並列式で抵抗

電気 · 電子回路 (前川)
9
3 直流回路
前章で、基本的な回路素子として、抵抗、キャパシタ (コンデンサ)、インダクタについて学んだ。これらは
何れも受動的な素子であり、かつ、電流、電圧について線形な回路要素であった。線形な回路要素で構成した
回路を、線形な電気回路あるいは線形回路と呼ぶ。
これらの回路要素は、
有する*1
、
、及び
のように、何れも二つの端子 (terminal) を
。また、各回路要素の端子対を、ポート (port) と呼ぶ事がある。端子やポートを使うと、抵抗 R、
キャパシタ (コンデンサ)C 、インダクタ L 及び電源 E は、
「2-端子要素」または「1-ポート要素」と呼べる*2 。
3.1 直列接続と並列接続
下の Fig.3.1(左) のように、ある点 P から Q まで、要素を次々に繋いでいく事を直列接続 series connec-
tion という。また、同図 (右) のように P と Q の間に夫々の要素を繋ぐ事を並列接続 parallel connection
という (同図では五つの要素の接続を示しているが、要素数は任意である) 。
P
P
A
B
C
Q
E
A
B
C
D
E
D
Q
Fig.3.1 直列接続 series connection (左) と並列接続 parallel connection (右).
例えば、回路に流れる電流を考えた場合、直列接続では同じ電流が夫々の要素を流れるのに対し、並列接続
では、電流が各要素に枝分れして流れる。実際の回路は両者が混在しているが、ここでは両者の違いを理解す
ることにしよう。
3.1.1 抵抗の直列接続
まず、抵抗を直列に接続した回路の例を次の Fig.3.2 に示す。
V1
I
V1
R1
a
R2 V2
E
I
I
R1
b
R2 V2
E
d
I
R3
R3
V3
V3
c
Fig.3.2 三本の抵抗を直列に接続した回路.
*1
*2
二つの端子 (たんし):ここでは, 各要素を表わす記号の両端点. なお, それを強調するために, 記号 ◦ や • を付ける事もある.
R,C,L は, 「1-ポート素子」と言ってもよいだろう.
電気 · 電子回路 (前川)
10
Fig.3.2 には同じ回路が二つ示してあり、右図には説明のための記号をいくつか記している。
電圧とは電位の差の事なので、同図 (右) の記号を用いて、a 点の電位を Va 、b 点の電位を Vb と書くと、電源
の電圧は E = Va − Vd と書ける。同じようにして、抵抗 R1 や R2 にかかる電圧は、それぞれ、V1 = Va − Vb 、
及び V2 = Vb − Vc のように表わせる。
また、電位の基準を明示したいときは、同図の d 点に描いたように三角形の記号
を用いて、ここが電位
の基準、則ち Vd = 0[V] である事を示す。これを、接地点 (グラウンド ground またはアース earth) という。
さて、この回路では、直列に繋がった三つの抵抗の両端に電源電圧 E がかかっており、電源から流れる電
流 I が各抵抗に流れるので、
E = V1 + V2 + V3 = R1 I + R2 I + R3 I = I(R1 + R2 + R3 )
(1)
Rs = R1 + R2 + R3
(2)
E = IRs
(3)
が成り立つ。つまり、
と置くと、
と書ける。これは、直列接続した 3 本の抵抗は、それらの値を加えた一本の抵抗 Rs と考えてよいという事を
示している。Rs を直列接続された抵抗の合成抵抗という。これより、N 本の抵抗 Ri (i = 1 . . . N ) を直列に
接続したときの合成抵抗は
Rs =
N
∑
Ri
(4)
i=1
となる事も明かであろう。従って、このような直列回路には、
I=
E
Rs
[A]
(5)
の電流が流れる事になる。
また、直列に接続された抵抗 Ri にかかる電圧 Vi は
Vi = E
Ri
Rs
(6)
である。これを分圧といい、電圧測定などの基本である。
問 3.1 Fig.3.3 に関する以下の問に答えなさい。
I
E
R1
R2
V2
Fig.3.3 二つの抵抗の直列回路.
(1) 同図において、 R1 = 2[kΩ]、 R2 = 3[kΩ]、電源電圧 E = 20[V] としたとき、回路に流れる電流 I を
求めよ。また、このとき、抵抗 R2 にかかる電圧 V2 はいくらか。
(2) 同図において、抵抗 R2 にかかる電圧 V2 を、電源 E の 1/10 に分圧したい。R2 = 1[kΩ] のとき、抵抗
R1 はいくらにすればよいか。
電気 · 電子回路 (前川)
11
3.1.2 抵抗の並列接続
次に抵抗の並列接続について考えよう。三本の抵抗を並列に接続した回路を Fig.3.4 に示す。
I
I1
R1
E
I2
V1 R2
I3
V2 R3
V3
Fig.3.4 三本の抵抗を並列に接続した回路.
この回路では、電圧 E が各抵抗にそのまま加わっており、各抵抗値に応じた電流 I1 、I2 、I3 が流れる。即ち、
電源から流れる全電流 I はこれらの和になる。
I = I1 + I2 + I3
(7)
また、各抵抗の両端の電圧 (各抵抗の電圧降下) は何れも電源電圧 E に等しい。即ち、
E = V1 = V2 = V3 ,
E
E
E
, I2 =
, I3 =
R1
R2
R3
I1 =
(8)
従って、
I = I1 + I2 + I3 =
E
E
E
1
1
1
+
+
= E(
+
+
)
R1
R2
R3
R1
R2
R3
(9)
となる。ここで、
1
1
1
1
+
+
=
R1
R2
R3
Rp
(10)
と置くと、
I=
E
Rp
(11)
と書ける。これは、並列接続した 3 本の抵抗は、式 (10) の右辺のような一本の抵抗 Rp と考えてよいという
事を示している。Rp を並列接続された抵抗の合成抵抗という。
これより、N 本の抵抗 Ri (i = 1 . . . N ) を並列に接続したときの合成抵抗 Rp については、
∑ 1
1
=
Rp
Ri
i=1
N
(12)
となる事が分る。また、抵抗の逆数を
Gi =
1
Ri
(13)
と置いたものをコンダクタンスと呼び、その単位はジーメンスといい [S] で表わす。コンダクタンスを用いる
と、並列回路の合成コンダクタンスは
∑
1
=
Gi
Rp
i=1
(14)
E
IRp
Rp
Gi
=
=I
=I
Ri
Ri
Ri
Gp
(15)
N
Gp =
となる。
また、各抵抗 Ri に流れる電流 Ii (電流の分流) は
Ii =
である。
電気 · 電子回路 (前川)
12
問 3.2 Fig.3.5 に関する以下の問に答えなさい。
I
I1
I2
R1
E
R2
Fig.3.5 二つの抵抗の並列回路.
(1) 同図において、 R1 = 2[kΩ]、 R2 = 4[kΩ]、電源電圧 E = 20[V] としたとき、回路に流れる電流、則
ち、電源 E が供給する電流 I はいくらか。
(2) 同図において、電源 E が供給する電流 I の十分の一 (1/10) を抵抗 R2 に流したい。このとき、抵抗 R2
は、抵抗 R1 に対していくらにすればよいか。
3.2 電力と電源モデル
3.2.1 電源の役割
ここで電源の役割について考えてみよう。電気 · 電子回路に電気エネルギーを供給する源が、(文字通り) 電
源である。電源がエネルギーを供給する対象を負荷 (load) と呼ぶ。
ある電源が、電圧 V で電流 I を回路に供給している時、
P =V ·I
[W](ワット)
(16)
という電力 (electric power)P を供給している。電力 P の単位 [W](ワット) は [J/s](ジュール毎秒) の次元
を持ち、仕事率ともいう。これに時間を掛けたのが電力量というエネルギーで、次元は [J](ジュール) である。
[W] · [s] = [J · s−1 · s] = [J]
(17)
実用的には、秒 [s] の代わりに時間 [h] を使って、[Wh](ワット · アワー) とする表記が馴染み深いかもしれな
い。抵抗 R に電流 I が流れているとき、抵抗にかかる端子電圧は V = R · I なので、この抵抗で消費される
電力は
P = V · I = (R · I) · I = R · I 2
[W]
(18)
となり、熱エネルギーとして消費される。これをジュール熱という*3 。
問 3.3 Fig.3.6 に関する以下の問に答えなさい。
I
R1
I
I1
R2
E
V2
E
R1
Fig.3.6 二つの抵抗から成る直列回路と並列回路 (再掲).
*3
身近な応用例に, トースターやヒーターがある.
I2
R2
電気 · 電子回路 (前川)
13
(1) 同図 (左) の直列回路において、抵抗 R1 で消費される電力を求めなさい。但し、電源電圧は E = 20[V]
で、各抵抗は、R1 = 2[kΩ] 及び R2 = 3[kΩ] とする。
(2) 同図 (右) の並列回路において、各抵抗で消費される電力を求めなさい。但し、電源電圧は E = 20[V]
で、各抵抗は、R1 = 2[kΩ] 及び R2 = 4[kΩ] とする。
3.2.2 電源モデル
負荷に電圧を供給する電源を電圧源、電流を供給する電源を電流源という。最近の関連諸規格では、電圧源
で、電流源を
を
で表わす。
この電圧源に負荷として抵抗を接続したのが次の図で、流れる電流は I = E/R1 、抵抗 R1 による電圧降下
V1 = R1 · I は電源電圧 E に等しい。ここで、この負荷抵抗 R1 を短絡してみよう。図では、短絡を閉じた
スイッチで表わしており、そこを流れる短絡電流を Is で示している。電流 I は全てスイッチを流れるので、
Is = I → ∞、I1 = 0 となる。
I
I1
+
R1
E
I
I
I3
V1 R3
R1
E
−
+
I1
+
V1
r
E
Is
I1
R1
V1
Is
−
−
Fig.3.7 電圧源の考え方
しかし実際には、(結線を含む) 電源の能力には限りがあり、無限大の電流が流れる事は無い。そのような物
理的な制約を、電圧源に直列に小さな抵抗 r を挿入して表わす。これを、電源の内部抵抗という。すると、実
際の電圧源は、Fig.3.7(右) の破線で囲った部分のように、「理想的な定電圧電源 E 」と「直列に接続された
(小さな) 内部抵抗」で表わせる。この部分を取り出して再掲すると、Fig.3.8(左) のようになる。
◦
r
+
◦
+
Is
E
−
r
−
◦
Is = Er
Vo = Is · r = E
◦
Fig.3.8 互いに等価な電圧源と電流源。
この電圧源のポートを開放すると電流は流れないので、その時の電圧、即ち開放電圧 Vo は、内部抵抗 r によ
る電圧降下が無いので Vo = E である。この電源から取り出す電流 I を増やしていくと、端子電圧 V は
V = Vo − rI = E − rI
(19)
のように減少していく。このような端子電圧と電流の関係を、その電源の「電圧-電流特性」といい、(線形素
子では)Fig.3.9 のように直線になる (同図、赤の実線)。また、∆V /∆I = r、即ち、この直線の傾きが内部抵
抗 r を表わしている事も理解できよう。なお、同図における赤の破線は、電流 I をどれだけ取り出しても端子
電圧は一定であり、理想電圧源といえる。
(話を戻して) この電源端子を短絡、即ち V = 0 にすると、短絡電流は開放電圧 E を内部抵抗 r で割った値
IS = E/r となる。また、式 (19) は
I=
E
V
V
1
(Vo − V ) =
−
= Is −
r
r
r
r
(20)
電気 · 電子回路 (前川)
14
とも書ける。V = 0 に着目して同じグラフにこれを示したのが、同図の青色の実線である。これは、この電圧
源を、それと等価な電流源と見做した特性といえる。その等価回路は、Fig.3.8(右) のようになる。
電流 I
(理想電圧源)
(理想電流源)
Is
0
電圧 V
Vo
Fig.3.9 電源の電圧-電流特性. 直線の傾き ∆V /∆I は内部抵抗 r を表わす.
3.3 重ね合わせの理
複数の電源が含まれている線形な回路において、回路中の電圧 · 電流分布を求めるには、個々の電源が単独
で存在している状態における電圧 · 電流分布を求め、それを重ね合わせればよい。これを (電気回路における)
重ね合わせの理 principle of superposition と呼ぶ (短く重ねの理ともいう)。
個々の電源を単独で考える場合、残りの電源は、次のように扱えばよい。
個々の電源を単独で考える際の残りの電源の扱い方
電圧源
発生電圧ゼロ、即ち、短絡状態とする。
電流源
発生電流ゼロ、即ち、開放状態とする。
例として、二つの電圧源と二つの抵抗から成る、Fig.3.10(左) の回路を考えよう。
R1
I1
−
+
E1
+
短絡
E1
E2
−
R1
+
(E2 = 0)
−
R2
R2
V2
V2(E1)
Fig.3.10 二つの電源と二つの抵抗から成る回路 (左). (右) は, 電源 E1 のみを考えたもの.
このとき、抵抗 R2 にかかる電圧 (抵抗 R2 の電圧降下)V2 を重ね合わせの理で考えると、次のようになる。
即ち、電源 E1 だけがある場合の電流 I1 と、それによる抵抗 R2 の電圧降下 V2(E1) は、それぞれ、
I1 =
E1
,
R1 + R2
V2(E1) = R2 · I1 = R2
E1
R1 + R2
(21)
となる。この状況を表わすと Fig.3.10(右) のようになる。これと同様に、電源 E2 だけによる電流と電圧降下
電気 · 電子回路 (前川)
15
は、それぞれ、
I2 =
E2
,
R1 + R2
V2(E2) = R2 · I2 = R2
E2
R1 + R2
(22)
となるので、両者を加えて、
V2 = V2(E1) + V2(E2) =
R2 (E1 + E2 )
R1 + R2
(23)
が得られる。これは、次の Fig.3.11 のように表わす事ができる*4 。
R1
+
(E1 + E2 )
R2
V2
−
Fig.3.11 Fig.3.10(左) と等価な回路.
問 3.4 上述のように、電源 E2 だけによる電流と電圧降下は式 (22) で表わす事ができる。その説明図を、
式 (21) に対する説明図 Fig.3.10(右) に倣って描きなさい。
3.4 キルヒホフの法則
これまでに、既にいくつか回路計算をしてきた。その手法は次の二点、キルヒホフの法則 (Kirchhoff’s
circuit laws) に整理できる。なお、回路中で二つ以上の回路要素が接続されている点を節点 node、その節点
に繋がっている回路要素の経路を枝 branch(枝路)、各枝路の電流を枝電流 branch current、ある節点か
らいくつかの枝を通って、元の節点に戻る経路を閉路 loop という。
キルヒホフの電流則
電気回路において、回路を流れる電流が途中で増えたり減ったりする事は無い。つまり、電流 I が、回路中
のある節点で I1 と I2 に枝分れする場合、流れ込む電流は流れ出す電流に等しく、I = I1 + I2 である。節点
に流れる電流の向きに応じて符号をつけて考えると、
「回路内の任意の節点における電流の代数和は 0 である」
ので、
n
∑
Ik = 0
(n はその節点に繋がる枝路の数)
(24)
k=1
と表現できる。これをキルヒホフの電流則 Kirchhoff ’s current law(キルヒホフの第一法則) といい、電荷
の保存に対応している。
キルヒホフの電圧則
回路中の一つの節点から、任意の枝路を通って元の節点に戻る閉路 (ループ) を考える。この閉路で各枝路
の電位を辿っていくと、元の節点に戻ると 0 にならなければならない。つまり、「回路内の任意の閉路におけ
る起電力と電圧降下の代数和は 0 である」、即ち、
n
∑
Vk = 0
(n はその閉路の枝路の数)
k=1
*4
慣れてしまうと元の回路は直ちにこの図のように考えるので, 却って順序建てての説明が難しいかもしれない.
(25)
電気 · 電子回路 (前川)
16
と表現できる。例えば、起電力 Ei が閉路の向きに正で、抵抗による電圧降下 Ri · i が閉路の方向であれば、そ
の部分の代数和は Ei − Ri · i になる。これをキルヒホフの電圧則 Kirchhoff ’s voltage law(キルヒホフの
第二法則) といい、エネルギーの保存に対応している。
例 3.1 二つの電源 E1 、E2 と三つの抵抗 R1 、R2 、R3 から成る T 型の回路を考える。三つの抵抗が結ばれ
た節点 a に流れる電流 I1 、I2 、I3 を求めなさい。
R1
R2
a
I1
I2
I3
+
E1
+
R3
l1
E2
l2
−
−
b
Fig.3.12 三つの抵抗から成る T 型の回路.
答まず、キルヒホフの電流則から、節点 a に流れる電流について次の式が成り立つ。
I1 + I2 + I3 = 0
(26)
続いて、閉路 l1 と l2 について、キルヒホフの電圧則から、次の二式が成り立つ。
l1 : E1 − I1 R1 + I3 R3 = 0,
l2 : E2 − I2 R2 + I3 R3 = 0
(27)
この二式に、I3 = −(I1 + I2 ) を代入して、次の式が得られる。
l1 : E1 = I1 (R1 + R3 ) + I2 R3 ,
l2 : E2 = I1 R3 + I2 (R2 + R3 )
(28)
この連立方程式を 2 × 2 の行列で表わすと
(
R1 + R3
R3
R3
R2 + R3
)(
I1
I2
)
(
=
E1
E2
)
(29)
のようになり、これを解いて
(
I1
I2
)
1
=
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
I3 = −(I1 + I2 ) = −
(
R2 + R3
−R3
−R3
R1 + R3
)(
E1
E2
1
(R2 E1 + R1 E2 )
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
)
(30)
(31)
が得られる。得られた I3 は負の符号がついているので、図の向きとは逆に、節点 a から下向きに流れている
事が分かる。
3.5 鳳-テブナンの定理
前述の電源モデルにおける「開放電圧と内部抵抗」の考え方は、ポート (端子対) を一つ持った一般の線形
回路網にそのまま適用できる。つまり、回路の内部的な構成は考えず、ポートを介して見える特性は、ポート
に何も繋がず開放した状態で観測される開放電圧 Vo と、ポートから回路網を見たときの抵抗 Ri が分かれば、
それらの直列回路と等価である。これを鳳-テブナンの定理という。
電気 · 電子回路 (前川)
17
つまり、Fig.3.13(左) に示すような、中身が分からない 1 ポートのブラックボックス (black box) であって
も、それが線形回路であれば、ポートの開放電圧 Vo と、ポートから中を見た抵抗 Ri が分かれば、同図 (中)
のような等価回路で、その電流電圧特性を表わす事ができる。なお、先の議論で見たように、これは同図 (右)
の等価な電流源を持った回路に置き換える事ができる。
◦
◦
◦
Ri
+
+
Vo
Is
−
−
◦
◦
等価な回路 (電圧源)
等価な回路 (電流源)
◦
1 ポート線形回路
Ri
Fig.3.13 線形回路は, ポートの開放電圧とポートから内部を見た抵抗で表わ
す事ができる (鳳-テブナンの定理).
なお、回路網が与えられた場合にポートから内部を見た抵抗を求めるには、重ねの理で述べたように、その
回路網中の電圧源の電圧はゼロ (電圧源を短絡)、電流源の電流もゼロ (電流源を開放) して計算する。
例えば、「重ねの理」の例で示した 2 電源 2 抵抗の回路 (Fig.3.10(左)) の場合、R2 の両端をポートと見
て、直ちに、ポートの開放電圧 VO = E1 + E2 、ポートから中を見た抵抗 Ri = R1 が得られるので、前掲の
Fig.3.11 のように表わせる事が直ちに分かる。これに、ポート a,b をつけて再掲したのが Fig.3.14 である。
R1
R1
−
+
E1
+
E2
−
VO (= E1 + E2 )
+
R2
a
R2
V2
−
a
b
b
VO
Fig.3.14 Fig.3.10(左) の回路に鳳-テブナンの定理を適用する. ポートを a,b で示した.
問 3.5 Fig.3.15 に示す回路は、例 3.1 で用いた T 型回路を再掲したものである。この回路において、抵抗
R2 に流れる電流 I2 を鳳-テブナンの定理によって求めなさい。
R1
R2
a
I1
I2
+
c
I3
+
E1
R3
−
E2
−
b
Fig.3.15 例 3.1 で用いた T 型回路の再掲.
ブリッジ
次にもう少し複雑な回路を考えよう。並列に接続された二つの枝路があり、それぞれの枝路の中間が互い
に結ばれた、Fig.3.16 のような回路をブリッジ (bridge) という。このような構成は、線形回路だけではなく
電気 · 電子回路 (前川)
18
色々な応用がある重要な回路である。
b
R1
a
R2
c
R5
R3
R4
d
+
E
−
Fig.3.16 ブリッジ回路.
Fig.3.16 において、枝路 a-b-c と枝路 a-d-c を節点 b と節点 d で結んでいる (ブリッジしている) 抵抗 R5 に
流れる電流はどうなるであろうか?
···
既に学んだキルヒホフの法則を使ってこれを求めてもよいが、ここでは鳳-テブナンの定理を応用してみよ
う。次の Fig.3.17 は、Fig.3.16 を少し書き換えたものである。
b
R1
R2
a
c R5
R3
R4
d
+
E
−
Fig.3.17 前図 (Fig.3.16) のブリッジ回路はこのようにも描ける.
この Fig.3.17 は、抵抗や電源の数、その位置関係は元の Fig.3.16 と全く同じである。即ち、節点 b と節点 d
を開放したときの電圧と、そこから回路を見た抵抗が分かれば、鳳-テブナンの定理を適用して、ブリッジと
なっている抵抗 R5 に流れる電流を求める事ができるであろう。
問 3.6
Fig.3.16 に示したブリッジ回路において、節点 b と節点 d を結んでいる抵抗 R5 に流れる電流 I を求めな
さい。

Download Report