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(2) 空気抵抗がある場合の運動方程式は

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基礎 力学
間
1
(1)自 由落 下 の 場 合
z=_:gι 2+υ
z=0と
Oι
な る時 間 は
ι=堕
θ
(2)空 気 抵 抗 が あ る場 合 の 運 動 方 程 式 は
笛″
(3)υ
=一 鶴 g―
bを
=夕 に 対 す る微 分 方 程 式 は
j=弊
=一 θ一βυ (β =b力鴨)
=― ごι
島
積 分 して
,眈
い飼
=ι
+Q
―朝皮角卒は
υ=
方 +θ 2C β ι
初 期 条 件 ι=0で
υ
O=一 十
カの
したがつて特殊 解 は
υ =―
:;+(υ
解
(3)の 男吋
う+β υ=一 θ
同次方程式
う+β υ=0
の角翠は
υ =0・ 2C β
ι
O+力
―βι
)θ
解答例
2
非同次方程式 の解 は
υ=―
g
百
2つ の解 を加 えて ,一 般解 は
ι
υ
=― +OC β
力
(4)速 度
c―
z=0と
―βι
)(1-θ
)
1の とき
t==1_β ι■
β
2t2+...
:β
なる時間を Tと すると
T十
0=一
方
:(υ
O+力
T==(υ O+力
T一
ク
)β
(β
+
(5)β ι≪
: (υ
O+力
Q
力
+
■ β
l l ノ
0 ヽ
ι+―
β
一
C
偽
期 た
初 し
Z=―
ハ判〃 Q
を積 分 して
+ ︲/ V ↑
r
g
ρ
︲
β
一
﹂
毎
漱
一
βι
+(υ O+力
;:=υ =― ヵ
)C―
T―
)(β
:(υ
2T2)
:β
O+ヵ )β
2T2
υ
o+g)T=2υ 0
oル ≪ 1で あるから
βυ
T=7脇 =争 ←―
争
)
したが っ て , 自由落 下 に比 べ て空 気 抵抗 が あ る場合 の 方 が 早 く戻 つ て くる。
問2
(1)減 衰 振 動 の 運 動 方程 式 は
鶴■=― 鶴ω:-2π βカ
(2)微 分方程式は
全+2β 分+ω :“
=0
χ=cttι とぉ くと
入2+2β λ+ω :=0
であるか ら
=
λ=― β土づ
σ (σ
一般解は
ι
“
=c一 β (θ lctσ
ι
+Qθ
づ
σι
) (θ
l,の は 複 素 数 の 定 数 )
変 位 ″ が 実 数 に な る よ うに係 数 を と る と
βιcOs(σ ι+α
″ =Ac
)
あるいは
βι
″ =c
(31 coS σι+32 Sin σι
)
(3)初 期 条 件 ι=0で
″ =0=A
cos
α
分 =υ 。=― βスcOS α―σtt
Sin
α
であるか ら
A cos
α=0,
■sin α=υ O/σ
したがって,初 期条件 を満 たす解は
ι
c― β sin σ
ι
=望σと
“
間3
(1)平 面極座 標 系
(r,θ )の
単位 ベ ク トル は
Cγ
=COs θづ+sinθ J
eθ
=― sin θづ+cos θJ
(2)そ の時間微分は
こr=― θsin θづ+θ cosθ J=θ cθ
こθ=― θcos θづ―θsinθ J=― θer
(3)位 置ベ ク トル
υ
=チ
r=rerを 時間微分すると,速 度は
==チ er― 十 負与
θcθ
=rcr―■γヽ
4
運動エネルギー は
:γ
γ
ι
υ2==:γ 几(チ 2_十
r2θ
2)
(4)加 速度は
α
=う =ゲ er+た γ+チ θcθ +rθ cθ +r6睦 θ
2)cγ
+(rσ +21∂ )eθ
=(デ _r沙
=い め争+;湯 ぱめ
鉤
運動方程式は
77L(ゲ
ーr'2)=島
鶴
}幾
(r2ゅ
)=乃
(5)中 心 力 の 場 合 ,運 動 方程 式 は
π
め=0
いめ=Д 犠 鶴
;岳 ぱ
θ方 向 の運動方程式 を積分す る と
r2θ
=ん
角運動量 は
L=r× p=鶴 r×
υ=77tr2θ cz
と書 けるので ,角 運動量 の保存則 を意味す る。
(6)万 有引力 は
一G写
A→
そ のポテ ンシ ャル は
び
0-五 θ
等)ク ーG写
(―
(7)r方 向の運動方程式は
鶴(ゲ _rι 2)=_θ
:ギ 争
円運動 してい るので,Tは 一定,す なわち ″=0,θ =ω とお いて
_げ
ω
2==_θ
写
つま り
ω
2=θ
醤
円運動の周期は T=2π /ω であるから
T2=斜
r3
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