向陵中 2学期期末過去問解説

向陵中　2学期期末　過去問解説
個別ゼミＷｉｌｌ宮の森校　作成
【問題】
平成26年度　向陵中3年　2学期期末より
右の図のような長方形の封筒の中に、端が45°に切られた
画用紙が入っている。図2のように、画用紙をｘｃｍ引き出した
部分の面積をｙ㎠として、次の問いに答えなさい。
①0≦ｘ≦4のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
②ｘ≧4のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
③引き出した部分の面積が12㎠になるのは、画用紙を何ｃｍ
引き出したときですか。
【考え方】
図形の移動の問題と解き方は同じである。図形の移動の問題では、直角二等辺三角形が基本とな
る。図の画用紙の三角形部分に縦に線を引くと、45°、90°の直角二等辺三角形となる。
直角二等辺三角形となるのは４ｃｍ引き出すまで。４ｃｍ以上では、直角二等辺三角形と長方形
を合わせた形となる。４ｃｍ以降の長方形を合わせたときの面積をどう表していくかがこの問題のポ
イントとなる。
【解法】
【解法のポイント】
①0≦ｘ≦4のとき、
0ｃｍ～4ｃｍのとき
引き出した部分は直角二等辺三角形
となり、縦ｘｃｍ、横ｘｃｍなので、
ｘ
y  x x
ｘ
y
1
2
1 2
x
2
1
y  x2
答　（0≦ｘ≦4）
2
縦ｘｃｍ
横ｘｃｍ
ｘ
ｘ
4ｃｍのとき
ｙ＝8
4
ｃ
ｍ
4ｃｍ
②ｘ≧4のとき
4
4ｃｍ以上のとき
4
4
4
ｘ
y  4x  8
答　（4≦ｘ）
③ｙ＝12を①②に代入する
①に代入　②に代入
1
12  x 2
2
x   24 0≦ｘ≦4なので
x  2 6 答えとして不適
12  4 x  8
x5
ｘ≧4にあてはまる
答　5ｃｍ
ｘ
横ｘｃｍ、縦4ｃｍの長方形から三角形を引く。
長方形＝4ｘ　三角形＝8
【問題】
平成26年度　向陵中3年　2学期期末より
y  ax 2
右のグラフは　と直線のグラフである。この2つのグラフは、交点をA
Bとし、そのBの座標は（3,-9）、Aのｘ座標は-1である。このとき、次の問いに
答えなさい。
①aの値を求めなさい。
②直線ABの式を求めなさい。
③△OABの面積を求めなさい。
④減点Oを通り、△OABの面積を二等分する式を求めなさい。
⑤点（0、-3）を通り、△OABの面積を二等分する式を求めなさい。
【解法】
①～③は基本問題なので割愛します。
y  2 x  3
① 答　a＝-1
② 答
③ 答　△OAB＝6
④原点Oを通るので、頂点Oの対辺ABの中点を通す。
ABの中点＝（1、-5）　※2点の座標の平均をとる。
原点と（1、-5）を通る直線なので、
y  5 x
答
⑤点（0、-3）は②の直線の切片座標である。
④で使った中点をD（1、-5）とする。Dから辺OCに平行な線を
引き、辺OBとの交点をEとする。点Cと点Eを結ぶ
④より、△OADは△OAB
の面積を二等分している。
△OAD＝△OAC＋△ODC
ここで、OC//EDより、
△OCD＝△OCE(等積変形)
よって、
△OAC＋△OCEの
四角形OACEで二等分
となる。
D（1、-5）かつOC//EDより、Eのｘ座標は１
直線OBの式はｙ＝-3ｘなので、E（1、-3）
点C(0、-3）と点E（1、-3）を通る直線が答え。
答　ｙ＝-3
【別解】
△OAB＝6で、△OAC＝1.5より、面積を二等分する直線は、
Oよりも右側、つまり辺OB上を通ることが分かる。
Eのｘ座標をｔとすると、
△OAC＋△OEC＝3
1.5＋3×ｔ÷2＝3
ｔ＝1
直線OBはｙ＝-3ｘなので、
E(1、-3）となり、C（0、-3）
で2点を通る式を求める。
答　ｙ＝-3
【解法のポイント】
①二次関数の式は、1点座標から求める。
②グラフ問題での直線の式は、2点の
座標から式を決める。
③ｙ軸で三角形を二つに分けて求める。
O
直線ABの式の
A
切片を底辺とす
C
る。
B
△OACと△OBCで底辺をOCとする。
どちらの三角形も、底辺と÷２が共通
となるので、底辺×高さの和÷２で
求める方法がベスト！
④三角形の頂点を通って二等分する場
合、対辺の中点を通す。
⑤等積変形を利用して解いていきます。
④でつくった直線を利用していきます。
【別解】も参照！
面積を二等分する直線の問題は、三
角形の頂点を通る問題と、三角形の
辺上の点を通る2パターンがメインで
す。
頂点を通る方は学校のワークにもあ
り基本的な問題ですが、辺上の点だ
と問題の取り扱いのある問題集は少
なく、難易度も一気に上がります。関
数は理系の得意な子にとっては点が
取りやすい分野です。だからこそ、
100点落とし用に高難易度出題に備
えないといけません。

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