第8章環

第8章環
8.1
8.1.1
環、可換環
定義
定義 8.1 集合 R の中に２種類の二項演算 +、· が定義され、∀a、∀b、∀c ∈ R に対し、次の法則が成り立つときに、
R を環という。
(I) (R, +) は可換群である。すなわち、
(I − i)
+ は R 上の二項演算
(I − ii)
(a + b) + c = a + (b + c),
(I − iii)
a ∈ R に対し、a + 0 = a となる元 0 ∈ R が存在する（このような元 0 を零元と呼ぶ。）。
(I − iv)
a ∈ R と、(iii) の 0 に対し、a + x = 0 を満たす元 x が存在する。この元 x を −a と表す。
(I − v)
a+b=b+a
（和の結合則）
（和の交換則）
がなりたつ。
(II) (R, ·) は半群である。すなわち、
(II − i)
· は R 上の二項演算
(II − ii)
(ab)c = a(bc)
（積の結合則）
がなりたつ。
(III) 分配則 a · (b + c) = a · b + a · c がなりたつ。
以後、混乱のおそれがないときは、積の記号 · を省略する。
定義 8.2 環 R に関し、さらに、積 · について
(II − iii)
任意の a, b ∈ R に対し、ab = ba
(積の交換則)
が成り立つとき、R を可換環という。
また、R で定義された積において、
すべての a ∈ R に対し、a1 = 1a = a
を満たすような元 1 が存在することがある。このような元が存在するとき、それを単位元と呼ぶ。
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8.1.2
環の例
例: 整数の集合 Z = {0, ±1, ±2, · · · , } は、通常の和、積に関して、可換環である。Z の零元は 0、単位元は 1 である。
例: 複素数係数の多項式の集合

n
 ∑


C[x] :=
aj xj n ∈ N, aj ∈ C (j = 0, · · · , n)


j=0
は、f (x) =
m
∑
ai xi 、g(x) =
i=0
n
∑
bj xj ∈ C[x] の和、積を、
j=0
∑
max(m,n)
(f + g)(x) =
(aj + bj )xj
( ただし、次数より大きい部分の係数は、形式的に 0 とする。)
j=0
(f · g)(x) =
m+n
∑
cj xj
ただし
cj =
j=1
j
∑
ak bk−j
k=0
で定義する、つまり、通常の多項式の和と積を演算とすると可換環になる。C[x] の零元は 0、単位元は 1 である。
（例終）
例: Mat (n, n; C) を複素数を成分とする n × n 行列のなす集合とする。Mat(n, n, C) 上に通常の行列の和、積を定義する


0 ··· 0
 .
.. 

.
と、これは、環になるが、可換環ではない。Mat(n, n; C) の零元は、零行列 On,n := 
.  で、単位元は、単
 .
0 ··· 0


1
O


.

 である。（例終）
..
位行列 En := 

O
1
以後、この講義では、特に断らないかぎり、R は単位元 1 を持つ可換環とする。
8.1.3
定義よりすぐにわかること
定義よりただちに導くことのできる命題を証明しておく。
(ii) a ∈ R に対し、−a は一意に定まる。
命題 8.3 (i) R の零元は一意に定まる。
(iii) R に単位元が存在するとき、それは一意に定まる。
（証明） (i) 0、0′ ∈ R を R の零元とすると、
0
= 0 + 0′
= 0′
[ ∵) 0′ は単位元]
[ ∵) 0 は単位元]
となる。だから、0 = 0′ がいえる。
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(ii) R の零元を 0 とする。a ∈ R の逆元を x、x′ とすると、
[ ∵) 零元の定義]
x =0+x
′
[ ∵) 0 = x′ + a]
[ ∵) a + x = 0]
=x +a+x
= x′ + 0
= x′
となり、x = x′ がいえる。
(iii) R の乗法の単位元が 1、1′ の２種類存在したとすると、
1
= 1 · 1′
= 1′
[ ∵) 1′ は単位元]
[ ∵) 1 は単位元]
となる。（証明終）
8.2
8.2.1
部分環とイデアル
部分環
定義 8.4 R の空でない部分集合 S が R と同じ和、積を演算とする環であるとき、S を R の部分環という。
命題 8.5 S を R の空でない部分集合とするとき、
S が部分環 ⇐⇒ ∀a, ∀b ∈ R に対し a − b ∈ S
ab ∈ S
（証明） ⇒ は明らかなので、⇐ を示す。S が和に関してアーベル群になるのは、部分群の証明のときと同様。よって、
a ∈ S ならば −a ∈ S がいえるので、a + b = a − (−b) ∈ S 。また、ab ∈ S なので、S は、和、積に関して閉じている。
R で分配則が成立しているので、その部分集合 S でも成立する。（証明終）
例: 整数 Z の部分集合 (2) := { 2k ; k ∈ Z} は、Z の部分環である。実際、a、b ∈ (2) とすると、ある k 、l ∈ Z を用い
て、a = 2k 、b = 2l と表せる。このとき、a − b = 2(k − l),
ab = 2(2kl) となり、ともに 2×（整数）の形で書けるか
ら、a + b、ab ∈ (2) となる。（例終）
例: 同様に、d ∈ Z に対し、(d) := { dk ; k ∈ Z} は Z の部分環であることを示せ。
def.
例: p(x) ∈ C[x] としたとき、C[x] の部分集合 (p(x)) := {p(x)q(x) : q(x) ∈ C[x]} は、C[x] の部分環になる。（例終）
8.2.2
イデアル
定義 8.6 R の部分環 I が、
a ∈ I,
x∈R
=⇒
という性質を満たすとき、I を R のイデアルという。
実際にイデアルであることを証明するには、次の命題が使われる。
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ax ∈ I
命題 8.7 R の空でない部分集合 I について、
{
I がイデアル ⇔
(i) a, b ∈ I ⇒ a − b ∈ I,
(ii) a ∈ I, x ∈ R ⇒ ax ∈ I
（証明） ⇒ は明らかなので、⇐ を示す。部分環であることは命題 8.5 よりいえる。これと条件 (ii) より。（証明終）
例: 前節の部分環の例の (2)、(p(x)) はイデアル。（例終）
例: d ∈ R とするとき、(d) = {dx ; x ∈ R} は R のイデアルである。実際、a、b ∈ R とすると、a = dx、b = dy （x、
y ∈ R）と表せるから、
a + b = d(x + y),
ab = dxdy = d(dxy)
となる。x + y 、dxy ∈ R に注意すると、a + b、ab ∈ (d) がいえる。これを d の生成する単項イデアルという。
一般に、a1 、· · · 、an に対し、
(a1 , a2 , · · · , an ) = { a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn | x1 , x2 , · · · xn ∈ R}
も R のイデアルである。
例: 可換環 Z において、d ∈ Z の生成するイデアル (d) := { dx | x ∈ Z} は、d の倍数の集合である。（例終）
8.2.3
剰余環
定義 8.8 I を可換環 R のイデアルとし、a、b ∈ R とする。このとき、
def
a ≡ b (mod I)
⇐⇒
a−b∈I
と定義する。
命題 8.9 a ≡ b (mod I) は同値関係である。すなわち、次が成り立つ。
(i)
(iii)
任意の a に対し a ≡ a (mod I)
a ≡ b (mod I),
b ≡ c (mod I)
(ii)
=⇒
a ≡ b (mod I)
=⇒
b ≡ a (mod I)
a ≡ c (mod I)
（証明） (i) 任意の a ∈ R に対し、a − a = 0 だが、0 は R の任意の部分環に含まれるので、a − a ∈ I がいえる。
(ii) a ≡ b (mod I) より、a − b ∈ I で、この要素の和に関する逆元も I に含まれるので、b − a = −(a − b) ∈ I がいえ、
主張は成立する。
(iii) a ≡ b (mod I) 、b ≡ c (mod I) より、a−b ∈ I 、b−c ∈ I だが、これより、a−c = (a−b)+(b−c) ∈ I がいえる。
（証明終）
定義 8.10 a ∈ R に同値な R の元全体の集合を CI (a) または（I を省略して） C(a) と表し、これを a の属する剰余
def
類、a をその代表元という。I を法とする同値類全体の集合を R/I := { CI (a) | a ∈ R} と表す。
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命題 8.11 次の条件は同値
(I) a ≡ b (mod I),
(II) CI (a) = CI (b),
(III) a ∈ CI (b)
（証明） (I) ⇒ (II) ⇒ (III) ⇒ (I) を示せばよい。
(I) ⇒ (II) : a ≡ b (mod I) とする。x ∈ CI (a) とすると x ≡ a (mod I) である。これと a ≡ b (mod I) より、x ≡ b (mod I)
となり、x ∈ CI (b) がいえる。よって、CI (a) ⊂ CI (b) 。同様に、CI (a) ⊃ CI (b) もいえるので、CI (a) = CI (b)。
(II) ⇒ (III) : a ≡ a (mod I) より a ∈ CI (a)。これと CI (a) = CI (b) より、a ∈ CI (b)。
(III) ⇒ (I) : CI (b) の定義より直ちに従う。（証明終）
定理 8.12 a ≡ a′ (mod I)、b ≡ b′ (mod I) ならば、
a + b ≡ a′ + b′ (mod I),
ab ≡ a′ b′ (mod I)
（証明） a − b ∈ I 、a′ − b′ ∈ I から、
(a + a′ ) − (b + b′ ) = (a − b) + (a′ − b′ ) ∈ I,
aa′ − bb′ = (a − a′ )b − a′ (b − b′ ) ∈ I
がいえる。（証明終）
命題 8.13 可換環 R とそのイデアル I に対し、a、b ∈ R を代表元とする剰余類 CI (a)、CI (b) ∈ R/I の和と積を
def
CI (a) + CI (b) := CI (a + b),
def.
CI (a)CI (b) := CI (ab)
と定めると、CI (a) = CI (a′ )、CI (b) = CI (b′ ) ならば、
(i)
CI (a) + CI (b) = CI (a′ ) + CI (b′ ),
(ii)
CI (a)CI (b) = CI (a′ )CI (b′ )
がなりたつ
（証明） (i) 和の定義と先の命題より、
CI (a) = CI (a′ ), CI (b) = CI (b′ )
=⇒
=⇒
a ≡ a′ (mod I), b ≡ b′ (mod I)
a + b ≡ a′ + b′ (mod I)
=⇒
=⇒
CI (a + b) = CI (a′ + b′ )
CI (a) + CI (b) = CI (a′ ) + CI (b′ )
がいえる。(ii) も同様。（証明終）
定理 8.14 I を法とする同値類全体の集合
def
R/I := { CI (a) | a ∈ R}
は、上の演算により環になる。この環を R のイデアル I による剰余環という。
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（証明）環の条件を満たすことを確認する。
(I) (R/I, +) が可換群になることは、(R/I, +) が可換群 (R, +) の、部分群 (I, +) を法とする剰余群になっていること
からいえる。
(II) (II - i) R/I 上の積の一意性「CI (a) = CI (a′ )、CI (b) = CI (b′ ) ⇒ CI (a)CI (b) = CI (a′ )CI (b)」は、前の命題で示し
た。CI (a)、CI (b) ∈ R/I に対し、積の定義より、CI (a)CI (b) = CI (ab) だが、ab ∈ R なので、CI (ab) ∈ R/I 。よって、
CI (a)CI (b) ∈ R/I がいえる。
(II-ii) 分配法則は、CI (a)、CI (b)、CI (c) ∈ R/I に対し、
{CI (a)CI (b)}CI (c) = CI (ab)CI (c)
[ ∵) 剰余環の積の定義 ]
[ ∵) 剰余環の積の定義 ]
[ ∵) R における結合法則より ]
= CI ((ab)c)
= CI (a(bc))
= CI (a)CI (ab)
[ ∵) 剰余環の積の定義 ]
= CI (a) {CI (a)CI (b)} [ ∵) 剰余環の積の定義 ]
が成り立つことよりいえる。
(III) 結合法則は、CI (a)、CI (b)、CI (c) ∈ R/I に対し、
CI (a){CI (b) + CI (c)}
= CI (a)CI (b + c)
[ ∵) 剰余環の和の定義 ]
= CI (a(b + c))
= CI (ab + ac)
[ ∵) 剰余環の積の定義 ]
[ ∵) R における分配法則 ]
= CI (ab) + CI (ac)
= CI (a)CI (b) + CI (a)CI (c)
[ ∵) 剰余環の和の定義 ]
[ ∵) 剰余環の積の定義 ]
がなりたつことよりいえる。
例: 可換環 Z 上で、I = (6) の剰余環 Z/(6) を考えると、その代表元は、CI (0)、CI (1)、CI (2)、CI (3)、CI (4)、CI (5)
である。この環の零元は CI (0)、単位元は CI (1) である。（例終）
8.2.4
整数環のイデアル
整数環 Z のイデアルについて、少し詳しく調べてみよう。
定理 8.15 Z の任意のイデアル I は、ある d ∈ Z を用いて I = (d) と表される。
（証明） I = {0} のときは、I = (0) である。それ以外のときは、I に含まれる最小の正の数を d とすると、I の任意の
元 a は、
a = dp + r
(d ∈ Z, 0 ≤ r < d)
と表される。これより、
r = a − dp = a + d(−p)
で、a、d ∈ I とイデアルの定義より、r ∈ I だが、d は I の最小の正の数だから、r は 1 ≤ r < r にはなりえないので、
r = 0 である。よって、I の任意の要素 a は
a = dp
と表されるので、I ⊂ (d)。また、I ⊃ (d) は明らかなので、主張は成立。（証明終）
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命題 8.16 a、b ∈ Z から生成されるイデアル (a, b) は、ある d ∈ Z を用いて (d) = (a, b) と表される。このとき、d は、
a、b の最大公約数である。
（証明）前半は、上の定理の特別な場合なので、d が a、b の最大公約数であることを示せばよい。
(i) 公約数であること: a ∈ (a, b) = (d) なので、a = dx （x ∈ Z）と表される。よって、d は a の約数。同様に、d は b
の約数なので、d は a、b の公約数。
(ii) 最大であること: (d) = (a, b) であることより、d = ax + by （x、y ∈ Z）と書ける。d′ を a、b の公約数とすると、
それは、d = ax + by の約数になる。よって、d は a、b の任意の公約数を約数に持つから、a、b の最大公約数となる。
（証明終）
この d にあたる数を実際に求める方法として、ユークリッドの互除法が知られている。
定義 8.17 ある環に含まれる任意のイデアルが、ただひとつの元から生成されるとき、その環のことを単項イデアル環
という。
整数環 Z が単項イデアル環であるのは、任意の a ∈ Z、正整数 d に対し、
a = dq + r
(q, r ∈ Z, 0 ≤ r < d)
がなりたつことが重要な役割を果たしていることに注意しておく。
注: 可換環 R 上に、ν : R −→ N が定義されるとき、ν(a) の大小によって割り算が可能になる。このような環をユー
クリッド環という。ユークリッド環は、単項イデアル環になる。
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