2016.10
この授業のための準備
このプリントの内容は後々何度でも使うことばかりであり，それを使いこなせなけ
れば今後の授業は全く理解できなくなる。よって，このプリントの内容をすべて完
全に理解し，覚えておくことが必要である。
この授業で使用する略記号
略記号
綴り
日本語訳
Def
Definition
お約束
Th
Theorem
非常に重要な性質
Prop
Proposition
定理ほどではないが，重要な性質
Cor
Corollary
定理や命題から直ちに導かれる重要な性質
Lem
Lemma
定理などの証明で使用される補助的な性質
Rem
Remark
注
注意
Ex
Example
例
例，例題
ex
exercise
練習
練習，練習問題
e.g.
exemplı̄ grātiā
ラテン語［英語では “for example”］
i.e.
id est
ラテン語［英語では “that is”］
cf.
confer
ラテン語［英語では “compare”］
⇒
implies
ならば
“If ..., then ...” とも読む。
⇔
is equivalent to
同値
“if and only if” とも読む。
∴
therefore
故に
∵
because
なぜならば
Def 「もの」の集まりを
意味・注釈
「証明」という意味に使うこともある。
という。ただし，ある「もの」がその集合に入っているか
否かが明確に（客観的に）判断できなくてはならない。
「もの」x が集合 X に入っている場合，
xはX の
であるといい，
Rem 「美人の集まり」は集合で
あるいは
と表す。
。
集合の表し方
• すべての元を “ , ” を挟んで列挙し， “ { ” と “ } ” で括る。
Ex. {1, 3, 4, 6, 8, 10, 12}, {1, 3, 5, 7, 9, . . .}
• { x | P (x) } = 性質 P (x) を満たすような x をすべて集めて得られる集合
Ex. { x | x は実数で，かつ x2 ≤ 4 }
1
• { x ∈ X | P (x) } = { x | x ∈ X かつ P (x) }
Ex. { x ∈ R | x2 ≤ 4 }
• その他にもいろいろなバリエーションがある。
Rem { x | P (x) } という記号において，x という記号の名前自体に意味があるのではない。x
というのは，ただ単に「他の物と区別するために便宜的につけた名前」に過ぎない。よって，例
えば，
{x|x ≥ 5} = {y|y ≥ 5} = {に|に ≥ 5} = {☆|☆ ≥ 5}
である。
Rem 「 y ∈ { x | P (x) } 」という主張は，
「
」ということと同
値である。x や y という記号の違いに惑わされてはいけない。例えば，
「 y ∈ { x | x2 = 4 } 」と
いう主張は，
「
」という主張と同値である。
Rem 集合と元とを厳密に区別するように！例えば，5 は「5 という数そのもの」であるが，
{5} は「5 という１つの数からなる集合」である。
Rem 「もの・集合」と「性質・主張」とを混同しないように！ 例えば，“2” は「もの」であ
るが，“2 > 1” は，
「2 は 1 より大きい」という「性質・主張」である。なお，“x ∈ X” という
記号は，
「X の元 x」という「もの」を表す場合もあるし，
「x は X の元である」という「性質・
主張」を表す場合もあるので，その何れであるかということを文脈から判断する必要がある。
代表的な集合をあらわす記号
N=
全体 = {1, 2, 3, · · · }
Z=
全体 = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · }
R=
全体
C=
全体 = {x + iy | x, y ∈ R} （但し，i2 = −1 : 虚数単位）
全称記号と存在記号
• ∀···「
」という意味。（英語では，“ for all ” or “ for any ”）
e.g. 「 ∀x ∈ R : x2 ≥ 0 」という文は，
「 For all x ∈ R, x2 ≥ 0. 」，つまり，
「
• ∃···「
x ∈ R に対して，x2 ≥ 0 である。」という意味。
」という意味。（英語では，“ there exists ” ）
2
e.g. 「 ∃x ∈ R : x2 = 4 」という文は，
「 There exists x ∈ R such that x2 = 4.」，
つまり，
「 x2 = 4 を満たすような x ∈ R が
。」という意味。
Def X, Y を集合とする。
• X ⊂ Y （X は Y の
）⇔「∀x ∈ X : x ∈ Y 」⇔「∀x : (x ∈ X ⇒ x ∈ Y )」
• X⊃Y ⇔ Y ⊂X
• X = Y （X と Y とは同じ集合） ⇔「X ⊂ Y かつ Y ⊂ X 」⇔「∀x : (x ∈ X ⇔ x ∈ Y )」
• X ⊊ Y ⇔「X ⊂ Y かつ X ̸= Y 」
• X ∪ Y = { x | x ∈ X または x ∈ Y }（X と Y の
）
• X ∩ Y = { x | x ∈ X かつ x ∈ Y }（X と Y の
）
• X \ Y = { x | x ∈ X かつ x ∈
/ Y }（X と Y の
）
Rem
• x ∈ X ∪ Y ⇔ (x ∈ X または x ∈ Y )
• x ∈ X ∩ Y ⇔ (x ∈ X かつ x ∈ Y )
Rem （我々の立場では）X ⊂ Y は，X = Y の場合も 含む。
Rem “ ∈ ” と “ ⊂ ” とを混同しないこと。同様に，“ ∋ ” と “ ⊃ ” とを混同しないこと。ま
た，左右を間違えないように！
ex X を２の倍数全体，Y を３の倍数全体，Z を６の倍数全体とするとき，X ∩ Y = Z であ
ることを証明せよ。
写像
X, Y を集合とする。このとき，X から Y への写像を次のように定義する。
Def X の元に対して Y の元を対応させる「対応」が，
1. X の
x に対して，
2. Y の元が（x に応じて）
対応する。
3
という条件を満たすとき，この対応のことを，X から Y への
という。この対応を
f と名付けるとき，f : X → Y のように表す。また，このとき，x ∈ X に対応する Y の元を
f (x) と表す。以上の状況をまとめて，
f : X ∋ x 7→ f (x) ∈ Y
f: X →
Y
∈
∈
あるいは，
x
7→ f (x)
のように表すこともある。
Rem Y ⊂ R または Y ⊂ C のとき，写像 f : X → Y のことを「関数」と呼ぶ場合がある。
Rem 写像というのは，
「何処から，何処への，どんな対応か？」という「３点セット」である。
このうちの１つでも抜けていれば，写像を決めたことにはならない。例えば，
「写像 f (x) = x2
は．
．
．
」という記述は，
「どんな対応か？」を述べているだけであり，
「何処から，何処への」を指
定していなので，写像を指定したことにはならない。
ex X をこのクラスの♂全体とし，Y をこのクラスの♀全体とする。x ∈ X に対して，
「x の
カノジョ」を対応させる対応を考える。
1. この対応は，写像であるか？否か？
2. 写像でない場合，どのように修正すれば，写像に出来るか？
Def 写像 f : X → Y に対して，
• X をf の
という。
• A ⊂ X に対して，
f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A s.t. f (x) = y}
のことを，A の f による
という。
• 特に，f (X) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X s.t. f (x) = y} のことを，f の
• B ⊂ Y に対して，
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}
のことを，B の f による
という。
Rem 写像 f : X → Y と，A ⊂ X ，B ⊂ Y に対して，
4
という。
• y ∈ f (A) ⇔
• x ∈ f −1 (B) ⇔
Rem 写像 f : X → Y について，f (A) と書いてあれば，A が X の 部分集合であることを暗
黙のうちに仮定していることになる。また，f −1 (B) と書いてあれば，B が Y の 部分集合で
あることを暗黙のうちに仮定していることになる。なお，方向（X から Y 方向なのか？それ
とも，Y から X 方向なのか？）に注意すること。
ex 次は正しいか否か。
• f (x) ∈ f (A) ⇒ x ∈ A
• x ∈ f −1 (B) ⇒ f (x) ∈ B
Rem y ∈ Y について，教科書では f −1 ({y}) のことを f −1 (y) と略記しているが，この授業
では，逆写像（後述）との混同を避けるために，これらを 厳密に区別して用いる ことにする。
Def f : X → Y が次を満たす時，f は 単射, injective, １対１の写像 であるという。
この条件は，次のいずれとも同値である。
• x ̸= y ⇒ f (x) ̸= f (y)
• ∀y ∈ Y : f −1 ({y}) は１個 以下 の元からなる。
Def f : X → Y が次を満たす時，f は 全射, surjective, 上への写像 であるという。
この条件は，次のいずれとも同値である。
• f (X) = Y
• ∀y ∈ Y : f −1 ({y}) は１個 以上 の元からなる。
ex
単射性と全射性とは全く無関係な性質である。次を満たすような例を各々作れ。特に，
f : X → X を満たすような例を各々作れ。
1. 単射かつ全射の写像。
2. 単射だが，全射ではない写像。
5
3. 全射だが，単射ではない写像。
4. 単射でも全射でもない写像。
Def f : X → Y が単射かつ全射のとき，f は
,
であるという。こ
の条件は，次のいずれとも同値である。
• ∀y ∈ Y : f −1 ({y}) はちょうど１個の元からなる。
• ∀y ∈ Y : y = f (x) をみたす x ∈ X がただ１つ存在する。
Def f : X → Y が
の時，
1. Y の 任意の元 y に対して，
2. y = f (x) となる x ∈ X が ただ一つ 対応する。
すなわち，Y から X への写像が与えられたことになる。この写像を f の
といい，
f −1 と表す。
Rem
• f の逆写像は，f が
の場合にのみ 定義できる。
• 「逆像」と「逆写像」は，似てはいるが，別物である。どこが似ていて，どこが違うの
か，すべての相似点・相違点を列挙してみよ。
• f : X → Y が全単射でない場合にも，f の定義域や Y を小さくとりなおすことにより，
「部分的な」逆写像を考えることは可能である。ただし，その場合には，どのようにとり
なおしたかを明記しなくてはならない。
（cf. 解析学で，sin，cos，tan の逆関数をどのよ
うに定義したかを思い出すこと。）
Def f, g : X → Y について，
「∀x ∈ X : f (x) = g(x)」が成立するとき，f と g とは同一の写
像であるとみなし，f = g と表す。
Ex 写像 f, g : R →
R を以下の様に定義する：
x （x ≥ 0 のとき）
√
f (x) =
，
g(x) = x2
−x （x < 0 のとき）
このとき，f の定義と g の定義は全く別物であるが，
「∀x ∈ R : f (x) = g(x)」が成立するの
で，写像としては f = g である。
Def 集合 X において，
「x ∈ X に対して，x 自身を対応させる」という，X から X への写像
と言い，idX : X → X と表す。（つまり，
を考えることが出来る。これを X の
idX : X ∋ x 7→ x ∈ X 。あるいは，
「任意の x ∈ X について，idX (x) = x」。）
6
Rem 文脈から明らかな場合は， X を省略して，単に id と書くこともある。
ex 写像 f : X → X に対し，次の３条件はすべて相異なる（同値でない）性質を表している。
その違いを具体的な例を挙げて説明せよ。
1. f : X → X は bijective である。
2. f : X → X は id である。
3. f (X) = X.
Def 写像 f : X → Y, g : Y → Z に対して，
「 x ∈ X に対して g(f (x)) ∈ Z を対応させる」
という対応が考えられる。この対応は，X から Z への写像となる。この写像を，f と g の
といい，g ◦ f : X → Z と記す。
Rem (g ◦ f )(x) = g(f (x)) for x ∈ X である。
Th 写像 f : X → Y, g : Y → Z に対して，
• f, g が共に単射ならば，g ◦ f も単射である。
• f, g が共に全射ならば，g ◦ f も全射である。
• g ◦ f が単射ならば，f も単射である。
• g ◦ f が全射ならば，g も全射である。
Rem 上の定理の主張のバリエーションを多数考えることができる。たとえば，
「g ◦ f が全射で，かつ，g が単射ならば，f は全射である」という命題が正しいか
否かを判断せよ。（正しい場合はそれを証明し，間違っている場合は反例を示せ。）
Th 写像 f : X → Y に対して，次は同値：
1. f は全単射である。
2. g ◦ f = idX かつ f ◦ g = idY を満たす写像 g : Y → X が存在する。
7
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