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回文数 1001

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数 学 玉 手 箱
URL
http://izumi-math.jp/sanae/
E-mail
回文数
[email protected]
1001
数の中には不思議な数や魅力的な数が多数存在します。その中の代表的な数である「回文数(かいぶ
んすう)」を紹介します。回文数とは、14641 のように逆から数字を読んでも同じ数になる数のことをい
います。逆から読んでも同じになる回文から名付けられました。例えば 4 桁の回文数は 90 個あります。
1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ...,
9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999
次の表は回文数の個数を表にまとめたものです。
最大桁数
総数
偶数
奇数
平方数
1桁
10
5
5
素数
4
2桁
19
9
10
3
3桁
109
49
60
4桁
199
89
110
6
5
20
5桁
1099
489
610
13
6桁
1999
889
1110
14
113
7桁
10999
4889
6110
8桁
19999
8889
11110
9桁
109999
48889
61110
10 桁
199999
88889
111110
19
781
5953
その回文数の一つ「1001」を取り上げてみましょう。1001 と聞いて,掲示板の終了告知文を思いうかべ
る人は相当なおたくだと思います。ここは数学の世界なので,もっと数学的に考えましょう。
今,ある 3 ケタの数を思い浮かべて下さい。例えば「312」(先生の誕生日です)。これに 1001 をかけ
てみます。
312×1001 = 312312
どうです? 312 が 2 回続きましたね。右の掛け算の図でもわかるように,
どんな数でも成り立ちます。数「1001」は 3 ケタの数を上位に 3 ケタずらして
コピーする不思議な働きを持っているのです。実は,同様な事が 10001,100001,
…に対しても言えます。
また,コピー数と 1 を並べて作られる数(レピュニット数)をかけると,1
だけで構成される美しい数のピラミッドを作ることができます。
x
12
123
1234
12345
y
101
1001
10001
100001
xy
1212
123123
12341234
1234512345
また 1001 は 1000 より 1 だけ多い数字ですが,インドでは 11,101,1001 のように 10,100,1000
にそれぞれ 1 を加えた数を「吉祥数」といい,完成された 1000 などの数に 1 を加えることは,完成を
超越した数,すなわち無限数と扱われ,寺院への寄付金や祝いの席での祝儀などの祭礼の際にはこうい
った吉祥数で支払う風習があるようです。
1001 は 1 桁の数を除くと 100 番目の回文数で,4 桁で 1 番小さな回文数になります。
10013 = 1003003001,
10014 = 1004006004001
10012 = 1002001,
もまた回文数です。回文数はシェヘラザード数とも呼ばれます。もちろん、「千一夜物語」のヒロイン,
シェヘラザード姫の名前をとったわけですが、アラビアンナイトがなぜ 1001 夜なのか,ここにも数字
1001 のミステリーが潜んでいるといえます。
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