水理学Ⅱ及び同演習(第5回)

水理学Ⅱ及び同演習
第5回管路の流れ①(摩擦損失と形状損失)
目標：管水路定流における基本的関係を理解する
・管水路の定流(定常流)に関する基礎式(エネルギー式，
連続式)と摩擦によるエネルギー損失(摩擦損失)
・管路の曲がりの部分などで発生する形状損失
管水路定流の基礎式
連続の式 Q = Av = const.
エネルギー（勾配）式
エネルギー補正係数
(一般には1を使う)
w=ρg
p
d  αv
τ
+z+ =−

w
wR
dx  2 g
2
0
動水勾配Iを用いた
せん断応力
τ = ρgRI
0
エネルギー勾配
速度水頭位置水頭圧力水頭
直径Dの
円管の場合
径深
A πD 4 D
R= =
=
s
πD
4
2
D
s
断面積A = πD 4
2
潤辺s = πD
管水路の摩擦によるエネルギー損失
(摩擦損失)
hf
v2
2g
エネルギー式を管路に沿う2点(A,B)間で積分
∫
p w
B
A
v
A
z
d  v2
p
z
+
+
dx = −

dx  2 g
w
∫
B
A
τ0
dx
wR
比エネルギー
Eを定義
B
基準線
v2
p
E≡
+z+
w
2g
摩擦損失係数 f を
f 2
τ0 ≡ ρv
用いたせん断応力τ0
8
速度水頭に係数がかかった形
h f = E A − EB =
∫
B
A
2
1 v
f
dx
D 2g
円管の摩擦損失
D
R=
4
直径Dの
円管のR
h f = E A − EB =
∫
B
A
f v2
dx
8g R
一般断面の摩擦損失
管の曲がりや急拡による
エネルギー損失(形状損失)
摩擦損失以外にも，管の曲がりや急拡などによる
エネルギー損失がある．この形状損失のことを形状損失と言い，
速度水頭に比例定数(ζ)を
かけた形で形状損失を表す
曲がり
v2
h=ζ
2g
管路を流れる全てのエネルギー損失(h)
h = E A − EB = h f + ∑ h = ∫A
B
摩擦損失
v2
1 v2
dx + ∑ ζ
f
D 2g
2g
急拡
エネルギー勾配
形状損失の和
I=
直径D，長さlの単一管路で，十分長くて形状損失が無視できる場合
1 v2
E A − EB = h f = ∫ f
dx
A
D 2g
B
v=
8
gRI =
f
等流の式
2
gDI
f
E A − EB
l
摩擦損失係数fの実用式
Colebrookの式(実用されている市販管のf )から求める
 2k s 18.7
1
= 1.74 − 2 log10 
+
f
 D Re f



相当粗度
(教科書P109表4-1参照)
管路の流速公式(経験式)から求める (m,s単位)
0.63
0.63
0.63
1 2 / 3 1/ 2
(
)
4175
R
D
/
4
=
0
.
D
=
v= R I
Manningの式
円管の場合
n
H-W(Hazen-Williams）の式
v = 0.849CR 0.63 I 0.54 = 0.355CD 0.63 I 0.54
等流の式を用いてIを消去して摩擦損失係数fを求める
v=
8
gRI
f
8 gn 2 124.5n 2
f = 1/ 3 =
等流の式
1/ 3
R
D
10.08 g
1
f =
⋅ 0.167 0.15
H-W(Hazen-Williams）の式
1.85
(0.849C ) D v
Manningの式
摩擦損失係数fの式の適用範囲1
Manningの式から求まるfの式
8 gn 2 124.5n 2
f = 1/ 3 =
R
D1 / 3
完全粗面に適している
(滑面と粗面では，流速分布が異なるため)
流速v(Re数)を含まない
1 2 / 3 1/ 2 R1/ 6
gRI
v= R I =
n
n g
Manningの式
を変形
無次元
相当粗度ksを導入
完全粗面の対数式
(教科書3.68’(b)より)
流速係数
摩擦速度
u* = gRI
1/ 6
R
v
=
 
u* n g  k s 
v
≡ϕ=
u*
k s1/ 6
8
ks 

= 81.74 + 2 log10

f
2R 

摩擦損失係数fの式の適用範囲2
完全粗面の対数式
(教科書3.68’(b)より)
流速係数
v
≡ϕ=
u*
円管R=D/4の場合
ks 
8

= 81.74 − 2 log10

f
2R 



8
D
= 8 2 log10
+ 1.74 
2k s
f


完全粗面の対数式(3.68’(b))から求めた流速係数

D
R
1
ϕ = 81.74 + 2 log10 + 2 log10  = 6.62 + 5.66 log10
ks 
ks
2

Manningの式に
相当粗度ksを
導入した流速係数
1/ 6
v
k s1/ 6  R 
≡ϕ=
 
u*
n g  ks 
この二式が一致する
k s1/ 6
n g を求める
摩擦損失係数fの式の適用範囲3
管路や開水路における流れ
流速係数ϕ=8～25の範囲
k s1/ 6
の値は一定(～7.66)
n g
この仮定に基づいた式
(Manning-Stricklerの式)
1/ 6
R
v
= 7.66 
u*
 ks 
v
=
u*
8
f
k s1/ 6
= 7.66
n g
1 R
f = 8
 
7.66  k s 
1/ 3
ks 

f = 0.136 
R
粗度係数nと
相当粗度ksの関係
n ≈ k s1/ 6
nとはksの
1/6乗に比例
−1 / 6
1/ 3
ks 

= 0.216 
D
摩擦損失係数fの式の適用範囲4
H-Wの式から求まるfの式
1
10.08 g
f =
⋅ 0.167 0.15
1.85
(0.849C ) D v
流速v(Re数)と相当粗度(ks/D)の関数(式4.12より)
10.08 g  ν 
f =

1.85 
(0.849C )  vD 
0.15
 ks 
 
D
0.017


1
 0.15 0.017 
 ν ks 
133.4 133.4
= 1.85 0.15 ⋅ 0.15
C v
Re
教科書・図4-3とH-W式の比較(moody線図)
Cの大きい約150程度のなめらかな管に対して適合性があるが
Manningの式による摩擦係数fがより実用的である．
例題4.1について
H = 1.2 m
v
管内流速vと摩擦損失係数fを求める
鋳鉄管の長さl=1000m
直径D=80cm
Colebrookの式
変形したColebrookの式からfを求める
 2k
1
18.7
= 1.74 − 2 log10  s +
f
 D Re f
等流の式
v=
8
gRI
f
新しい鋳鉄管
相当粗度ks=0.3mm
Manningの粗度係数n=0.012
動水勾配I=H/l



 2k s
1
= 1.74 − 2 log10 
+

D
f

等流の式でvを求める
(

18.7

2 gDI ν D 
v=
8
gRI
f
)
Reynolds数
Re =
vD
ν
Re f =
vD
ν
f =
2 gDI ⋅ D
vD 2 gDI
=
ν
v
ν
例題4.2について
相当粗度ksの値を求める
コンクリート管の粗度係数n=0.014として，
Manning-Stricklerの式より
1/ 6
ks
n g
= 7.66
k s = (7.66 × n g )
6
問4.1について1
円管，正方形，長方形断面でそれぞれ同じ断面積Aの
場合の流量の違いを求める
円管
Manningの式
A
Q 1 2 / 3 1/ 2
v= = R I
A n
D
正方形
A
A
流量Q
1 2 / 3 1/ 2
Q = Av　= R I A
n
流量の違いはR2/3の違い
A
長方形
a
A
2a
問4.1について2
円管，正方形，長方形断面のそれぞれの経深をR1,R2,R3とする
円管
A
D
正方形
A
A
πD 2
A=
4
4A
D=
π
R2 =
A
A
=
4 A
4
a
A
2a
( R1 )
2/3
1 
= 

2 π
2/3
1
( R2 )2 / 3 =   A1/ 3
2/3
A1/ 3
0.430 (円管との比1)
 4
円管が最も
流れやすい
0.397(円管との比0.923)
A
長方形
A
R1 =
2 π
A = 2a 2
a = A/ 2
A
2A
R3 =
=
6 A/ 2
6
 2
2/3
(R3 ) =  
 6 
0.382(円管との比0.888)
2/3
A1/ 3
形状損失(形状係数)
管の曲がりや断面の急変によるエネルギー損失
断面の変化によって渦や二次流が発生し，
この変化によってエネルギー損失hが発生
2
v
h=ζ
2g
形状係数
速度水頭に比例係数がかかるような形で表す
急拡大部のエネルギー損失
管の断面積がA1→A2に急拡大
急拡大による損失
A1
v
2
A2
v
hse = ζ se
2g
急拡大部
の損失
急拡大部の
形状係数
教科書P.105例題(3.5)より
  A1 
ζ se = 1 −  
  A2 
2
出口のエネルギー損失
出口での損失
A1
急拡大部の形状係数
v
  A1 
ζ se = 1 −  
  A2 
2
A2が無限大(∞)として
A1 A2 → 0
ζo ≅ 1
2
出口の損失
v
ho = ζ o
2g
出口の形状係数
急縮小部のエネルギー損失
急縮小による損失
CA2
A1
v2
v1
A2
縮流後の拡大部(減速部)
(CA2～A2)に損失が生じる
(急拡大の損失と同じ考え方)
管の断面積がA1→A2に急縮小
(流水断面が一度CA2まで縮小)
2
v2
hsc = ζ sc
2g
急縮小部
急縮小部の
の損失
形状係数
急拡大の損失係数に
速いほうの流速v2で定義
2

A2   1

ζ sc = 1 −
 =  − 1
 CA2   C 
2
入口部のエネルギー損失
入口損失
急縮部のA1→∞に相当
2
A1→∞
v
h =ζ
2g
2
v2
v1
A2
e
e
入口部
の損失
入口部の
形状係数
ζeは入口部の形によって異なる(教科書p.113)
角端
ζ = 0.5
e
隅切り
0.25
丸味つき
0.1(円形)
0.2(方形)
ベルマウス
突出し
0.01 ~ 0.05
1.0
θ
0.5 + 0.3 cos θ
+ 0.2 cos θ
2
管の断面積の漸変(漸拡)
漸拡の損失
 v12 − v22 
hge = ζ ge 

 2g 
D2
D1
v1
θ
v2
2
 A1  v12
v12
= ζ geζ se
= ζ ge 1 − 
2g
 A2  2 g
急拡の損失係数ζseに漸拡(角度θ)
の効果を表す係数ζgeをかける形
教科書図4.8
曲がりおよび屈折
曲がりによる損失
v
θ
r
hb = ζ b1ζ b 2
2
v
2g
中心角θとθ=90oの場合の
損失の比によって決まる
曲率半径ρと管径Dの
比(ρ /D)によって決まる
屈折による損失
2
v
hbe = ζ be
2g
教科書図4.9
Weisbachの比較的小さい円管の実験
θ
4θ
ζ be = 0.946 sin + 2.05 sin
2
2
2
バルブ
スルース弁
仕切り弁ともいう
スフェリカルバルブ
バタフライ弁
円板状の弁体が回転する構造
流れの方向に対する弁体の角度を変えて
流量または圧力を調整
バルブによる損失
水力発電設備の水車入口弁として
高落差用の場合に使用
教科書p.115の表4.3

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