§10.7 三角関数の相互関係

§10.7
三角関数の相互関係
簡便のため，例えば， (sin x)2 を sin2 x のように， (cos t)3 を cos3 t のように書き
表します：
sin2 x = (sin x)2 ,
cos3 t = (cos t)3 .
sin2 x = (sin x)2 と sin x2 = sin(x2 ) とは通常は等しくありません．
任意の実数 x について，定理 6.4.2 より
{sin(x rad)}2 + {cos(x rad)}2 = 1 ;
sin(x rad) = sin x , cos(x rad) = cosx なので， (sin x)2 + (cos x)2 = 1 ．
定理 10.7.1
任意の実数 x について
sin2 x + cos2 x = 1 .
任意の実数 x について，定理 6.4.3 より，角度 x rad が角度 90◦ =
π
rad の奇数倍
2
でないとき
1
;
{cos(x rad)}2
π
の奇数倍でないとき
tan(x rad) = tan x , cos(x rad) = cosx なので， x が
2
1
.
1 + (tan x)2 =
(cos x)2
1 + {tan(x rad)}2 =
更にこのとき， sec x =
定理 10.7.2
1
1
なので
= sec2 x ．
cos x
cos2 x
π
の奇数倍でないとき，
2
任意の実数 x について， x が
1
= sec2 x .
cos2 x
1 + tan2 x =
定理 10.2.2 , 定理 10.7.1 , 定理 10.7.2 を用いると， sin2 x , cos2 x , tan2 x のうちの一
つの値が分かると他の 2 つの値も分かります．
関数 sin x , cosx , tan x のグラフよりそれらの値の符号は次のようになります．
y
−3π
+
7π
2
−
−
−2π
−π
−
+
5π
2
−
y = sin x
π
0
−
+
2π
3π
−
x
−
+
正弦関数 y = sin x の値の符号
3π
2
y
π
2
−
3π
2
π
2
y = cosx
5π
2
7π
2
0
−
+
−
x
+
−
+
−
余弦関数 y = cosx の値の符号
y
y = tan x
−
5π
2 −2π
−
−
例題
3π
2 −π
+
−
y = tan x
−
π
2
π
2
0
3π
2
π
5π
2
2π
x
+
−
+
−
+
−
正接関数 y = tan x の値の符号
実数 x について π ≤ x ≤ 2π かつ cosx =
+
3
とする． sin x の値と tan x の
5
値とを求める．
3
より
5
2
16
3
=
.
sin2 x = 1 − cos2 x = 1 −
5
25
〔解説〕 sin2 x + cos2 x = 1 なので， cos x =
π ≤ x ≤ 2π より sin x ≤ 0 なので，
sin x = −
r
4
16
=− .
25
5
更に
sin x
tan x =
=
cos x
問題 10.7.1
実数 x について −
4
5
4
=− .
3
3
5
−
終
π
π
2
≤x≤
かつ sin x = −
とします． cosx の
2
2
3
値と tan x の値とを求めなさい．
例題
実数 x について 0 ≤ x ≤ π かつ tan x = −2 とする． sin x の値と cos x の
値とを求める．
〔解説〕 1 + tan2 x =
cos2 x =
1
1
1
,
=
=
5
1 + tan2 x
1 + (−2)2
0 ≤ x ≤ π かつ tan x < 0 より
cosx ≤ 0 ．従って
cosx = −
更に tan x =
y
1
なので， tan x = −2 より
cos2 x
r
π
< x ≤ π なので，
2
0
1
1
= −√ .
5
5
π
2
π x
y = tan x
sin x
より
cosx
2
1
= √ .
sin x = tan x cos x = (−2) · − √
5
5
問題 10.7.2
実数 x について π ≤ x ≤ 2π かつ tan x =
終
5
とします． sin x の値と
3
cosx の値とを求めなさい．
例題
実数 x について −π ≤ x ≤ 0 かつ sin x =
2
cosx とする． cosx の値を求
3
める．
〔解説〕 sin2 x + cos2 x = 1 なので， sin x =
2
cosx より，
3
2
2
cosx + cos2 x = 1 ,
3
13
cos2 x = 1 ,
9
9
cos2 x =
;
13
2
cosx ≤ 0 ，よって cos x ≤ 0 なので，
3
r
3
9
cosx = −
= −√
.
13
13
−π ≤ x ≤ 0 より sin x ≤ 0 なので
問題 10.7.3
実数 t について
値を求めなさい．
終
3π
π
3
≤t≤
かつ cost = sin t とします． sin t の
2
4
2

Download Report