今日の内容 物理学 I (力学) 10 回目: ベクトルの外積と角運動量 前回のおさらい ベクトルの外積 中野武雄 2012年6月12日 運動量と力積、運動量保存則 2物体の衝突 外積の定義 具体的な計算のしかた・成分表示 角運動量 角運動量の定義、トルク方程式 角運動量の保存 重力下の振子の運動 ベクトルの外積 ベクトルの外積 ベクトルとベクトルの積→結果はベクトル (内積の結果はスカラーでした) 3次元空間を舞台とする科学理論の いろいろなところで利用される 3次元デカルト座標系 右手系 x 軸の正の向き、y軸の 正の向きを選んだのち、 z 軸の正の向きをどちら に選ぶか 親指-x、 人差し指-y、 中指-z 世界統一ルール 高校の物理・数学ではやらなかった(はず) たいていみんな最初は苦手(笑) 右手系=右ねじ系 x 右ねじ系 y z 角運動量 コリオリの力(回転系での慣性力) 電磁気学(ローレンツ力・フレミングの右手・左手則) x 軸の正の向きから y 軸 の正の向きに向かってド ライバーを回転させるとき、 ねじが進行する方向を z の正の方向と定義 y x z 角度の狭い方を通る 1 3次元デカルト座標系の 基準ベクトルとベクトルの外積 z ex 各種ルール ez x ey y x ex ex e y e y ez ez 0 ex e y ez , e y ez ex , e y ex ez , ez e y ex , z y ez ex e y ex ez e y 外積 (内積) 自分との外積 : A A 0 A A A2 交換法則: A B B A A B B A 結合法則(スカラー倍): kA B A kB k A B kA B A kB k A B 分配法則: A B C A B A C A B C A B A C x 外積の特徴 外積の成分表示 A B A, A B B 大きさ A B A B sin B (平行四辺形の面積) 直交している 2 ベクトルの 外積の大きさは A B A z A B (Ax ex Ay e y Az ez ) Bx e x B y e y Bz e z ) ( Ax Bx ex ex Ax B y ex e y Ax Bz ex ez Ay Bx e y ex Ay B y e y e y Ay Bz e y ez Az Bx ez ex Az B y ez e y Az Bz ez ez Ax B y ez Ax Bz e y Ay Bx ez Ay Bz ex Az Bx e y Az B y ex A B 向きは「右ねじ則」 y ( Ay Bz Az B y )ex ( Az Bx Ax Bz )e y ( Ax B y Ay Bx )ez 平行だと0 xy平面上にある2ベクトルでは: 行列式としても書ける A B ( Ay Bz ex Az Bx e y Ax B y ez ( Az B y ex Ax Bz e y Ay Bx ez ex e y ez Ax Ay Az Bx B y Bz A B (Ax ex Ay e y 0ez ) B x e x B y e y 0e z ) ( ( Ay 0 0 B y )ex (0 Bx Ax 0)e y ( Ax B y Ay Bx )ez x y z あるいは 2 内積・外積の比較 結果 大きさ A // B AB 外積 ベクトル A B sin 0 AB 角運動量と保存則 内積 スカラー A B cos AB 0 角運動量の定義 角運動量の性質 運動物体に対してある原点 Oを 置き、その原点から計測した 位置ベクトル r と運動量 p mv とによって、角運動量 L を Lrp O と定義する。 Lrp 原点まわりの「回転運動」 の大きさを示す量 r 運動方程式と角運動量 dp 運動方程式 F の両辺とr の外積を取る dt dp r r F dt いま角運動量 L の時間微分は dL d dr dp r p p r dt dt dt dt いま第一項は v // pより0。よって dL r F dt p 位置ベクトルと速度ベクトル が平行ならば0 位置ベクトルと速度ベクトル が直交していれば最大値 p O' ' 原点の取りかたによって 値が異なる 一般に速度ベクトルは原点 の取り方に寄らずに決まる が、位置ベクトルは原点が 変わると異なった値を取る O' O 力のモーメント(トルク) 角運動量の時間変化を与える式 dL r F dt の右辺をトルクと定義する N r F すると dL N dt N rF O トルク方程式 F r 3 質点系での角運動量保存 中心力と角運動量の保存 第三法則より F12 F21 、また F21 これらの力は互いを結 ぶ直線上 物体1 F12 にあるから r1 r2 // F12 r1 r2 F12 0 r1 F12 r2 F21 0 d N1 N 2 L1 L2 0 dt r2 つまり中心力のトルクは 0。 このとき dL 0 dt したがって L は時間に O 運動量の場合と同様に、質点系における 全角運動量は、内力によっては変化しない y t この平面に x軸、y 軸を x 定めると、p z 0 0 かつ dp Fz= z 0 なので、運動は dt この面内に留まる。 重力下の振り子 z y O x p r 重力下の振り子:運動方程式 T O mg sin mg 鉛直線 物体の初期状態として、位置ベクトルと運動量が 決まったとすると、その 2 ベクトルを含む平面を 定義可能 A L r mv mA(一定) dL よって 0 dt mg F 参考:中心力→平面運動 r (t ) A(一定), (t ) t dr d vr 0, v r A dt dt T O よって変化しない 振り返り:等速円運動 中心力:原点の方向(あるいはその逆)を向く力 r // F r F 0、 r1 物体2 r1 r2 e er mg cos d 2 r d 2 r 成分:mar m 2 r fr dt dt 2 d 1 2 d 成分:ma m r f r dt 2 dt r l(定数) を考慮に入れると T mg sin d ml mg cos T dt mg 2 d 1 2 d d 2 m l mg sin l g sin dt 2 l dt 2 dt 2 e er mg cos 4 重力下の振り子:トルク方程式 N r (mg ) lmg sin ez d 2 d L r (mv ) l ml ez ez ml dt dt よってトルク方程式より dL d 2 N l 2 g sin dt dt d 2 g sin g dt 2 これは単振動の方程式と同じ形式。 ez O l r g g と置けば、 l l (t ) 0 sin(t 0 ) は運動方程式の解。 2 T 鉛直線 初速と最大振れ角の関係 張力Tは仕事をしないので、 エネルギー保存則から 1 2 mv0 mgh 2 mgl (1 cos M ) 重力下の振り子: θが微小のときの解 O M? mg このとき周期 T 2 2 l g 参考:振り子のエネルギー保存 d 2 g sin dt 2 l 0 において v v0より、 d d 2 g d 2 C2 v0 2 gl sin dt dt 2 l dt よって 2 d 1 d g d cos C v 2 2 gl (1 cos ) v0 2 dt 2 dt l dt 2g d cos C2 l dt v 2 2 gl cos C2 2 cos M 1 2 v0 2 gl v0 1 2 1 2 mv mgl (1 cos ) mv0 2 2 5
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