エンセラダスの潮汐加熱 - 惑星科学研究センター

エンセラダスの潮汐加熱
東京大学地震研究所
庄司大悟
1
木星，土星系の衛星
ガリレオ衛星
イオ
エウロパ
ガニメデ
カリスト
土星系の衛星の例
エンセラダス
タイタン
ミマス
ヒペリオン
エンセラダス
平均半径：252.1 km
平均密度: 1608 kg/m3
公転周期: 1.37日
離心率: 0.0047
水蒸気が噴出している(Eリングの源)．
→内部に水があるかもしれない
南極付近から約16 GWの熱放射(Howett et al., 2011)
3
熱源
よく聞く熱源の候補
放射壊変による熱
Accretion energy
潮汐加熱
←今回はこれに限る
4
潮汐の有効性
イオ
噴火活動
エウロパ
内部海が存在?
イオやエウロパでは潮汐加熱が大きな熱源となっている
5
エンセラダスでは潮汐加熱はどのような
働きをなすだろうか
6
潮汐について
別の天体
この場所から見た場合
働く重力の違いによって、
形が歪む
各部分に働く重力の違いから物体を変形させるように見える力が働く
7
エンセラダスでの潮汐
バルジは
惑星方向
空焦点に同じ
面を向ける
Empty focus
Satellite
Planet
二つの要因で変形の度合いが変化する(同期回転の場合)
1. 楕円軌道による引力の変化(Radial tide)
2. バルジ(出っ張っている部分)の移動(Optical libration)
→衛星を構成する物質の粘性によって摩擦熱が発生(潮汐加熱)
8
軌道共鳴
衛星が単独で回っているときの離心率の変化
Ė
ė ≈ −
2eE
e: 離心率，E: 衛星が持つエネルギー
(Murray and Dermott, 2000)
→他の衛星が無い場合軌道は円に近づいて行く
•複数の衛星の公転周期の比が整数
になると軌道共鳴が起こる．
Dione
Enceladus
•エンセラダスはディオーネとの
共鳴によって離心率が高く維持
されている．
エンセラダスとディオーネの公転周期の比は1:2
9
エンセラダスでの潮汐
Libration tide
Satellite
バルジ部分が振動
Planet
Librationの詳細はMurray and Dermott Solar System Dynamics 参照
Obliquity tide
横から見た図
衛星の軸が傾いている時，バルジ
の緯度が変化する
これらの影響については後述
10
物質の変形をモデル化する
物体の変形には主に二種類ある
弾性
塑性(流体)
剛性率 μ
粘性率 η
σ = µ�
σ = η �˙
σ: stress, ε: strain
弾性変形をバネ、塑性変形をダッシュポット(ダンパー)で表す
11
物質の変形をモデル化する
しかし、実際の物質は両方の性質を持つものが多い(粘弾性)
例
氷や岩石も粘弾性体
粘弾性体はバネとダッシュポッドを組み合わせてモデル化される
例
Maxwell model
12
マクスウェルモデル
地球、惑星科学の現象ではマクスウェルモデルがよく使われる
η
Maxwell time
μ
η
τ=
µ
tを力の周期とすると
この性質が物質の挙動と
よくあっている．
t < τ→弾性
t > τ→塑性
13
力を加えると
力を加えた直後は弾性変形
その後，塑性変形をする
この段階でエネルギーが散逸
Bubble model
粒は弾性だが，粒子が移動する
ことで流体の振る舞いを始める
Cathles, 1975
潮汐のような比較的長い周期の力に関してはこのシンプルなモデルで
表すことができる(Sotin et al., 2009)．
14
!
"
!
"
µ
1
2
In the case of Maxwell
"ijδ can be written
σ̇ij + body,
σij relation
− σkk δbetween
= 2µstress
"˙ij + σij
KEand
− strain
µ "˙kk
(11)
ij
ij
対応原理
η
3
3
In the case of Maxwell body, relation between stress σ and strain " can be written
ij
ij
マクスウェルモデルの関係式
!
" et al., 2005). By Fourier
where KE is imcompressibiity.
δij "
is Kronecker’s!delta (Tobie
µ
1
2
as
σ̇ij +
σij!− σkk δij ="2µ"˙ij + K!E − µ "˙"
(11)
kk δij
transformation
ofηEq.µ (11),
stress-strain
relation
can
be
written
in
the
frequency
domain
3 1
3 2
σ̇ij +
σij − σkk δij = 2µ"˙ij + KE − µ "˙kk δij KE: Bulk(11)
η
3 Kronecker’s delta (Tobie et3 al., 2005). By Fouriermodulus
ereasKfollows:
is
imcompressibiity.
δ
is
E
ij
#
$
where KE is imcompressibiity. δij is Kronecker’s 2delta (Tobie et al., 2005). By Fourier
"ij + Kcan
˜inkkthe
δij frequency domain
(12)
nsformation of Eq. (11),σ̃stress-strain
relation
ij = 2µ̃M (ω)˜
E −beµ̃written
M (ω) "
3
transformationフーリエ変換すると
of Eq. (11), stress-strain relation can be written in the frequency domain
ollows:
where σ̃ij and "˜ij indicate the stress and
# strain in frequency
$ domain (Peltier, 1974; Tobie
as follows:
2
#
$ δijis complex shear modulus,
σ̃
=
2µ̃
(ω)˜
"
+
K
−
µ̃M (ω)µ̃M"˜kk
(12)
ij not change
M
ij
E
et al., 2005). KE does
after transformation.
(ω)
2
フックの法則
3
σ̃ij = 2µ̃M (ω)˜"ij + KE − µ̃M (ω) "˜kk δij
(12)
3
is given
as
erewhich
σ̃ij and
"˜ij indicate
the stress and strain in frequency domain (Peltier,
1974; Tobie
弾性の式と同じ!!
2 2
2
η in frequency
µ ωη domain (Peltier, 1974; Tobie
where σ̃ij and "˜ij indicate the
stress
andµω
strain
µ̃
(ω)
=
+
i
.
(13)
ここで、
2+
l., 2005). KE does
not changeMafter transformation.
µ̃
(ω)
modulus,
Complex
shear modulus
µ2 + ω 2 η 2
µM
ω 2is
η 2complex shear
et al., 2005). KE does not change after transformation. µ̃M (ω) is complex shear modulus,
chImaginary
is given aspart of strain shows the delay of response to forces which is caused by viscosity
which is given as
µω 2 η 2
µ2 ωη
(dash-pod)
of the Maxwell
using
重要な点：バネ-ダッシュポットモデルは弾性体と同様に扱うことが
2 2+µ̃iM instead
2 of. µ, we can calculate complex
µ̃M (ω)model.
= 2 Byµω
(13)
η
µ
ωη
2
2
2
2
2
µ i+ ω η
µ̃M (ω)µ= +2ω η 2 2 +
.
(13)
2 + ω2η2
µ
+
ω
η
µ
radial
functions and complex Love numbers h̃2 and k̃2 with the same process in Sec. 2.1.2.
できる．
aginary part of strain shows the delay of response to forces which is caused by viscosity
Imaginary
strain shows
delay ofdomain
response
forces
whichasis caused by viscosity
Note thatpart
tidalofpotential
in thethe
frequency
Φ̃ to
can
be written
sh-pod)弾性体の球の振る舞いについては自由振動の解明のため，地震学の分野
of the Maxwell model. By using µ̃M instead of µ, we can calculate complex
(dash-pod) of the Maxwell model. #By 3using µ̃M instead
of µ, we can $calculate complex
3
2
2
Re(Φ̃) Love
= Rs2 ω
e − Ph̃220 (cos
θ) cos
2φ in Sec. 2.1.2.
でよく研究されている．
ial functions
and complex
numbers
and θ)
k̃2 +
withPthe
same
process
2 (cos
2
4
radial functions and complex Love numbers
h̃2 and k̃2 with
the same process in Sec. 2.1.2.
%
&
e that tidal potential
inΦ̃)
the=frequency
Φ̃ sin
can2φ
be15
Im(
−Rs2 ω 2 e domain
P22 (cos θ)
.written as
(14)
alrate
mechanism
tidal heating.
Magnitude
of tidal
heatingThey
rate E
by
has beenofdone
by Roberts
and Nimmo
(2008).
useaveraged
the
Vermeersen (2004) for同期回転する天体の平均加熱量
integral
of differential
equations. Their method
Progressing
at
Present
period
can
be
shown
as
follows:
gral. Thus, as a first step, I obeyed Roberts and Nimmo (2008) and
Daigo Shoji
21
(ωRs )5 2
Ė = − Im(k̃ )
e
Segatz
et al.,
Calculation of Enceladus’ tidal dissipation rate has 2been done by Roberts and Nimmo
(2008).
They1988
use the
2
G
matrix method proposed by Sabadini and Vermeersen (2004) for integral of differential equations. Their method
hod
otential Ψ = Φ + V can be given like
is easy to determine the initial value of integral. Thus, as a first step, I obeyed Roberts and Nimmo (2008) and
mean rate
motion,
calculated theω:
dissipation
myself.Rs: 半径, G: 重力定数, e: 離心率, k2: Love 数
(1)
ω and e are radius, mean motion and eccentricity of the satellite, respectively
1 Theory
of Matrix
Method
Vermeersen
(2004),
radial
function of the earth yi (i = 1 − 6) can be
Love数は表面での重力ポテンシャルから求めることができる
In free
theory
by
Sabadiniφ).
andconstant.
Vermeersen (2004),
of the(9)
earth
y (i = 1number,
− 6) can be
al., 1988).
G =is−y
the
gravity
k̃2radial
is function
complex
Love
which is
Ψ(r,
θ,oscillation
φ)
5 (r)Φ(θ,
written as follows:
y1: radial displacement,
y = Y C y2: tangential displacement, y3: radial stress,
(1)
yi = Yij Cj
(1)
y4:
tangential
stress,
y5:
potential
ratio,
y6:
boundary
condition
below.where
AsC can
be value.
seen,
heating
rateasĖ increases with mean motion (angular
is constant
Matrix
Y can be written
ged to be consistent with the radial functions by Sabadini and
be written
 as

r
0
r
0
us, from Eqs.
 (3), (8) and (9), relation between radial functions

7


0
−
0





 
(ρgr + 2(l − 1)µ)r
−ρr
−
=
−l

e writtenY as
follows:
(l+1)r

−l−2
0
0 0


0
r


2(2l−1)


0
0
−r
0
0
−
−l

−l−2
(2−l)r

r
4πGρr
−(2l + 1)r
0
− l+1
0(2) 
 h2 (ω) = 0y1 (Rs )g
2l(2l−1)

2
where r, ρ, µ and G are radial distance
from
the
center,
density,
rigidity
and
gravity
constant.
g
shows
4πGρr/3.

(l+1)ρgr−2(l +3l−1)µ
ρgr−2(l+2)µ
ρ 2004)
l s )g
=
y2 (R
(10)displacement,
2 (ω)
(Sabadini
and Vermeersen.,
order −ρr
of Legendre
function (l = 2 this time). y , y l+1
, y and y represents
radiall+3
tangential
µ)rl−2l is lthe
−
l+1 
2(2l−1)r
r
r
displacement,
radial

k2 (ω) =
−ystress
− 1 stress respectively.
5 (Rand
s ) tangential
2
2
(l −1)µ
When the eatrth is assumed to be multi layered
structure, radial function at 2(l+2)µ
ith layer is

0
0

l+1
l+3
l(2l−1)r
(l+1)r
16
y (r) = Y (r)C
(3) 
i
i
j
ij
ij
j
ij
lr l+1
2(2l+3)
(l+3)r l+1
2(2l+3)(l+1)
(lρgr+2(l2 −l−3)µ)r l
2(2l+3)
l(l+2)µr l
(2l+3)(l+1)
2πGρlr l+1
2l+3
l−1
r l−1
l
l−2
l
2(l−1)µr l−2
l
l
l−1
(l+1)r −l
2(2l−1)
(2−l)r −l
2l(2l−1)
(l+1)ρgr−2(l2 +3l−1)µ
2(2l−1)r l+1
(l2 −1)µ
l(2l−1)r l+1
r −l−2
l+1
ρgr−2(l+2)µ
r l+3
2(l+2)µ
(l+1)r l+3
2πGρ(l+1)
(2l−1)r l
4πGρ
r l+2
l−1
1
(i)
2
(i)
3
4
(i)
−l−2
ρ
r l+1
1
r l+1
マクスウェルモデルでのエンセラダス
VISCOELASTIC MODELS OF TIDAL HEATING IN ENCELADUS
一様モデルでの加熱量
o
u.
•
2
e¢
1
•
t~
O
O
Figure 1 shows that Enceladus' surface
heat flow could be significant at the current
均質なモデルの場合，加熱量は
eccentricity. The observed mean heat flow
on最大1000mW/m
Io is about 1700 m W m2-2 (Nash et al.
1987) and the heat flow at the surface of a
E u r o p a model with a global water ocean is
about
30 m W m -2 (Squyres et al. 1983a,
エンセラダス全体で約960GW
Ross and Schubert 1987); both o f these
bodies exhibit major surface modification
attributed
to thermal activity. Though12
Fig.
ただし，粘性係数は10
Pa s以下
1 demonstrates the plausibility of significant resurfacing (e.g., H 2 0 volcanism) and
intense crater relaxation on Enceladus, a
h o m o g e n e o u s model of the satellite may
not be entirely appropriate. A more realisticRoss
modeland
should
include a(1988)
conductive lithoSchubert
sphere that controls interior heat loss o v e r
a relatively
warm, low viscosity mantle
17
•
E
0
I
10
I
12
14
16
LOG10 tv(Pa s) t
FIG. 1. Tidal heating in a homogeneous Maxwell
model of Enceladus as a function o f mantle viscosity
for e = 0.0044. Mantle shear modulus equals 4 ! 109
Pa. The heating is represented by the equivalent surface heat flow.
93
マクスウェルモデルでのエンセラダス
lithosphere
ice
ice
ocean
ocean
core
core
4層のモデルでは十分な
熱量は得られない
観測量
18
Roberts and Nimmo (2008)
氷層の底での熱の移動量
lithosphere
ice
ocean
core
線は伝導の場合の熱の移動量
コアからの熱
Roberts and Nimmo (2008)
氷の状態(伝導、対流）に関わらず，奪い取る熱量が入ってくる熱量より大きい．
→内部海があったとしても、すぐに凍ってしまう．
19
マクスウェルモデルはエンセラダスにとって適切か
物質は粘弾性以外に非弾性(anelastic)の振る舞いをする．
非弾性(anelastic)とは：加えた力に対して変形が瞬時に現れるわけでは
ないが，ある一定の平衡状態を保つもの(Karato and Spetzler, 1990)
主要な弾性部分
anelastic
バネの動きを部分
マクスウェルモデルは非弾性の
影響を示すことはできない
viscoelastic
氷の粘性が高くなると弾性の影響が強くなる．非弾性の影響がない
マクスウェルモデルは実際の挙動とずれる．
20
マクスウェルモデルはエンセラダスにとって適切か
η
Maxwell time
μ
η
τ=
µ
マクスウェルモデルの問題：力の周期がマクスウェルタイムより非常に
小さい場合、物質の挙動を正確に表すことができない. (Efroimsky, 2011)
エンセラダスの公転周期: 1.37 days = 1.2 105 s
→氷の剛性率を数GPaとすると，粘性率が1015 Pa s以上
の場合マクスウェルモデルは不適切になる．
Rambaux et al. (2010)では4 1014 Pas 以上
21
エンセラダスの多様な表面状態
エンセラダスの場合，表面の状態が大きく異
なっている．また，温度も一様ではない．
Spencer et al., (2006)
マクスウェルモデルはエンセラダスのモデルとしては不適切かも
22
マクスウェルモデル以外のレオロジーを考慮してみる
図はCastillo-Rogez et al., 2011を改変
バーガースモデル：マクスウェルモデルを拡張した古典的なモデル．
広い周期の力の応答を記述できる．
アンドレイドモデル：実験から得られた物質の挙動に合うように構成
された，経験的なモデル．
23
transientσ and
steady
respectively.
Thus
weasdefine
rigidity
and
part
”transient
rigidity”
and ”transient viscosity”. As the same
σ̇nt
σkkand
δijstate
= response,
2µ"˙ijas+
Kviscosity
− term
µof Voigt
"˙kk
δ−
(11)
ij +
ij −
Eone
ij t! )α β is
en
Andrade
body
Maxwell
body,
(t
rbital
period
can
be
shown
follows:
η
3
3
rigidity
and viscosity
of Maxwell
part areway,
defined as steady state rigidity and visco
y of Voigt part as ”transient rigidity” and ”transient
viscosity”.
As the same
his term characterizes
the anelastic
the
material
5 By Fourier
compressibiity.
δij is Kronecker’s
deltaresponse
(Tobie et of
al.,(ωR
2005).
21
respectively (Fig.
5).s )Because
Burgers body has two moving parts (Voigt and Max
2 and
and viscosity of Maxwell part Ė
are=
defined
as
steady
state
rigidity
viscosity,
− Im(k̃2 )
e
(1)
(Segatz
et al., 1988)
f and
Eq. Johnson
(11), stress-strain
relation
can
be
written
in
the
frequency
domain
(2010) state that anelasticity
can be time exist. One is equal to Maxwell time (τM = η2
2 twooftypes ofice
G
part),
characteristic
vely (Fig. 5). Because Burgers
body has two moving parts (Voigt and Maxwell
ω: mean motion, Rs: Radius, G: gravity constant, e: eccentricity
and
the other
isresponse
Voigt time as
τV = η1 /µ1 . Strong point of the Burgers body is that V
search.
Many
experimental
researches
show
this
# mean motion
$ and eccentricity of the satellite, respectively
e R , ω and e are radius,
s
wo types
of characteristic time exist.2 One is equal to Maxwell time (τM = η2 /µ2 )
part of Burgers body can respond to short time forcing. Thus Burgers body can res
σ̃
=
2µ̃
(ω)˜
"
+
K
−
µ̃
(ω)
"˜kk δijAs a schematic (12)
ij
M
ij
E
M
any
materials
including
ice
(e.g.,
Cole,
1995).
3
other
time τVG=isη1the
/µ1 .gravity
Strong topoint
thewider
Burgers
bodyrange
is that
Voigttonumber,
tz
et isal.,Voigt
1988).
constant.
k̃2frequency
is complex
Love
which is
forceof
with
compered
Maxwell body.
Love数k
がレオロジーのshear
modulus
indicate
the stress
and
strain
in2frequency
domain
1974;
Tobie
-pods
inbody
Fig.
5, Andrade
can
represented
as relation
infinite
Strain
and(Peltier,
stress
of Burgers
bodyに依存
is given as
Burgers
can
respond
tobody
short
timebe
forcing.
Thus
Burgers
body
can respond
oned below. As can be seen, heating rate Ė increases with mean
motion
!
" (angular
η1
η1 µ1
µ1
! α
does
not
change
after
transformation.
(ω)
is complex
modulus,
ected
in parallel
(Castillo-Rogetz
etinµ̃
al.,
2011).
M
with wider
frequency
range
compered
to
Maxwell
body.
Thus,
comparison
between
Andrade
body
and
Maxwell
body,
one
term
η1 #̈shear
+
µ
#̇
=
σ̈
+
+
+
1
σ̇
+
σ(t
ij
1 ij
ij
ij
ij − t ) β is
µ2
η2
µ2
η2
Maxwell body
sin
added
Andrade
This
term characterizes
theµ̃ anelastic
response of the material
and stress
relation
of Burgers
body
as7 body.
Andrade
model
JÃ (ω)
is given
as isatgiven
and
complex
shear
modulus
of Burgers body
B is
! µ2 ωη 2011)."Castillo $and Johnson
µω 2 η 2
2
(Efroimsky,
(2010)
state
anelasticity
the
#
ω 2 (C1(13)
−
η1 C2 /µ
ω(C
1 ) that
2 + η1 ω Cof
1 /µ
1 ) ice can be
µ2 1 2".
µ
! απ " µ̃M (ω) = 2 1 η12 2 + i η2 1 ! απ
1
µ̃B (ω)σmotion,
=
+i
mean
η1 #̈ij + µ1 #̇µij =
+ µ ++ω η + 1 σ̇(ω:
(15)
2μ: rigidity,
2η: viscosity) 2
+ ω ησ̈ij −α
2+C
ij +
ij
C
+
ω
C2 + ω 2 C12
2
1
Γ(α + 1) − i
ω
β
sin
Γ(α
+
1)
(20)
µ+
η
µ
η
important
for2 icy satellite research.
Many experimental researches show this response as
2
2
2
2
ηω
2
where
µ1 andisη1caused
are transient
rigidity and viscosity. C1 and C2 can be written as
f strain shows the delay of response to forces
which
by viscosity
Burgers
bodyof Burgers body
mplex shear
modulus
µ̃
is
Eq. (18)
B matches well to many materials including ice (e.g., Cole, 1995). As a schematic
1
η1
1
(Efroimsky,
2011).
Shear
modulus
can
be
written
as
2 using µ̃
2
C
=
+
+
ection
Maxwell
model. By
instead
of
µ,
we
can
calculate
complex
ω (C1 − η1M
Cview
ω(C2 +
η1dash-pods
ω C1 /µ1 )in Fig. 5,1 Andrade
and
2 /µ1 )with springs
µ1 µbody
µ2 be represented as infinite
1 η2 can
µ̃B (ω) =
+
i
(16)
2C 2
1
η1 2
˜ numbers
C22 +complex
ω 2 and
+ Ck̃12 shear
C22 +process
ωof
ancecomplex
(µ̃ = 1/
J).
Thus
modulus
Andrade
1
and
Love
h̃
with
the
same
in
Sec.
2.1.2.
C
=
−
ω et al., 2011).
springs
and dash-pods connected in parallel2 (Castillo-Rogetz
2
2
η2 µ1 µ2
µ1 and η1 are transient rigidity and viscosity. C1 and C2 can be written as ˜
Complex
compliance
model
JA (ω)
is viscosity
given as (Fig. 5). Heating rate at Bu
body domain Φ̃ can
otentialAndrade
in the frequency
bewhere
written
as η2 of
µ2 and
areAndrade
steady state
rigidity
and
#
$
1
! απ " with the same
! απ "body by using
# 1 C = 1 + η1 body
$
1
1
also
can
be
calculated
process
to
Maxwell
µ̃B ins
+
−α
−α
3 0 .1 µ1 JÃ3µ(ω)
µ̃A (ω)
(21)
=
+
ω
β
cos
Γ(α
+
1)
−
i
+
ω
β
sin
Γ(α
+
1)
(20)
2 2=
2
η
µ
1 (cos
2 µ θ)2 cos 2φ
˜
Re(Φ̃) = Rs ω e −
P
(cos
θ)
+
P
2
ηω
2
JA2(ω)
2
2
1 4 η1 of µ̃2M .
− & Γ shows
ω gamma function
(17) Shear modulus can be written as
% 2 C2 = where
24
(Efroimsky, 2011).
2 2
unction
by using
Stirling’s
approximation,
˜ is approximated
問題点: マクスウェルモデルに比べてパラメータの数が増える．
マクスウェルモデルはパラメータの数が少なく，物理量(剛性率と粘性率）のみ
で表すことができる点で優れている．
バーガース：地球の氷河の観測からμ1=μ2(Reeh et al., 2003), イアペタスの
スピンに関するシミュレーションからη2/η1=50 (Robuchon et al., 2010)
アンドレイド：エンセラダスのLibrationのシミュレーションから，α=0.33を使用
(Rambaux et al., 2010)
25
エンセラダスの内部構造
従来の計算では，エンセラダスは分化したコアを持つとして，
計算されてきた．
ところが，最新の観測結果によると...
エンセラダスの慣性モーメント
0.34-0.36 (Iess et al., 2010)
カリスト: 0.3549 0.0042 (Anderson et al.,2001)
ここから何がいえるか
エンセラダスのコアは岩石に完全に分化していないのかも知れない．
26
新しい内部構造モデル
Figure 6: Structure model of Enceladus. With the same density between lithosphere and
ice layer, thickness of each layer is determined from observed mean density and moment
of inertia assuming density of each layer as Table 1. Whole ice layer is 21 km in thickness.
Lithosphere thickness is decided by thermal theory of convection.
2.0 km
Material property of each layer
Table 1: Material property of calculation.
Layer
Density (kg/m3 ) Rigidity (GPa) Viscosity (Pa s)
Core
2300
50
1017
Ocean
1100
0.4
107
Ice-I
950
3.3
1014 to 1018
Lithosphere
950
3.3
1020
•アンモニアを含む海を仮定.
•地形の分析から氷層の上部2kmはリソスフェアとした
(Giese et al., 2008).
del of Enceladus. With the same density between lithosphere and
each layer is determined from observed mean density and moment
sity of each layer as Table 1. Whole ice layer is 21 km in 27
thickness.
25
加熱量の変化
Dissipation Rate [W]
1011
Maxwell
Burgers
Andrade
1010
At 1015 Pa s
Maxwell body: 1.5 GW
109
Burgers body: 7.0 GW
Andrade body: 4.7 GW
108 11
10
1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018
Ice Viscosity [Pa s]
28
果たしてどれが最も正確なのだろうか
エウロパの氷モデルと実験値
•実験値と比較すると，マクスウェル
モデルは低い温度領域で非散逸的．
•バーガースモデルは二つ目のピーク
付近では過剰
Sotin et al., 2009
29
Dissipation Rate [W]
1011
10
Maxwell
Burgers
Andrade
10
109
10
8
1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018
Ice Viscosity [Pa s]
Sotin et al., 2009
• 室内実験の値にはアンドレイドモデルが一番近い
(実験に合うように作られたモデルなので当然)
• 室内実験などと関連させて制約をあたえていきたい
30
ここまでは加熱量のみの話
重要な点: 潮汐加熱は軌道及び内部構造の変化と相互に
依存している
内部構造
加熱量
31
軌道
can generate relatively large heat. Satellite rotates in elliptic orbit wh
軌道 orbit, gravitational
is at内部構造
one of two focuses. 加熱量
Because of this elliptic
satellite changes with time, which results from difference of distanc
and the satellite (Fig. 3). As a result, deformation of the satellite
加熱されると氷の厚さが変化する
Stagnant
stress
also changes periodically, which generates heat by friction in t
fundamental mechanism of tidal heating. Magnitude of tidal heating
Convective
氷の厚さが変化すると加熱量が変化する
one orbital period can be shown as follows:
Ocean
21
(ωRs )5 2
Ė = − Im(k̃2 )
e
2
G
Love数は内部構造に大きく依存
where Rs , ω and e are radius, mean motion and eccentricity of the s
32
(Segatz et al., 1988). G is the
gravity constant. k̃2 is complex Lo
Of several hypotheses for heat source, tidal heating is also a typic
共鳴と散逸の関係
can generate relatively
large heat. Satellite rotates in elliptic orbit wh
is at one of two focuses. Because of this elliptic orbit, gravitationa
内部構造
加熱量
軌道
satellite changes with time, which results from difference of distan
and the satellite (Fig. 3). As a result, deformation of the satellite
Běhounková heat
et al. (2012)
離心率の変化
stress also changes periodically,
which generates
by friction in
Enceladus
de
2
2
=
Ae
(1
−
30.69D
e
) heatin
fundamental mechanism of tidal heating. Magnitude ofe tidal
dt
共鳴の影響
散逸の影響
共鳴
散逸
one orbital period
can
be shown as follows:
加熱量
21
(ωRs )5 2
Ė = − Im(k̃2 )
e
2
G
where Rs , ω加熱量と離心率は相互関係
and e are radius, mean motion and eccentricity of the
33
相互作用の見積もりが重要になるある問題
現在の離心率が平衡状態である場合，潮汐加熱で生み
出せる熱量は1.1 GW (Meyer and Wisdom, 2007)
•この計算はエンセラダスの内部構造やレオロジーに依存しない．
•ただし，Meyer and Wisdom, 2007はエンセラダスが平衡状態で
あるとは考えていない．
よって
氷の厚さ
Love数k2
加熱量
内部構造
発生した熱量
軌道
離心率
これらの相互作用を考慮して検討する必要がある．
34
O
J
Lu;~
I - - I - 3.O
ガリレオ衛星におけるカップリング計算
w~_
"rCl ~
'~w
z~..~
Oc.) 2.0
Nw
Zr'~
WZ
123
均質モデル
Z
O
Z
onstrate
three
examples
in which
reasonable choices of parameters relevant
to Io produce curves which pass roughly
through Io's current state of e - 0.004 and
heatflow ~1.0-2.0 W m -2. The models predict that Io is volcanically active for periods
of - 1 0 - 3 0 myr, separated by quiescent periods of - 6 0 to 200 myr. The values of all
parameters used are listed in the appendix.
For all three cases, Qj is ->105, above the
limit from theoretical and orbital evolution
加熱<消失より
considerations.
加熱量が下がる
1.0
I
I
I
I
I
5. D I S C U S S I O N
温度が下降
Consider the model shown in Fig. 7 as an
example of the cycle shown in Fig. I. At
O
離心率が下がり加熱量
-J
point (.a)
the convective heat loss is greater
離心率上昇し加
~3.O
than E and the satellite is cooling off.
The
が下がり始める
熱量が増加
eccentricity is increasing toward the equiF
d~
-IZ
librium value, which is also increasing beZC..~
O~20
cause of the decreasing temperature [see
~w
'
ZD
Eq. (4)]./~ is increasing as eZ/(Q/k) [Eq. (2)],
Wz
~_<
and becomes greater than the convective
D
加熱>消失より
高い離心率と高温
Z
heat
loss
at
point
(b)
causing
the
temperaO
I.C
Z
ture to 温度が上昇
increase and Q/k to decrease.で加熱量が上昇
This
causes the equilibrium eccentricity to deI
t
crease, and at point (c) it falls below the
1.0
2o
31o
4o'
51o
~o
eccentricity. A thermal runaway is in proNondimensionol Time
gress and energy is drawn out of the orbit,
FIG. 7. Generic unstable case (m,n) = (10,15) for
decreasing the eccentricity. The satellite
twoイオの場合，加熱量が振動状態になる可能性がある．
different c o m b i n a t i o n s of initial temperature and
reaches the solidus at point (d) and remains
eccentricity. T h e solutions are identical after decay of
at that temperature while volcanism and
transients. S y m b o l s are d i s c u s s e d in text.
Ojakangas and Stevenson (1986)
convection remove heat at a total rate equal
to /~. /~35drops below the convective heat
4.0
-HEAT
FLOW
ガリレオ衛星におけるカップリング計算
内部構造の変化を含めたカップリング計算例
平均角速度
離心率
氷の厚さ
加熱量
Hussmann and Spohn (2004)
構造，加熱量，軌道が相互に関連している．
36
エンセラダスにおけるカップリング計算
Ojakangas and Stevenson (1986)のモデルをエンセラダスに適用
Fig. 1. The scaled eccentricity e (solid) and the nondimensional heat flow q
180
イオの場合
N
N (dotted) for Io are plotted versus the nondimensional time. The timescale τth is about
135 Myr, the scale for the heatflow is 0.53 W m−2 , and the scale for the eccentricity is 0.0052. Here m = 12, n = 25, ( Q /k)0 = 200/0.027, ( Q /k)min = 3/0.027, and
QJ =
105 .
J. Meyer, J. Wisdom / Icarus 198 (2008)
178–180
エンセラダスの場合
Fig. 3. The parame
to be compared w
system damps to t
is 100/0.0018; ( Q
For Encelad
in n" at large n
for n about 8.
m + p as a func
any n; instabili
filled for Encela
large value for
function of n is
down to the eq
values we have
4. Conclusion
We have sh
tidal equilibriu
model. If Encel
model must be
sibility is the i
oscillations abo
pendent, but th
References
Fig. 1. The scaled eccentricity e N (solid) and the nondimensional heat flow q N (dotted) for Io are plotted versus the nondimensional time. The timescale τth is about
135 Myr, the scale for the heatflow is 0.53 W m−2 , and the scale for the eccentricity is 0.0052. Here m = 12, n = 25, ( Q /k)0 = 200/0.027, ( Q /k)min = 3/0.027, and
Q J = 105 .
Meyer and Wisdom (2008)
Fig. 3. Fig.
The 2.
parameter
n" eccentricity
(solid) is plotted
as aand
function
of n, for Enceladus.
Thisqis
The scaled
e N (solid)
the nondimensional
heat flow
N (dotto be compared
with m +are
p (dotted)
plottedthe
as nondimensional
a function of n. time.
For n" < m + p the
ted) for Enceladus
plotted versus
system damps to the equilibrium state. The system is stable for all n. Here ( Q /k)0
is 100/0.0018; ( Q /k)0 is 100/0.0018; T 0 / T m = 0.70; and m = 13.
Thus the equilibrium is linearly unstable if n" > m + p, and there
Durham, W.B., Kirb
tions: A compi
Fischer, H.-J., Spoh
Icarus 83, 39–6
Meyer, J.A., Wisdom
Ojakangas, G.W., St
with applicatio
Spencer, J.R., Pearl,
B.J., Hendrix, A
Background an
Squyres, S.W., Rey
エンセラダスの場合，振動が起こらずにすぐに平衡状態に達する．
linear oscillations
or /
decaying)
if so the dropoff
Forare
Enceladus,
T / T is(growing
smaller (T
T ≈ 0.70)
0
m
0
m
2 is more
"
in n" m
at2 large
rapid.
In "fact,
of n" is about 5, (18)
+ (n" )n
+ p 2 − 2mp
− 2mn
− 2nthe
p <peak
0.
for n about 8. At this n, p ≈ 51.2. Fig. 3 shows a graph of n" and
Io, n" ≈ofn,n.for
n in theisrange
interest
20 region
< n < 30,
m37
+ p as For
a function
Enceladus
not inofthe
unstable
for and
エンセラダスにおけるカップリング計算
•4層構造の球状モデル(対流層の温度は260K)
•内部海の代わりに氷と水の混合層を仮(270K)
•対流による熱放射
•熱源として放射壊変，潮汐加熱，shear heat
•加熱量を計算し，熱収支と軌道進化の式から
内部構造及び軌道の変化を計算
38
離心率
氷の厚さ
Mixture layer
の粘性率
赤: 3 108 Pa s
緑: 3 10９ Pa s
青: 3 1010 Pa s
潮汐加熱量
対流による熱損失
土星のQ値が3800で,水と氷の混合層を入れると振動状態が起こりうる.
最新の研究ではQsat=1500前後(Lainey et al., 2012)
39
ここまでのまとめ
•エンセラダスでは大きな熱量が観測されている．マクスウェルモデル
を用いた場合，潮汐加熱で大きな熱量を得ることは難しい．マクスウェ
ルモデルはエンセラダスのレオロジーとして不十分である．
•非弾性の影響を考慮した場合，加熱量は数倍に増加する．
•潮汐加熱は内部構造や軌道の変化と相互作用の関係にある．エンセラ
ダスのこれらの作用を考慮する必要がある．特にエンセラダスの場合，
活動度が大きく変動している可能性が高い．
•特に離心率の変化は加熱量に大きな影響を与えるため重要．
40
潮汐加熱をエンセラダスの熱源として考える上での問題点
1. 活動領域の不均質性について
2. ミマスパラドックスという問題
41
3
-13
8.0 x 10
360
物性は半径にのみ依存
0
1.0 x 10-8
-45
5.0 x 10-9
-90
0.0 x 100
60
120
180
240
Logitude (deg)
300
360
(b): At ice basement of Maxwell body
3
te per volume (W/m )
xwell body
1.5 x 10-8
0
1.0 x 10-9
90
1.6 x 10-6
45
1.2 x 10
球対称の内部構造モデルでは，南極と北極は同程度に加熱される．
-10
8.0 x 10
6.0 x 10-10
itude (deg)
300
4.0 x 10-13
2.0 x 10-8
45
te per volume (W/m3)
1.2 x 10-12
2.5 x 10-8
90
Latitude (deg)
1.6 x 10-12
Dissipation rate per volume (W/m3)
氷層の底での加熱量
球状の内部構造
Dissipation rate per volume (W/m )
240
活動領域の不均質性について
0
-6
42
8.0 x 10-7
活動領域の不均質性について
• エンセラダスの活動領域は南極付近のみ．
•北極付近はクレーターに覆われ，
活動していない．
•高温域も南極付近にのみ存在
なぜ活発な領域が南極付近に限られているのだろうか．
43
活動領域の不均質性について
活動領域が南極付近に限られていることから，
非球対称の内部構造が提案されている．
Collins and Goodman (2007)
44
活動領域の不均質性について
Tobie et al. (2008)
•低粘性率の氷が南極付近に存在し、かつ液体層が存在すれば，
加熱量が局在化する．
•液体層は全域に存在している必要はない(120 以上あれば極域が
加熱される)．
45
comparison, the total heat power extracted from the liquid reservoir by thermal convection is also indicated. These results show
that, whatever the ocean width and the assumed rheological model, the heat power produced is always significantly smaller than
assumed activation energy (Fig. 3, Section 2.2). For Model A, th
global dissipation power increases rapidly (Fig. 5), as the tempera
ture in the convective region progressively increases toward th
melting temperature. By contrast, for Model B, the increase
活動領域の不均質性について
10
T(K)
0.1
100 150 200 250
0
0
Ptide ; P b (GW)
1
0.01
0.001
0
60
120
180
A
ref =10
B
ref =10
C
ref =10
240
15Pa.s,
E*/2
15Pa.s,
E*
14Pa.s,
E*/2
300
log10(htide)
(Wm-3)
360
(deg)
Běhounková et al. (2012)
7.0
6.5
6.0
5.5
Fig. 4. Global dissipation power P 0tide (stars) obtained by integrating the volumetric tidal dissipation rate htide in the ice shell (bottom right) computed from the init
temperature field (corresponding to a initial steady-state solution obtained without tidal heating), compared to the power P 0b (circles) extracted from liquid reservoirs
thermal convection in the ice shell (top right) for various reservoir sizes (D).
•液体層が南半球のみに分布していれば，対流が局在化し，南極付近の加熱量が上がる．
•液体層の領域が狭いと，すぐに固まってしまう. Tobie et al. (2008)の予想とは異なる．
•現在の離心率では海は液体層は固まる．現在の5倍の離心率があれば部分海は維持される．
46
2. ミマスパラドックスという問題
47
mental mechanism of tidal heating. Magnitude of tidal heating rate Ė average
加熱量は角速度，離心率と共に大きくなる
rbital period can be shown as follows:
21
(ωRs )5 2
Ė = − Im(k̃2 )
e
2
G
Segatz et al., 1988
e Rs , ω and e are radius, mean motion and eccentricity of the satellite, respect
エンセラダス
ミマス
tz et al., 1988). G is the gravity constant. k̃2 is complex Love number, whi
oned below. As can be seen, heating rate Ė increases with mean motion (an
ミマスパラドックス
7
平均半径 (km)
角速度 (rad/s)
離心率
252
5.3 10-5
0.0047
198
•ミマスはエンセラダスより
も加熱量が大きくなる
7.7 10-5
0.02
48
•ところが実際はエンセラダス
の方が活動的
ミマスパラドックスという問題
ミマスパラドックスを解決するためには二通りの
考え方がある
1. エンセラダスにはミマスには無い熱発生メカニズムがある
2. ミマスとは異なった条件で潮汐が働いている
49
潮汐加熱以外の熱源候補
コアの放射破変: 0.3 GW (Roberts and Nimmo, 2008)
ジュール加熱: 150 kW-52 MW (Hand et al., 2011)
Shear heating: 5-7 GW (Nimmo et al., 2007)
50
他の潮汐加熱メカニズムはどうだろうか
Libration tide
Satellite
バルジ部分が振動
Planet
Obliquity tide
横から見た図
衛星の軸が傾いている時，バル
ジの緯度が変化する
51
Libration tide
Satellite
バルジ部分が振動
Planet
振動の周期と軌道の周期が1:3ならば大きな熱量が発生する
(Wisdom, 2004)
実際の観測では1:4に近い(Porco et al., 2006)
52
Obliquity tide
横から見た図
Enceladus
スピン軸
ε
Saturn
軌道面
i
εが0.1 以上ならエンセラダスは十分に加熱される(Tyler, 2011)
53
エンセラダスのスピン軸の傾きはどのくらいになるだろうか
j2, C22: 重力係数, p=-638.92, c: 慣性モーメント係数
傾きは大きく
ても0.0015
j2/C22
0.1 よりも小さい
54
Chen and Nimmo, 2011
ミマスとは異なった条件で潮汐が働いている？
既に観測された物理量の中で，ミマスとエンセラダスで大きく
異なるものがある
平均密度 (kg/m3)
エンセラダス
約1600 (Porco et al., 2006)
ミマス
約1100 (Dermott and Thomas, 1987)
ここから何か推測できないだろうか
55
stress also changes periodically, which generates heat by friction i
エンセラダス
ミマス
fundamental
mechanism of tidal heating. Magnitude of tidal heat
ice
one orbital periodice+rock
can be shown as follows:
ocean
rock
21
(ωRs )5 2
Ė = − Im(k̃2 )
e
2
G
where Rs , ω and e are radius,
mean motion and eccentricity of th
要はLove数が違うのではないかという案
(Segatz et al., 1988). G is the gravity constant. k̃2 is complex
• 平均密度から，ミマスの方が岩石の含有率が低い可能性が高い．
mentioned below. As can be seen, heating rate Ė increases with
• エンセラダスは分化していてミマスは分化していないのかもしれない.
7
•コアからの熱でエンセラダスには液体層が発生した?(Schubert et al.,
2007) もしくは粘性が異なるのかも.
56
e
of
d
l
3,
t
t
n
l
,
d
e
y
e
ey
e
at
a
エンセラダスとミマスでは進化の経路が異なっているの
かもしれない(Spencer et al., 2009)
. . . . . . . . . .
Syn_chronous_Orb_#_
r
. . . . . . . . . . . . . .
i
[
0
025
0.5
Time
075
6[
~
T
!
4L
_
0iooe
I ~-
L
0
エンセラダスやミマスはいくつかの
共鳴状態を経て現在に至っている．
Synchronous OFb,i
025
05
Time
0.75
Fio. 2. Variations of orbital radii with time due to
al, 1988
tidal dissipation inDermott
the planetet for
the satellites of
Uranus and Saturn. All the first-order, and some of the
second-order, and third-order resonances that the sat57
ellites could have encountered are marked with verti-
エンセラダスとミマスでは進化の経路が異なっているの
かもしれない(Spencer et al., 2009)
離心率
Mimas
•昔はエンセラダスの方が離心率
が高かった?
•エンセラダスの高い熱放射や
Enceladus
活動は昔の名残?
現在
時間
58
エンセラダスとミマスでは進化の経路が異なっているの
かもしれない(Spencer et al., 2009)
ミマスとの共鳴におけるエンセラダスの離心率
•昔のエンセラダスは約0.02(現在の5倍)
の離心率を持っていた可能性がある
•ミマスの軌道進化も考察する必要あり．
Meyer and Wisdom, 2007
59
熱輸送
熱輸送のおもしろい例(Episodic overturn)
O Neill and Nimmo, 2010
•表面の固い層が壊れ，中の温か
い層が非定常的に表面に現れる
• 定期的に大きな熱が放出される
•加熱量が小さくても，大きな放射
が一時的に発生
60
全体のまとめ
•他の氷衛星と同様に，潮汐加熱はエンセラダスの熱源として有力
となっている．
•潮汐加熱は内部構造や軌道の進化と結びついている．
•エンセラダスの場合，内部構造の非対称性やミマスパラドックスなど
他の氷衛星には無い問題がある．そのため，エンセラダスの潮汐加熱
を考えるには，軌道進化や熱輸送との関連が特に重要となる．
61

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