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第2号

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簡単に“イメージ”することができたら数学も苦になりませんね。そんな「証明の展覧会」を紹介して
2 年生版
第 2 号 2011.4
いきます。まずは最も美しい公式の一つ「三平方の定理
a 2 = b 2 + c 2 」です。一説には 400 種類以上
の証明法があるといわれています。
http://izumi-math.jp/sanae/
a 2 = b 2 + c 2 は「直角をはさむ辺を一辺とする正方形の面積の和は,斜辺を一辺とする正方形の面積
に等しい」ことを示すことと同じになりますね。これを利用した証明でよく見かけるものは,次のよう
なずらし変換や回転などを組み合わせたものです。
【第 1 回】1001
数の中には不思議な数や魅力的な数が多数存在します。そんな数をいくつか
取り上げていきたいと思います。最初の数は「1001」です。1001 と聞いて,掲
示板の終了告知文を思いうかべる人は相当なおたくだと思います。ここは数学
の世界なので,もっと数学的に考えましょう。
今,ある 3 ケタの数を思い浮かべて下さい。例えば「312」(先生の誕生日で
す)。これに 1001 をかけてみます。
変換ではなく,単純に 2 つの正方形を切り貼りして大きい正方形を作る方法も本当にいくつもありま
す。よく観光温泉宿に置かれているパズルと同じようなものです。次にあげたもの意外にもいろいろな
312×1001 = 312312
どうです? 312 が 2 回続きましたね。右の掛け算の図でもわかるように,どんな数でも成り立ちま
切り方があります。是非一度自分でもチャレンジしてみましょう。
す。数「1001」は 3 ケタの数を上位に 3 ケタずらしてコピーする不思議な働きを持っているのです。実
は,同様な事が 10001,100001,…に対しても言えます。
また,コピー数と 1 を並べて作られる数(レピュニット数)をかけると,1 だけで構成される美しい
数のピラミッドを作ることができます。
x
12
123
1234
12345
y
101
1001
10001
100001
xy
1212
123123
12341234
1234512345
○
万物は数である
Everything is number.
○ 数学は科学の女王である
ガウス
ピタゴラス学派
Mathematics, the queen of the science.
○ 数学の本質はその自由性にある
Das Wesen der Mathematik ist ihre Freiheit.
カントール
数は人間の創作である
○ 整数は神の創造したものであり,他のすべての
クロネッカー
証明と聞くととても顔をしかめる人も多いのではないでしょうか。しかし,そんな証明も図を用いて
シルベスター
【第 1 回】三平方の定理①
Die ganzen zahren hat der liebe Gott gemacht, alles
シェヘラザード姫の名前をとったわけですが、アラビアンナイトがなぜ 1001 夜なのか,ここにも数字
1001 のミステリーが潜んでいるといえます。
andere ist Menschen werk.
10014 = 1004006004001
○ 数学は人知の栄光である
10013 = 1003003001,
Mathematics is the glory of the human mind.
ライプニッツ
10012 = 1002001,
もまた回文数です。回文数はシェヘラザード数とも呼ばれます。もちろん、「千一夜物語」のヒロイン,
ある
数字 1001 のように,逆から読んでもまったく同じ数字になる数を回文数といいます。1001 は 1 桁の
数を除くと 100 番目の回文数で,4 桁で 1 番小さな回文数になります。
Music is the mathematics of sense , mathematics is
吉祥数で支払う風習があるようです。
the music of reason .
した数,すなわち無限数と扱われ,寺院への寄付金や祝いの席での祝儀などの祭礼の際にはこういった
○ 音楽は感覚の数学であり,数学は理性の音楽で
また 1001 は 1000 より 1 だけ多い数字ですが,インドでは 11,101,1001 のように 10,100,1000
にそれぞれ 1 を加えた数を吉祥数といい,完成された 1000 などの数に 1 を加えることは,完成を超越
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