基礎 力学 間 1 (1)自 由落 下 の 場 合 z=_:gι 2+υ z=0と Oι な る時 間 は ι=堕 θ (2)空 気 抵 抗 が あ る場 合 の 運 動 方 程 式 は 笛″ (3)υ =一 鶴 g― bを =夕 に 対 す る微 分 方 程 式 は j=弊 =一 θ一βυ (β =b力鴨) =― ごι 島 積 分 して ,眈 い飼 =ι +Q ―朝皮角卒は υ= 方 +θ 2C β ι 初 期 条 件 ι=0で υ O=一 十 カの したがつて特殊 解 は υ =― :;+(υ 解 (3)の 男吋 う+β υ=一 θ 同次方程式 う+β υ=0 の角翠は υ =0・ 2C β ι O+力 ―βι )θ 解答例 2 非同次方程式 の解 は υ=― g 百 2つ の解 を加 えて ,一 般解 は ι υ =― +OC β 力 (4)速 度 c― z=0と ―βι )(1-θ ) 1の とき t==1_β ι■ β 2t2+... :β なる時間を Tと すると T十 0=一 方 :(υ O+力 T==(υ O+力 T一 ク )β (β + (5)β ι≪ : (υ O+力 Q 力 + ■ β l l ノ 0 ヽ ι+― β 一 C 偽 期 た 初 し Z=― ハ判〃 Q を積 分 して + ︲/ V ↑ r g ρ ︲ β 一 ﹂ 毎 漱 一 βι +(υ O+力 ;:=υ =― ヵ )C― T― )(β :(υ 2T2) :β O+ヵ )β 2T2 υ o+g)T=2υ 0 oル ≪ 1で あるから βυ T=7脇 =争 ←― 争 ) したが っ て , 自由落 下 に比 べ て空 気 抵抗 が あ る場合 の 方 が 早 く戻 つ て くる。 問2 (1)減 衰 振 動 の 運 動 方程 式 は 鶴■=― 鶴ω:-2π βカ (2)微 分方程式は 全+2β 分+ω :“ =0 χ=cttι とぉ くと 入2+2β λ+ω :=0 であるか ら = λ=― β土づ σ (σ 一般解は ι “ =c一 β (θ lctσ ι +Qθ づ σι ) (θ l,の は 複 素 数 の 定 数 ) 変 位 ″ が 実 数 に な る よ うに係 数 を と る と βιcOs(σ ι+α ″ =Ac ) あるいは βι ″ =c (31 coS σι+32 Sin σι ) (3)初 期 条 件 ι=0で ″ =0=A cos α 分 =υ 。=― βスcOS α―σtt Sin α であるか ら A cos α=0, ■sin α=υ O/σ したがって,初 期条件 を満 たす解は ι c― β sin σ ι =望σと “ 間3 (1)平 面極座 標 系 (r,θ )の 単位 ベ ク トル は Cγ =COs θづ+sinθ J eθ =― sin θづ+cos θJ (2)そ の時間微分は こr=― θsin θづ+θ cosθ J=θ cθ こθ=― θcos θづ―θsinθ J=― θer (3)位 置ベ ク トル υ =チ r=rerを 時間微分すると,速 度は ==チ er― 十 負与 θcθ =rcr―■γヽ 4 運動エネルギー は :γ γ ι υ2==:γ 几(チ 2_十 r2θ 2) (4)加 速度は α =う =ゲ er+た γ+チ θcθ +rθ cθ +r6睦 θ 2)cγ +(rσ +21∂ )eθ =(デ _r沙 =い め争+;湯 ぱめ 鉤 運動方程式は 77L(ゲ ーr'2)=島 鶴 }幾 (r2ゅ )=乃 (5)中 心 力 の 場 合 ,運 動 方程 式 は π め=0 いめ=Д 犠 鶴 ;岳 ぱ θ方 向 の運動方程式 を積分す る と r2θ =ん 角運動量 は L=r× p=鶴 r× υ=77tr2θ cz と書 けるので ,角 運動量 の保存則 を意味す る。 (6)万 有引力 は 一G写 A→ そ のポテ ンシ ャル は び 0-五 θ 等)ク ーG写 (― (7)r方 向の運動方程式は 鶴(ゲ _rι 2)=_θ :ギ 争 円運動 してい るので,Tは 一定,す なわち ″=0,θ =ω とお いて _げ ω 2==_θ 写 つま り ω 2=θ 醤 円運動の周期は T=2π /ω であるから T2=斜 r3
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