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高階導関数

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6.1 マクローリン展開
1
6.1 マクローリン展開
例題 6.1 次の関数のマクローリン展開を求めよ.
(1) e2x
(2)
1
1 + x2
(3) sin(x + 1)
(解答) (1) f (t) = et , t = 2x とおき,f (t) のマクローリン展開を求めると,
et =
∞
∑
1 n
t
t2
t3
tn
t = 1 + + + + ··· +
+ ···
n!
1! 2! 3!
n!
n=0
これに t = 2x を代入して,
∞
∑
2x
(2x)2
(2x)3
(2x)n
1
(2x)n = 1 +
x+
+
+ ··· +
+ ···
n!
1!
2!
3!
n!
n=0
e2x =
(2) f (t) =
1
, t = x2 とおき,f (t) のマクローリン展開を求めると,
1+t
1
= 1 − t + t2 − · · · + (−1)n tn + · · ·
1+t
(−1 < t < 1)
これに t = x2 を代入して,
1
= 1 − x2 + x4 − · · · + (−1)n x2n + · · ·
1 + x2
(−1 < x < 1)
(3) f (t) = sin t, t = x + 1 とおき,f (t) のマクローリン展開を求めると,
sin t = t −
t5
t2n+1
t3
+ − · · · + (−1)n
+ ···
3! 5!
(2n + 1)!
(−∞ < t < ∞)
これに t = x + 1 を代入して,
sin(x + 1) = x + 1 −
(x + 1)3
(x + 1)5
(x + 1)2n+1
+
+ (−1)n
+ ···
3!
5!
(2n + 1)!
演習 6.1 次の関数のマクローリン展開を求めよ.
(1) cos 2x
(2) log(1 + 3x)
(7) log(1 + x2 )
(8)
√
1 − 2x2
(3)
√
1
1 +√x
1+x
(10) log
1−x
(4) √
1+x
(9) sin x cos x
(−1 < x < 1)
(5) ex
(11)
4
2
1 − 4x + 3x2
(6) sin x3
(12) 2x
例題 6.2 次の関数のマクローリン展開を求めよ.
(1) tan−1 x
(2)
1
(1 − x)2
(解)
(1) (tan−1 x)′ =
∫
(2)
0
x
1
1
であり,
= 1 − t2 + t4 − · · · + (−1)n t2n + · · · だから,|x| < 1 のとき,
1 + x2
1 + t2
∫ x
∫ x
1
−1
tan x =
dt =
{1 − t2 + t4 − · · · + (−1)n t2n + · · · }dt
2
0 1+t
0
x3
x5
x2n+1
=x−
+
− · · · + (−1)n
+ ···
3
5
2n + 1
∞
∑
1
1
1
dt
=
であり,
=
xn だから,|x| < 1 のとき,
(1 − t)2
1−x
1 − x n=0
1
=
(1 − x)2
(
1
1−x
(
)′
=
∞
∑
n=0
)′
n
x
=
∞
∑
n=0
nxn−1
2
演習 6.2 次の関数のマクローリン展開を求めよ.
(1) sin−1 x
(2) log(x +
√
x2 + 1)
x
x2 + 1
(3)
(4) √
1
1 − x2
¶
ランドウの O 記号
lim
x→0
³
ε(x)
= 0 のとき,ε(x) = o(xn ) と表す.
xn
µ
¶
整級数の性質
整級数
∞
∑
cn xn において,Rn =
∑∞
k=n ck x
k
´
³
= o(xn ) である.
n=0
µ
例題 6.3
´
lim
x→0
1 − cos x
をマクローリン展開を利用して求めよ.
x2
(解)
分母が x2 であるから cos x を 2 次の項までマクローリン展開すると,cos x = 1 −
1 − cos x =
x2
2
+ o(x2 )
1 − cos x
= lim
lim
x→0
x→0
x2
演習 6.3
x2
+ o(x2 ). よって,
2
x − tan x
x→0
x3
(1) lim
ex − (1 + x)
x→0
x2
(2) lim
x2
2
+ o(x2 )
1
=
x2
2
(
)
x2
log(1 + x) − x −
2
(3) lim
x→0
x3
オイラーの公式
実数 x に対して, 次の公式が成り立つ.
eix = cos x + i sin x
ただし, i は虚数単位
√
−1 を表す.
演習 6.4 オイラーの公式を利用して, 以下の等式が成り立つことを示せ.ただし, x, y は実数とする.
eix + e−ix
eix − e−ix
,sin x =
2
2i
(3) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
(1) cos x =
(2) cos2 x + sin2 x = 1
(4) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
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