環、イデアル定義集合 R に２種類の演算 (和 a + b と積 ab で表すことにする) が定義されていて、次の４つの条件をみたすとき、R はこの演算に関して環 (ring) であるという． (1) R は和 a + b に関して可換群である．(単位元を 0 で表し、R の零元と呼ぶ．また a の逆元を −a で表す)． (2) R は積 ab に関して結合法則 (ab)c = a(bc) をみたす． (3) R は積に関して単位元 1 を持つ．すなわち、1a = a1 = a for all a ∈ R． (4) 積と和に関して分配法則 a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc をみたす．さらに次の条件をみたすとき、R は可換環 (commutative ring) であるという． (5) 積に関して可換、すなわち ab = ba for all a, b ∈ R．可換環でない環を、特に非可換環 (noncommutative ring) という．環の性質は、可換環と非可換環とで大きな違いがあり、取り扱う手法も両者で異なる．注意 a0 = 0a = 0 および (−1)a = a(−1) = −a は、環の定義からすぐにわかる．注意 1 = 0 と仮定すると、a = a1 = a0 = 0 となるので、R = {0} である．例 Z, Q, R, C などは通常の和と積に関して可換環である．また、実数あるいは一般に可換環 R の元を係数とする 1 変数 x の多項式全部の集合 R[x] = { a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn | ai ∈ R, n = 0, 1, 2, . . . } も可換環である．R[x] を可換環 R 上の 1 変数多項式環という．多変数の多項式環も重要な可換環の例である．一方、成分が体 K の元である n 次正方行列の全体 Mn (K) は、 n ≥ 2 ならば行列の和と積に関して非可換環である．Mn (K) を体 K 上の n 次全行列環という．定義環 R の部分集合 S が、1 ∈ S かつ a + b ∈ S, −a ∈ S, ab ∈ S for all a, b ∈ S をみたせば、S も環になる．このような S を部分環 (subring) という．定義環 R の部分集合 I が次の 2 つの条件 (1) 和に関して I は R の部分群 (2) ra ∈ I for all r ∈ R, a∈I をみたすとき、I を R の左イデアル (left ideal) という．また、(1) と (2)′ ar ∈ I for all r ∈ R, a∈I をみたすとき、I を R の右イデアル (right ideal) という．さらに、(1), (2), (2)′ の 3 つの条件をみたすとき、I を R の両側イデアル (two sided ideal) またはイデアルという． R が可換環のときは ra = ar だから (2) と (2)′ は同じであり、左イデアル、右イデアル、両側イデアルの区別は不要である．この場合、これらを単にイデアルという． 1 零元 0 だけからなる集合 { 0 }、および R 自身はともに両側イデアルである．この 2 つ以外の両側イデアルがない環を単純環 (simple ring) という．部分環の例 {( a b 0 d ) } a, b, d ∈ C , {( a 0 0 d } ) a, d ∈ C はいずれも M2 (C) の部分環である．また、R を可換環とすると { a0 + a2 x2 + a4 x4 + · · · + a2m x2m | a2i ∈ R, m = 0, 1, 2, . . . } は R[x] の部分環である．イデアルの例 0 ̸= a ∈ Z とすると、 aZ = { an | n ∈ Z } ; a の倍数全部の集合は Z のイデアルである． M2 (C) の左イデアルは、{ 0 } と M2 (C) のほかにも ) } ) } {( {( 0 b a 0 b, d ∈ C , a, c ∈ C , 0 d c 0 ) } ) } {( {( a 2a a a a, c ∈ C a, c ∈ C , c 2c c c などたくさんあるが、M2 (C) の両側イデアルは { 0 } と M2 (C) だけである．すなわち M2 (C) は単純環である．一般に体 K 上の n 次全行列環 Mn (K) は単純環である．注意可換環 R 上の 1 変数多項式環 R[x] は、R にある元を付け加えて得られる可換環のうち最も一般的なものとして大切である．補題 I, J を環 R の左 (右、両側) イデアルとすると I ∩ J, I + J = { a + b | a ∈ I, b ∈ J }, n {∑ } IJ = ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, n = 0, 1, 2, . . . i=1 はいずれも R の左 (右、両側) イデアルである．注意 I ∪ J は一般には R の左 (右、両側) イデアルではない．注意 I ∩ J は、I と J の両方に含まれる左 (右、両側) イデアルのうち最大のものである．一方 I + J は、I と J の両方を含む左 (右、両側) イデアルのうち最小のものである． IJ は、加法群 (すなわち、和に関する群) R の部分群で、ab (ただし a ∈ I, b ∈ J) の形の元全部を含むもののうち最小のものである．I と J が左イデアルであれば、IJ も左イデアルで IJ ⊂ J が成り立つ．I と J が右イデアルであれば、IJ も右イデアルで IJ ⊂ I が成り立つ．I と J が両側イデアルのときは、IJ は両側イデアルで IJ ⊂ I ∩ J である．例 R = Z, 0 ̸= a, b ∈ Z, I = aZ, J = bZ のとき、a と b の最大公約数を d、最小公倍数を c とおくと、I + J = dZ, I ∩ J = cZ, IJ = abZ である．また、I ⊃ J であるための必要十分条件は、b が a で割り切れることである． 2