【 QUIZ 12 】一様な長方形の板 ABCD（質量 M ，長辺 a ，短辺 b ）の A と C にベアリングがあって，それらをとおる対角線 AC を軸として，板は自由に回転している。そのとき，ベアリングにどのような力が働くか求めなさい。なお，厚みは無視してよいものとする。 y 【解答】最初に，この長方形板の慣性テンソルの成分を求める。【解説】に書いたように，回転軸 𝑧 が物体の対称軸でないの P y C  b A a 対称軸の方向にとった座標系O𝑥𝑦′z′おける成分を求めて， z P B 座標変換することにする。（ 𝑥 軸は奥向き） 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦′𝑑𝑧′ = 𝜎𝑎𝑏 （ここで，𝜎 = z O で，座標系O𝑥𝑦𝑧における成分を求めるのは難しい。そこで，まず，質量は，𝑀 = D 𝜌 𝑑𝑥 面密度）である。慣性モーメントは，𝑥𝑦′z′が対称軸であるから，容易に計算できる。 𝜌 𝑦′2 + 𝑧′2 𝑑𝑥 𝑑𝑦′𝑑𝑧′ 𝐼𝑥𝑥 = = = 𝑦′2 𝑑𝑦′ 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑧′ + 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦′ 𝑏 2 0 𝑧′3 + 2𝜎𝑏 3 𝑎 2 0 𝑀 2 𝜎𝑎𝑏 2 𝑎 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏2 12 12 𝜌 𝑧′2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦′𝑑𝑧′ と 𝐼𝑧′ 𝑧′ = さらに， 𝐼𝑦′ 𝑦′ = 𝑦′3 𝑧′2 𝑑𝑧′ = 2𝜎𝑎 3 𝜌 𝑥 2 + 𝑦′2 𝑑𝑥 𝑑𝑦′𝑑𝑧′ を求めるにおいては，厚みを無視して考えているから，𝑥 2 の項はないものとして計算すればよい。したがって， 𝐼𝑦′ 𝑦′ = 同様に，𝐼𝑧′ 𝑧′ = 𝐼𝑦′ 𝑧′ = − 𝑀 12 𝜌𝑧′2 𝑑𝑥 𝑑𝑦′𝑑𝑧′ = 𝜎𝑏 𝑧′3 𝑧′2 𝑑𝑧′ = 2𝜎𝑏 3 𝑎 2 0 = 𝜎𝑎 3 𝑏 𝑀 2 = 𝑎 12 12 𝑏 2 である。慣性テンソルの非対角項である慣性乗積は，たとえば， 𝜌𝑦′𝑧′ 𝑑𝑥 𝑑𝑦′𝑑𝑧′などと，被積分関数が奇関数であるから，対称軸であればすべてゼロとなることは明らかである。座標変換（O𝑥𝑦′z′→O𝑥𝑦z）は，【解説】を参考にして， 𝒆𝑥 T 𝒆𝑦 T 𝒆𝑧 T である。ここで， 𝒆𝑥 𝒆𝑦 𝒆𝑧 𝐼𝑥𝑥 0 0 0 𝐼𝑦′𝑦′ 0 0 0 𝒆𝑥 𝒆𝑦 𝐼𝑧′𝑧′ 𝐼𝑥𝑥 𝒆𝑧 = 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 は， 𝑥, 𝑦, z 各方向の単位ベクトルで，それを 𝑥𝑦 ′ 𝑧 ′ 座標系における成分で表現したものである。したがって， 𝑀 1 0 12 0 0 cos 𝛼 − sin 𝛼 0 sin 𝛼 cos 𝛼 𝑎2 + 𝑏 2 0 0 0 𝑎2 0 0 0 𝑏2 1 0 0 0 cos 𝛼 sin 𝛼 𝐼𝑥𝑥 0 − sin 𝛼 = 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 cos 𝛼 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 cos 𝛼 = 𝑎 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝑀 𝐼𝑦𝑧 = 12 𝐼𝑧𝑧 𝑎2 + 𝑏2 𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 0 2 𝑎2 cos2 𝛼 + 𝑏 sin2 𝛼 0 − 𝑎2 − 𝑏 0 𝑎2 + 𝑏2 ， sin 𝛼 = 𝑏 0 2 − 𝑎2 − 𝑏 2 sin 𝛼 cos 𝛼 𝑎2 sin2 𝛼 + 𝑏2 cos2 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 𝑎2 + 𝑏2 を代入して整理すると， 𝐼𝑥𝑧 𝑀 𝐼𝑦𝑧 = 12 𝑎2 + 𝑏2 𝐼𝑧𝑧 𝑎2 + 𝑏2 2 0 𝑎4 0 0 +𝑏 4 −𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏 0 −𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏 2 2 2𝑎2 𝑏2 と求めることができる。これでようやく，問題に入る準備が整った。剛体に貼りついた座標系（今の場合O𝑥𝑦𝑧）における剛体の回転運動の方程式は， 𝑰 𝑑𝝎 +𝝎× 𝑰𝝎 =𝑵 𝑑𝑡 T いま，𝝎T = 0,0, 𝜔𝑧 であるから，𝝎 × 𝑰 𝝎 = −𝐼𝑦𝑧𝜔𝑧 2 , 𝐼𝑧𝑥 𝜔𝑧 2 , 0 となって，運動方程式は， 𝑑𝜔𝑧 − 𝐼𝑦𝑧 𝜔𝑧 2 = 𝑁𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝜔𝑧 𝐼𝑦𝑧 + 𝐼𝑧𝑥 𝜔𝑧 2 = 𝑁𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝜔𝑧 = 𝑁𝑧 𝐼𝑧𝑧 𝑑𝑡 𝐼𝑧𝑥 となる。今の場合，自由回転だから，𝑁𝑧 = 0 であって，第 3 式から，𝜔𝑧 = 𝜔 const. であることがわかる。したがって，第 1 式と第 2 式の左辺第 1 項はゼロであって，また今の場合，𝐼𝑧𝑥 = 0 であるから，𝑁𝑦 = 0 となる。結局，第 1 式より 𝑁𝑥 = −𝐼𝑦𝑧𝜔𝑧 2 = 𝑀𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏 2 12 𝑎 2 + 𝑏 2 𝜔2 となって，𝑧軸まわりの回転を維持するためには，その軸を支えるために𝑥軸まわりにモーメントをかけていなければならないといことである。したがって，A と C にあるベアリングには，図のような偶力𝑃が働くことになる。 𝑃= 𝑀𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏 2 12 𝑎2 + 𝑏 2 3 2 𝜔2 あくまでも，剛体に貼りつている座標系で考えているから，当然𝑃も回転するが，図を見れば，物体が𝑧軸まわりに回転すれば， B や D の方が出っぱっている分だけ，そちらに遠心力がかかるから，それを支えるのに力が必要なことは想像に難くない。以上