ポリオミノの宇宙日本ユニシス株式会社川辺治之 2014 年 11 月 19 日ポリオミノとはポリオミノは，何個かの同じ大きさの正方形をほかの正方形の一つの辺同士をつなぐようにして作られた図形である．モノミノドミノ直線形トロミノ鉤形トロミノ直線形方形 T形斜形 L形テトロミノテトロミノテトロミノテトロミノテトロミノ 2 / 45 ポリオミノとはソロモン・W・ゴロム（ 1932– ）は，離散数学や符号理論分野の研究者で，ゴロム符号などにその名を冠している．「ポリオミノ」は，1953 年にゴロムが大学院生のときに「発明」した語である．2 個の正方形をつないだ形である「ドミノ」（ Domino ）の “D” を 2 を意味する接頭辞，すなわち “D”(2)+“omino” と「解釈」して，3 個の正方形をつないだものを「トロミノ」（ “Tr”(3)+“omino” ），4 個の正方形をつないだものを「テトロミノ」 (“Tetr”(4)+“omino”) というように名づけた．また，これらの総称として「多」を意味する “Poly” を接頭辞として「ポリオミノ」（ “Poly”(n)+“omino” ）と呼ぶ． 3 / 45 ポリオミノとは画面上方からテトロミノが次々と降ってくるコンピュータ・ゲーム「テトリス」は，「テトロミノ」と「テニス」を組み合わた造語であると，テトリスの考案者の一人であるワジム・ゲラシモフが語っている．天洋（現（株）テンヨー）から「プラパズル」として商品化．プラパズル No.600 は，ヘキソミノ 35 種類を 11 × 19 + 1 に収めるというもの．現在では，ハナヤマから発売されているチョコレート・パズルという呼称のほうがよく知られている．ゴロムは 1975 年に “PENTOMINOES” を商標として登録（登録番号 1008964 ）したが，1982 年に取り下げた． 4 / 45 プラパズル No.600 5 / 45 プラパズル No.600 6 / 45 12 種類のペントミノ T U V F I W L X P Y Z N 7 / 45 ペントミノ 12 種の敷き詰め 8 / 45 ポリイアモンド T.H. オーバーンは，二つの正三角形をつなぎ合わせた菱形をダイアモンドと呼ぶことから，それを一般化して，トリアモンド（ triamond ），テトリアモンド（ tetriamond ），ペンティアモンド（ pentiamond ），ヘキシアモンド（ hexiamond ）と名づけた． 9 / 45 12 種類のヘキシアモンド（羊飼いの）杖道標鉤王冠棒山形蛇蝶ロブスター六角ヨットスフィンクス 10 / 45 ドミノによる敷き詰め下記の盤を 31 個のドミノで覆うことはできるか． 11 / 45 ゴモリーの定理 8 × 8 のチェス盤から対角の位置にある二つの隅のマスを取り除くと残りの部分はドミノで敷き詰められない．同様にして，8 × 8 のチェス盤から同色の二つのマスを取り除くと残りの部分はドミノで敷き詰められない．この逆が，アルフレッド・P. スローン財団代表でかつては IBM の研究担当副社長であったラルフ・ゴモリーによって証明された．すなわち，8 × 8 のチェス盤から取り除く二つのマスの色が相異なるならば，残りの部分はドミノで敷き詰めることができる． 12 / 45 ゴモリーの「壁」下図の壁によって，ドミノをどのように盤に敷き詰めようとしても，必ずドミノは「一列」に並んだマスに沿って置かれることになる． 13 / 45 ゴモリーの壁に沿った敷き詰め 8 × 8 の盤から取り除かれた二つのマスの色が相異なるならば，この 64 個のマスの並びは二分され，そのどちらの部分も偶数個のマスになる．（または，取り除かれる二つのマスがこの並びの中で隣接しているならば，偶数個のマスからなる部分が一つだけあることになる．）そしてこの並びの中の偶数個のマスからなる部分は，ドミノを敷き詰めることができる． 14 / 45 長方形の断層線のない敷き詰め長方形のどの「格子線」（長方形の辺に平行で，相対する二辺を結ぶ，マスの幅の間隔で引かれた直線）も少なくとも 1 個のドミノを横切るように，ドミノを敷き詰めることができるか．たとえば，下図の 3 × 4 の長方形の敷き詰めでは，長方形の中心を通る縦の格子線はどのドミノも横切らない．ドミノを煉瓦だとすると，このような格子線は構造的に脆弱な「断層線」と考えることができる． 15 / 45 5 × 6 の断層線のない敷き詰め 15 個のドミノを 5 × 6 の長方形に敷き詰めるのが最小解．本質的には下図の 2 種類ある． 16 / 45 6 × 6 の正方形の場合 6 × 6 の正方形全体をドミノで覆うことができたとすると 18 個のドミノが使われることになるが，格子線は 10 本（縦向き 5 本と横向き 5 本）ある．それぞれの格子線が横切るドミノは偶数個であることが証明できる．したがって，断層線のない配置では，すべての格子線は少なくとも 2 個のドミノを横切らなければならない．すると，10 本の格子線では，それらが横切るドミノは少なくとも 20 個必要となるが，6 × 6 の盤には 18 個のドミノしかない．つまり，6 × 6 の正方形全体をドミノで覆うことはできない． 17 / 45 長方形の断層線のない敷き詰め偶数個のマスからなる長方形の縦および横がどちらも 4 より大きいならば，6 × 6 の場合を除いて，常に断層線のないドミノの敷き詰めが存在する．下図は 6 × 8 の長方形の断層線のない敷き詰め 18 / 45 長方形の断層線のない敷き詰め 5 × 6 および 6 × 8 の長方形から，その幅または高さを 2 マスずつ広げていくことで，これらより大きいすべての長方形を断層線がないように敷き詰めることができる．横幅を 2 マス広げるには，長方形の右辺に接するすべてのドミノを右に 2 マス移動させ，空いた隙間に横向きのドミノを置く． 19 / 45 直線形トロミノによる敷き詰め 8 × 8 の盤を 21 個の直線形トロミノと 1 個のモノミノで覆うことはできるか．赤：22 個，白：21 個，青：21 個 20 / 45 例外的な四つのマス 3 色の塗り分けをどのように回転・裏返ししても，青マス，白マスにならないマスは下図左の 4ヶ所だけである． 21 / 45 鉤形トロミノによる敷き詰め 1 個のモノミノを 8 × 8 の盤のどこに置いても，残りの領域を 21 個の鉤形トロミノで敷き詰められるか． 22 / 45 鉤形トロミノによる敷き詰め下記の 3 種類の図で，1 個のモノミノを 7 × 7 の盤のどこに置いても，残りの領域を鉤形トロミノで敷き詰められることが分かる [3]． 23 / 45 鉤形トロミノによる敷き詰め n が 7 以上の奇数で，3 で割り切れないならば，1 個のモノミノを n × n の盤のどこに置いても，残りの領域を鉤形トロミノで敷き詰められる [3]． 6 × (n − 7) 4×6 (n − 6) × (n − 6) 7×7 6×4 def. 5 × 5 (n − 7) × 6 def. 7 × 7 24 / 45 鉤形トロミノによる敷き詰め n が 2 以上偶数で，3 で割り切れないならば，1 個のモノミノを n × n の盤のどこに置いても，残りの領域を鉤形トロミノで敷き詰められる [3]． (n − 3) × (n − 3) (n − 4) × 3 3× (n − 4) def. 4 × 4 25 / 45 鉤形トロミノによる敷き詰め n = 9 の場合 n = 6m + 3 の場合 6 × (n − 7) (n − 6) × (n − 6) (n − 7) × 6 def. 7 × 7 26 / 45 ペントミノと方形テトロミノ 8 × 8 の盤を 12 種類のペントミノと方形テトロミノで敷き詰めると，方形テトロミノの中心は下図左のいずれかになるが，対称性を考慮すると下図右の 10 通りになる． • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 27 / 45 方形テトロミノの中心の位置 V ペントミノと方形テトロミノからなる 3× 3 のブロックを回転させると，このブロック内部の任意の格子点に方形テトロミノの中心を置くことができる． • • • • • • • • • • • 28 / 45 ヘキソミノによる敷き詰め 35 種類のヘキソミノで 3 × 70，5 × 42，6 × 35，7 × 30， 10 × 21，14 × 15 などの長方形を敷き詰めできない．それぞれの長方形を市松模様に塗り分けると，白マス 105 個と黒マス 105 個になるが，これはどちらも奇数である．35 種のヘキソミノのうちの 24 種は，それぞれ黒マス 3 個と白マス 3 個（どちらも奇数）を覆い，残りの 11 種のヘキソミノは，どれも一方の色のマス 2 個ともう一方の色のマス 4 個（どちらも偶数）を覆う．それぞれの色のマスを奇数個覆うヘキソミノは偶数個あり，それぞれの色のマスを偶数個覆うヘキソミノは奇数個あるので，ヘキソミノ 35 種類では，偶数個の黒マスと偶数個の白マスを覆うことになる． 29 / 45 「奇数的」ヘキソミノ 24 種 30 / 45 「偶数的」ヘキソミノ 11 種 31 / 45 デブロインの定理 a × b の長方形は，a か b の少なくとも一方が n で割り切れなければ，1 × n のタイルを敷き詰めることはできない．たとえば，8 × 9 の長方形は 1 × 6 のタイルで敷き詰めることはできない．デブロインは 3 次元においても同様の結果を証明した．（ 3 辺の長さが a，b，c の直方体は，3 辺の少なくとも一つが n で割り切れなければ，1 × 1 × n のブロックで敷き詰めることはできない．） 32 / 45 デブロインの定理（証明） a × b の盤を，副対角線方向に同じ色が並ぶように n 色で塗り分ける．すると，n 色のマスが同数ずつなければ， 1 × n のタイルでこの盤全体を敷き詰めることはできない． b=9 z }| {   1 2 3 4 5 6 1 2 3     2 3 4 5 6 1 2 3 4      3 4 5 6 1 2 3 4 5     4 5 6 1 2 3 4 5 6 a = 8   5 6 1 2 3 4 5 6 1     6 1 2 3 4 5 6 1 2  n=6    z }| {  3 5 6 3 1 2 4 1 2   1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 33 / 45 デブロインの定理（証明）ここで，a と b がどちらも n で割り切れないならば， a′ = a mod n, b′ = b mod n とする．また，a′ ≤ b′ としてよい．前ページの図のように n 色で塗り分けると，元の a × b の盤の右下隅にある a′ × b′ の長方形部分以外は n 色のマスが同数あることがわかる．したがって，この盤全体が 1 × n のタイルで敷き詰められるならば，この a′ × b′ の長方形部分にも n 色のマスが同数なければならない．その長方形部分には，ある色のマスが副対角線方向に a′ 個並ぶ．すると，この長方形部分には少なくとも na′ 個のマスがなければならないが，b′ < n なので，長方形部分の面積 a′ b′ よりも大きくなってしまう． 34 / 45 トーラスでの反例長方形の盤の上辺と下辺，右辺と左辺がそれぞれつながっているとみなすと，トーラス（輪環面）状の盤になる． 10 と 15 はどちらも 6 の倍数ではないが，1 × 6 のタイルを 10 × 15 のトーラス状の盤に敷き詰めることができる． 35 / 45 トーラスでの 1 × 6 の敷き詰め次の条件の少なくとも一つが成り立つとき，そしてそのときに限り，a × b のトーラス状の盤は 1 × 6 のタイルで敷き詰められる [2]． ■ a = 6p または b = 6q ■ a = 2p ≥ 10，b = 3q ≥ 15，(a, b) , (14, 15) ■ b = 2q ≥ 10，a = 3p ≥ 15，(b, a) , (14, 15) 36 / 45 gcd(a, m) = gcd(b, n) = gcd(m, n) = 1 とするとき，次の式で得られる α と β が α ≤ a，β ≤ b となるならば，m × 1 と 1 × n のタイル（向きは変えられない）で a × b のトーラス状の盤を敷き詰められる [2]． d = an−1 mod m b′ = b mod n c = −b′ da−1 mod m = −b′ n−1 mod m α = ((c + 1)n + b′ )d β = (c + 1)n + b′ (a − α = −(cn + b′ )d = −(−b′ n−1n + b′ )d = 0 (mod m), b − β = (c + 1)n = 0 (mod n) が成り立つ． ) 37 / 45 α × β の長方形の敷き詰め (cn + b′ )d 6 cn + b′ d ? 6 n nd ? 得られたトーラス状の盤の敷き詰めを横に n 倍，縦に m 倍に拡大すると，タイルはそれぞれ mn × m と n × mn になるので，前者を m 枚の mn × 1 のタイルに，後者を n 枚の 1 × mn のタイルに分割すると，合同なタイルになる． 38 / 45 トーラスへの拡張 10 × 10 のトーラス状の盤に 1 × 4 のタイルをどう置いたとしても，そのタイルは 4 色のマスをそれぞれ偶数個（ 0 個か 2 個）覆う．しかし，10 × 10 の盤にはそれぞれの色のマスは 25 個ずつしかない． 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 39 / 45 トーラスへの拡張これを一般化すると，a と b はどちらも k の倍数だが， ab が k3 の倍数でないならば，1 × k2 のタイルは a × b のトーラス状の盤を敷き詰められないことが示せる．この場合には，前ページで示した k = 2 の場合と同じように， a × b のトーラス状の盤に k2 色を使って塗り分けた k × k のブロックを敷き詰める．すべての 1 × k2 のタイルは，k 色のマスをそれぞれ k 個覆うが，盤にはそれぞれの色のマスは ab/k2 個しかない． 40 / 45 デブロインの定理の拡張 X × Y の長方形の盤（ X および Y は実数）がさまざまな大きさの長方形のタイルで敷き詰められていて，それぞれのタイルの少なくとも一辺の長さは整数だとする．このとき，X か Y の少なくとも一方は整数になる． Y 1 1 X X × Y の長方形の盤を，左下隅に黒いマスが位置するように 1/2 単位の市松模様に塗り分ける． 41 / 45 デブロインの定理の拡張長方形の盤の辺の長さ X, Y がどちらも整数ではない，すなわち，X ′ = X − [X] > 0, Y ′ = Y − [Y] > 0 と仮定する．（ただし，[x] は x を越えない最大の整数を表す．）X × Y の長方形の右上隅の X ′ × Y ′ の「余りの長方形」部分を除いて，盤の残りの部分にある白と黒の領域の面積は等しい．このとき，余りの長方形に含まれる白と黒の領域の面積が等しくなりえないことを示す． X ′ ≤ 1/2 Y ′ ≤ 1/2 X ′ ≤ 1/2 Y ′ > 1/2 X ′ > 1/2 Y ′ ≤ 1/2 X ′ > 1/2 Y ′ > 1/2 42 / 45 デブロインの定理の拡張 X ′ > 1/2, Y ′ > 1/2 の場合は，「余りの長方形」を折り畳むことで黒の領域は白の領域よりも大きいことを示せる． Y ′ ( |{z} X′ 1 − Y′ { 最初の折り線 ⇓ ′ X z}|{ 6 次の折り線 ⇓ { 1 − Y′ { 1 − X′ 黒と白の差分= (1 − X ′ )(1 − Y ′ ) > 0 43 / 45 エネオミノによる敷き詰め 44 / 45 参考文献 [1] Golomb, Solomon W. “Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings,” Princeton Univ. Press, 1996. （邦訳：川辺訳『箱詰めパズルポリオミノの宇宙』日本評論社, 2014 ） [2] Remila, Eric. “On the tiling of a torus with two bars,” Theoretical Computer Science, 134 (1994) 415-426. [3] Chu, I-Ping, and Richard Johnsonbaugh. “Tiling Deficient Boards with Trominoes.” Mathematics Magazine 59, no. 1 (1986): 34-40. 45 / 45