でなければなりません．次の問いを考えて下さい．
問い定義として正しいものは何か？
(1) お正月は休日である．
(2) カメラは写真を撮る道具である．
前回出した問いを見てみましょう．
∃xx∈N∧a=b×x
集合が指定されている場合の対象領域の省略法を思い出すと次の式と同じ
です．
∃x∈N a=b×x
この論理式の意味を考えて見ましたか？その意味は「a は b で割り切れる」
です．意味というよりも「a は b で割り切れる」の定義と言っていいでしょ
う．定義では逆も成立しますから，次のように書く場合があります．
def
a は b で割り切れる ⇐⇒ ∃ x ∈ N a = b × x
集合論で証明しなかった性質について述べます．それは，
どんな集合 A についても次が成り立つ．
∅⊂A
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です．部分集合の定義をもう一度限定記号を用いて書き表すと次のように
なります．
def
A ⊂ B ⇐⇒ ∀ x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
全称記号の中身を ∅ ⊂ A に適応しますと，
x ∈ ∅ =⇒ x ∈ A
(1)
となります．空集合 ∅ の定義は元を持たない集合です．従って，x ∈ ∅ は偽
な命題です．含意は，前提が偽であれば真でした．よって，(1) は真ですか
ら，空集合はどんな集合の部分集合です．
最後に次の命題を考えてみて下さい．
クレタ人は嘘つきだ
これは何も変哲もない命題ですが，言った人が問題です．これを言ったとさ
れる人はクレタ人のエピメニデスです．それではこの命題は真でしょうか，
それとも偽でしょうか．
講義 web サイト：http://www.toyonet.toyo.ac.jp/~tadanobu/
丹野の web サイト：http://www.geocities.co.jp/WallStreet/6613/
質問&意見は：mail
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